1 Funktionen einer Variablen 1.1 Einführende Beispiele Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertige Waschmaschinen. Es hat monatliche Fikosten von 170.000. Die sind unabhängig von der produzierten Menge. Pro produziertem Stück fallen variable Kosten (vor allem Material und Löhne) von 500 an. Die monatlichen Gesamtkosten des Unternehmens (in ) betragen dann K() = 170.000 + 500, wobei die Anzahl der im Monat produzierten Waschmaschinen ist. Bei 100 Waschmaschinen fallen also Gesamtkosten an in Höhe von K(100) = 230.000, 1
bei 1000 Stück K(1000) = 670.000. K heißt die Kostenfunktion. Wenn man nicht an den Gesamtkosten K interessiert ist, sondern an den Kosten pro produziertem Stück, so erhält man die Stückkostenfunktion S(). Sie ergibt sich aus der Kostenfunktion K() einfach durch In obigem Beispiel ist S() = K(). 170.000 + 500 S() = = 500 + 170.000. Bei 100 produzierten Waschmaschinen ist das also bei 1000 Maschinen S(100) = 2300, S(1000) = 670. 2
Weitere ökonomische Funktionen sind Nachfrage-Funktion (Preis-Absatz-Funktion): Sei p der Preis eines Gutes, N die nachgefragte (abgesetzte) Menge. Die Nachfragefunktion ist dann N(p). Üblicherweise wird N(p) kleiner, wenn der Preis p steigt. So könnte z.b. (p ausgedrückt in ) N(p) = 100.000 500p (1.1) sein. Das heißt, bei einem Preis von 10 beträgt die Nachfrage 95.000 Stück, bei einem Preis von 13 nur 93.500 Stück. Oft wird auch umgekehrt die Funktion p(n) betrachtet. Angebotsfunktion: Sei p der Preis eines Gutes, A die vom Produzenten zu dem Preis auf den Markt gebrachte Menge. Die Angebotsfunktion ist dann A(p). 3
Erlösfunktion: Für N abgesetzte Güter zum Stückpreis p(n) ist der Erlös in Abhängigkeit von der Menge N E(N) = N p(n). Hierbei ist berücksichtigt, dass der Preis p von der Nachfrage N abhängt, typischerweise mit hoher Nachfrage steigt. In Abhängigkeit vom Preis p ist die Erlösfunktion E(p) = N(p) p. Wenn wir die Nachfragefunktion (1.1) benutzen, erhalten wir E(p) = 100.000p 500p 2. Eine typische Frage ist: Für welchen Preis p wird der Erlös E(p) maimal. Solche und ähnliche Fragen werden wir mit etwas mathematischer Theorie beantworten können. 4
1.2 Grundlegende Begriffe und Bezeichnungen Eine Abbildung f : R R mit D(f) R heißt reellwertige Funktion einer reellen Variablen (Veränderlichen). D(f) ist der bereits früher definierte Definitionsbereich von f. Also D(f) = { R : Es gibt y R mit y = f()}, d.h. D(f) besteht aus all den, die man in f einsetzen kann. Die Menge heißt der Wertebereich von f. W (f) := {f() : D(f)} 5
Wir nennen f() die Zuordnungsvorschrift und den Graph von f. G f = {(, y) D(f) R : y = f()} Viele Zuordnungsvorschriften haben einen natürlichen maimalen Definitionsbereich. Oft wird dann nur die Zuordnungsvorschrift angegeben, und es ist dann die zugehörige Funktion auf dem maimalen Definitionsbereich gemeint. Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was die Funktion f ist, schreiben wir auch einfach D statt D(f). Beispiel 1.1 2 hat den maimalen Definitionsbereich R. 1 hat den maimalen Definitionsbereich R \ {0}. 6
