Die direkte Methode der Variationsrechnung Betrachte inf I(u) = f(x, u(x), u(x)) dx : u u + W,p () wobei R n, u W,p mit I(u ) < und f : R R n R. (P) Um die Existenz eines Minimierers direkt zu zeigen, verfährt man folgendermaßen: Schritt : Kompaktheit Wähle eine minimierende Folge u ν u + W,p, das heißt lim I(u ν) = inf{i(u)} ν Zeige, dass eine Teilfolge (u νλ ) existiert, die in W,p schwach gegen ein u u + W,p konvergiert. Schritt 2: Schwache Unterhalbstetigkeit Zeige, dass I schwach unterhalbstetig ist: u ν u lim inf ν I(u ν) I(u) Schritt 3: Folgerung der Existenz Ist u ν eine minimierende Folge, so existiert also ein schwacher Grenzwert u (von einer Teilfolge) und dieser ist aufgrund der Unterhalbstetigkeit, zusammen mit der minimierenden Eigenschaft von u ν, Minimierer von I. 2 Beispiel: Das Dirichlet-Integral Betrachte das Dirichlet-Problem inf I(u) = 2 u(x) 2 dx : u u + W,2 () (D) wobei R n offen und beschränkt mit Lipschitz-Rand, u W,2 (). Satz 2. Das Problem besitzt eine eindeutige Lösung u u + W,2. Es lässt sich eine schwache Form der Euler-Lagrange-Gleichung aufstellen (vgl. Kapitel 5), diese wird durch u erfüllt: u(x) ϕ(x) dx = ϕ W,2 Erfüllt andererseits ein u u + W,2 obige Gleichung, so ist u auch Minimierer von (D). Seite: von 7
3 Allgemeiner Existenzsatz Satz 3. Sei R n offen und beschränkt mit Lipschitz-Rand, f C ( R R n ). Es gelte: (A) ξ f(x, u, ξ) ist konvex (x, u) (A2) p > q, α >, α 2, α 3 R mit f(x, u, ξ) α ξ p + α 2 u q + α 3 (x, u, ξ) Dann existiert ein Minimierer von (P). Falls zusätzlich (u, ξ) f(x, u, ξ) strikt konvex x, so ist der Minimierer eindeutig. Beweis: Vereinfachende Annahmen: (A+) (u, ξ) f(x, u, ξ) ist konvex (x, u, ξ) (A2+) p >, α >, α 3 R mit f(x, u, ξ) α ξ p + α 3 (x, u, ξ) (A3) β, sodass für alle (x, u, ξ) gilt f u (x, u, ξ), f ξ (x, u, ξ) β( + u p + ξ p ) : Kompaktheit wähle eine minimierende Folge (u ν ) in u + W,p und zeige u ν W,p α für ein α > folgere die Existenz einer schwach konvergenten Teilfolge in W,p (W,p ist reflexiv!) 2: Schwache Unterhalbstetigkeit Sei u ν u in W,p. f ist konvex und in C, also gilt f(x, u ν, u ν ) f(x, u, u) + f u (x, u, u)(u ν u) + f ξ (x, u, u)( u ν u) zeige mit (A3), dass f u L p () und f ξ L p (, R n ) (wobei p + p = ) Mit der Hölder-Ungleichung folgt f u (u ν u) L () und f ξ ( u ν u) L (, R n ) Integration der obigen Gleichung gibt I(u ν ) I(u) + f u (x, u, u)(u ν u) dx + f ξ (x, u, u)( u ν u) dx Die Integralterme verschwinden im Limes (schwache Konvergenz in W,p ), insgesamt ergibt sich lim inf I(u ν) I(u) ν Seite: 2 von 7
