Ferienkurs Analysis 3 - Übungen Funktionentheorie - Musterlösung Ralitsa Bozhanova, Ma v. Vopelius.8.9 Differenzierbarkeit (a Sei A (a ij i,j, R. Zeigen Sie, dass die von A durch die Matrimultiplikation auf R C induzierte R-lineare Abbildung T : C C genau dann C-linear ist, falls a a und a a C ist VR über C und über R. Das heißt es gibt R und C lineare Abbildung T mit T (λz λt (z für λ R bzw C. T : C C ist genau dann R-linear, falls T (z T ( + T (iy mit z + iy. T : C C ist genau dann C-linear, falls T (i it ( ( ( a + a y z + iy z A T (z y a + a y T (i it ( a + ia i(a + ia a a und a a (b Sei U C nichtleer und offen. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: ( f ist komple differenzierbar in z U ( f ist reell differenzierbar in z U und das Differenzial Df(z ist C-linear (3 f ist reell differenzierbar und es gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen: v (z u y (z, v y (z u (z ( ( f : C C ist reell differenzierbar, wenn f als Abbildung R R total differenzierbar.
DIFFERENZIERBARKEIT ( f komple differenzierbar per Definition: f(z + h f(z f (z h lim h h d.h. f ist reell differenzierbar und f (z Df(z ein C-lineares Differenzial. f ist reell differenzierbar, d.h. total in (, y falls f als Abbildung von R R aufgefasst wird. Die lineare Abbildung R Differenzial Df hervorgeht ist per Vorraussetzung C-linear. ( (3 Df(z ( R, die durch Matrimultiplikation mit dem u (z u y (z v (z v y (z nach ( ist die induzierte R-lineare Abbildung genau dann C-linear, falls v (z u y (z und v y (z u (z. (c Sei f : C C definiert durch f(z : 3 y + i y 3 wobei z + iy. In welchen Punkten von C ist f komple differenzierbar? Ist f dort auch holomorph? u, v sind stetig differenzierbar, also f reell differenzierbar. Nun noch Überprüfung der CR-Differenzialgleichungen: v (z y 3 y 3! u y (z y 3 y 3 y u (z 3 y 3 y! v y (z y y 3 3 y y 3 3 y oder y( + y, d.h. y Somit ist f genau in den Punkten der Koordinatenachsen komple differenzierbar. f ist also nirgends in C holomorph. Differenzierbarkeit ( (a Zeigen Sie, dass f(z e cos y + ie sin y auf C und g(z log ( +y + i arctan ( y auf C \ {z C Re z } holomorph ist. (b Bestimmen Sie die auf C holomorphe Funktion f mit Realteil u(z e sin y und f(. (c Zeigen Sie, dass die Funktion zu C \ {} R mit u(z log z in C \ {} harmonisch ist, aber nicht Realteil einer komple differenzierbaren Funktion sein kann. (a Sowohl f als auch g sind reell differenzierbar. Wir müssen also zeigen, dass Cauchy-Riemann
DIFFERENZIERBARKEIT ( 3 DGL erfüllt sind. v (z e sin y e sin y! u y (z y e cos y e sin y v y (z y e sin y e cos y! u (z e cos y e cos y Für g: v (z ( y arctan v y (z ( y y arctan + ( y + ( y y! u y (z y log ( + y! u (z log ( + y + y + y y (b Da f holomorph sein soll müssen CR-DGL erfüllt sein: in (II C (y v (z u y (z y e sin y e cos y v y (z u (z e sin y e sin y v(z e cos y + C(y (I (II Aus f( i(c folgt C. f(z e sin y + i( e cos y i( e z (c Harmonische Funktion: u(z ( u(z + y log z + y + y y + y Falls u Realteil einer komple differenzierbaren Funktion ist, müssen CR-Dgl gelten: aber v (z v y (z! u y (z y + y,! u (z + y v(z arctan v y (z ( y + C(y bzw + y + C (y C const. v unstetig auf der y-achse, daher kann v kein Imaginärteil einer komple differenzierbaren