Die schon vorher betrachtete Kostenfunktion K() = 170.000 + 500 hat als Definitionsbereich R. In dem betrachteten Beispiel sind allerdings nur nicht-negative ganze Zahlen interessant (: Anzahl der Waschmaschinen) und nur bis zu einer gewissen Höhe, die durch die Maimalauslastung des Unternehmens gegeben ist. Dieses Beispiel zeigt, dass nicht alle Werte für, die mathematisch sinnvoll sind, auch im ökonomischen Sinn sinnvoll sind. In vielen Fällen ist f eine Funktion aus S nach T, wobei S, T R Teilmengen von R sind. In dem Fall schreibt man f : S T, f(). Die Elemente f() müssen in T liegen. Der Definitionsbereich von f ist in diesem Fall D(f) = { S : Es gibt y T mit y = f()}. 7
Ein Hilfsmittel zur Veranschaulichung einer Funktion f und ihres Graphen ist eine Wertetabelle, in der ausgewählte Werte von zusammen mit ihrem Funktionswert f() eingetragen werden. Beispiel 1.2 Wir setzen unser Beispiel K() = 170.000 + 500 fort: 1 10 20 50 100 1000 K() 170.500 175.000 180.000 195.000 220.000 670.000 Beispiel 1.3 f() = 3 2 + 2 + 1: -2-1 0 1 2 5 10 f() 9 2 1 6 17 86 321. Eine genauere Methode ist das Zeichnen der Graphen in ein Koordinatensystem. 8
Der Graph zur oben angegebenen Funktion 3 2 + 2 + 1 ist 12 10 8 6 4 2 2 1 0 1 9
Wir wollen uns in den folgenden Beispielen überlegen, ob die jeweiligen Funktionen f : R R injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Achtung: Es gibt Funktionen, die weder injektiv noch surjektiv noch bijektiv sind! Injektivität bedeutet, dass der Graph jeder Gerade mit der Gleichung y = a (a R) den Graphen G f von f höchstens einmal schneidet. Beachte, dass Gleichungen y = a Geraden parallel zur -Achse beschreiben. Surjektiv heißt, dass jede solche Gerade den Graphen mindestens einmal trifft, und bijektiv schließlich bedeutet, dass jede solche Gerade den Graphen genau einmal trifft, und dass gleichzeitig D(f) = R gilt. Sie müssen Surjektivität etwas anders interpretieren, wenn f : R A mit A R gilt. Surjektivität bedeutet dann, dass jede Gerade mit der Gleichung y = a mit a A den Graphen G f mindestens einmal trifft. 10
Beispiel 1.4 f() = 2 2 + 4 30: 40 30 20 10 6 4 2 0 2 4 10 20 30 Diese Funktion ist weder injektiv noch surjektiv. 11
Beispiel 1.5 f() = 1 2 5 4 3 y 2 1 6 4 2 2 4 6 1 2 3 4 Auch diese Funktion ist nicht surjektiv, denn f() ist niemals 0. Sie ist auch nicht injektiv, weil stets f( ) = f() gilt. 12
Beispiel 1.6 S() = 500 + 170.000 für > 0. 4000 3000 y 2000 1000 0 200 400 600 800 1000 Diese Funktion ist injektiv und nimmt alle positiven Werte > 500 an. Wenn wir S also auffassen als eine Abbildung R + { R : > 500}, so ist S surjektiv (sogar bijektiv!). 13
Beispiel 1.7 f() = 7 8 7.5 7 6.5 6 3 2 1 0 1 2 3 Diese Funktion heißt konstant Allgemein heißt eine Funktion mit der Vorschrift f() = c, wobei c eine Zahl unabhängig von ist, konstant. Konstante Funktionen sind nicht injektiv und nicht surjektiv. 14
Beispiel 1.8 f() = 10 3: 10 2 1 1 2 0 10 20 Die Abbildung f ist injektiv und surjektiv. Eine Funktion der Form f() = a + b, a 0, heißt linear. Dabei sind a und b feste reelle Zahlen. Die Kostenfunktion K() = 170.000+500 ist beispielsweise eine lineare Funktion. 15
Beispiel 1.9 Ein Kopierladen erhebt die Kosten pro Fotokopie in Abhängigkeit von der Gesamtzahl der getätigten Kopien. Hierbei gelten folgende Preise: Anzahl der Kopien 1 bis 49 50-99 ab 100 Preis pro Kopie 0,05 0,04 0.03 Die Funktion k, die den Preis pro Kopie beschreibt, ist also gegeben durch 0, 05 falls 1 49, k() = 0, 04 falls 50 99, 0, 03 falls 100. Ihr Graph sieht wie folgt aus: 16
