Praktikum für Materialwissenschaftler HS 2009/FS 2010 Gruppe Polymerphysik Versuch P2: Irrflug und Zufallszahlengeneratoren Einleitung Der Irrflug ist in der Materialwissenschaft ein allgegenwärtiges Modell. Trotz, oder vielleicht gerade wegen, seiner bestechenden Einfachheit wird immer wieder auf ihn zurückgegriffen. So kann er zum Beispiel verwendet werden um die Zitterbewegung von in Wasser suspendierten Teilchen zu beschreiben, wie es R. Brown 1827 experimentell an Pollen beobachtet hat. Ebenso führen Kolloidpartikel in Suspension Bewegungen aus, die eine Irrflugskomponente aufweisen. Wenn man zudem den zurückgelegten Weg eines Kolloidpartikels aufzeichnet erhält man eine Bahn die der Konformation von Polymeren ähnlich sieht, weshalb man also Irrflüge auch zur Beschreibung von Polymeren verwendet. Was ist ein Irrflug? Die einfachste Variante besteht darin, eine Anfangsposition im Raum festzulegen und von dort, z.b. auf einem kubischen Gitter, zufällig zu einem der benachbarten Gitterpunkte zu laufen, was zu einer neuen Position führt. Wird dieser Vorgang N -mal ausgeführt und verbindet man alle besuchten Gitterpunkte in der Reihenfolge des Durchlaufens so erhält man einen Linienzug, den man Irrflug nennt. Für den Irrflug ist es essentiell, dass die Wahl des Schrittes zufällig erfolgt. Auf dem kubischen Gitter in 2 Dimensionen heisst das, dass zufällig zwischen den vier benachbarten Gitterpunkten ausgewählt werden muss. So darf auch der nächste Zufallsschritt statistisch nicht vom Vorhergehenden abhängen, was man die Markov- Eigenschaft des Irrfluges nennt. In einer Computer-Simulation werden die zufälligen Schritte im Irrflug mittels Zufallszahlengeneratoren ausgewählt. Ist zum Beispiel der Generator derart beschaffen, dass er nur einen der Werte (1, 2, 3, 4) liefert, kann er verwendet werden um für den Irrflug auf einem 2- dimensionalen kubischen Gitter die Schrittrichtung auszuwählen. Zufallszahlen kommt demnach im Zusammenhang mit Irrflügen eine essentielle Bedeutung zu. Sie werden aber auch extensiv in anderen Simulationen verwendet, so zum Beispiel in Brownschen Dynamik-Simulationen (zur Beschreibung der Kolloidsuspensionen, s.o., oder von Polymerflüssigkeiten) und in Monte Carlo- 1/6
Simulationen (siehe Vorlesung: Programmier- und Simulationstechniken in der Materialwissenschaft im 4. Semester). Bei Zufallszahlengeneratoren ist insbesondere wichtig, dass die Zahlen in der generierten Zahlenfolge tatsächlich unkorreliert sind. Dies ist aber auch in den heutigen hochentwickelten Generatoren nicht erreicht (siehe Matlab Help randint ). Es geht in Simulationen eher darum, Generatoren zu erstellen und zu verwenden, welche eine sehr lange Periodizität aufweisen, um so dem Idealfall näher zu kommen. Ein Beispiel aus der Wissenschaft, in dem die Nichtidealität des Zufallszahlengenerators systematische Fehler verursacht, ist die Monte Carlo-Simulation von Gittereichtheorien. Bei Simulationen auf einem Gitter, dessen Kantenlänge eine Potenz von 2 ist, wurden völlig falsche, aus der Reihe tanzende Ergebnisse gefunden [T. Filk et al., Physics Letters 165B (1985) 125]. Im ersten Teil dieses Praktikums sollen die Eigenschaften von Irrflügen anhand gegebener Matlab -Programme untersucht werden. Im zweiten Teil geht es darum, den Effekt eines bewusst schlechten Zufallszahlengenerators zu untersuchen, der die Simulationsergebnisse systematisch verfälscht. 2/6