3: Folgerung der Existenz Ist u ν eine minimierende Folge, so existiert also ein schwacher Grenzwert u (von einer Teilfolge) und dieser ist aufgrund der Unterhalbstetigkeit und der minimierenden Eigenschaft von u ν Minimierer von I. Eindeutigkeit: Falls u v beide Minimierer, so bilde w = u+v 2. Wegen ist w auch Minimierer. m I(w) 2 I(u) + 2 I(v) = m Folgere mittels der (strikten) Konvexität von f: 2 I(u) + + v I(v) I(u ) = 2 2 = 2 f(x, u, u) + u + v f(x, v, v) f(x,, 2 2 = u = v fast überall u + v ) = fast überall 2 4 Optimalität der Bedingungen Im Folgenden sei jeweils = (, ). Beispiel 4.: p = reicht nicht aus Sei f(x, u, ξ) = u 2 + ξ 2, X = {u W, : u() =, u() = }. Man zeigt zuerst m =. Wäre u ein Minimierer, folgt: = I(u) u 2 + u 2 dx u (x) dx u() u() = Dann wäre u = f.ü., was (aufgrund der Stetigkeit) einen Widerspruch zu u() = darstellt..8.6.4.2.8.6.4.2.8.6.4.2.2.4.6.8.2.4.6.8.2.4.6.8 Abbildung : Eine minimierende Folge (2., 5. und. Folgenglied) Seite: 3 von 7
Beispiel 4.2 (Weierstraß): α > ist notwendig Sei f(x, u, ξ) = xξ 2, X = {u W,2 : u() =, u() = }. Es ist m =. Angenommen, u ist Minimierer: I(u) = x u 2 = f.ü. u = f.ü. u konstant Beispiel 4.3: p q reicht nicht aus Sei f(x, u, ξ) = 2 (ξ2 λ 2 u 2 ) wobei λ > π, X = W,2. Es ist m =, es existiert also kein Minimierer. Beispiel 4.4 (Bolza): Konvexität ist notwendig Sei f(x, u, ξ) = (ξ 2 ) 2 + u 4, X = W,4 Es ist m =. Angenommen u ist Minimierer, dann würde u = und u = f.ü. gelten. Insbesondere da u stetig ist, gibt dies den Widerspruch..8.6.4.2.8.6.4.2.8.6.4.2.2.4.6.8.2.4.6.8.2.4.6.8 Abbildung 2: Eine minimierende Folge (2., 5. und. Folgenglied) 5 Euler-Lagrange-Gleichungen Ziel: Finde die Euler-Lagrange-Gleichung zu einem Minimierungsproblem Problem: Der Minimierer u ist nicht notwendigerweise in C 2, sondern nur in W,p. Satz 5. Sei R n offen und beschränkt mit Lipschitz-Rand, f C ( R R n ), p. Es gelte: β (x, u, ξ) : f u (x, u, ξ), f ξ (x, u, ξ) β( + u p + ξ p ) Ist nun u ein Minimierer, so erfüllt u die schwache Euler-Lagrange-Gleichung f u (x, u, u)ϕ + f ξ (x, u, u) ϕ dx = ϕ W,p. (Ew) Falls zusätzlich f C 2 und u C 2, dann erfüllt u auch die starke Formulierung div[f ξ (x, u, u)] = f u (x, u, u) x. (E) Erfüllt umgekehrt u (Ew) oder (E) und ist zusätzlich (u, ξ) f(x, u, ξ) konvex, dann ist u auch Minimierer. Seite: 4 von 7
Beweisidee: Berechne Gâteaux-Ableitung von I Zeige I(u + ɛϕ) I(u) lim = ɛ ɛ f u (x, u, u)ϕ + f ξ (x, u, u) ϕ dx u, ϕ W,p I(u+ɛϕ) I(u) Ist u Minimierer von I, so muss insbesondere lim ɛ ɛ = gelten. Damit folgt die schwache Formulierung. Die starke Formulierung folgt dann mit partieller Integration und dem Fundamentallemma der Variationsrechnung. Rückrichtung Sei u Lösung von (Ew), u u + W,p beliebig. Konvexität von f gibt: f(x, u, u) f(x, u, u) + f u (x, u, u)(u u) + f ξ (x, u, u)( u u) I(u) I(u) + f u (x, u, u)(u u) + f ξ (x, u, u)( u