Mathematik LK M,. KA LA I / Analytische Geometrie Lösung 6..7 Aufgabe : Rechnen mit Vektoren Berechne... und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich. Falls der Term keinen gültigen Ausdruck darstellt, schreibe ungültig.. 5. 8 =8 9 = 8 7 + = + 5 5 5 + 5 = +5 +5 +,= 5+,= +5 7,7 5. 5 = + + + 5+ = 8 =66 7 7,696. 5 ungültig, weil das Kreuzprodukt nicht für Vektoren im R definiert ist..5...den Winkel zwischen cosϕ= und + + 6 = + + + = + 8 8 = 7 7.6...den Gegenvektor zum Einheitsvektor von a = = = a a = + + = 6 6 6 ϕ=,7989=5,77 Seite von
Mathematik LK M,. KA LA I / Analytische Geometrie Lösung 6..7.7...die fehlenden Koordinaten des Vektors steht. 6 x x, der senkrecht sowohl zu als auch zu 6 =k x = = x = 6 Dieser Vektor hat die richtige Richtung, aber die falsche x -Koordinate. Der Vektor 6 steht senkrecht zu den anderen Vektoren und hat die richtige x - Koordinate..8...den Flächeninhalt des von A= und aufgespannten Parallelogramms. = = = + + = 68=6 8 6,99F. E..9...das Volumen des von und und und aufgespannten Spats. = V = = + + = = V. E. =....den Flächeninhalt des durch die Vektoren und definierten Dreiecks. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist gleich dem halben Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms. A= = 6 8= 8 8,9 F.E. siehe Aufgabe.8 Seite von
Mathematik LK M,. KA LA I / Analytische Geometrie Lösung 6..7. Löse die Aufgabe.7 ohne das Kreuzprodukt zu verwenden. Gesucht ist ein Vektor n mit n =6, für den gilt: Daraus ergibt sich das LGS: I. 6+ n + n = II. 6+ n + n = n= und n= I. n +n = II. + n = n = n = Setze I. n + = n = n = n = in I. ein: 6 Der Vektor ist die gesuchte Lösung. Aufgabe : Lineare Abhängigkeit / - Unabhängigkeit. Entscheide mit Hilfe einer Rechnung, ob der Satz von Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig ist... 8 8 und Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind: 8 =k 8 I. =k k= II. 8=k 8 k=6 Die Vektor sind linear unabhängig!.. 8 und 8 =k 8 Die Vektor sind linear abhängig!.. 8, und 8 Es gibt kein k, dass beide Gleichungen erfüllt. I. =k 8 k=6 II. 8=k k=6 Die Vektor sind linear abhängig, denn im R n können maximal n Vektoren linear unabhängig sein. Seite von
Mathematik LK M,. KA LA I / Analytische Geometrie Lösung 6..7.., 5 und Der Satz von Vektoren ist linear unabhängig, wenn die Gleichungen k +k 5 +k = als einzige Lösung k =k =k = hat. I. k + k +k = I. II. II. k +5k + k = III. k +k +k = III. II. Ia. 9k 9k = k = k IIIa. 5k 8k = Setze k = k in III.a ein: 5 k 8 k = k = k = Einsetzen in Ia.: k = k = Einsetzen von k =k = in I.: ++k = k = Einzige Lösung: k =k =k =, also sind die Vektoren linear unabhängig...5, und k I. k k + k = II. I. II. k + k + k = III. k +k k = II. III. Ia. 5 k 5k = Ia.+IIIa. IIIa. 5k +5k = Ib. = +k +k = Es gibt unendlich viele Lösungen, also sind die Vektoren linear abhängig. Seite von
Mathematik LK M,. KA LA I / Analytische Geometrie Lösung 6..7. Stelle den Vektor 7 als Linearkombination der Vektoren aus Aufgabe..5 dar. k +k +k = 7 I. k k + k = II. I. II. k + k + k = III. k +k k =7 II. III. Ia. 5 k 5k = 5k =5k + k =k + IIIa. 5k +5k = 5k = 5k k =k + Auch hier gibt es wieder unendlich viele Lösungen. Wähle k = k =+= Setze k = und k = in I. ein: k + = k += k = Also als Lösung: + + = 7 Aufgabe : Gegeben ist der Stumpf einer dreiseitigen Pyramide mit den Eckpunkten A, B, C, E. Die Spitze der vollständigen Pyramide liegt im Punkt. Untersuche in der angegebenen Reihenfolge, ob die Dreiecke ABC, ABS, BCS und ACS rechtwinklig sind. Dreieck ABC besteht aus den Seiten AB, BC und CA AB= AB = b a BC= BC = c b CA= CA = a c b a = = = + + = 8 S 8. Seite 5 von
