Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Variablen

Prof. Dr. J. Dorfmeister Vorkurs Mathematik Intensiv TU München Robert Lang WS 06/07 Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Variablen Technische Universität München Wintersemester 2006/2007 1 Funktionen einer reellen Veränerlichen 1.1 Ableitungen Definition: Sei I R ein offenes Intervall. Eine Funktion f : I R heißt im Punkt x 0 R ifferenzierbar, wenn er Grenzwert f (x 0 + h) f (x 0 ) lim h 0 h existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oer Ableitung von f an er Stelle x 0. Die Funktion f heißt ifferenzierbar, falls f in jeem Punkt x I ifferenzierbar ist. Für ie Ableitung von f an er Stelle x schreibt man auch x f(x) f (x). Seien D 1,D 2 offene Intervalle un f,g : D 1 R un h : D 2 D 1 ifferenzierbare Funktionen, ann gelten folgene Ableitungsregeln: 1. x (f (x) + g (x)) = f (x) + g (x) (Aititvität) 2. x (λ f (x)) = λ f (x) (Faktorregel) 3. x (f (x) g (x)) = f (x) g (x) + f (x) g (x) (Prouktregel) f(x) 4. x g(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g 2 (x) falls g 0 (Quotientenregel) 5. x g (h(x)) = g (h(x)) h (x) (Kettenregel) Bemerkung: Aufgrun er Ableitungsregeln (1) un (2) wir auf ifferenzierbare Funktionen wirkt. x als linearer Operator bezeichnet, er 1.2 Klassen ifferenzierbarer Funktionen 1.2.1 Polynome Ein Polynom n-ten Graes ist eine Funktion er Form n p (x) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = a k x k, k=0 1

mit a 1,...,a n R un a n 0. Die Menge aller Polynome bezeichnet man mit R[x]. Man sagt: p ist ein reelles Polynom in er Variablen x. Jees Polynom besitzt eine Ableitung. Es gilt für ein Monom q (ein Polynom mit nur einem Summanen) n-ten Graes mit n 1: q(x) = a n x n q (x) = n a n x n 1 Mit er Aitivität er Differentiation lautet ie Ableitung eines Polynoms n-ten Graes: p (x) = a 1 x + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + n a n x n 1 = n k a k x k 1 Der Koeffizient a 0 verschwinet, x a 0 = 0, a ie Ableitung einer konstanten Funktion verschwinet. 1.2.2 Rationale Funktionen Rationale Funktionen sin Quotienten von Polynomen p (n-ter Gra) un q (m-ter Gra) er Form r(x) = p (x) n q (x) = k=0 a kx k m k=0 b kx k Für iese Funktionen gilt beim Differenzieren ie Quotientenregel. Rationale Funktionen sin überall ort efiniert, wo er Nenner nicht verschwinet. An en Stellen, an enen q(x) = 0 gilt, müssen folgene Fälle unterschieen weren: Nicht-hebbare Definitionslücken: Stellen mit q(x 0 ) = 0 (Nullstellen es Nenners) sin Definitionslücken von r(x). Ein Punkt x 0 R wir Polstelle von r genannt, wenn q(x 0 ) = 0, aber p(x 0 ) 0. An Polstellen ist eine rationale Funktion nicht ifferenzierbar. Hebbare Definitionslücken: Gilt für eine Definitionslücke x 0, ass auch p(x 0 ) = 0, also auch er Zähler bei x 0 verschwinet, so ist im Prinzip alles möglich. De facto kann man in iesem Fall schreiben: f(x) = (x x 0 ) a ˆp(x) q(x) = (x x 0 ) b ˆq(x) mit Polynomen ˆp un ˆq erart, ass ˆp(x 0 ) 0 un ˆq(x 0 ) 0. Das Verhalten von r bei x 0 wir ann von (x x 0 ) a b bestimmt. Die Definitionslücke ist hebbar genau ann, wenn a b 0 gilt. k=1 Beispiel: Wir betrachten ie reelle Funktion f a (x) = x3 + ax + 2a x + 1 mit em Parameter a R. f a hat bei x 0 = 1 eine Definitionslücke, a hier er Nenner verschwinet. Abhängig von em Parameter a ist iese Lücke hebbar oer nicht. Für en Fall einer hebbaren Definitionslücke muss auch er Zähler für x 0 verschwinen,.h. x 3 0 + ax 0 + 2a = 0. Hieraus folgt a = 1 un mittels Polynomivision kann ie Funktion f 1 (x) = x3 + x + 2 x + 1 = (x2 x + 2)(x + 1) x + 1 = x 2 x + 2 2

