Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann
1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden wir zuerst einmal denieren, was eine ganzrationale Funktion ist, uns dann weiterführend mit dem wichtigsten Handwerkszeug, der Ableitung beschäftigen, um dann das Thema mit einer beispielhaften Funktionsuntersuchung zu schlieÿen. Nun beginnen wir also mit der Denition einer ganzrationalen Funktion. f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 (n N a n 0) Dabei nennt man n, den Grad der Funktion, und a n bis a 0 die Koezienten. Andersherum gesagt bedeutet das also, dass alle Funktionen, die dem oben beschriebenen Aufbau entsprechen und die Bedingungen erfüllen, als ganzrational bezeichnet werden. Wir haben während unserer Schullaufbahn schon verschiedene ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Die beiden wichtigsten sind wohl die linearen Funktionen der Form f (x) = mx + b und die quadratischen Funktionen der Form f (x) = ax 2 + bx + c. Beide Funktionstypen entsprechen den obigen Kriterien, sind also ganzrationale Funktionen. 2 Der Ableitungsbegri Das wichtigste Handwerkszeug der Dierentialrechnungen ist die Ableitung. Diesen Begri wollen wir nun mit Wissen füllen, und uns im Folgenden näher damit beschäftigen. 2.1 Was ist das? Um die Ableitung zu denieren eignen sich zwei unterschiedliche Arten der Betrachtung. 2.1.1 Algebraisch Algebraisch gesehen ist die Ableitung f (x 0 ) an einer Stelle x 0 der Limes (Grenzwert) des Dierenzenquotienten. Es gilt also : 2.1.2 Geometrisch f (x) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Geometrisch gesehen gibt die Ableitung die Steigung der Tangente an einer Stelle x 0 an. -1-
2.2 Begriichkeiten Mit dem Ableitungsbegri hängen viele andere Begrie zusammen, die diesen von jeweils einer anderen Seite beleuchten. Begri Ableitung (mathematisch: f'(x)) Grenzwert des Dierenzenquotienten Dierenzialquotient momentane Änderungsrate Steigung in einem Punkt der einer Kurve Tangentensteigung Bemerkung Überbegri f (x) = lim x x0 f(x) f(x 0) x x 0 = Grenzwert des Dierenzenquotienten die Veränderung einer Gröÿe, in einem Moment (unendlich kleiner Zeitraum) die Veränderung der Funktionswerte in einer unendlich kleinen Umgebung von x P die Steigung die eine Tangente an einen Punkt einer Kurve hat entspricht der Punktsteigung in diesem Punkt 2.3 Der Sonderfall f'(x) = 0 - Die Betrachtung von Extremund Sattelpunkten Um aus einer Methode einen gröÿeren Nutzen zu ziehen betrachtet der Mathematiker gerne Sonderfälle. Wir wollen uns im Folgenden mit dem Sonderfall f'(x E ) = 0 beschäftigen. Das bedeutet die Ableitung und damit auch die Steigung an einer beliebigen Stelle x E ist gleich null. Das wiederum bedeutet, dass die Tangente an dieser Stelle x E eine waagerechte sein muss. Und dies ist nur in zwei Fällen der Fall. Nämlich gerade dann, wenn der Graph bei x E ein Extremum oder einen Sattelpunkt hat. Nun gilt es also ein Kriterium zu entwickeln, mit dem man Extrem- und Sattelpunkte voneinander unterscheiden kann. Nach einigen Überlegungen, auf die hier nicht näher eingegangen werden soll, kommt man zu dem Schluss, dass es eine notwendige und eine hinreichende Bedingung gibt, um ein Extremum an einer Stelle x E auszumachen: -2-