Mathematik LK M,. KA LA I / Analytische Geometrie Lösung 6..7 b = c = a c = = = + + = 9= = + + = 7 Rechtwinkligkeit: Mit Satz des Pythagoras überprüfen oder jeweils paarweise die Seitenvektoren mit dem Skalarprodukt auf Rechtwinkligkeit testen. Satz des Pythagoras: Längste Seite ist CA, also müsste dies die Hypotenuse sein. CA = AB +BC 7 = 8 + 7=8+9 o.k., also rechtwinklig. Dreieck ABS besteht aus den Seiten AB, BS und SA AB= AB = b a = 8 s.o. BS= BS = s b s b = a = 8 8 SA= SA = a s s = 8 = 8 = + +8 = 7=6 = + + 8 = 8= 5 Satz des Pythagoras: Längste Seite ist SA, also müsste dies die Hypotenuse sein. SA = AB +BS 8 = 7 + 8 8=7+8 o.k., also rechtwinklig. Dreieck BCS besteht aus den Seiten BC, SC und SB BC= BC = c b = s.o.; SB=BS= BS = s b = 7 s.o. SC= SC = c s = = 8 7 = + + 7 = 8=9 Satz des Pythagoras: Längste Seite ist SC, also müsste dies die Hypotenuse sein. SC =BC +SB 9 = 7 + 8=7+9 o.k., also rechtwinklig. Dreieck ACS besteht aus den Seiten AC,CS und SA AC=CA= CA = a c = 7 s.o. CS=SC= SC = c s =9 s.o. SA= SA = a s = 8 s.o. Satz des Pythagoras: Längste Seite ist CS, also müsste dies die Hypotenuse sein. CS = AC +CS 9 = 7 + 8 8=7+8 unwahr, also nicht rechtwinklig. Seite 6 von
Mathematik LK M,. KA LA I / Analytische Geometrie Lösung 6..7. Berechne die Höhe des Pyramidenstumpfes. Die Seite BE steht senkrecht auf der Grundfläche des Pyramidenstumpfes, weil der Vektor BE ein Vielfaches des Vektors BS ist, der senkreacht auf der Grundfläche steht siehe.. Die Länge der Seite BE b = ist also gleichzeitig die Höhe des Stumpfes. h S =BE= BE = E = + + = + + = 9= L. E.. Berechne das Volumen der Pyramide. Die Seite BS steht senkrecht auf der Grundfläche der Pyramide siehe.. Die Länge dieser Seite ist also gleichzeitig die Höhe der Pyramide. Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck, deren Katheten damit die Höhen zueinander sind. G= g h= AB BC= 8 = 6 8= h P =SB=BS= BS = s b = 7=6 8,9L.E. siehe. V P = G h P = 6 = 9 = V.E.. Bei einem Pyramidenstumpf sind die Grundfläche ABC und die Deckfläche DEF parallel zueinander. Zeige, dass die Punkte D und F näherungsweise die Koordinaten D,5858,88 und F,5858,5858,79 haben. Hier gibt es mehrere Lösungswege:. Strahlensatz: Der gesuchte Punkt F liegt auf der Geraden x= c +r CS Um mit dieser Geradengleichung den Punkt F zu beschreiben, benötigt man den Wert für r. Weil BC und DE parallel zueinander sind, bilden sie mit BS und CS eine Strahlsatzfigur. Nach dem Strahlensatz gilt hier: r= CF CS = BE BS = 7 =,56 CS= SC= 7 = 7 siehe. Also f = c+ CS= + = + 7 +7,5858,5858 q.e.d.,79 Seite 7 von
Mathematik LK M,. KA LA I / Analytische Geometrie Lösung 6..7 Analog funktioniert dies mit dem Punkt D, der auf der Geraden AS= SA= 8 = siehe. 8 8 = + x= a +r AS liegt. Also d = a+ AS= + +,5858 q.e.d. +,88. Geraden schneiden: Der Punkt F ist der Schnittpunkt der Geraden durch C und S und der Geraden, die durch E geht und einen Richtungsvektor parallel zum Vektor BC hat. g : x= c+s CS ; g : x= e+t BC Gleichsetzen, Schnittpunkt F berechnen, gleiches für D. Aufgabe : Gegeben sind die folgenden Geraden und Ebenen: g : x= +t, g : x= 5 +t. Wandle die Ebene E in die Koordinatenform um., E : x= +r 6 +s, E : x x + x =5 E : x= +r 6 +s I. x =+6r s I.+III II. x =+ r III. x = r+ s Ia. x + x = +8 r II. x =+ r II. Ia. x + x x =. Wandle die Ebene E in die Hesse'sche Normalenform um. Normalenvektor ablesen: n= Daraus Normaleneinheitsvektor: n = = n n = + + = 9 = [ x ]. Wandle die Ebene E in die Normalenform um. = n= Finde Punkt auf Ebene: Aus x = x = folgt + x =5 x = 5 Also [ x 5 ] = Seite 8 von
Mathematik LK M,. KA LA I / Analytische Geometrie Lösung 6..7. Untersuche, ob die Geraden g und g parallel oder windschief oder identisch sind oder sich schneiden. Berechne ggf. den Schnittpunkt. g : x= +t, g : x= 5 +t Nicht parallel, weil die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sind. Gleichsetzen: +s = 5 +t s t = 5 s s s t t = 8 I. s t= II. s =8 s= 8 III. s t= Setze s= 8 in I. und II. ein: I. II. 6 t= t= t= t= t= t= Es gibt keine Lösung für das LGS, also sind die Geraden windschief..5 Berechne den Winkel zwischen den Geraden g und g. Der Winkel zwischen zwei Geraden ist gleich dem Winkel zwischen den Richtungsvektoren. cosϕ= = + + + + + + = 8+8 9 = 6,66 ϕ=,8=8,7 58 Seite 9 von
Mathematik LK M,. KA LA I / Analytische Geometrie Lösung 6..7.6 Untersuche, ob die Geraden g und die Ebene E sich schneiden. Berechne ggf. die Schnittgerade. Gerade und Ebene gleichsetzen: +t +s r 6 s +t = = +r 6 r r r + s s + t t t = I. r+ s+t= I+III II. r +t= III. r s+ t= Ia. 8 r+ +8 t= II. r +t= II.+Ia. IIa. t=7 t=,5 Setze t in II ein: II. r+,5= r=,5 r= 8 Setze t=,5 und r=,5 in I. ein: I. 6 8 + s+ = s= 6 8 = Setze t= in g ein: x S= + = +,5,5 = Also S, Seite von