gebilet weren, ie auch für ie Definitionslücke x = x 0 = 1 einen Funktionswert hat: f 1 ( 1) = 4 Für ie Ableitung von f a für x 1 gilt nach er Quotientenregel: f a(x) = x 3 + ax + 2a = (3x2 + a)(x + 1) (x 3 + ax + 2a) x x + 1 (x + 1) 2 = 2x3 + 3x 2 a (x + 1) 2 Für a 1 ist f a bei x = 1 nicht ifferenzierbar. Für a = 1 gilt für ie Ableitung: f 1 (x) = 2x 1, un somit f 1 ( 1) = 3. 1.2.3 Trigonometrische Funktionen un zyklometrische Funktionen Die Funktionen sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) sin eine wichtige Klasse ifferenzierbarer Funktionen. Die sin- un cos-funktion weren in er Analysis efiniert. Geometrisch entsprechen sie en bekannten Verhältnissen von Dreiecksseiten im Einheitskreis. Die Umkehrfunktionen er trigonometrischen Funktionen weren noch ausführlich im Vorkurs iskutiert weren. Dabei muss man besoners auf ie Definitionsbereiche achten. Für ie Umkehrfunktion er Sinus-Funktion erhält man etwa sin 1 : [ 1,1] [ π 2, π 2 ] Diese Funktion wir oft als Arcussinus bezeichnet: sin 1 (x) arcsin(x). Ähnlich schreibt man auch für ie Umkehrfunktionen es cos(x),tan(x) un cot(x). Es gelten folgene Differentiationsregeln: sin(x) = cos(x) x cos(x) = sin(x) x x arcsin(x) = 1 1 x 2 x arccos(x) = 1 1 x 2 x arctan(x) = 1 1 + x 2 x arccot(x) = 1 1 + x 2 Die Ableitung es tan(x) un cot(x) erhält man wie folgt über ie Quotientenregel: x tan(x) = ( ) sin(x) cos(x) cos(x) (sin(x) ( sin(x)) 1 = x cos(x) cos(x) 2 = cos(x) 2 = 1 + tan(x)2 x cot(x) = x ( ) cos(x) sin(x) sin(x) (cos(x) cos(x) = sin(x) sin(x) 2 = 1 sin(x) 2 = (1 + cot(x)2 ) 3

1.2.4 Exponential- un Logarithmus-Funktion Die Exponentialfunktion ist efiniert für reelle Zahlen a > 0 als f : R R + f(x) = a x = e x ln(a) Die azugehörige Umkehrfunktion, er Logarithmus zur Basis a lautet Ihre Ableitungen sin bestimmt urch Im nächsten Abschnitt wir gezeigt weren: f 1 : R + R f 1 (x) = log a (x) x ax = x ex ln(a) = ln(a) e x ln(a). x log a(x) = 1 x ln(a). Hierbei ist ln(x) log e (x) er natürliche Logarithmus, er ie Euler sche Zahl e lim n (1+ 1 n )n zur Basis hat. Für e gilt: ln(e) = 1. Insbesonere gilt für ie exp-funktion exp(x) e x : x ex = e x Man kann zeigen, ass exp ie einzige von Null verschieene Funktion ist, für ie gilt: xf(x) = f(x) un f(0) = 1. Das beeutet, ass ie Vielfachen er exp-funktion ie einzigen Funktionen sin, ie gleich ihrer eigenen Ableitung sin. Mehr zu iesen so genannten Differentialgleichungen wir noch im Vorkurs erklärt weren. 1.2.5 Ableitungen von Umkehrfunktionen Die im letzten Abschnitt angesprochenen Umkehrfunktionen sollen hier nun genauer untersucht weren: Zu einer Funktion f : A B verhält sich ihre Umkehrfunktion f 1 : B A wie folgt: un f 1 (f(x)) = x f(f 1 (x)) = x x A x B Dabei ist wichtig, ass beie Gleichungen gelten, was folgenes Beispiel zeigt: f : R R 0,f(x) = x 2 g : R 0 R 0,g(x) = x Es gilt zwar, ass f (g(x)) = ( x) 2 = x, aber bei g (f(x)) = x 2 = x ist ie wechselseitige Beingung nicht erfüllt, enn g bilet auf R 0 un nicht auf R ab. Also ist g(x) nicht ie Umkehrfunktion von f(x). 4