notwendige Bedingung: f (x E ) = 0 hinreichende Bedingung: f (x E ) = 0 f (x E ) 0 Problem: Die hinreichende Bedingung über die 2. Ableitung (f) führt nicht immer zum Erfolg. Es ist falsch aus einer Nichterfüllung der o.g. hinreichenden Bedingung auf einen Sattelpunkt (also kein Extrempunkt) zu schlieÿen. Dies sieht man z.b. an der ganzrationalen Funktion f(x) = x 4. Diese hat ein Minimum bei x E = 0. Die erste Ableitung ist f (0) = 4 0 3 = 0. Die notwendige Bedingung für Extrempunkte ist also erfüllt. Für die zweite Ableitung gilt nun aber f (0) = 12 0 2 = 0. Trotz eines Extremas bei x E = 0 ist die hinreichende Bedingung für Extrempunkte nicht erfüllt. Wir benötigen also eine weitere Möglichkeit Extrempunkte zu erkennen. Folgendes Schema soll uns dabei auf den richtigen Weg führen. Aus dem Schema entnehmen wir das ein Extremum immer einhergeht mit einem Vorzeichenwechsel(VZW) von f'. Dies führt uns zu dem sogenannten Vorzeichenwechselkriterium, welches dann Anwendung ndet, wenn die o.g. hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist, oder wenn es zu kompliziert ist die zweite Ableitung zu bilden. Es gilt: Hat die 1. Ableitung f' an einer Stelle x E einen Vorzeichenwechsel, so ndet sich bei x E ein Extremum. 3 Ableitungsregeln Nun kennen wir einen wesentlichen Anwendungsbereich der Ableitungen. Jedoch sind wir noch nicht darauf eingegangen, wie das Ableiten an sich funktioniert. Es ist im Prinzip sehr einfach, wenn man sich an gewisse Regeln hält, die im Folgenden genannt werden. 3.1 Ÿ1 - Potenzregel 3.2 Ÿ2 - Faktorregel f(x) = x n f (x) = n x n 1 f(x) = c g(x) f (x) = c g (x) -3-
3.3 Ÿ3 - Summenregel 3.4 Ÿ4 - Kettenregel f(x) = g(x) + h(x) f (x) = g (x) + h (x) 3.5 Ÿ5 - Produktregel f(x) = u(v(x)) f (x) = u (v(x)) v (x) f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) 4 Funktionsuntersuchung von ganzrationalen Funktionen In diesem Kapitel wollen wir uns nun mit der Untersuchung der oben beschriebenen ganzrationalen Funktionen beschäftigen. Dies nennt man auch Kurvendiskussion. Dabei wird die Funktion nach einem bestimmten Kriterienkatalog untersucht, mit dem Ziel möglichst viel über ihre Eigenschaften zu erfahren. Anzumerken ist noch, dass im Abitur vorraussichtlich keine komplette Funktionsuntersuchung verlangt wird, sondern vielmehr die Anwendung einzelner Teilpunkte. Das Ablaufschema, auf welches dann im Folgenden näher eingegangen werden soll lautet folgendermaÿen: 0.) Ableitungen 3.) Achsenschnittpunkte 6.) Graph 1.) Symmetrie des Graphen 4.) Extrempunkte 2.) Verhalten für x ± 5.) Wendepunkte 4.1 0. Ableitungen Von der zu untersuchenden Funktion werden die ersten drei Ableitungen (f'(x) bis f'(x) gebildet. 4.2 1. Symmetrie des Graphen Der Graph wird auf Achsensymmetrie zur y-ache bzw. Punktsymmetrie zum Ursprung untersucht. Dies sind zwei einfache Symmetrien, die mit wenig Aufwand erkennbar sind. Dabei gibt es zur Überprüfung der Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen zwei Möglichkeiten. -4-
4.2.1 Über die Exponenten Wichtig: Diese Methode lässt sich ausschlieÿlich bei ganzrationalen Funktionen anwenden. Bei dieser Methode der Symmetriebestimmung macht man eine Aussage über Symmetrien anhand der Exponenten der Funktion. Dabei unterscheidet man drei Fälle: 1. die Funktion hat nur gerade Exponenten: Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-achse 2. die Funktion hat nur ungerade Exponenten: Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung 3. die Funktion hat gerade und ungerade Exponenten: Es ist keine einfache Symmetrie erkennbar 4.2.2 Über f(-x) Eine Methode die bei jedem Funktionstyp funktioniert, ist das Einsetzen von (-x). Hierbei bildet man f(-x), indem man in der vorliegende Funktion x = (-x) setzt, und das Ergebnis analysiert. Auch hier gibt es wieder drei Fälle. 