Hallo Wel für Forgechriene Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Informaik 2 Programmieryeme Marenraße 3 9058 Erlangen
Agenda Maximaler Flu Minimaler Schni Redukionen Maximale Biparie Maching Konnekiviä Sabile Heiraen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 2
Flunezwerke 6 2 0 9 20 7 3 v gericheer Graph G = (V, E) jede Knoenpaar (u, v) ha eine Kapaziä c(u, v) (u, v) E c(u, v) 0 (u, v) E c(u, v) = 0 2 augezeichnee Knoen: Quelle und Senke jeder andere Knoen via Pfad von nach erreichbar Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 3
Flu Funkion, die jedem Knoenpaar einen Wer zuwei u, v V: f(u,v) c(u,v) f(u,v) = f(v,u) u V \ {,}: Σv V f(u,v) = 0 Berag de Flue: f = Σv V f(,v) = Σv V f(,v) 6 / 0 8/ 3 / / 9 Beipiel für einen Flu mi Berag 9: 2/2 / 5 /20 7/7 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie /
Maximaler Flu Geuch: Flu mi maximalem Berag Wofür da alle? Warenranpor, Sromleiungen, Ölpipeline, ec. Wie? Zunäch: Anferigung von ogenannen Reidualgraphen geben für jede Knoenpaar an, um wie viel man den Flu verändern kann Reidualkapaziä cf(u, v) = c(u,v) f(u,v) 5 5 5/5 v 5 v v5 2/5 v6 v5 2 3 v6 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 5
Reidualgraph 0 8/ 3 5 8 3 /20 v / / 5 5 5 3 7/7 2 5 / 5 / 9 / 6 2/2 7 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 6
Erweiernder Pfad Reidualgraphpfad von nach kann den Fluberag erhöhen, indem man in ihm die kleine Reidualkapaziä min{cf} uch und jeden Flu f um diee erhöh 5 0 2 /3 2/2 6 / / 9 / 5 9 /20 7/7 v / Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 7
Ford-Fulkeron-Mehode alle Fluwere f auf 0 ezen while (erweiernder Pfad exiier) { Fluwere auf dem Pfad um min{cf} erhöhen } f i nun maximaler Flu. Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 8
Ford-Fulkeron-Mehode 6 2 0 9 20 7 3 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 9
Ford-Fulkeron-Mehode 6 2 0 9 7 3 2 6 20 0 9 v 20 7 3 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 0
Ford-Fulkeron-Mehode 6 2 0 9 7 3 2 6 20 0 9 v 20 7 3 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie
Ford-Fulkeron-Mehode 6 / /2 0 9 / 7 3 / / 2 6 20 0 9 v 20 7 3 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 2
Ford-Fulkeron-Mehode 6 / /2 0 9 / 20 7 3 / / 8 2 v 20 0 5 3 7 0 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 3
Ford-Fulkeron-Mehode /6 /2 7/0 9 / 7/2 0 7/7 3 / / 8 2 v 20 0 5 3 7 0 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie
Ford-Fulkeron-Mehode /6 /2 7/0 9 / 7/2 0 7/7 3 / / 8 5 v 3 7 3 5 3 7 3 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 5
Ford-Fulkeron-Mehode /6 2/2 0 / 9 / 5 /20 7/7 8/ 3 / / 8 5 v 3 7 3 5 3 7 3 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 6
Ford-Fulkeron-Mehode /6 2/2 0 / 9 / 5 /20 7/7 8/ 3 / / 5 8 5 2 3 v 5 5 5 7 3 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 7
Ford-Fulkeron-Mehode /6 2/2 0 2/ 3 / 3 v 2 5 7/7 / 8 9 /20 / 5 9 5 5 5 7 3 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 8
Ford-Fulkeron-Mehode /6 2/2 0 2/ 3 / 9 / 2 v 2 7/7 / 5 9 /20 9 3 9 7 3 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 9
Laufzeiverhalen Random -Implemenierung von Ford-Fulkeron: im wor cae O(E fmax ) 00 00 00 00 Edmond-Karp-Sraegie: Auwahl de erweiernden Pfad via Breienuche wor cae O(V E²) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 20
Agenda Maximaler Flu Minimaler Schni Redukionen Maximale Biparie Maching Konnekiviä Sabile Heiraen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 2
Schnie Aufeilung aller Knoen in dijunke Mengen S und T, oda: S T Kapaziä c(s, T) = Σu S Σv T c(u, v) in eine Richung Flu f(s, T) = Σu S Σv T f(u, v) falche Richung abziehen 0 8/ 3 5 / 9 6 / 2/2 / /20 7/7 / v / Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 22