Matlab-Programme Die Simulationen sollen allesamt mit der Software Matlab ausgeführt werden. Für beide Teilaufgaben dieses Praktikums stehen Ihnen zwei bereits erstellte Matlab-Programme (Dateien mit Endung.m ) zur Verfügung, welche Ihnen zu Beginn des Praktikums ausgehändigt werden. Diese Programme, irrflug1d.m und irrflug2d.m, sollen in einem Verzeichnis abspeichert werden. In demselben Verzeichnis starten Sie nun Matlab. Falls Sie Matlab über die Programmliste starten, müssen Sie anschliessend über den Arbeitsordner (current directory) wählen, in dem sich die abgespeicherten Dateien befinden. Im Matlab können Sie nun die Datei irrflug2d.m öffnen. Dabei wird ein Editor (neues Fenster) mit folgendem Inhalt erstellt: Alles hinter den %-Zeichen sind Kommentare die Ihnen helfen sollen, auch ohne Matlab- Vorkenntnisse das Programm ansatzweise zu verstehen. Durch Anklicken des Symbols oben im Editor können Sie das Programm ausführen. Die Änderung von Programmparametern (z.b. N_Irrfluege) hat im Editor zu erfolgen. Erneutes Anklicken des Symbols führt das Programm mit den neuen Parameterwerten aus. Das Programm irrflug2d.m generiert einen Irrflug in 2 3/6
Dimensionen. Dagegen generiert irrflug1d.m einen 1-dimensionalen Irrflug mit einem schlechten Zufallszahlengenerator (unten genannt LCG ): Aufgabenstellung Lesen Sie diese beiden Programme aufmerksam durch, damit Sie wissen, was wo gemacht wird. Sie werden feststellen, dass beide Programme sehr ähnlich sind, und sich vor allem in der Zufallszahlengeneration unterscheiden. 4/6
(a) Irrflüge in 2 Dimensionen: Selbstähnlichkeit In dieser Teilaufgabe ist das Programm für den 2-dimensionalen Irrflug zu verwenden, irrflug2d.m. Es simuliert mehrere Irrflüge, die alle im Koordinatenursprung (0,0) beginnen. Entfernen Sie das erste Kommentierungszeichen auf der Zeile 17 um einen Plot des Irrfluges zu erstellen. Kommentieren Sie alle Zeilen ab Zeile 27 mit einem %- Zeichen aus. Führen Sie das Programm nun für einen Irrflug mit 4 Schritten aus. Die blaue Linie in Figure 1 zeigt Ihnen den Irrflug. Führen Sie das Program abermals für verdoppelte Schrittzahl aus. Verdoppeln Sie die Schrittzahl mehrmals und betrachten Sie jeweils den erhaltenen Irrflug. Aufgabe: Ab welcher Schrittzahl sehen die Strukturen, aus der Distanz betrachtet sodass man die Gitterstruktur nicht mehr erkennen kann, ähnlich aus? Man spricht dann von Selbstähnlichkeit oberhalb dieser Schrittzahl. Entfernen Sie nun die soeben gesetzten Kommentierungszeichen auf den Zeilen 27-38 wieder, und kommentieren Sie die Zeile 17 aus. Führen Sie nun das Programm für 10 000 Irrflüge für Schrittzahlen im Bereich 4-100 aus. Für gegebene Schrittzahl N besteht Figure 2 aus zwei Plots: Oben ist das Histogramm der x-werte ( r x ) der Endpositionen aller Irrflüge gezeigt. Unten ist die Grösse log( ( r )/ p(0)) gegen r aufgetragen. Die roten Kreise stehen für das p x x Simulationsergebnis, die grüne Kurve ist die Funktion 2 r x / N, wobei N die Anzahl Schritte des Irrfluges ist. Aufgabe: Diskutieren