Um eine Funktion umkehren zu können, muss sie in em betrachteten Bereich bijektiv (injektiv un surjektiv) sein,.h. jees y aus em Wertebereich arf von höchstens einem x aus em Definitionsbereich erreicht weren (Injektivität). Ferner muss natürlich zu jeen y auch überhaupt ein x mit f(x) = y existieren (Surjektivität), a ja sonst ie Umkehrfunktion f 1 (y) keinen Funktionswert hätte. Unter er Annahme, ass es sich im Folgenen um eine bijektive un ifferenzierbare Funktion f(x) hanelt, eren Ableitung zuem nicht Null wir, kann folgener wichtiger Zusammenhang mit ihrer Umkehrfunktion formuliert weren: x f 1 (x) = 1 f (f 1 (x)). Man erhält iese Gleichung sofort mit er Kettenregel aus x f ( f 1 (x) ) = xx = 1. Offensichtlich ist es notwenig, ass f ( f 1 (x) ) 0 gilt. Beispiele: 1. Sei f(x) = exp(x) gegeben. Wir wissen noch aus er Schule, ass ihre Umkehrfunktion er natürliche Logarithmus f 1 (x) = ln(x) ist un wollen überprüfen, ob sich ie Ableitung von ln(x) nach er eben betrachteten Formel korrekt berechnen lässt: x f 1 (x) = x ln(x) = 1 f (ln(x)) = 1 exp(ln(x)) = 1 x Dabei wure verwenet, ass exp(x) = exp(x) un exp(ln(x)) = x. Das Ergebnis 1 x stimmt also mit em Schulwissen überein. Analog kann man zeigen, ass x log a(x) = 1 x ln(a) gilt. 2. Sei f(x) = tan(x) mit er Umkehrfunktion arctan(x) gegeben. Es gilt nach er Berechnungsformel: x (arctan(x)) = 1 f (arctan(x)) = 1 1 + tan 2 (arctan(x)) = 1 1 + x 2 Auch ieses Ergebnis stimmt mit er in Abschnitt 1.2.3 angegebenen Formel für arctan(x) überein. 1.3 Stetigkeit Definition: Sei I R ein Intervall. Eine Funktion f : I R heißt im Punkt x 0 R stetig, wenn gilt: Für jee reelle Zahl ǫ > 0 existiert ein δ (ǫ,x 0 ) > 0, soass für alle x I mit x 0 x < δ folgt f(x 0 ) f(x) < ǫ Das beeutet, ass eine kleine Veränerungen von x 0 aus em Definitionsbereich nur eine kleine Veränerungen es Funktionswertes f(x 0 ) bewirkt. Dies bestätigt ie Schulweisheit, ass eine Funktion ann stetig ist, wenn eren Graph gezeichnet weren kann, ohne ass man en Stift abheben muss. Es gilt folgene wichtige Beziehung zwischen Differenzierbarkeit un Stetigkeit: Satz: Eine ifferenzierbare Funktion f ist stetig. 5

Die Umkehrung es Satzes gilt nicht! Es gibt Funktionen, ie stetig sin, aber nicht im gesamten Definitionsbereich ifferenziert weren können. Das einfachste Beispiel hierfür ist ie Betragsfunktion: f : R R 0 f(x) = x Sie ist stetig in jeem Punkt, a ie Definition für Stetigkeit urch δ ǫ (z.b. δ = 1 2ǫ) erfüllt ist, aber f im Punkt x 0 = 0 nicht ifferenziert weren kann. 2 Funktionen mehrerer reeller Veränerlicher 2.1 Definitionen Definition: Eine Funktion, ie von n Variablen abhängt, hat im Allgemeinen folgene Form: f : D R m, wobei D R n (n,m N). Man schreibt f(x) = f(x 1,...,x n ), wobei x = (x 1,...,x n ) D. Funktionen in einer reellen Variablen sin bei Anwenungen in er Physik in er Regel nicht auf ganz R efiniert, sonern auf schönen Teilmengen, wie etwa Intervallen oer auf R weniger einigen Punkten. Ähnlich verhält es sich bei Funktionen mehrerer Variablen. Für unsere Zwecke kann man annehmen, ass er Definitionsbereich D einer solchen Funktion schön ist, also etwa ein Quaer, eine Kugel oer ähnlich einfache Bereiche. Man nennt eine Menge D offen, wenn alle Ranpunkte nicht zur Menge gehören. D heißt abgeschlossen, falls ie Ranpunkte zur Menge azugehören. Für Mengen unserer Anschauung D R 2 oer D R 3 hat er Begriff ie anschauliche Beeutung. Wir weren uns zunächst un in en meisten Fällen auf en Sonerfall m = 1 beschränken, also auf Funktionen, ie von einem n-imensionalen Raum in ie reellen Zahlen abbilen. Beispiele: 1. Die Funktion f 1 gibt ie Differenz zwischen zwei reellen Zahlen an: f 1 : R 2 R f 1 (x 1,x 2 ) = x 1 x 2 2. Die Funktion f 2 ornet jeem Raumpunkt P = (x,y,z) eine Temperatur T zu. Es gilt also n = 3 un z.b. folgene Temperaturverteilung T(P) = f 2 (x,y,z) = e xy z + x 2 y 2 + 1 2 z Definition: Eine Funktion f : D R m, D R n, heißt für m = 1 Skalarfel m 1 vektorwertige Funktion n = m Vektorfel 6

