Repetitorium Technische Mechnik I Version 3., 9.. Dr.-Ing. L. Pnning Institut für Dynmik und Schwingungen ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Dieses Repetitorium soll helfen, klssische ufgbentypen us der Technischen Mechnik zu beherrschen, häufig uftretende Fehler zu vermeiden und nhnd durchgerechneter eispiele verschiedene Lösungswege beurteilen zu können. Dieses Repetitorium soll nicht ls Probeklusur interpretiert werden, den nspruch uf eine vollständige bdeckung des Lehrstoffes erheben und ls Hinweis uf den Klusurinhlt verstnden werden! Ziel ist es, eine Smmlung chrkteristischer Frgestellungen mit entsprechenden Lösungswegen bereitzustellen. Einige usgewählte ufgben werden dnn beispielhft während des Repetitoriums durchgerechnet und diskutiert. Dnk n die wissenschftlichen MitrbeiterInnen des IKM und IDS für die ttkräftige Unterstützung! ei nregungen oder Korrekturen bitte kurze E-Mil n lehre@ids.uni-hnnover.de. Dr.-Ing. Lrs Pnning
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite /3 ufgbe Ein lken (Länge l, ewicht ) lehnt gegen eine gltte vertikle Wnd. Ds untere Ende steht uf einem gltten oden und wird durch ein Seil, ds über eine reibungsfreie Rolle gelegt ist und die Lst trägt, gehlten. reibungsfrei g Wie groß muss die Lst bei gegebenem Winkel α gewählt werden, dmit ds System im sttischen leichgewicht ist? ) Wie groß muss die Lst bei gegebenem Winkel α gewählt werden, dmit ds System im sttischen leichgewicht ist? b) Ist die leichgewichtslge stbil? egeben: l, < α < 9,, g. Lösung ) O N N leichgewichtsbedingung: M (O) = = l sin α l cos α = tn α Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite /3 b) Potenzielle Energie: U(α) = l sin α [l l ( cos α)] Für leichgewicht: du dα = = l cos α l sin α = d U l = dα sin α l cos α tn α (siehe oben) l = sin α tn α l cos α ( ) l = sin α cos α sin α l = < für < α < 9 sin α U(α) weist dmit in der leichgewichtslge (L) ein Mimum uf L ist instbil! Tipps und Tricks Wie bei vielen ufgben gilt uch hier: Die geschickte Whl des ezugspunktes für die Momentensumme knn viel rbeit erspren! Wenn die Rolle reibungsfrei gelgert ist und uch zwischen Rolle und Seil keine Reibung uftritt, ist die Seilkrft uf beiden Seiten der Rolle gleich groß! Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 3/3 ufgbe Ein ewicht hängt mittig n einem lken (Länge, ewicht ). n seinem freien Ende wird der lken unter einem Winkel α von einem Seil gehlten. estimmen Sie lle uflgerrektionen und die Seilkrft! egeben:, α = 6,, =, =, g. g Seil lken Lösung Freikörperbild (FK) F S lken H 3 V FH = = F S cos } {{ α} H H = F S = FV = = F S sin }{{} α 3 V V = 3 3FS 3 = M () = = 3 F S sin }{{} α = 3 3F S F S = 3 3 3 = F S = 3 H = F S H = 3 V = 3 3 3 V = 3 Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 4/3 Tipps und Tricks Kräftesummen könnten uch durch Momentensummen um weitere ezugspunkte ersetzt werden! Richtung der Rektionskräfte im FK ist zunächst beliebig - die Vorzeichen in den Kräftesummen müssen ber konsistent zu der im FK gewählten Richtung sein! Wenn die Richtung einer unbeknnten Krft beknnt ist, wird diese schon im FK richtig ngetrgen: Ein Seil knn im egenstz zu einem Stb usschließlich Zugkräfte übertrgen! Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 5/3 ufgbe 3 Ein Schild (ewicht ) hängt wie skizziert n einem Stbwerk. ) eben Sie die Koordinten des Schwerpunktes S in dem gegebenen Koordintensystem n! b) estimmen Sie die Stbkräfte in den Stäben 5, 6 und 7! egeben:,, g. /4 / /4 /3 y g S /4 5 3/ 4 6 8 3 7 /4 Lösung / ) /4 / /4 /3 III IV V y /4 3/ II I /4 / Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 6/3 i i i i i y i i y i I 4 8 3 3 4 3 8 3 II 3 3 3 3 4 9 8 3 III 4 3 9 3 9 54 3 IV 3 3 3 3 9 3 V 3 8 3 9 54 3 5 7 8 3 73 54 3 S = 7 8 3 5 = 7, y S = 73 54 3 5 = 73 35 b) y S I 5 S 5 6 7 S 6 II S 7 Fvertikl = = S6 S 6 = (Druckstb) M (I) = = S 7 ( S ) S 7 = 37 (Druckstb) M (II) = = S 5 ( S ) S 5 = 57 (Zugstb) Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 7/3 Tipps und Tricks Wenn kein Koordintensystem gegeben: Lge geschickt wählen! Symmetrien nutzen! Tbellrische uswertung empfehlenswert! Ritterschnitt bei miml drei gefrgten Stäben häufig schneller ls Knotenpunktmethode! Stbkräfte immer ls Zugkräfte nnehmen! Knoten für Momentensummen geschickt wählen, sodss möglichst viele Kräfte herusfllen! Knoten für Momentensummen müssen nicht uf dem freigeschnittenen uteil liegen! Lgerrektionen müssen hier nicht zwngsläufig ermittelt werden! Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 8/3 ufgbe 4 Ds ewicht soll über eine Stnge von einem Hebelmechnismus im leichgewicht gehlten werden. Zwischen den Klemmbcken und der Stnge herrscht Reibung (Hftreibkoeffizient µ ). Wie groß muss der Hftreibkoeffizient µ mindestens sein, dmit ds ewicht gehlten wird? b c egeben:, b, c,, g. g Lösung H H FH = = N N N = N = N FV = = H H H H = N N Hftkräfte: H µ N ; H µ N H H = µ N µ N = µ N µ N H C b M () = = H c ( b) H = b c H V c V Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 9/3 H C V C b N FH = = H N H = N N = b c µ N = µ c ( b) b c V H Tipps und Tricks ufgrund der Schiebehülse in Kombintion mit dem elenk knn in C nur die Vertiklkrft C V übertrgen werden! Die gewählte Kopplung zwischen beiden uteilen ist notwendig, dmit ds System sttisch bestimmt ist! ezugspunkte für Momentensummen geschickt wählen, dmit möglichst viele Unbeknnte herusfllen! Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite /3 ufgbe 5 Zwei zusmmengeschweißte Pltten (ewicht der udrtischen Pltte, ewicht der dreieckförmigen Pltte ) werden wie skizziert durch drei Lger und einen gewichtslosen Stb gehlten. ) Ist die notwendige edingung für sttische estimmtheit erfüllt? b) estimmen Sie lle uflgerrektionen! 3 y z g egeben:,, = 4, = 3, g. C D E Stb Lösung ) 3 Lgerrektionen in, jeweils eine in und C, eine Stbkrft (Pendelstütze!) 6 Unbeknnte, 6 leichgewichtsbedingungen (räumlich) für Pltten notwendige edingung erfüllt. b) M () = = 3 D D = 3 = 3 3 4 D = 9 (Zugstb) M () y = = C C = M () z = = D 3 3C = 3 D = 3 Fz = = z z = = 4 3 z = 7 Fy = = y D y = D y = 9 F = = C = = 3 Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite /3 vektoriell: M () = = M j r i F i j i (), d keine Rektions- oder eingeprägte Einzelmomente M = = M i r S r S r F r C F C r D F D = 3 3 3 3 = 3 D 3 D C 3 3C D C F = = F F F C F D = F = = F F F C F D y z C D = C y D z Tipps und Tricks Es gibt grundsätzlich verschiedene Möglichkeiten, um die Momentensummen ufzustellen (verschiedene ezugspunkte). Wie im ebenen Fll könnten uch hier die Kräftesummen durch weitere Momentensummen ersetzt werden! ezugspunkte und chsen für Momentensummen geschickt wählen, dmit möglichst viele Unbeknnte herusfllen! Kräfte, die bei einer Momentensumme durch den ezugspunkt bzw. durch die betrchtete chse oder prllel zu ihr verlufen, trgen zu dieser Momentensumme nicht bei! Wenn einzelne Komponenten der Momente nicht einfch zu sehen sind, dnn den formlen Weg über die Kreuzprodukte gehen! Hierbei Ortsvektoren und Kräfte konsistent in Richtung der Koordintenchsen ntrgen! Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite /3 ufgbe 6 Ein ewicht hängt n zwei Seilen. Seil wird über einen stehenden Zylinder geführt und mit dem ewicht belstet. Zwischen Seil und Zylinder herrscht Hftreibung (Hftreibkoeffizient µ ). Zwischen den Seilen soll sich ein rechter Winkel einstellen, zwischen Seil und der Vertiklen der Winkel α. Seil Seil g ) estimmen Sie die Seilkräfte! b) In welchen renzen muss ds ewicht gewählt werden, dmit leichgewicht herrscht? egeben: α = 3,, µ = /, g. Lösung ) S S S FH = = S sin α S cos α S = S tn α = 3S 3 FV = = S cos α S sin α S = 3S S = 3 3 3 3 4 3 S = S = 3 S = 3 3 S = 3 3 Die Seilkrft im linken Teil von Seil beträgt gerde. 3 3S 3 Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 3/3 b) Eytelwein sche leichung: e µ β S e µ β mit Umschlingungswinkel β = 9 α = = π (in Rdint!) 3 S e 3 π S e 3 π e 3 π e 3 π, 75, 44 Tipps und Tricks Der Umschlingungswinkel wird immer in Rdint und nicht in rd ngegeben! Meistens lässt sich nicht priori sgen, in welche Richtung Rutschen eintritt, wenn die Eytelwein sche leichung nicht mehr erfüllt ist. Dher zunächst beide renzen betrchten. Wird ds Durchrutschen in eine bestimmte Richtung betrchtet, knn die edingung F /F e µ β geprüft werden, wobei F die größere der beiden Seilkräfte ist, in deren Richtung ds Seil m Zylinder rutschen würde. Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 4/3 ufgbe 7 Drei homogene Wlzen (jeweils Rdius R, ewicht ), liegen uf einer schiefen Ebene (Winkel α). Sie werden durch ein oberhlb des ufstndspunktes der unteren Wlze befestigtes Seil wie skizziert unter dem Winkel β gehlten. Zwischen der schiefen Ebene und den Wlzen herrscht Reibung (Hftreibkoeffizient µ ), zwischen den Wlzen untereinnder tritt keine Reibung uf. ) estimmen Sie die Seilkrft im sttischen leichgewicht! g Seil gltt R gltt R R ru, b) Wie groß muss der Hftreibwert µ = µ sein, dmit die untere Wlze im ufstndspunkt nicht rutscht? egeben: R, α = 3, β = 6,. Lösung S - N 5 H 3 N 3 y Q N 4 H N H N ) Momentensummen um die Mittelpunkte der mittleren und oberen Wlze: H = H 3 = Kräftesummen n der mittleren und oberen Wlze in -Richtung: N 5 = sin α und N 4 = N 5 sin α N 4 = sin α Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 5/3 Momentensumme um den ufstndspunkt Q der unteren Wlze: M (Q) = = R sin α RN 4 RS cos(β α) S = R sin α RN 4 R cos(β α) S = R sin α R sin α R cos(β α) = 3 sin α cos(β α) S = 3 3 S = 3 b) Kräftesumme n der unteren Wlze in -Richtung: F = = H S cos(β α) N 4 sin α H = S cos(β α) N 4 sin α = 3 cos(β α) sin α sin α H = 3 3 3 H = 3 4 Kräftesumme n der unteren Wlze in y-richtung: Fy = = N S sin(β α) cos α N = S sin(β α) cos α = N = 4 3 Hftbedingung: H µ N : 3 4 µ 3 µ 3 4 3 3 µ 3, 73 (ws durchus recht hoch ist!) Tipps und Tricks ei der Überprüfung der Hftbedingung empfiehlt es sich, zunächst die Norml- und die Hftreibkrft us den W-edingungen zu ermitteln und dnn die Ungleichung zu überprüfen! Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 6/3 ufgbe 8 Eine dreieckförmige Lst wird biegesteif mit einer gewichtslosen Stnge verbunden und im Lger drehbr gelgert. Durch eine zusätzliche Krft F soll sttisches leichgewicht hergestellt werden. ) estimmen Sie den Krftngriffspunkt und die Richtung der Krft F, sodss diese miniml wird! b) Wir groß muss in diesem Fll die Krft F sein und welche Lgerrektionen in treten dnn uf? egeben:,, g. 4 F g Lösung F min F r r m =5 4 F 4 r H H V V M () = = 3 rf r = 3 rf cos α F = F min wenn r m und cos α