Algebra - Neutrales und Nullelement Definition 35. Gibt es in einer Algebra (S, ) mit binärer Operation 1. ein r S mit x S : x r = x, nennt man r rechtneutrales Element 2. ein l S mit x S : l x = x, nennt man l linsneutrales Element Theorem 36. Gibt es in einer Algebra (S, ) ein rechtsneutrales Element r und ein linsneutrales Element l, so gilt r = l Beweis. l = l r = r Man spricht in Analogie zur Multipliation dann auch von Einselement und schreibt 1 oder e. Algebra - Inverses und Nullelement Definition 37. In einer Algebra (S, ) heißt für ein Element x ein Element y mit y x = e Linsinverses zu x. (Rechtsinverses, Inverses entsprechend) Definition 38. In einer Algebra (S, ) heißt ein Element mit x S : 0 x = 0 lines Nullelement. (rechtes Nullelement, Nullelement entsprechend) Homomorphismus Definition 39. Die Signatur einer Algebra (S, f 1,..., f n ) ist die Liste der Stelligeiten der Operationen f 1,..., f n Definition 40. Für zwei Algebren (S, f 1,..., f ) und (M, g 1,..., g ) mit gleicher Signatur heißt eine Abbildung h : S M (Algebra-)Homomorphismus, wenn für i = 1,... und alle s l S gilt g i (h(s 1 ),..., h(s n )) = h(f i (s 1,..., s n )), also h f i = g i h. Isomorphismus Definition 41. Ist mit den Benennungen der letzen Definition h bijetiv, so nennt man h einen Algebra-Isomorphismus und die beiden Algebren isomorph. Beispiel 42. 1. Die boolesche Algebra ({t, f},,, ) ist isomorph zur Algebra ({1, 0}, max, min, m 1 ) mit der Operation m 1 (x) = 1 x, mit h(t) := 1, h(f) := 0. 2. ({t, f},,, ) ist auch isomorph zur Algebra ({U, },,, c ) für eine beliebige nichtleere Menge U, mit h(t) := U, h(f) := Assoziativ Hat man einen geeigneten Isomorphismus gefunden, ann man Probleme sehr schön in andere Bereiche verlagern, um sie dort zu lösen - die schnelle Fouriertransformation F F T ist dafür ein onretes Beispiel. Definition 43. In einer Algebra (S, ) mit eine binären Verüpfung nennt man diese assoziativ, wenn gilt a, b, c : a (b c) = (a b) c. Theorem 44. Gibt es ein einer Algebra (S, ) mit assoziativer Operation zur einem a S ein Rechtsinverses l und ein Linsinverses r, so gilt l = r. Insbesondere ist das Inverse eindeutig bestimmt. Beweis. l = l e = l (a r) = (l a) r = e r = r 15
Halbgruppe,Monoid,abelsch Definition 45. 1. Eine Algebra mit assoziativem binärem Operator heißt Halbgruppe 2. Eine Halbgruppe mit neutralem Element nennt man Monoid 3. Ein Monoid, bei dem für jedes Element ein Inverses existiert, heißt Gruppe 4. Eine Gruppe (ein Monoid, eine Halbgruppe) (S, ) nennt man abelsch, wenn gilt a, b S : a b = b a. Boolesche Algebra Definition 46. Eine Algebra (B,,, ) mit den binären Operationen und und der unären Operation nennt man boolesche Algebra, wenn gilt: 1. (B, ) ist ein ablesches Monoid mit neutralem El. 0, 2. (B, ) ist ein abelsches Monoid mit neutralem El. 1, 3. Für die Operation gilt a B: a ( a) = 1 und a ( a) = 0 4. Es gilt a, b, c B : a (b c) = (a b) (a c) und a (b c) = (a b) (a c) Die Trägermenge einer boolschen Algebra ann also durchaus mehr als zwei Elemente enthalten! Wichtiges Beispiel ist dafür die Potenzmengenalgebra (2 U,,, ) zu einer Menge U. In booleschen Algebren gelten die im Kapitel Mengenlehre / Logi aufgestellten Rechenregeln. In einer booleschen Algebra wie oben ist a b : a b = a für a, b B eine Halbordnung (Bew: Übungen). führt über Atome u.a. zum Darstellungssatz durch Atome Ring, Körper Nimmt man eine weitere Operation dazu, ommt man zu mehr Strutur: Definition 47. 