2.2 Stetigkeit Der Begriff er Stetigkeit einer Funktion einer Variablen ist von großer Beeutung. So gilt für stetige Funktionen f : I R er Zwischenwertsatz. Stetige Funktionen nehmen auf einem Kompaktum 1 Maximum un Minimum an. Ferner lassen sich Limiten bei stetigen Funktionen einfach ausführen: lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Bei Funktionen mehrerer Variablen ist Stetigkeit ein ebenso wichtiger Begriff. Definition: Sei ( x (k)) k=1 eine Folge in Rn,.h. x (k) = ( x k ( 1 n),...,xk. Man sagt, ass x (k) ) gegen x ( ) konvergiert Jee Teilfolge x (k) j konvergiert gegen x j (j = 1,...,n). k=1 Beispiele: 1. Die Folge ( 1 n,31 n) konvergiert gegen (0,0). (Bemerkung: Die Folgenglieer liegen alle auf er Geraen y = 3x.) 2. Die Folge ( 1 n cos(n), 1 n, 1 n sin(n)) konvergiert gegen (0,0,0). Definition: Sei D R n un f : D R m eine Abbilung. Man sagt f ist stetig im Punkt x 0 D, wenn für jee Folge ( x (k)) k=1 mit: x (k) D k = 1,2,... gilt: x (k) x 0 f(x (k) ) f (x 0 ) Beachte: Schreibt man f(x) = (f 1 (x),...,f m (x)), ann ist f stetig im Punkt x 0 D genau ann, wenn jee Komponentenfunktion f j (x) stetig ist im Punkt x 0. Beispiele: 1. f : R 2 R, (x,y) 3x 2 y x ist stetig. 2. Ist f polynomial,.h. eine enliche Summe von Termen er Form cx r y s, so ist f : R 2 R stetig. 3. Ist f : R n R polynomial, mit cx r 1 1 xr 2 2...xrn n, so ist f ebenso stetig. 2.3 Partielle Ableitung Definition: Sei D R n offen un f ein Skalarfel f : D R. Unter er partiellen Ableitung von f nach er k-ten Variable x k versteht man folgenen Grenzwert: lim h 0 f(x 1,...,x k 1,x k + h,x k+1,...,x n ) f(x 1,...,x n ), h 1 Eine Menge D R n heißt Kompaktum, falls D abgeschlossen un beschränkt ist. 7

.h. man lässt alle Variablen bis auf x k konstant un betrachtet analog zur Ableitung für einimensionale Funktionen en Grenzwert für h 0. Falls ieser Grenzwert für x k exisitiert, schreibt man für ihn: f x k xk f k f Das geschwungene rückt aus, ass es sich bei er abzuleitenen Funktion um eine Funktion mit mehreren Variablen hanelt. Existiert er Grenzwert für jee Variable x k mit 1 k n, so heißt ie Funktion f partiell ifferenzierbar un man schreibt: ( f Df =, f,..., f ) = ( x1 f, x2 f,..., xn f) x 1 x 2 x n Df heißt Jacobi-Matrix von f un stellt im Allgemeinen eine m n-matrix ar. Sie enthält alle partiellen Ableitungen einer Funktion. Im Falle m = 1 erhält man einen Zeilenvektor, er ie partiellen Ableitungen als Komponenten enthält. Möchte man klar machen, an welchem Punkt ie Jacobi-Matrix ausgewertet wir, so schreibt man etwa D x f oer Df(x). Beispiele: 1. Sei f : R 2 R as Skalarfel f (x 1,x 2 ) = 1 3 x 1x 2 + 2x 2 2. Dann gilt für ie partiellen Ableitungen: x1 f = 1 3 x 2 Un für ie Jacobi-Matrix erhält man Df = x2 f = 1 3 x 1 + 4x 2 ( 1 3 x 2, 1 ) 3 x 1 + 4x 2 2. Sei g : R 3 R mit g (x,y,z) = ( x 2 y ) exp ( z) Dann gilt: x g = 2x exp ( z), y g = exp ( z) z g = ( y x 2) exp ( z) Für ie Jacobi-Matrix gilt emnach: Dg = exp ( z) (2x, 1,y x 2) Definition: Sei D R n offen un f : D R ein stetig partiell ifferenzierbares Skalarfel (.h. Df existiert un alle Komponenten sin stetig in allen Variablen). Die Ableitung er k-ten Spalte von 8

Df nach er i-ten Variablen, sofern sie existiert, heißt zweite partielle Ableitung nach x k un x i. Man schreibt: f 2 f xi xk xi xk Analog können auch ritte un höhere Ableitungen gebilet weren. Man schreibt auch: 2 f xi xk 2 x i x k f Satz von Schwarz: Für ein Skalarfel f : D R, as zweimal stetig partiell ifferenzierbar ist, ist ie Reihenfolge er Differentiation irrelevant. Es gilt also für stetige zweite partielle Ableitungen: ( ) f = ( ) f y x x y wobei x un y hier stellvertreten für zwei Variable genannt weren. Die Stetigkeit er Ableitungen ist hierbei wesentlich, a es Gegenbeispiele für obige Gleichheit gibt, wenn man nur zweifache partielle Differentiation voraussetzt. Für ein Skalarfel mit n Variablen gibt es n erste un n 2 zweite partielle Ableitungen (vorausgesetzt sie existieren alle). Währen ie erste Ableitung von f urch einen Zeilenvektor repräsentiert weren kann, wir D 2 f urch eine quaratische Matrix argstellt: Die Hesse-Matrix. Sie beinhaltet alle möglichen Kombinationen von zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion: x 2 1 x 1 f x 2 2 x 1 f 2 x nx 1 f D 2 x 2 1 x 2 f x 2 2 x 2 f x 2 nx 2 f f =...... x 2 1 x n f x 2 2 x n f x 2 nx n f Nach em Satz von Schwarz ist iese Hesse-Matrix für stetige zweite partielle Ableitungen symmetrisch 2,.h. as Element in Zeile i un Spalte j ist gleich em Element in Spalte i un Zeile j. Insbesonere hat in iesem Fall D 2 f nur reelle Eigenwerte, was bei einem Test auf Minima un Maxima nützlich ist. Beispiel: Sei f(x,y) as Skalarfel f(x,y) = x 2 y xy 2 Offensichtlich ist f : R 2 R un es gibt zwei erste partielle Ableitungen x f un y f. Für ie Jacobi-Matrix gilt: Df = ( 2xy y 2,x 2 2xy ) Die Jacobi-Matrix Df ist stetig in beien Komponenten, enn ie Komponentenfunktionen x f un y f sin jeweils Polynome in x bzw. y un amit stetig. Nun ist es möglich, alle n 2 = 4 zweiten partiellen Ableitungen zu berechnen: 2 xxf = 2y 2 Eine Matrix M heißt symmetrisch, falls M T = M gilt. yx 2 f = 2x 2y 9