3 KOMPLEXE WEGINTEGRALE 4 Funktion auf C \ {} sein. 3 Komplee Wegintegrale (a Seien a, s > und der Rechteckrand [ r is, r is] + [r is, r + is] + [r + is, r + is] + [ r + is, r is]. Berechnen Sie (b Sei G {z C z <, Re z + Im z > }. Konstruieren Sie einen Weg entlang G und berechnen Sie z Im z und (c Sei p(z ein komplewertiges Polynom, z C, r >. Zeigen Sie, dass B r(z (a Der Weg wird wie folgt parametrisiert: z p(z πir p (z Damit lässt sich das Integral schreiben als: z (t t is, t [ r, r] (t r + it, t [ s, s] 3 (t t + is, t [ r, r] 4 (t r it, t [ s, s] z + z + 3 z + 4 z r dt s r t is + i dt r s r + it dt s r t + is i dt s r it r dt s r t is + i dt r s r + it dt t + is s r t + s + i s [ log(t + s + i arctan t ] r + i s r ( 4i arctan r s + arctan s πi r dt r it r + t [ i log(r + t + arctan t r Die letzte Beziehung lässt sich sehr einfach anhand eines rechtwinkligen Dreiecks überprüfen. Die beiden dem rechten Winkel gegenüberliegenden Winkel (arctan summieren sich zu π. ] s s
4 CAUCHYSCHER INTEGRALSATZ 5 (b Parametrisierung des Weges: i + t( i, t [, ] [ e it, t, π ] π Im z Im z + Im z ( i dt( t + i dte it sin t [ ] ( i t t + i [ it e it ] π 4 ( π π z z + z ( i dt(t + i(t + i dte it e it ( i ( π ( i + iπ i (c B r (z wird parametrisiert durch (t z +re it mit t [, π]; p(z N n a nz n, a n C. Für den Term n-ter Ordnung: a n z n a n it k π ( n n π a n ir z n k r k k dte it ( z + re it n dte i(k t } {{ } πδ(k a n ir nz n r π πir d (a nz n zz 4 Cauchyscher Integralsatz Sei n Z, z C.D B r (z : {z C z z < r}, r >, z C Zeigen Sie, dass I n (z δ n,. I n (z : dξ (ξ z n πi B Rand von B durch Kurve (t z + re it, t [, π]. I n (z dξ(ξ z n πi B πi π 5 Integralformeln für Polynome Es sei p(z : N n a nz n mit Koeffizienten a n C gegeben. dt ( re it n ire it πi π dte i(n+t (a Sei ɛ > und k inz. Berechnen Sie p(z πi z ɛ z k+
6 LOGARITHMUSFUNKTION 6 (b Sei ɛ > und z C. Berechnen Sie p(z πi z z ɛ z z (c Sei k N. Berechnen Sie e z πi z z k+ (a Für k < ist Integrand holomoph und das Integral verschwindet ɛ p(z πi z z k+ πi N N a n z n k z ɛ n n { N a k für k N a n δ n k, sonst n a n z n k πi z ɛ (b p(z p(z + (p(z p(z, wobei q ein Polynom vom Grade N. }{{} (z z q(z πi z z ɛ p(z (z z πi z z ɛ ( p(z + q(z p(z z z (c e z πi z z k+ ( n z n k πi z n! n ( n z n k ( n δ n k, ( k n! πi n z n! k! n 6 Logarithmusfunktion Sei U C offen und zusammenhängend. Eine holomorphe Funktion f : U C heißt eine Logarithmusfunktion, falls e f(z z z U. Sei φ R und z e iφ und sei ( n+ L φ (z : (z z n + iφ n nz n (a Wie groß ist der Konvergenzradius von L φ? (b Zeigen Sie, dass L φ eine Logarithmusfunktion ist.
6 LOGARITHMUSFUNKTION 7 (a Konvergenzradius: Formel von Cauchy-Hadarmard: r lim sup n a n a n ( n+ nz n z R lim sup n n (b d e L φ(z el φ(z L φ (z el φ(z z z z da auf der Konvergenzkreisscheibe B (z : {z C z z < } L φ(z ( n+ (z z n n ( zz z n z n n }{{} geom. Summenformel e L φ(z cz mit c C. Für z z folgt e L φ(z z c z