0.05 ο 0.045 0.04 ο 0.035 0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Eine solche Funktion nennt man Treppenfunktion. Treppenfunktionen sind weder injektiv noch surjektiv. Achtung: Eigentlich ist unsere Funktion k() natürlich nur für ganzzahlige definiert. Wir haben bei der hier angegebenen Skizze aber beliebig reellwertig angenommen, was für die Visualisierung durchaus angemessen ist. Bei Funktionen mit Sprüngen wie in diesem Beispiel sollte man bei 17
der Visualisierung deutlich machen, welche Punkte an den Sprungstellen zum Funktionsgraphen gehören. Wir malen einen fetten Punkt, wenn der Punkt dazugehört, sonst einen nicht ausgefüllten kleinen Kreis. Die Funktion K, die die Gesamtkosten des Kunden in Abhängigkeit von der Stückzahl angibt, ist 0, 05 falls 1 49, K() = 0, 04 falls 50 99, 0, 03 falls 100. Ihr Graph sieht wie folgt aus: 18
6 5 4 ο 3 ο 2 1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 19
Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt f 1 : W D, y wobei D mit f() = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph G f 1 = {(y, ) W D y = f()} = {(y, ) W D (, y) G f } entsteht aus G f durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden mit der Gleichung = y. 20
Beispiel 1.10 Wir betrachten wieder die Stückkostenfunktion S() = 500 + 170.000. Für welche Stückzahl ergibt sich 1500? Wir lösen hierzu nach auf und erhalten 500 + 170.000 170.000 = 1500 = 1000, = 170. Das ist die gesuchte Stückzahl, denn es ist nun S(170) = 1500. Lösen wir allgemein die Gleichung 500 + 170.000 21 = y
nach auf, so erhalten wir = 170.000 y 500 und dies ist gerade die Umkehrfunktion, also S 1 (y) = 170.000 y 500. Mit ihr lässt sich zu beliebigen Stückkosten die zugehörige Stückzahl ermitteln. 22
Beispiel 1.11 Die Funktion f : R + 0 R + 0 mit f() = 2 ist bijektiv. Ihre Umkehrabbildung ist f 1 (y) = y. 4 3 y2 1 0 1 2 3 4 Beachte: Die Funktion f() = 2 kann auch für alle R betrachtet werden, ist dann aber nicht injektiv, folglich gibt es dann auch keine Umkehrfunktion. 23
Verknüpfung von Funktionen Aus gegebenen Funktionen können durch Verknüpfung mittels der Grundrechenarten neue Funktionen gebildet werden. Seien f, g : R R Funktionen und λ R. Dann lassen sich auch die folgenden Funktionen definieren: λf : R R, mit f ± g : R R, mit f g : R R, mit f f : R R, mit g (λf)() = λf(), (f ± g)() = f() ± g(), (f g)() = f() g(), f() () = g g(). 24
Die Definitionsbereiche sind D(λf) = D(f), D(f ± g) = D(f) D(g), D(f ( g) ) = D(f) D(g), f D = { R : D(f) D(g) und g() 0}. g Wir erinnern daran, dass man auch f g (Verkettung von f und g) bilden kann. Der Definitionsbereich von f g sind diejenigen Elemente R, für die g() im Definitionsbereich von f liegt. 25
Beispiel 1.12 Seien f() = 15 3, g() = 2 2 3 + 1. Dann sind (5f)() = 75 15, (f + g)() = 2 2 + 12 2, (f g)() = (15 3)(2 2 3 + 1) = 30 3 51 2 + 24 3, ( ) f () = 15 3 g 2 2 3 + 1. Aus dem Definitionsbereich von f müssen 1 und 1/2 ausgeschlossen g werden, weil g(1) = 0 und g(1/2) = 0. 26
Intervalle Seien a, b R mit a < b. Dann unterscheiden wir die folgenden Typen von Intervallen [a, b] = { R : a b} (a, b) = { R : a < < b} [a, b) = { R : a < b} (a, b] = { R : a < b} Intervalle der Form [a, ) = { R : a} (, b] = { R : b} (a, ) = { R : > a} (, b) = { R : < b} abgeschlossenes Intervall, offenes Intervall, halboffene Intervalle. werden uneigentliche Intervalle genannt, die ersten beiden sind abgeschlossene, die letzten beiden offene Intervalle. 27