2 xyf = 2x 2y Für ie Hesse-Matrix ergibt sich somit: D 2 f = 2 2 yy f = 2x ( y x y x y x ) Man sieht, ass ie Hesse-Matrix symmetrisch ist, was aufgrun es Satzes von Schwarz auch zu erwarten war, a auch ie alle zweiten partiellen Ableitungen Polynome in x un y un amit wieer stetige Funktionen sin. 2.4 Totale Ableitung Es hat sich herausgestellt, ass Funktionen in mehreren Variablen, ie partiell ifferenzierbar sin, och noch nicht alle Eigenschaften besitzen, ie man bei ifferenzierbaren Abbilungen gerne hätte. Um ies herauszuarbeiten, betrachten wir zunächst noch einmal en Fall n = m = 1. Die Ableitung am Punkte x 0 f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x x 0 x x 0 kann man auch so ausrücken: 1. Ist f im Punkt x 0 ifferenzierbar un schreibt man f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + R(x,x 0 ) ann gilt: R(x,x 0 ) lim = 0 x x 0 x x 0 2. Umgekehrt: wenn sich f(x) schreiben in er Form schreiben lässt mit f(x) = f(x 0 ) + A(x x 0 ) + R(x,x 0 ) R(x,x 0 ) lim = 0 x x 0 x x 0 ann ist f im Punkt x 0 ifferenzierbar un es gilt: A = f (x 0 ). Vergleicht man f(x) mit er Geraen y = f(x 0 ) + A(x x 0 ), so sieht man, ass f genau ann ifferenzierbar ist im Punkt x 0, wenn sich er Graph er Funktion f(x) so urch eine Gerae y(x) = f(x 0 ) + A(x x 0 ) annähern lässt, soass f(x) y(x) lim = 0. x x 0 x x 0 Für Funktionen in mehreren Dimensionen verallgemeinert man ieses Definition recht irekt: Definition: Eine Funktion f : D R m heißt total ifferenzierbar (oer einfach ifferenzierbar) im Punkt x 0 D, falls es eine m n-matrix A gibt mit f(x) = f(x 0 ) + A(x x 0 ) + R(x,x 0 ) 10

un R(x,x 0 lim x x 0 x x 0 = 0. Man kann ann zeigen, ass f partiell ifferenzierbar ist un ass gilt: A = Df(x 0 ). Im Falle m = 1 besagt obige Definition, ass f ifferenzierbar ist im Punkt x 0, wenn er Graph von f um (x 0,f(x 0 )) urch eine Ebene beliebig gut approximiert weren kann. Diese Ebene ist ann ie Tangentialebene es Graphen von f am Punkt x 0. Beachte: Im Falle n = m = 1 ist f (x 0 ) ie 1 1-Jacobi-Matrix von f im Punkt x 0. Währen ie Definition er totalen Differenzierbarkeit einer Abbilung geometrisch befrieigen ist un etwa auch Stetigkeit impliziert, so wünscht man sich och eine hanlichere Möglichkeit, Funktionen auf Differenzierbarkeit zu testen. Satz: Eine Funktion f ist stetig partiell ifferenzierbar genau ann, wenn f total ifferenzierbar ist mit stetiger Jacobi-Matrix. Für (total) ifferenzierbare Funktionen gilt folgene grunlegene Rechenregel: D(af + bg) = a Df + b Dg Sin f un g Skalarfeler, ann gilt auch ie Prouktregel un ie Quotientenregel Von größter Beeutung ist ie Kettenregel: D D(fg) = f Dg + g Df ( ) f g Df f Dg = g g 2. D x (f g) = D g(x) f D x g Hierbei steht auf er rechten Seite as Proukt er Jacobi-Matrizen D g(x) f un D x g. Beispiel: Sei f(x, y) total ifferenzierbar. Sei g(r, θ) = (rcos(θ), rsin(θ)). Dann ist g total ifferenzierbar (enn g ist stetig partiell ifferenzierbar) un bei ˆf(r,θ) = f (rcos(θ),rsin(θ)) gilt: D r,θ ˆf = Dg(r,θ) f D (r,θ) g. In iesem Beispiel ist Df ein Zeilenvektor un g eine 2 2-Matrix: Df = ( x f, y f) ( cos(θ) rsin(θ) Dg = sin(θ) rcos(θ) ) 11