Sie, für welche Werte von N die grüne Kurve die simulierten Daten gut repräsentiert. Welcher Verteilung gehorchen demnach die Endpositionen der Irrflüge? Wie gross ist demnach das mittlere Verschiebungsquadrat von Irrflügen mit N Schritten in d Dimensionen? Betrachten Sie einen 1-dimensionalen Irrflug, der bei x = 0 startet. Berechnen Sie analytisch die Verteilung der Endposition für N = 3 Schritte der Länge 1. Diskutieren Sie, in welchem Sinne aus dieser diskreten Verteilung für eine kontinuierliche Normalverteilung resultiert. N >> 10 (b) Zufallszahlengeneratoren In der obigen Aufgabe wurde der Zufallsschritt mit der Matlab-internen Funktion randint ausgewählt, welche zufällig die Werte 0 oder 1 retourniert. Wir wollen nun betrachten was 5/6
passiert, wenn man diese zufällige Schrittwahl mittels eines explizit schlechten Zufallszahlengenerators vornimmt, und was dabei schiefgehen kann. Dazu sollen Sie das Programm irrflug1d.m verwenden, welches einen 1-dimensionalen Irrflug generiert, und dazu einen sogenannten Linear Congruential Generator (LCG) verwendet. Das Programm generiert einen Plot mit den Endpositionen aller Irrflüge. Für diese Endpositionen werden dann der Mittelwert und die Standardabweichung berechnet und im Kommandofenster ausgegeben. Aufgabe: Führen Sie das Programm für 100 Irrflüge und verschiedene Schrittzahlen aus, wobei Sie die Schrittzahlen zwischen 10 und 10'000 liegen sollen. Tragen Sie für jede Schrittzahl die Standardabweichung der Irrflugsendpositionen, d.h., deren mittlere Verschiebung, in eine Liste ein. Zum Schluss plotten Sie diese Standardabweichungen als Funktion der Wurzel der Schrittzahl. Diskutieren Sie, wie dieser Plot aussehen sollte, und kommentieren Sie die Bereiche, in denen die Simulationsresultate von diesem erwarteten Verhalten abweichen. Mit der Korrelationsfunktion C( Δ n) kann bestimmt werden, ob es in einer Zahlenreihe wiederkehrende Sequenzen einer Länge Δ n gibt. Gibt es eine exakte Wiederholung des Signals nach Δn Schritten, dann ist C ( Δn) = 1; für unkorrelierte Daten gilt C ( Δn) = 0. Aufgabe: Entfernen Sie die Kommentierungszeichen (%) in den Zeilen 17, 25, 34 und 35. Führen Sie nun das Programm für einen Irrflug der Länge 20'000 aus. Die Liste mit allen im Laufe der Simulation genierten Zufallsschritte dx ist nun als alle_dx gespeichert. Figure 2 zeigt die Korrelationsfunktion für dieses Datenset. Interpretieren Sie das Ergebnis. Benützen Sie die Kenntnis der Korrelationsfunktion um die obigen Daten der Standardabweichungen als Funktion der Schrittzahl detaillierter zu interpretieren. Anforderungen an Bericht Fassen Sie den Bericht bitte in klarer Form ab. Weniger ist oft mehr. Schreiben Sie nur, was Sie brauchen um die obigen Fragen zu beantworten. Trennen Sie bitte klar die Ergebnisse einerseits von Ihren Interpretationen derselben anderseits. (Das ist in der Wissenschaft essentiell, wir aber leider wiederholt in der Fachliteratur nicht beherzigt. In diesen Praktika haben Sie die Gelegenheit das zu üben.) Grafiken der Daten, welche Ihre Aussagen unterstützen, sind willkommen. Achten Sie bitte auf die Grammatik, und lesen Sie den Bericht vor der Abgabe gut durch. 6/6 ETH Zürich, 31.08.2009, Markus Hütter Version 1.0