m 3 r cos α α = cos α = r und F min müssen gerde senkrecht ufeinnder stehen. r miml n der oberen Spitze der Lst, d hier bstnd vom Lger m größten. r m = 5 F min = 3 5 F min = 3 5 Die Richtung ergibt sich us tn β = 3 4 = 3 4 β = 36, 9 H = cos βf min = 4 5 3 5 H = 5 V = sin βf min = 3 5 3 5 V = 6 5 Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 7/3 ufgbe 9 Ds ewicht wird von einem über eine Rolle gelegten Seil gehlten. Die Rolle liegt wie skizziert uf einem lken, der n seinem Ende von einen Stb gestützt wird. Ds System ist reibungsfrei und lle uteile mit usnhme des ewichtes sind ls gewichtslos zu betrchten. ) estimmen Sie die Seilkrft und die Normlkrft zwischen Rolle und lken! b) Wie groß sind die uflgerrektionen in und? h Stb Seil lken C g egeben:, h, α = 45,, g. Lösung ( h) H S S M N V N h C H ) Rolle: M (M) = S = ; N = Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 8/3 b) Stb/lken: Der Stb ist eine Pendelstütze (Körper mit zwei Krftngriffspunkten). Die Wirkungslinien der Resultierenden in und C müssen uf einer Linie liegen und dher genu in Stbchse verlufen. us diesem rund muss V = gelten und der Stb nimmt nur Kräfte entlng seiner Stbchse uf. = ( h ) M () = = N ( h) H H = N h ( H = h ) FH = = H H S N H = N H S H = H = ( h ) FV = = V N V = N = V = ( h ) Tipps und Tricks Die Lgerrektionen hätten mit der Kenntnis, dss V = ist, uch (sogr etws einfcher!) m esmtsystem us Stb, lken und Rolle ohne weiteres Freischneiden ermittelt werden können! Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 9/3 ufgbe Ein ewicht hängt n n einem Seil, ds über einen stehenden Zylinder gelegt ist (Hftreibkoeffizient µ ). Ds Seil endet n einem strren lken, uf dem ein weiteres ewicht liegt. Seil g In welchem bstnd s vom Lger drf ds ewicht ufgelegt werden, dmit sttisches leichgewicht herrscht? egeben:,, = 4, =, µ =, 3, g. lken s Lösung S möglicher ereich für s S s M () = = S s S = s Eytelwein sche leichung mit Umschlingungswinkel β = π: e µ π S e µ π e µ π s e µ π 4e µ π s 4eµ π 4e µ π s 4e µ π Mit µ =, 3:, 56 s, 6 Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite /3 ufgbe Ds skizzierte Stbwerk besteht us gewichtslosen Stäben und einer strren, gewichtslosen Scheibe. Ds Stbwerk trägt die ewichte und. ) eben Sie die offensichtlichen Nullstäbe n! b) estimmen Sie die uflgerrektionen! c) Wie groß sind die Stbkräfte S 6, S 7 und S 8? egeben:,,, g. II I 3 4 IV 5 III 8 7 6 VI V Scheibe g VII Lösung ) Defekt D = n Stäbe n uflger n Knoten = 7 3 5 = (notwendige edingung erfüllt) b) S = S 5 = jeweils uswertung der horizontlen bzw. vertiklen Kräftesummen F H = bzw. F V = n den Knoten (lle Stbkräfte ls Zugkräfte positiv ngenommen): Knoten E: S 6 =, S 7 = Knoten D: S 4 = S 7 S 4 = Knoten C: S 3 =, S = Knoten : H = S H = Knoten : H = S3 S 4 H =, V = S3 V = Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite /3 ufgbe eben Sie die Schnittgrößenverläufe N(), Q() und M() für die skizzierten Systeme n! egeben: l, α = 45, F,. ) b) F E / F / c) d) E e) f) E g) h) E Lösung y z M( ) Q( ) N () lle Lgerkräfte nch rechts und oben positiv gezählt, Einspnnmoment in E nch rechts drehend positiv gezählt. Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite /3 ) E H = F EV = F ME = F l l: N() = [ F Q() = F M() = F l ( ) ] l F F _ F N () Q () M () b) V = F H = F V = F l 4 4 < l/: N() = [ ( ) F Q() = F M() = F l 4 4 ] l l/ l: N() = Q() = [ ( ) F M() = F l 4 4 4 ] l F F _ F N () Q () M () c) E H = E V = l M E = l [ ( )] l: N() = Q() = l l [ M() = l ( ) ( ) ] l l _ N () Q () M () Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 3/3 d) V = l H = V = l l: N() = Q() = l [ ( )] [ ( ) M() = l ( ) ] l l l N () Q () _ M () e) E H = E V = l M E = 6 l l: N() = [ ( ) Q() = l ( ) ] l l [ M() = l 6 ( ) ( ) ( ) ] 3 l l 6 l N () Q () M () 3 _ f) V = 3 l H = V = 6 l l: N() = [ ( ) Q() = l 3 ( ) ] l l [ ( ) M() = l ( 3 l l ) ( ) ] 3 6 l _ N () Q () M () 3 Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 4/3 g) E H = E V = l M E = 3 l l: N() = [ Q() = l ( ) ] l [ M() = l 3 ( ) ( ) ] 3 l 6 l _ 3 N () Q () M () h) V = 6 l H = V = 3 l l: N() = Q() = l [ 6 ( ) ] l [ ( ) M() = l ( ) ] 3 6 l 6 l N () Tipps und Tricks _ Q () iegemoment und Querkrft verschwinden m freien Ende! M () iegemoment verschwindet in Endpunkten von lken n elenken bzw. Lgern - Vorsicht: wird ein durchgängiger Träger durch ein Lger nur gestützt und nicht geteilt oder sind zwei lken durch eine biegesteife Ecke verbunden, muss dies nicht so sein! Integrtion von Streckenlst z () über Querkrft Q z () = z ()d C und iegemoment M y () = Q z ()d C rd des Polynoms nimmt jeweils um zu. npssen der Integrtionskonstnten C und C nicht vergessen. rfische Integrtion geht häufig sehr schnell! Wenn gefordert, rt der Funktion sowie Eckwerte ngeben! 3 Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 5/3 ufgbe 3 Der skizzierte Träger besteht us drei lken der Längen 3, bzw.. Er wird durch die Streckenlst belstet. ) eben Sie die Lger- und elenkrektionen n! b) erechnen und skizzieren Sie die Schnittgrößenverläufe der Querkrft Q() und des iegemomentes M() in bhängigkeit der Koordinte unter ngbe der Funktion und der Eckwerte! egeben:,. 3 3 C Lösung ) lken F H Resultierende F = 3 FH = = H H = M () = = V F V = 3 M ( ) = = V F V = 3 V 3 V Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 6/3 lken F Resultierende F = FH = = H H H = H H M ( ) = = V 3 F V V V V V = 9 FV = = V F V V V = lken 3 M C H C FH = = C H H C H = FV = = C V V C V = 3 C H M (C) = M C V M C = V C V b) lterntive : Rechnerische Lösung durch Freischneiden ntrgen der Schnittgrößen in jedem ereich m positiven oder negtiven Schnittufer, wenn Rektionskräfte und Lsten beknnt sind. positives Schnittufer negtives Schnittufer Q( ) y M( ) N () y N () M( ) z Q( ) z Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 7/3 lterntive : rfische Lösung In vielen Fällen lässt sich durch die grfische Lösung, z.t. sogr unter Umgehung der erechnung vieler uflger- und elenkrektionen, der Verluf von Querkrft und iegemoment erzeugen. Die entsprechenden leichungen und uch die uflger- und elenkrektionen lssen sich dnn ebenflls us dem Verluf ermitteln. Dieser Weg wird im Folgenden ufgezeigt. Wichtig: Streckenlst ist negtive bleitung der Querkrft, () = dq()/d, Querkrft ist bleitung des iegemomentes, Q() = dm()/d. ereich Konstnte Streckenlst () linerer Verluf von Q() mit Steigung () = (fllend). Ds iegemoment folgt entsprechend einer Prbel mit Nulldurchgängen im Lger und elenk. enu zwischen diesen Punkten bei = 3/ muss M() einen Etremwert ufweisen, d.h. Q( = 3/) = dm/d( = 3/) =. Dmit muss Q() bei = mit einem positiven Wert strten, bei = 3/ Null werden und bei = 3 bei einem negtiven Wert enden. Ds iegemoment weist somit für < 3/ eine positive Steigung, nschließend eine negtive Steigung uf. Qulittiv können Q() und M() gezeichnet werden. Der Strtwert Q( = ) muss mit den gewählten Vorzeichenkonventionen der positiven Lgerkrft V = 3/ entsprechen. Mit den Rndwerten Q( = ) = 3/ und M( = ) = können die Verläufe Q() und M() uch untittiv bestimmt werden: Q() = 3 M() = 3 Der Mimlwert des iegemomentes bei = 3/ knn entweder us M() oder grfisch ls Flächeninhlt unter der Kurve von Q() zwischen = und = 3/ ermittelt werden. Es ergibt sich M m = 9/8. ereich Im ereich < 4 können die Verläufe von ereich fortgesetzt werden, d sich die elenkkräfte in nch ctio=rectio gerde kompensieren, keine Einzelkäfte oder -momente eingeleitet werden und uch die Streckenlst den gleichen Verluf wie im ereich ufweist. Ds iegemoment folgt dem prbelförmigen Verluf ins Negtive. Der Eckwert bei = 4 knn wieder us dem Flächeninhlt unter Q() zwischen = 3 und = 4 zu M( = 4) = ermittelt werden. Die Querkrft Q( = 4) ergibt sich us dem lineren Verluf zu Q( = 4) = 5/. Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 8/3 Im Lger efolgt durch die Einleitung einer Einzelkrft ein Sprung im Querkrftverluf, d.h. dss sich uch die Steigung des iegemomentes sprunghft ändert, M() weist dher in einen Knick uf. Im ereich 4 < < 6 wird keine Streckenlst eingeleitet, die Querkrft muss dher konstnt sein und ds iegemoment einen lineren Verluf ufweisen. Im elenk muss ds iegemoment verschwinden. Dmit steht der Verluf und die Steigung von M() usgehend vom Punkt fest. Mit der Steigung von M() knn uch der Verluf der Querkrft Q() festgelegt werden. Es ergeben sich nch Einführung der neuen Vriblen : Q( ) = M( ) = Der Sprung bei muss somit gerde V = 9/ betrgen. Im Punkt C können mit den gewählten Vorzeichen uch die Rektionen in der Einspnnung us Q( = 6) und M( = 6) bestimmt werden. Es ergibt sich C V = und M C =. Mit = 4: < 4 : Q() = 3, M() = 3 4 6 : Q() =, M() = ( 4) Fzit: Mit usnhme des Strtwertes der Querkrft bei Q( = ) konnten sämtliche weiteren Rektionskräfte und der Verluf der Querkrft und des iegemomentes ohne weitere Rechnung oder Freischneiden der einzelnen ereiche us grfischen Überlegungen ermittelt werden! Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 9/3 V 3/ Q () V -5/ V _ 3 3 C C V - _ M () C 3 9/8 3 M C Tipps und Tricks Zur erechnung der Rektionskräfte drf die Streckenlst durch ihre Resultierende ersetzt werden. ei der erechnung der Schnittgrößenverläufe llerdings nicht! Im Punkt ist ds iegemoment nicht Null. Hier befindet sich ein Lger, in dem lken zwr gelenkig gelgert, ber nicht unterteilt, sondern nur gestützt wird! Für rechnerische estimmung der Schnittgrößen knn die Einführung neuer Vribler hilfreich sein! Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 3/3 ufgbe 4 Der skizzierte Träger us zwei im elenk verbundenen lken und wird wie skizziert durch ein Einzelmoment M, eine Einzellst F und eine Streckenlst belstet. Skizzieren Sie die Verläufe der Schnittgrößen N, Q und M für beide lken in bhängigkeit der eingezeichneten Koordinten und, und geben Sie die Eckwerte n! egeben:, F, M = 3F, = F/. F y z z M C y Lösung Vorb sinnvoll zu berechnen: Lgerkrft = F (nch oben) us Momentensumme um für lken. Normlkrft y -F z N ( ) M C F -F y z N ( ) Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..
ottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik I Frühjhr Seite 3/3 Querkrft F -F y z _ Q ( ) C F M F y z Q ( ) iegemoment -F -F F -F y _ z C M M ( ) F 3/F y z M ( ) Tipps und Tricks In der unbelsteten biegesteifen Ecke wird ds iegemoment weitergedreht. ei einem rechten Winkel wird die Querkrft betrgsmäßig zur Normlkrft und umgekehrt - Vorzeichenkonventionen bechten! Sprünge in den Schnittgrößenverläufen treten nur bei Einzelkräfte oder -momenten bzw. bei entsprechenden Lgerungen uf! Frühjhr Repetitorium Technische Mechnik I 7..