Also r ˆf = cos(θ) x f + sin(θ) y f θ ˆf = rsin(θ) x f + rcos(θ) y f wobei man auf er linken Seite as Argument (r,θ) einsetzt un rechts in ie partiellen Ableitungen von f as Argument (rcos(θ),rsin(θ)). 2.5 Richtungsableitung Definition: Zu einem ifferenzierbaren Skalarfel f sei ein Einheits-Vektor e R n gegeben,.h. e = 1. Die reelle Zahl t f(x 0 + te) t=0 heißt Richtungsableitung von f im Punkt x 0 in Richtung e, falls sie existiert. Beispiel: Ein Bergsteiger steht vor einem Bergmassiv, as sich im 60 -Winkel entlang er x-achse erstreckt. Die Höhenfunktion z(x,y) ist also unabhängig von y: (Beachte: tan(60 ) = 3) z(x,y) = 3x Beim Berechnen er Richtungsableitung muss man ie Kettenregel beachten: Es gilt nämlich: mit g(t) = x 0 + te. Es gilt also: t f (g(t)) t=0 = Mit g(0) = x 0 un tg(t) = e erhält man: f(x 0 + te) = f(g(t)) [ Df (g(t)) ] t g(t) t=0 t f(x 0 + te) t=0 = Df(g(x 0 )) e Dieser Ausruck stellt ein Matrizenproukt ar. Nach en Regeln er Matrizenmulitplikation ergibt ies einen Skalar, a Df ein Zeilenvektor un e ein Spaltenvektor ist. Damit ist ie Beingung, ass ie Richtungsableitung efinitionsgemäß aus R sein muss, erfüllt. Setzt man für en Bergsteiger im Beispiel e in Richtung er x-achse an, also e = ( ) 0 sich erwartungsgemäßg für ie Steigung in x-richtung am Punkt x 0 = : 0 t z (x 0 + te) t=0 = (( 0 t z 0 ) ( 1 + t 0 )) ( ) ( 1 t=0 = 3,0 0 ( 1 0 ) = 3ˆ=60 ), so ergibt Möchte man ie Richtungsableitung mit allgemeinem e berechnen, so muss arauf geachtet weren, ass stets e = 1 eingehalten wir. Wanert man so auf en Berg, soass ie Projektion er Wanerrichtung einen Winkel von 45 mit er x-achse einschließt, ( so) hat man eine Steigung von etwa 50,8 zu überwinen. Für en Richtungsvektor e kann e = 1 1 2 verwenet weren. (Nachrechnen!) 1 12

2.6 Besonere Ableitungen 2.6.1 Der Graient Definition: Sei f ein ifferenzierbares Skalarfel. Unter em Graienten gra f von f versteht man en Vektor gra f = ( x1 f, x2 f,..., xn f) Häufig verwenet man auch en Vektor Nabla f : f = x1 f x2 f. xn f Diese besoneren Vektoren enthalten alle Ableitungen eines Skalarfeles als Komponenten. Man kann sehen, ass für Skalarfeler f gleich er Transponierten von Df ist: f = (Df) T, un ass Df = gra f gilt. Wegen er Gleichheit gra f v = f,v wir auch f ebenfalls oft als Graient bezeichnet. Satz: Der Graient an einem Punkt zeigt stets in Richtung es größten Anstiegs. Damit erschließen sich vielerlei Anwenungsbereiche: In er Geographie beispielsweise gilt ie Aussage, ass ein Fluss stets entlang es negativen Ortsgraienten verläuft. Auch in er Physik sin viele wichtige Größen als Graient efiniert: So wir as elektrische Fel als negativer Graient es elektrischen Potentials interpretiert. Beispiel: Man betrachte as Skalarfel f(x,y) = x 2 + y 2, as en Betrag einer komplexen Zahl z = x + iy angibt. Für en Graienten er Funktion ergibt sich: ( ) 1 x f = x 2 + y 2 y Anschaulich beeutet ies: Befinet man sich an einem Punkt ( ) z = (x, y) (0, 0), so lässt sich urch x Entfernen vom Ursprung entlang er Verbinungslinie zwischen Ursprung un em Punkt y (x, y) auf schnellstmögliche Art er Betrag er komplexen Zahl vergrößern. Betrachtet man ie Polararstellung komplexer Zahlen, so erscheint iese Aussage trivial. Auffällig ist, ass er Graient nicht für (x, y) = (0, 0) efiniert ist. Dies lässt sich aurch erklären, ass im Ursprung keine ausgezeichnete Richtung existiert; es ist also im Ursprung egal, in welche Richtung man sich bewegt. Der Betrag er komplexen Zahl vergrößert sich bezüglich es Ursprungs in jeer Richtung ientisch. 2.6.2 Die Divergenz Definition: Sei f ein ifferenzierbares Vektorfel,.h. f : R n R ifferenzierbar. Unter er Divergenz von f versteht man folgenen Skalar: iv f = n k=1 f k xk 13