1. Ein Ring ist eine Algebra (R, +, ) mit zwei Operationen + und, so das (R, +) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 ist, (R, ) eine Halbgruppe, und die folgenden Distributivgesetze gelten: a, b, c R : a (b + c) = a b + a c und a, b, c R : (a + b) c = a c + b c 2. Ein Körper ist ein Ring wie oben. bei dem zusätzlich (R {0}, ) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 ist Körper ann man bauen, indem man die Nullstellen bestimmter Polynome über Ringen hinzunimmt und dann vervollständigt. Auch endliche Körper sind sehr interessant. 2 Zählen und Zufall Kombinatori Nach den eher ziemlich abstraten Grundlagen ommen wir nun zu Werzeugen, die recht onret für die Modellierung von Zähl-Problemen dienen. Man will also wissen, wie oft gewisse Objete oder Ereignisse auftreten. Abzählen von Ereignissen oder Möglicheiten ommt immer wieder vor. Z.B. berechnen sich Wahrscheinlicheiten über disreten Ereignismengen als Bruch, in dessen Nenner die Anzahl der zu berechnenden Fälle, und im Zähler die Zahl alle möglichen Ereignisse steht. Etwa ist bei Würfeln für jede Zahl von 1-6 die Wahrscheinlicheit 1/6. 16
Urnenmodell Oft passt zu diesen Fragestellungen ein einfaches Urnenmodell. Was önnen wir mit einer Urne und unterscheidbaren (nummerierten) Kugeln modellieren? Man ann die Kugeln nach dem Ziehen zurüclegen, oder nicht die Reihenfolge der Ziehung ann eine Rolle spielen, oder nicht Kombinatori - Beispiele 1. Ziehen von zwei Karten aus einem Kartenstapel von verschiedenen Karten bei MauMau: Ziehen ohne Zurüclegen, Reihenfolge unwichtig 2. Lotto 6 aus 49: Ziehen ohne Zurüclegen, Reihenfolge unwichtig 3. Losziehung mit 6-stelliger Losnummer: 6x Ziehen mit Zurüclegen aus 0-9, Reihenfolge wichtig 4. Würfeln mit 2 Würfeln (z.b. Maier): 2x Ziehen mit Zurüclegen aus 1-6, Reihenfolge unwichtig 5. Anzahl der möglichen Wörter mit 6 verschiedenen Buchstaben: 6x Ziehen ohne Zurüclegen aus {a,...,z}, Reihenfolge wichtig. Wir reden also davon, Objete aus n vorhandenen auszuwählen. Theorem 48. Beim Ziehen von aus n unterscheidbaren Kugeln (aus einer Urne) ergeben sich die in der folgenden Tabelle gelistenen Anzahlen von verschiedenen Ergebnissen: aus n geordnet ungeordnet ( ) n+-1 mit Zurüclegen -Stichprobe n -Auswahl ( ) n! n ohne Zurüclegen -Permutation (n )! -Kombination Wir beweisen das im Folgenden in vier Teilen, ein Teil für jede Variante. Beweis. (-Stichprobe) Das Ergebnis des geordneten Ziehens mit Zurüclegen ist ein -Tupel. Für jede Position haben wir n Möglicheiten, das ergibt n Möglicheiten insgesamt. Das ist ein Spezialfall von Theorem 18. Beispiel 49. bei M = {a, b, c} und = 2 haben wir die folgenden 3 2 = 9 Ergebnisse: (a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c) Beweis. (-Permutation) Beim geordneten Ziehen ohne Zurüclegen ist das Ergebnis wieder ein -Tupel. Für die 1. Position habe ich n Möglicheiten. Für die 2. Position bleiben noch n 1 Möglicheiten. Für die 3. Position bleiben noch n 2 Möglicheiten... 17