Minimaler Schni Geuch: Schni mi minimaler Kapaziä f(s, T) = f f c(s, T) MaxFlow-MinCu-Theorem: fmax = cmin(s, T) Löung minimaler Schni: Ford-Fulkeron anwenden u V \ {,} im lezen Reidualgraphen: u von au erreichbar u S u von au nich erreichbar u T Minimaler Schni auf Maximaler Flu reduzier! Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 23
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Redukionen Fluproblem erkann, Graph aber unpaend Gewichee Knoen: 2 3 5 Löung: Aufpalung in Knoen-Kane-Knoen 2 v' 5 v'2 3 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 25
Redukionen Ungerichee Kanen: 2 Löung: Kanen in beide Richungen 2 2 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 26
Redukionen mehrere Quellen bzw. mehrere Senken 2 2 3 2 2 9 3 2 2 3 2 2 9 8 2 3 8 8 8 8 Löung: Superquelle bzw. Superenke einführen 2 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 27
Agenda Maximaler Flu Minimaler Schni Redukionen Maximale Biparie Maching Konnekiviä Sabile Heiraen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 28
Biparie Graphen Knoen in 2 dijunke Mengen aufeilbar, oda jede Kane zwichen den beiden verläuf v6 v7 v v8 v5 v9 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 29
Biparie Graphen Knoen in 2 dijunke Mengen aufeilbar, oda jede Kane zwichen den beiden verläuf v6 v7 v v8 v5 v9 Maching: Auwahl von Kanen, oda jeder Knoen an höchen einer davon anlieg Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 30
Biparie Graphen Knoen in 2 dijunke Mengen aufeilbar, oda jede Kane zwichen den beiden verläuf v6 v7 v v8 v5 v9 Maching: Auwahl von Kanen, oda jeder Knoen an höchen einer davon anlieg Maximale Maching: Maching mi möglich vielen Kanen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 3
Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) Geuch: minimal nowendige Anzahl an Taxi Gegeben: mehrere Taxiaufräge Uhrzei Abfahrkoordinaen Zielkoordinaen Formel für die Fahrdauer zwichen beliebigen Punken ( x x2 + y y2 ) Minuen Bedingung, einen weieren Aufrag annehmen zu können min vorher chon am Abfahror Ziel: möglich viele Aufräge den Taxi zuordnen, die chon einen Aufrag haen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 32
Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6) 08:06, (, 6) a z (5, 8) 08:07, (5, 5) a z (99, 2) :, (5, 8) va vz (5, 8) :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 33
Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6), 08:05 08:06, (, 6) a z (5, 8), 08:9 08:07, (5, 5) a z (99, 2), 09:8 :, (5, 8) va vz (5, 8), :2 :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3), 2:50 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 3
Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6), 08:05 08:06, (, 6) a z (5, 8), 08:9 08:07, (5, 5) a z (99, 2), 09:8 :, (5, 8) va vz (5, 8), :2 :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3), 2:50 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 35
Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6), 08:05 08:06, (, 6) a z (5, 8), 08:9 08:07, (5, 5) a z (99, 2), 09:8 :, (5, 8) va vz (5, 8), :2 :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3), 2:50 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 36
Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6), 08:05 08:06, (, 6) a z (5, 8), 08:9 08:07, (5, 5) a z (99, 2), 09:8 :, (5, 8) va vz (5, 8), :2 :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3), 2:50 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 37
Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6), 08:05 08:06, (, 6) a z (5, 8), 08:9 08:07, (5, 5) a z (99, 2), 09:8 :, (5, 8) va vz (5, 8), :2 :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3), 2:50 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 38
Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6), 08:05 08:06, (, 6) a z (5, 8), 08:9 08:07, (5, 5) a z (99, 2), 09:8 :, (5, 8) va vz (5, 8), :2 :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3), 2:50 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 39
Maximale Biparie Maching Gegeben: Knoenmengen V und V2 Menge E der ungericheen Kanen dazwichen Löung maximale Maching: Quellknoen einführen mi jedem V-Knoen verbinden Senkknoen einführen jeden V2-Knoen mi verbinden Kanenrichung einführen V V2 Kapaziä aller Kanen auf ezen maximalen Flu berechnen Maximale Maching auf Maximaler Flu reduzier löbar in O(V E) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 0
Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) a a z z a z va v5a vz v5z Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie
Agenda Maximaler Flu Minimaler Schni Redukionen Maximale Biparie Maching Konnekiviä Sabile Heiraen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 2
Konnekiviä Gegeben: ungericheer Graph G = (V, E) Geuch: Minimal nowendige Anzahl an Knoen Kanen deren Enfernung von den Graph in 2 Teile renn. (,)-Knoenkonnekiviä Allgemeine Knoenkonnekiviä (,)-Kanenkonnekiviä Allgemeine Knoenkonnekiviä Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 3
(,)-Knoenkonnekiviä Geuch: Minimal nowendige Anzahl an Knoen, deren Enfernung von renn. Löung: := := e E: c(e) = v V: c(v) = (,)-Knoenkonnekiviä = fmax Laufzeiverhalen: O(V E) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie
Allgemeine Knoenkonnekiviä Geuch: Minimal nowendige Anzahl an Knoen, deren Enfernung den Graph in 2 Teile renn. Löung: Minimum aller (,)-Knoenkonnekiviäen, V (,) E Laufzeiverhalen: O(V³ E) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 5
(,)-Kanenkonnekiviä Geuch: Minimal nowendige Anzahl an Kanen, deren Enfernung von renn. Löung: := := e E: c(e) = (,)-Kanenkonnekiviä = fmax Laufzeiverhalen: O(E²) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 6
Allgemeine Kanenkonnekiviä Geuch: Minimal nowendige Anzahl an Kanen, deren Enfernung den Graph in 2 Teile renn. Löung: ei V beliebig aber fe Allgemeine Kanenkonnekiviä = Minimum aller (,)-Kanenkonnekiviäen V Laufzeiverhalen: O(V E²) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 7
Agenda Maximaler Flu Minimaler Schni Redukionen Maximale Biparie Maching Konnekiviä Sabile Heiraen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 8
Sabile Heiraen Gegeben: n Männer und n Frauen jede Peron ha Präferenzlie de anderen Gechlech Geuch: Sabile Heira Verheiraung aller, oda keine 2 mieinander Unverheiraeen ich gegeneiig ihrem jeweiligen Parner vorziehen. Algorihmu: while (unverheiraeer Mann exiier) { if (ere Frau auf einer Prioriälie i unverheirae ie mag ihn mehr al ihren Ehemann) { verheirae die beiden (annuliere ggf. vorherige Ehe) } ele { enferne die Frau au der Prioriälie de Manne } } Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 9
Sabile Heiraen while (unverheiraeer Mann exiier) { if (ere Frau auf einer Prioriälie i unverheirae ie mag ihn mehr al ihren Ehemann) { verheirae die beiden (annuliere ggf. vorherige Ehe) } ele { enferne die Frau au der Prioriälie de Manne } } Laufzeiverhalen: O(n²) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 50
Zuammenfaung Ford-Fulkeron-Mehode: Maximaler Flu in O(V E²) Minimaler Schni in O(V E²) Maximale Biparie Maching in O(V E) (,) allgemein Knoen O(V E) O(V³ E) Kanen O(E²) O(V E²) Konnekiviä in... Sabile Heiraen in O(n²) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 5
Quellen Inroducion o Algorihm Cormen, Leieron, Rive, Sein Hallo Wel -Vorräge der Sommeremeer 200-3 Ferch, Dennl, Eicher, Hahn hp://www-lehre.informaik.uni-onabrueck.de/~graph/krip/ Vornberger Aufgabe C de NWERC 200 Wikipedia Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 52