Um ie Divergenz 3 zu berechnen, müssen also ie einzelnen Komponentenfunktionen f k jeweils nach er Variablen x k ifferenziert un ie Ableitungen aufsummiert weren. Für ie Divergenz schreibt man auch f iv f Die mehrfache Verwenung es Nabla-Operators sollte nicht zu Missverstännissen führen, a er Typ er Funktion f ie Beeutung von bestimmt: Bei Skalarfelern ist mit er Graient un bei Vektorfelern ie Divergenz gemeint, was meist urch as Rechenzeichen vereutlicht wir. Beispiel: Sei f as Vektorfel f(x,y,z) = x 2 x 1 + y 2xz y 2 Man finet: f = 2x 1 + 1 + 2x = 0 Die Divergenz von Vektorfelern vor allem in er Physik hat eine wichtige anschauliche Beeutung: Sie ist ein Maß für ie Quellenichte eines Vektorfeler. Ist ie Divergenz eines Fel-Bereiches positiv, so ist ieser Bereiche eine Quelle es Vektorfeles. Ist sie agegen negativ, so nennt man iesen Bereich eine Senke. In obigem Beispiel hat sich eine Divergenz von iv f = f = 0 ergeben. Man nennt solche Vektorfeler quellenfrei. 2.6.3 Die Rotation Definition: Sei f ein ifferenzierbares 3-imensionales Vektorfel,.h. f : R 3 R 3 ifferenzierbar. Die Rotation ist as Kreuzproukt aus em -Operator un f: rot f = f = x y z f 1 f 2 f 3 = y f 3 z f 2 z f 1 x f 3 x f 2 y f 1 Hierbei wuren ie Komponentenfunktionen von f wie üblich mit f 1,f 2,f 3 bezeichnet. Es gibt analog zur Divergenz bei er Deutung er Rotation en Begriff er Wirbelichte. Die Rotation stellt hier ein Maß für ie Existenz bzw. ie Nicht-Existenz von Wirbeln in einem Vektorfel ar. Der -Operator ist ein so genannter Differentialoperator. Er wirkt auf Funktionen (Skalarfeler, Vektorfeler) un liefert als Ergebnis beispielsweise en Graienten, ie Divergenz, oer ie Rotation. Man schreibt en -Operator als Spaltenvektor: x 1 x 2. x n Seine Interpretation in Formeln erfolgt stets nach en Regeln er Matrizen- bzw. Vektorrechnung. Somit lassen sich auch er Graient un ie Divergenz besser verstehen: 3 Betrachtet man ie Jakobi-Matrix Df zu em vorgegebenem Vektorfel f, so ist ie Divergenz urch ie Spur (Summe aller Elemente er Hauptiagonale Df ii) er Jakobi-Matrix gegeben: iv f = spur Df x1 x2. xn 14

Bei er Berechnung es Graienten wir er -Operator (von rechts) mit einem Skalarfel f multipliziert. Es entsteht also wieer ein Spaltenvektor, er gemäß er skalaren Multiplikation er Vektorrechnung gebilet wir: f = (Df) T. Die Divergenz entsteht urch Matrizen-Multiplikation es Operators Df = ( f) T mit einem Vektorfel. Man kann ies auch als inneres Proukt von mit f betrachten. Die Rotation ist wie eben erläutert as Kreuzproukt aus em -Operator un einem 3- imensionalem Vektorfel f. Beispiel: Wir betrachten as Vektorfel f(x, y, z) = y x 1. Zur Berechnung er Rotation muss as Kreuzproukt mit em -Operator berechnet weren. Für ie Komponentenfunktionen gilt: f 1 = y f 2 = x f 3 = 1 Somit erhält man für ie Rotation y f 3 z f 2 rot f = z f 1 x f 3 = x f 2 y f 1 0 0 0 0 1 ( 1) = 0 0 2 Wichtige Beziehungen zwischen Graient, Divergenz un Rotation Satz: Graientenfeler sin wirbelfrei: rot gra f = 0 Satz: Wirbelfeler sin quellenfrei: iv rot f = 0 Zum Beweis ieser Sätze genügt es auf Komponentenebene zu rechnen,.h. ie Vektoren vollstänig auszuschreiben un nach en Regeln er Vektorrechnung ie Richtigkeit er Formeln zu bestätigen. Eine wichtige Anwenung finen iese Formeln in en Maxwell-Gleichungen er Elektroynamik un ganz grunsätzlich in er Theoretischen Physik. 2.7 Maxima- un Minimaprobleme von Funktionen mehrerer Variablen Ein häufige auftretenes Problem ist es, bei vorgebenen Funktionen ie Extremwerte zu bestimmen. Gibt es solche Werte? Un wenn ja, wo were sie angenommen? Die hierzu benötigte Theorie benutzt ie neuen Begriffen wie Differentiation un Hesse-Matrix, ist jeoch von er Iee her sehr eng verwant mit en Methoen, ie von er Theorie er Funktionen einer Variablen bekannt sin. 15

