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Sachverzeichnis A Abbildung, 11 bijektive, 12 Borel-messbare, 92 Definitionsbereich, 11 identische, 269 injektive, 11 inverse, 14 Koordinaten-, 17 messbare, 92 surjektive, 12 Wertebereich, 11 zusammengesetzte, 12 Absolutbetrag einer Funktion, siehe Funktion einer Zahl, 28 absolute Stetigkeit von Maßen, siehe Maße von Verteilungsfunktionen, siehe Verteilungsfunktion äquivalente Maße, siehe Maße Äquivalenzklasse Borel-messbarer Funktionen, 165 Version einer Borel-messbaren Funktion, 165 Algebra, 37 Erzeuger einer, 40 Approximation Borel-messbarer Funktionen, 99 B bijektiv, siehe Abbildung Bildmaß, siehe Maß C Cauchy-Folge, 262 in normierten Räumen, 262 Konvergenz dem Maß nach, 181 Konvergenz -fast überall, 174 L_p-Konvergenz, 194 Norm, 262 reeller Zahlen, 33 D Darstellung einer reellen Zahl dyadische, 26 Definitionsbereich, siehe Abbildung Dichte bedingte, 241 der Normalverteilung eindimensional, 134 n-dimensional, 151 zweidimensional, 150 einer messbaren Funktion, 135 einer Verteilungsfunktion, siehe Verteilungsfunktion eines Maßes, 133 Dirichletsche Funktion, 95, 146, 157 Durchschnittsstabilität, siehe Mengensystem E Ein- und Ausschlussformel, 63 Einschränkung eines Maßes auf eine Teil--Algebra, 65 auf eine Teilmenge, 65 Erwartung, bedingte bezüglich einer Zufallsgröße, 238 Erwartung, bedingte unter einer 313
314 Sachverzeichnis -Algebra, 231 Erwartungswert bedingter, 239 einer Zufallsgröße, 127, 235 Erzeuger einer Algebra, siehe Algebra einer -Algebra, siehe -Algebra F Faltung zweier Dichten, 214 zweier diskreter Verteilungen, 213 zweier Maße, 212 zweier Verteilungsfunktionen, 212 fast überall, -f.ü., 88 Fatou, siehe Lemma Feinheitsmaß, 139, 142 Folge, 5, 30 Glieder einer, 5, 30 Teilfolge, 30 Unterfolge, 30 Folge reeller Zahlen fallende, 30 Limes inferior einer, 30 Limes superior einer, 30 Limes superior von einer, 30 streng fallende, 30 streng wachsende, 30 wachsende, 30 Folge reellwertiger Funktionen, 34 Folge von Mengen, 5 Limes inferior einer, 5 Limes superior einer, 5 monoton fallende, 8 monoton wachsende, 8 Fortsetzungssatz, siehe Satz Fubini, siehe Satz Funktion Absolutbetrag einer, 256 Borel-messbare, 92 Cantorsche, 228 einfache, 94 kanonische Darstellung, 93 gleichmäßig stetige, 258 konvexe, 159 linksseitig stetige, 258 monotone, 259 fallende, 259 Sprungpunkte einer, 259 wachsende, 259 Wachstumspunkte einer, 259 Negativteil einer, 256 Positivteil einer, 256 rechtsseitig stetige, 258 reellwertige, 255 Schnitt einer, 202 stetige, 258 streng konvexe, 159 stückweise stetige, 258 G ganzer Teil einer Zahl, 29 gleichgradige Integrierbarkeit, siehe integrierbar Grenzwert einer Folge, 31 H Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, siehe Satz I Identität, 28 Indexmenge, 4 Indikatorfunktion, 49, 257 Induktion vollständige, 24 Infimum, 28 Informationsmatrix Fishersche, 254 injektiv, siehe Abbildung Integral einfacher Funktionen, 118 nichtnegativer Funktionen, 120 Riemann-Integral, 141 uneigentliches, 146 Integrand, 118, 121 Integration Linearität, 119, 121, 127 Monotonie, 119, 121, 127 Integrationsbereich, 118, 121 integrierbar gleichgradig, 190 Lebesgue-integrierbar, 120, 126