Für die. Position bleiben noch n + 1 Möglicheiten. Zusammen: P (n, ) := n(n 1)(n 2)...(n + 1) = n! (n )! Möglicheiten Auch das ist ein Spezialfall von Theorem 18 - die Grundmenge wird immer um ein Element leiner. Beispiel 50. bei M = {a, b, c} und = 2 haben wir die folgenden (3 2)/1 = 6 Ergebnisse: (a, b) (a, c) (b, a) (b, c) (c, a) (c, b) Beweis. (-Kombination) Beim Ungeordneten Ziehen ist das Ergebnis immer eine Menge. Ziehen wir ohne Zurüclegen, hat die Ergebnismenge immer Elemente. Das Modell entspricht also der Bildung von -elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge, da ja die Reihung eine Rolle spielt, und Elemente nur ein mal auftreten dürfen. Als Grundlage der Berechnung önnen wir dann die -Permutation annehmen, müssen aber die doppelt gezählten Elemente wieder abziehen. Für die Anordung einer -elementigen Menge gibt es P (, ) =!/( )! =! Möglicheiten. Das geht bei der -Permutation als Produt ein Zusammen: C(n, ) := (1/!) P (n, ) = (1/!) (n!/(n )!) = n!/(!(n )!) = ( ) n Beispiel 51. bei M = {a, b, c} und = 2 haben wir die folgenden ( ) 3 2 = 3! 2!1! = 3 Ergebnisse: {a, b} {a, c} {b, a} {b, c} {c, a} {c, b} Einschub: Binominaloefizienten Den Bruch ( n ) nennt man auch Binomialoeffizient, da er beim Ausmultiplizieren der binomischen Formel als Koeffizient der Einzelprodute auftritt: Theorem 52. (a + b) n = =0,...,n ( ) n a b n Man beweist die Formel meist durch Indution über n, man ann die Binominaloeffizienten nun aber auch ombinatorisch herleiten: Beweis. Da (a + b) n = (a + b)(a + b)...(a + b) ergeben sich also Produte der Form a b n. Wie oft ann nun jedes Produt auftreten? Das ist aequivalent zu dem Probem, wie oft ich a-s auf n Positionen verteilen ann, und das ist wiederum genau die Anzahl der -elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge (der Positions-Indices), also ( n ). Insgesamt ergibt sich die binomische Summmenformel. Nach diesem urzen Einschub machen wir weiter mit dem letzen Teil des Beweises zu den Kombinationsmögliocheiten. Dieser Teil ist etwas omplexer: 18
Beweis. (-Auswahl) Für die Berechnung der Möglicheiten beim ungeordneten Ziehen mit Zurüclegen führen wir diese auf den Fall ohne Zurüclegen (-Kombination) zurüc. Dazu muss ich bei den Ziehungen von den Positionen über eine Elementeigenschaft, z.b. die Ordnung, abstrahieren. Einen Zug einer -Auswahl ann ich durch ein Wort über {, } beschreiben: steht für den Übergang zum nächstleineren Element, für ein gezogenes Element z.b: Bei M = {1, 2, 3, 4} odieren die Züge (4, 1, 2, 4) oder (1, 4, 2, 4) zu, also 2x das größte, 0x das zweitgrösste, 1x das drittgrößte und 1x das leinste Element. Für jedes Element der Ausgangsmenge bis auf das leinste beomme ich also einen, für jeden Zug einen, insgesamt immer n 1 + Zeichen im Codewort. Alle möglichen Verteilungen der -Symbole auf die n + 1 Positionen liefern also alle möglichen Ergebnisse der Ziehung -Auswahl. Man muss also -Positionen aus n + 1 Plätzen ziehen. Das ist aber gerade die -Kombination aus (n + 1)- Elementen, wir beommen also insgesamt ( ) n+ 1 Möglicheiten für die -Auswahl aus n Elementen. Beispiel 53. bei M = {a, b, c} und = 2 haben wir die folgenden ( ) 3+2 1 2 = 4! 2!2! = 6 Ergebnisse (wobei im Folgenden [] eine Ziehung andeuten soll, bei der es auf die Reihenfolge nicht anommt, also [a, b] = [b, a]): [a, a] [a, b] [a, c] [b, b] [b, c] [c, c] 2.1 Zählprinzipien Beim Abzählen von Ereignissen etc. treffen wir immer wieder auf ähnliche Verfahren. Einige (Summenformel, Produregel und Gleichheitsprinzip) hatten wir schon ennengelernt, einige omplexerer sollen in den folgenden Abschnitten urz erläutert. Das erste ist die Exclusion von Mehrfachzählungen Wenn wir doppelt zählen, müssen wir das doppelt gezählte wieder abziehen. Das