Monotonie Neben Injektivität und Surjektivität spielen weitere Eigenschaften von Funktionen eine wichtige Rolle. Besonders wichtig ist die Monotonie: Seien f : R R eine Funktion und I R ein Intervall im Definitionsbereich von f. Gilt für alle 1, 2 I mit 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ) (bzw. f( 1 ) < f( 2 )) (1.2) dann heißt f (streng) monoton wachsend in I. Gilt für alle 1, 2 I mit 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ) (bzw. f( 1 ) > f( 2 )) dann heißt f (streng) monoton fallend in I. 28
Die Funktion f heißt (streng) monoton wachsend auf dem ganzen Definitionsbereich, wenn die Bedingung (1.2) für alle 1, 2 D(f) mit 1 < 2 erfüllt ist. Entsprechendes gilt für (streng) monoton fallend. Die Stückkostenfunktion S() = 500 + 170.000 ist streng monoton fallend. Anschaulich bedeutet das: Je mehr Stücke produziert werden, so geringer sind die Stückkosten, um so effizienter ist also die Produktion. Wir halten folgenden interessanten Zusammenhang zwischen Monotonie und Injektivität fest: Ist f streng monoton wachsend (oder streng monoton fallend) dann ist f injektiv, hat also eine Umkehrfunktion. 29
Beispiel 1.13 Die Funktion f() = 2 2 + 4 30 ist auf [0, ) streng monoton wachsend, auf (, 2] streng monoton fallend. Wo genau sich das Wachstumsverhalten umkehrt, ist am Graphen nicht genau zu erkennen. Das werden wir später mit mathematischen Methoden ermitteln können. 40 30 20 10 6 4 2 0 2 4 10 20 30 30
Können Funktionen nicht beliebig groß oder klein werden, spricht man von beschränkten Funktionen: Sei f : R R eine Funktion und sei D der Definitionsbereich. Gibt es ein c R mit f() c (bzw. f() c) für alle D, dann heißt f nach unten (bzw. oben) beschränkt. Ist f nach unten und nach oben beschränkt, dann heißt f beschränkt. Anders formuliert: Der Wertebereich W (f) ist beschränkt, also W (f) [a, b] für geeignete a, b R. 31
Beispiel 1.14 Die Funktion f() = 2 4 mit dem Graphen 4 2 3 2 1 1 2 3 2 4 ist nach unten beschränkt, weil f() 4 für alle R. Die Funktion ist aber nicht nach oben beschränkt. 32
Beispiel 1.15 Die Funktion f() = 3 ist weder nach oben noch nach unten beschränkt. 8 6 4 2 2 1 1 2 2 4 6 8 33
Wir betrachten wieder die Kostenfunktion K() = 170.000 + 500 auf dem Intervall [0, 2000]. Dort ist K beschränkt, weil K() K(0) = 170.000 K() K(2000) = 1.170.000 für alle [0, 2000]. Das Intervall [0, 2000] könnte aus ökonomischer Sicht relevant sein, wenn etwa die Maimalauslastung bei 2000 produzierten Waschmaschinen liegt. 34
Folgende Eigenschaft beschreibt eine gewisse Symmetrie des Funktionsgraphen: Sei f : R R eine Funktion mit D(f) = R, die Funktion ist also auf ganz R definiert. Gilt f( ) = f() für alle R, dann heißt f gerade. Wenn f( ) = f() für alle R gilt, dann heißt f ungerade. Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur y-achse, der einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs des Koordinatensystems. 35
Beispiel 1.16 Die Funktion f() = 4 ist gerade, 16 14 12 10 y 8 6 4 2 3 2 1 0 1 2 3 36
Die Funktion f() = 5 ist ungerade: 15 y 10 5 2 2 5 10 15 37
Nullstellen Häufig interessiert man sich für die Werte der unabhängigen Variable einer Funktion, für die der Funktionswert 0 ist: Sei f : R R eine Funktion. Ist 0 D(f) eine reelle Zahl mit f( 0 ) = 0, dann heißt 0 eine Nullstelle von f. Der folgende Graph skizziert eine Funktion mit drei Nullstellen (3, 1 und 3): 60 40 20 3 2 1 1 2 3 4 20 40 38