Sachverzeichnis 315 p-integrierbar, 156 quadratisch, 156 quasiintegrierbar, 126 Riemann-integrierbar, 141 Intervall abgeschlossenes, 10 nach links halboffenes, 10 nach rechts halboffenes, 10 offenes, 10 J Jacobimatrix, 151, 152, 291, 301 K kanonische Darstellung, siehe Funktion, einfache Komplement, siehe Menge Konvergenz dem Maß nach, 180 gleichmäßige, 34 im L_p-Sinne, 189 im Mittel, 189 im p-ten Mittel, 189 im quadratischen Mittel, 189 in Verteilung, 184 Norm-, 262 punktweise, 34, 173 Koordinaten eines n-tupels, siehe n-tupel Koordinatenabbildung, siehe Abbildung L Lebesgue- Borelsches Maß, 90 Integral, 120 Maß, 76 Stieltjes-Maß, 81 Lebesgue-Integral, siehe Integral Lebesgue-integrierbar, siehe integrierbar Lemma von Fatou, 178 Levi, siehe Satz Lifting-Methode, 115, 130, 135, 137, 220, 243 Likelihoodfunktion, 246 deterministische, 247 stochastische, 249, 251 Limes inferior einer Folge von Mengen, siehe Folge von Mengen einer Folge von Zahlen, siehe Folge reeller Zahlen Limes superior einer Folge von Mengen, siehe Folge von Mengen einer Folge von Zahlen, siehe Folge reeller Zahlen M Majorante integrierbare, 178 Martingal, 252 Maß, 64 äußeres, 68 Bildmaß, 111 diskretes, 66 Einzelmaße, 66 Träger, 66 dominierendes, 246 finites, 64 induziertes, 111 lokal finites, 69, 81, 88 normiertes, 64 Produkt-, 203, 204 Komponenten eines, 204 Rand-, 113 -finites bzw. -endliches, 64 Vervollständigung eines, 89 vollständiges, 89 Wahrscheinlichkeits-, 64 Zählmaß, 66 Maße absolute Stetigkeit, 217 äquivalente, 217 Faltung zweier, 212 Wahrscheinlichkeitsbedingte, 234 Maßraum normierter, 64 vollständiger, 89 Maximum, 27 Menge, 1 abgeschlossene, 46 abzählbar unendliche, 21 beschränkte, 28
316 Sachverzeichnis Elemente einer, 1 endliche, 20 höchstens abzählbare, 21 Kardinalzahl einer, 20 Komplement einer, 4 leere, 2 messbare, 44 nach oben beschränkte, 28 nach unten beschränkte, 28 nicht leere, 3 Nullmenge, 88 offene, 46 Potenzmenge, 4 Rand einer, 48 Randpunkt einer, 48 Schnitt einer, 202 Teilmenge, 2 echte, 2 überabzählbar unendliche, 22 unendliche, 20 Urbild einer, 12 Mengen Differenz von, 3 disjunkte, 3 Durchschnitt von, 3 Familie von, 4 gleichmächtige, 21 paarweise disjunkte, 6 Produkt-, 15 symmetrische Differenz von, 3 Vereinigung von, 3 Mengenfunktion, 54 additive, 55 finite, 54 Fortsetzung einer, 57 monotone, 59 -additive, 55 -finite, 54 -Subadditivität, 60 Stetigkeit in der leeren Menge, 60 Stetigkeit von oben, 59 Stetigkeit von unten, 59 subadditive, 59 Mengensystem, 3 Durchschnittsstabilität, 36 kleineres, 3 Teilmengensystem, 3 messbare Abbildung, siehe Abbildung Minimum, 28 N nicht integrierbar, 126 Norm, 261 euklidische, 261 Pseudonorm, 261 Normalverteilung, siehe Wahrscheinlichkeitsverteilung n-tupel, 15 Koordinaten eines, 15 Nullmenge, siehe Menge O Obersumme, 140 Operationstreue, siehe Urbildoperation orthogonal, 263 P Partialsummen, siehe Reihe Potenzmenge, siehe Menge Produkt kartesisches, von Mengensystemen, 103 Produkt--Algebra, siehe -Algebra Produktmaß, siehe Maß Produktmenge, siehe Mengen Projektion, 17 orthogonale, 172 Projektionsabbildung, 17, 102, 113 Pseudonorm, siehe Norm Q Quader, 16 abgeschlossener, 17 mit rationalen Seiten, 17 nach links halboffener, 16 nach rechts halboffener, 17 n-dimensionaler, 16 offener, 17 Seiten eines, 17 R Radon-Nikodým, siehe Satz Radon-Nikodým-Ableitung, 219 Rand einer Menge, siehe Menge Randmaß, siehe Maß Randpunkt einer Menge, siehe Menge