Definition: Sei f : D R,D R n ein ifferenzierbares Skalarfel. Ein Punkt x 0 D mit Df(x 0 ) = 0 heißt kritischer Punkt von f. Satz: Ist f ein Skalarfel un x 0 R n ein Minimum oer Maximum er Funktion f, so gilt für en Graienten f = 0. Das beeutet, ass as Verschwinen aller partiellen Ableitungen er Funktion f ( f = 0) eine notwenige Beingung für ie Existenz eines Minimums oer eines Maximums eines Skalarfeles f ist. Die Forerung f = 0 liefert Kaniaten x 0 für Extrema. Bei Funktionen einer Variablen kann man unter gewissen Umstänen ie zweiten Ableitungen verwenen, um festzustellen, ob Extremwerte vorliegen. Ähnlich zur Vorgehensweise bei Funktionen einer Variablen kann bei Funktionen mehrerer Variablen, ebenfalls unter gewissen Umstänen, ie zweite Ableitung von f, ie Hesse-Matrix, verwenet weren, um zu entscheien, ob Extremwerte vorliegen. Wir gehen im Folgenen von einer symmetrischen Hesse-Matrix aus, setzen also Stetigkeit aller zweiten partiellen Ableitungen voraus. Satz: Ist x 0 ein kritischer Punkt eines Skalarfeles f un ist D 2 f x0 positiv (negativ) efinit, so besitzt f an ieser Stelle ein Minimum (Maximum). Definition: Eine symmetrische Matrix M heißt positiv (negativ) efinit, falls alle Eigenwerte λ er Matrix positiv (negativ) sin. Eigenwerte sin Lösungen er Gleichung Mv = λv, wobei v ein Eigenvektor er Matrix mit azugehörigem Eigenwert λ ist. In er Linearen Algebra lernt man ie hierzu gehörige Eigenwerttheorie von Matrizen. Die Eigenwerte λ erhält man urch Lösen er Gleichung χ M (λ) = et (M λ E n ) = 0. Hierbei heißt χ M (λ) as charakteristische Polynom von M un mit E n ist ie n-te Einheitsmatrix gemeint, wobei n für ie Anzahl er Variablen steht. Es ergeben sich im Allgemeinen n Lösungen λ 1,...,λ n für ie Eigenwerte. Ist x 0 ein kritischer Punkt von f un M = D 2 f x0 un gilt für alle Lösungen von χ(λ i ) = 0 immer λ i > 0 (bzw. immer λ i < 0), so ist f(x 0 ) Minimum (Maximum) es Skalarfeles. Beispiel: Sei n = 2 un f as Skalarfel f(x,y) = x 2 y + y 2 + 1 2 x2 1 Berechnet man ie erste Ableitung Df = ( x f, y f), so erhält man Df = ( 2xy + x,x 2 + 2y ) Man finet ie rei kritischen Punkte x 1,x 2 un x 3 : x 1 = (0,0) 16

( x 2 = 1, 1 ) 2 ( x 3 = 1, 1 ) 2 Für as weitere Vorgehen un ie genaue Untersuchung er kritischen Punkte muss ie Hesse-Matrix bestimmt weren. Es gilt: ( ) D 2 2y + 1 2x f = 2x 2 Im Folgenen weren ie Eigenwerte er Hesse-Matrix für ie einzelnen kritischen Punkte berechnet: 1. Für en ersten kritischen Punkt x 1 = (0,0) ergibt sich ie Hesse-Matrix zu ( ) D 2 1 0 f x1 = 0 2 Das hierzugehörige charakteristische Polynom lautet: [( ) ( )] ( 1 0 1 0 1 λ 0 χ 1 (λ) = et λ = et 0 2 0 1 0 2 λ ) = (1 λ)(2 λ) = 0 Als Lösungen ergeben sich λ 1 = 1 un λ 2 = 2. Beie sin positiv, also besitzt as Skalarfel f bei x 1 = (0,0) ein Minimum. 2. Für x 2 = ( 1, 1 2) hat ie Hesse-Matrix folgene Gestalt: D 2 f x1 = ( 0 2 2 2 Es muss wieer as charakteristische Polynom bestimmt weren: ( ) λ 2 χ 2 (λ) = et = λ (2 λ) ( 2) 2 = λ 2 2λ 4 = 0 2 2 λ Als Lösungen finen sich hier λ 1 = 1 5 < 0 un λ 2 = 1 + 5 > 0. In iesem Falle ist ie Matrix inefinit,.h. es gibt Eigenwerte ie positiv sin, als auch Eigenwerte, ie negativ sin. Ein solcher Punkt eines Skalarfeles heißt Sattelpunkt, a es sich hierbei weer um ein Minimum, noch um ein Maximum er Funktion hanelt, aber um einen Punkt, an em er Tangentialraum horizontal ist. 3. Man kann nun auch für en ritten kritischen Punkt x 3 = ( 1, 1 2) ie zugehörige Hesse-Matrix un as charakteristische Polynom χ 3 (λ) bestimmen. Als Ergebnis erhält man ie selben Eigenwerte wie für x 2, was aufgrun er Symmetrie er Funktionsgleichung f für ie Variable x einsichtig ist, a f in x eine gerae Funktion arstellt. Die Untersuchung er kritischen Punkte hat also ein Minimum un zwei Sattelpunkte ergeben. ) 17