1. f(-x) = f(x): Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-achse 2. f(-x) = -f(x): Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung 3. f( x) f(x) f( x) f(x): Es ist keine einfache Symmetrie erkennbar 4.3 2. Verhalten für x ± Um eine Aussage über dieses sogenannte Randverhalten machen zu können emp- ehlt sich ein dreischrittiges Vorgehen: 1. Ausklammern von x n mit dem höchsten Exponenten 2. Untersuchung, wie sich die einzelnen Teile des Terms für x ± verhalten 3. mit Hilfe von 2. eine Aussage für lim x ± f(x) machen 4.4 3. Achsenschnittpunkte Es gibt zwei verschiedene Arten von Achsenschnittpunkten. Einmal die Schnittpunkte mit der y-achse und zum zweiten die Schnittpunkte mit der x-achse 4.4.1 Schnittpunkte mit der y-achse Wichtig ist es an dieser Stelle anzumerken, dass eine Funktion nur einen einzigen Schnittpunkt mit der y-achse haben kann. Dieser hat die Koordinaten (0 f(0)). -5-
4.4.2 Schnittpunkte mit der x-achse Die x-koordinaten der x-achsen Schnittpunkte nennt man auch Nullstellen 1. Diese Nullstellen lassen sich mit Hilfe der Gleichung f(x) = 0 berechnen. Es gilt, das eine Funktion von Grad n, 0 bis n Nullstellen haben kann. 4.5 4. Extrempunkte Bei Extrempunkten unterscheiden wir zwischen Tief- und Hochpunkten. Damit jedoch über ein Extremum an einer Stelle x E vorhanden sein kann, muss folgende notwendige Bedingung für Extrempunkte gelten: f (x E ) = 0. D.h. um alle möglichen Extremstellen zu nden, muss zuerst die Gleichung f (x) = 0 gelöst werden. Alle Lösungen dieser Gleichung sind mögliche Extremstellen. Nun gilt es also noch zu verizieren, welche davon tatsächliche Extremstellen sind. Der erste Zugri auf diese Frage geschieht über die hinreichende Bedingung für Extrempunkte. Diese lautet f (x E ) = 0 f (x E ) 0. Wobei gilt: f (x E ) = 0 f (x E ) < 0 Maximalstelle f (x E ) = 0 f (x E ) > 0 Minimalstelle Falls f (x E ) = 0 sein sollte, heiÿt das nicht automatisch, dass es keine Extremstelle bei x E gibt. An dieser Stelle muss das oben beschriebene Vorzeichenwechselkriterium zu Rate gezogen werden. Erst wenn auch dieses nicht erfüllt ist, steht eindeutig fest, dass es sich um einen Sattelpunkt handeln muss. Ist nun festgestellt worden, dass x E eine Extremstelle ist, so muss noch der dazugehörige y-wert berechnet werden. Erst so wird aus einer Extremstelle ein Extrempunkt. Als letztes bleibt noch die Prüfung auf Globalität. Ein Hochpunkt ist dann global, wenn es auf dem kompletten Denitionsbereich der Funktion keinen höheren Punkt mehr gibt. Das selbe gilt selbstverständlich auch für globale Minima. Um dies zu erreichen vergleichen wir einfach die y-werte aller Minima, und aller Maxima miteinander und ermitteln so das höchste, bzw. niedriegste. Nun gilt es aber noch eine wichtige Sache zu beachten, nämlich das Randverhalten. Wenn die Funktion gegen plus oder minus Unendlich geht, kann es kein globales Minimum bzw. Maxium geben, da selbstverständlich nix gröÿer sein kann als unendlich. 4.6 5. Wendepunkte Ein Wendepunkt ist ein Extremum der Steigung. Das bedeutet folgendes: notwendige Bedingung für Wendepunkte: f (x W ) = 0 hinreichende Bedingung für Wendepunkte:f (x W ) = 0 f (x W ) 0 Wenn f (x W ) = 0 ist, muss das Vorzeichenwechselkriterium für f (x W ) angewand werden. 1 Zur Erinnerung: Punkt: P(x y) Stelle: x Funktionswert: y -6-
4.7 6. Graph Der letzte Punkt einer Funktionsuntersuchung ist das Zeichnen des Graphens der zu untersuchenden Funktion. Um diesen zu zeichnen benutzt man alle bisher berechneten Punkte, falls vorhanden die Symmetrie, das Randverhalten und wenn das alles zu wenig ist noch eine Wertepaartabelle. -7-