Sachverzeichnis 317 Raum aller Vektoren, 16 Banach-, 262 Hilbert-, 263 linearer, 260 messbarer, 44 normierter, 261 vollständiger normierter, 262 Wahrscheinlichkeits-, 64 Rechtecke, 16 Rechteckmonotonie, siehe Verteilungsfunktion reelle Achse, 9 erweiterte, 10 Reihe, 125 Partialsummen einer, 125 Riemann-integrierbar, siehe integrierbar Ring, 38 S Satz Fortsetzungssatz erster, 57 zweiter, 67 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Lebesgue-Integrale, 226 für Riemann-Integrale, 143 von B. Levi (monotone Konvergenz), 177 von Fubini, 207 von Lebesgue (majorisierte Konvergenz), 178 von Radon-Nikodým, 219 von Tonelli, 208 Schnitt einer Funktion, siehe Funktion Schnitt einer Menge, siehe Menge Schranke größte untere, 28 kleinste obere, 27 obere, 27 untere, 28 Semialgebra, 36 Semiring, 36 -Algebra, 41 Borelsche, 45 der Urbilder, 49 Erzeuger einer, 43 kleinere, Teil-, 42 Lebesguesche, 90 Produkt-, 102 Spur einer, 51 triviale, 42 von einer Abbildung erzeugte, 49 von einer Familie von Abbildungen erzeugte, 101 -Subadditivität, siehe Mengenfunktion Skalarprodukt, 263 Spiegelung bezüglich Null, 52 Stammfunktion, 143 statistisches Modell, 245 Stetigkeit von oben, siehe Mengenfunktion Stetigkeit von unten, siehe Mengenfunktion Stichprobe mathematische, 245 Stichprobenraum, 245 Substitutionsregel, 129 Summe einer Folge, 125 Supremum, 27 wesentliches, 157 surjektiv, siehe Abbildung T Teilfolge, siehe Folge Teilmenge, siehe Menge Teilmengensystem, siehe Mengensystem Teilraum, 260 abgeschlossener, 262 Teil--Algebra, siehe -Algebra Teilsummen einer Reihe, 125 Tonelli, siehe Satz Träger eines diskreten Maßes, siehe Maß Transformationssatz für Dichten eindimensional, 137 n-dimensional, 151 Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes, 76, 88 U Ungleichung bedingte Jensensche, 235 Cauchy-Schwarzsche, 157 Jensensche, 161 Ljapunowsche, 162 Markowsche, 156 Minkowskische, 162
318 Sachverzeichnis Tschebyschewsche, 156 von Cramer-Rao, 254 Unterfolge, siehe Folge Untersumme, 139 Unterteilung, 139 endliche, 139 feinere, 140 Urbild, siehe Menge Urbildoperation, 12 Operationstreue, 13 V Vektor Spalten-, 16 transponierter, 16 Zeilen-, 16 Version einer Borel-messbaren Funktion, siehe Äquivalenzklasse Borel-messbarer Funktionen Verteilungsfunktion absolut stetige, 82, 223 auf R, 70 auf R n, 83 Dichte einer auf R, 82, 223 auf R n, 148 Rechteckmonotonie einer, 84 singuläre, 228 verallgemeinerte, 81 vollständiger Maßraum, 89 W Wahrscheinlichkeitsmaß, siehe Maß Wahrscheinlichkeitsraum, siehe Raum Wahrscheinlichkeitsverteilung Binomialverteilung, 74, 186 Cauchy-Verteilung, 153 einer Zufallsgröße, 111 Exponentialverteilung, 83, 215 gleichmäßige auf einem Intervall, 75 diskrete, 67 logarithmische Normalverteilung, 139 Normalverteilung eindimensional, 134 n-dimensional, 151 zweidimensional, 150 Poissonverteilung, 65, 186 Wertebereich, siehe Abbildung Z Zahl negative, 9 nichtnegative, 9 nichtpositive, 9 positive, 9 Zahlen ganze, 9 irrationale, 9 natürliche, 9 rationale, 9 reelle, 9 Dezimaldarstellung, 9 dyadische Darstellung, 276 Zahlenebene, 16 Zahlengerade, 9 erweiterte, 10 Zählmaß, siehe Maß Zerlegung einer Menge, 6 kanonische, 7 Zufallsgröße Erwartungswert, 168 n-tes absolutes Moment, 168 Varianz, Streuung, 168 Zufallsgrößen Kovarianz, Korrelation, 168 unkorrelierte, 169 zusammengesetzte Abbildung, siehe Abbildung Zylindermenge, 108