u) dx } {{ } =, da u u W,p und somit (Ew) gilt Beispiel 5.2: (E) besitzt Lösung, es existiert aber kein Minimierer Sei f(x, u, ξ) = 2 (ξ2 λ 2 u 2 ) mit λ > π, n =, X = W,2. Die zugehörige Euler-Lagrange-Gleichung u = λ 2 u in = [, ], u() = u() = hat u als Lösung. Das Minimierungsproblem inf f(x, u, u ) dx : u W,2 (, ) hingegen hat keinen Minimierer, da m =. Dies ist kein Widerspruch zu (5.), da (u, ξ) f(x, u, ξ) nicht konvex ist. Beispiel 5.3: (E) besitzt Lösung, dieser ist kein Minimierer, trotzdem existiert ein solcher Sei f(x, u, ξ) = (ξ 2 ) 2, n =, X = W,4. Die zugehörige Euler-Lagrange-Gleichung d dx [u (u 2 )] = in = [, ], u() = u() = hat u als Lösung. Diese Lösung ist allerdings kein Minimierer der Integralgleichung, da I(u) =. Trotzdem existiert ein Minimierer: { x x [, v(x) = 2 ] x x ( 2, ] Dieser ist nicht in C 2 und damit keine Lösung von (E), erfüllt aber (E w ). Seite: 5 von 7
6 Der vektorielle Fall Betrachte inf I(u) = f(x, u(x), u(x)) dx : u u + W,p (, R N ) wobei R n offen und beschränkt. (PV) Satz 6. Sei n = N = 2, f(x, u, ξ) = F (x, u, ξ, detξ) mit F stetig, u W,p mit I(u ) <. Es gelte: (V) (ξ, δ) F (x, u, ξ, δ) ist konvex (x, u) R 2 (V2) p > max{q, 2}, α >, α 2, α 3 R mit F (x, u, ξ, δ) α ξ p + α 2 u q + α 3 (x, u, ξ, δ) Dann existiert mindestens ein Minimierer von (P V ). Bem: Für n, N 2 lässt sich der Satz auf polykonvexe Funktionen f(x, u, ξ) = F (x, u, ξ, adj 2 ξ,...adj min(n,n) ξ) verallgemeinern. Beweisidee: Vereinfachende Annahmen: f(x, u, ξ) = g(x, u, ξ) + h(x, detξ) mit h(x, δ) C konvex in δ h δ (x, δ) ( + δ p 2 2 ) - zeige Kompaktheit analog zu Satz 3. - zeige schwache Unterhalbstetigkeit für H(u) := - nutze Konvexität von h: h(x, det u(x)) dx h(x, det u ν ) h(x, det u) + h δ (x, det u)(det u ν det u) H(u ν ) H(u) + h δ (x, det u)(det u ν det u) dx - zeige h δ (L p/2 ), dann folgt die Aussage mit der Definition von schwacher Konvergenz in L p/2 und folgendem Lemma aus der Funktionalanalysis: Lemma: Sei = R 2, p > 2. Dann gilt u ν u in W,p (, R 2 ) det u ν det u in L p/2 (, R 2 ) Seite: 6 von 7
7 Anhang - Konvexe Funktionen Eine Funktion f : R heißt konvex, falls gilt: f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y) x, y, λ [, ] Falls = R n und f C (R n ), so ist Konvexität äquivalent zu f(x) f(y) + f(y) (x y) x, y R n - Schwache Konvergenz in L p und W,p Eine Folge (u ν ) konvergiert schwach gegen u in L p (), falls gilt: (u ν u)ϕ dx ϕ L q () wobei p + q =. Es gilt u ν u in W,p, falls u ν u und u ν u in L p. - Poincaré-Ungleichung Sei R n offen und beschränkt, p. Dann existiert γ > mit u L p u W,p γ u L p u W,p Äquivalent dazu: Falls u u + W,p, wobei u W,p, so existieren γ, γ 2 > mit γ u W,p γ 2 u W,p u L p Seite: 7 von 7