formalisiert die einfache Siebformel Satz 54 (einfache Siebformel). Für endliche Mengen A, B gilt A B = A + B A B Beweis. Sei ObdA A B = {s 1, s 2,...s l }, A = {a 1, a 2,..., a n, s 1, s 2,...s l }, und B = {b 1,..., b m, s 1, s 2,...s l }. Dann ist A B = n + m + l, und A + B A B = n + l + m + l l = n + m + 2l l = n + m + l Der Spezialfall mit leerem Schnitt ergibt die Summenformel: Satz 55. Für disjunte endliche Mengen A, B gilt A B = A + B Zur Erinnerung: Die mit Theorem 18, der Produtregel, bewiesene Anzahl von verschiedenen Kombinationsmöglicheiten ist übrigens auch ein Zählprinzip. Das Prinzip von Inlusion und Exlusion lässt sich weiter verallgemeinert in der allgemeinen Siebformel fassen: Satz 56 (Siebformel). Für endliche Mengen A 1,..., A n gilt: A i = ( 1) r 1 i=1,...,n r=1,...,n Beweis. z.b. Indution nach n, oder ombinatorisch, s. Steger p 27. 1 i 1... i r n j=i 1,...,i r A j 19
Nützlich bei Disretisierungen von Problemen sind Gausslammern, die reellen Werten ganzzahlige zuordnen: Definition 57 (floor, ceiling). 1. r R : floor(r) := r := max{z Z z r} 2. r R : ceiling(r) := r := min{z Z z r} Beispiel 58. Wie viele natürlichen Zahlen leiner oder gleich 100 gibt es, die durch 2,3 und 5 teilbar sind? Sei A := {n N n 100 teilt n} Dann ist die Antwort A 2 A 3 A 5 = A 2 + A 3 + A 5 ( A 2 A 3 + A 2 A 5 + A 3 A 5 ) + A 2 A 3 A 5 Es ist A = 100/, und A A l = A l, damit ergibt sich A 2 + A 3 + A 5 ( A 6 + A 10 + A 15 ) + A 30 = 50 + 33 + 20 16 10 6 + 3 = 103 32 + 3 = 74 Das Prinzip von Inlusion und Exlusion ann man auch verwenden, wenn das zuviel Gezählte als Produt eingeht: Beispiel 59. Wenn man Personen auf Plätze verteilen soll, hat man (geordnetes Ziehen ohne Zurüclegen)! Möglicheiten. Sind die Plätze aber an einem runden Tisch, ist der Startposition egal, man muss also den Fator wieder herausnehmen, beleiben (!/ = ( 1)! verschiedene Möglicheiten. Weitere einfache Zählprinzipien: Gleichheitsprinzip: Falls f : A B bijetiv ist, ist A = B. Doppeltes Abzählen: Für eine binäre Relation R A B gilt R = x A {y B (x, y) R} und R = y B {x A (x, y) R} Schubfachprinzip: Verteilt man n Dinge auf m Schubladen, und ist n > m, liegen in mindestens einer Lade mindestens zwei Dinge. (Bew: Widerspruch) Etwas formaler gilt das verallgemeinerte Schubfachprinzip (pigeonhole principle): Satz 60 (Schubfachprinzip). Sei f : A B eine Funtion, dann gilt: A b B : f 1 (b) B Beweis. durch Widerspruch Beispiel 61. (Spezialfall des Satzes von Ramsey) In einer Gruppe von 6 Personen gibt es entweder drei, die sich ennen, oder drei, die sich alle nicht ennen. (ennen ist dabei symmetrisch) Sei die Gruppe P = {p 1, p 2,..., p 6 }, und enn1 : P \ {p 1 } {0, 1} die ennen-funtion für p 1. Dann liegen im Urbild von 0 oder 1 mindestens 5/2 = 3 Elemente. Wir nehmen mal an, das das für 1 der Fall ist (im anderen Fall argumentiert man analog mit nicht ennen), und numerieren mal so, das zumindest p 2, p 3, p 4 darin liegen. Beispiel 62. Nun haben wir folgende Fälle: 1. p 2, p 3, und p 4 ennen sich alle nicht - dann haben wir drei Personen, die sich alle nicht ennen - fertig. 2. Zwei davon - OBdA p 2, p 3 - ennen sich. Da sie aber auch beide p 1 ennen, haben wir drei Personen, die sich ennen - auch fertig. - q.e.d. Permutationen Definition 63. Für n N, n > 0 ist [n] := {1,..., n} Definition 64. Sei M eine endliche Menge. Eine bijetive Abbildung π : M M nennt man Permutation. 20