Die Empirische Verhaltensfunktion des Elektrischen Durchschlages bei Blitzspannung

Seite 3.1 von 3.19 Die Empirische Verhaltensfunktion des Elektrischen Durchschlages bei Blitzspannung Beispiel: Statistik für Elektrotechniker, Mosch, Hauschild, Seiten 44, 49, 127 Isolieranordnung ist eine Funkenstrecke in Luft Die empirische Verhaltensfunktion wird messtehnisch ermittelt... mit je 100 Durchschlagversuche mit Konstanter Blitzstossspannung mit l = 12 verschiedenen Spannungswerten (l ist der Buchstabe el ) mit der Anzahl k l der Durchschlägen von 2 von 100 bis 99 von 100 mit der relativen relative Durchschlagswahrscheinlichkeit h l von 2% bis 99% mit den Konfidenzgrenzen bei statistischer Sicherheit ε = 95 % mit Benutzung des Quantils der Normalverteilung λ q = 1,959964

Seite 3.2 von 3.19 n = 100 95% 95% Spannungs Spannung Anzahl der Relative Konfidenz Konfidenz stufe Durchschläge Durchschlags grenze grenze häufigkeit unten oben l Ud kl hl pu po kv 1 1065 2 0,02 0,006 0,070 2 1071 3 0,03 0,010 0,085 3 1075 5 0,05 0,022 0,112 4 1083 11 0,11 0,063 0,186 5 1089 10 0,1 0,055 0,174 6 1094 21 0,21 0,142 0,300 7 1100 29 0,29 0,210 0,385 8 1107 48 0,48 0,385 0,577 9 1111 56 0,56 0,462 0,653 10 1120 88 0,88 0,802 0,930 11 1128 98 0,98 0,930 0,994 12 1135 99 0,99 0,946 0,998 Tabelle: Versuchsergebnisse und Auswertung Verhalten der Funkenstrecke bei Blitzstossspannung Mit jeweils einer konstanten Spannung U d werden n = 100 Blitzimpulse an die Funkenstrecke angelegt Dabei ergeben sich k l Durchschläge und 100 - k l Nicht-Durchschläge. Die relative Durchschlagswahrscheinlichkeit berechnet man mit h l = k l n Wegen der kleinen Anzahl n = 100 ist der Wert von h l mit Unsicherheit behaftet. Der Wert von h l liegt mit einer statistischen Sicherheit ε = 95 % zwischen h lmin = p u und h lmax = p o.

Seite 3.3 von 3.19 Bild: Empirische Verhaltensfunktion h l (U d ) kleine Blitzstossspannungen; Ud < 1050 kv ; Durchschlagswahrscheinlichkeit h = 0 ; Funkenstrecke hält sicher grosse Blitzstossspannungen; Ud > 1140 kv ; Durchschlagswahrscheinlichkeit h = 1 ; Funkenstrecke schlägt immer durch Parameter für die Nachbildung der Empirischen Verhaltensfunktion h l (U d ) mit einer Gauss-Funktion Φ(U d ): 50 % Durchschlagspannung ; U d50% = ca. 1108 kv ; Durchschlagswahrscheinlichkeit h = 0,5 = 50 % 15,87 % Spannung ; U d15,87% = U d50% - σ Ud = 1108 kv - 11 kv = 1097 kv 84,13 % Spannung ; U d84,13% = U d50% + σ Ud = 1108 kv + 11 kv = 1119 kv

Seite 3.4 von 3.19 Beispiel für die Berechnung der Durchschlagswahrscheinlichkeit mit Hilfe der Gauss-Funktion (Normalverteilung) µud σud := 1108kV Erwartungswert, 50% Durchschlagspannung := 11kV Standardabweichung UdL := 1120kV Spannung, für welche die Durchschlagswahrscheinlichkeit zu berechnen ist ΦUdL := 0.5 + UdL µud 1 σud exp 2π ( t µud) 2 2 σud 2 dt ΦUdL = 0.862 Durchschlagswahrscheinlichkeit bei UdL Weitere Werte U dl = U d50% = 1108 kv Φ(U dl ) = 0,5 = 50 % U dl = U d50% - σ Ud = 1097 kv Φ(U dl ) = 0,1587 = 15,87 % U dl = U d50% + σ Ud = 1119 kv Φ(U dl ) = 0,8413 = 84,13 %

Seite 3.5 von 3.19 Empirische Verhaltensfunktion 1,1 1 0,9 0,8 Wahrscheinlichkeit 0,7 0,6 0,5 0,4 hl pu po ga2 0,3 0,2 0,1 0 1060 1065 1070 1075 1080 1085 1090 1095 1100 1105 1110 1115 1120 1125 1130 1135 1140 Ud / kv lila: Empirische Verhaltensfunktion h l (U d ), schwarz: Gauss-Verteilung Φ(U d ) als Näherung

Wegen der endlichen Zahl n = 100 Versuche pro Spannungsstufe ist jeder Wert h(ud) mit einer Unsicherheit behaftet. Mit einer statistischen Sicherheit ε = 95 % liegt h(ud) im Intervall pu < h(ud) < po, hier z.b. 0,0052 < 0,02 < 0,07. Berechnung der Konfidenzgrenzen pu und po bei Statistischer Sicherheit ε = 95% Seite 3.6 von 3.19 zb Stufe l = 1 Seite 127 Ud := 1065 kv konstante Spannung beim Test kl := 2 Anzahl der Durchschläge n := 100 Anzahl der Versuche kl hl := hl = 0.02 Relative Durchschlagshäufigkeit n pu 1 λq 2 kl ( n kl) λq 2 := kl + λq + pu = 5.502 10 3 n + λq 2 2 n 4 po 1 λq 2 kl ( n kl) λq 2 := n + λq 2 kl + + λq + po = 0.07 2 n 4 KI := po pu KI = 0.065 Breite des Konfidenz Intervalls

Im folgenden wird ein Verfahren zur Berechnung des Risikos R für einen Durchschlag gezeigt. Seite 3.7 von 3.19 Mit Index d werden die Größen für die Festigkeit der Isolationstrecke bezeichnet Mit Index ü werden die Größen für die Überspannungen im Netz bezeichnet. Beispiel Die Festigkeit einer Luft-Isolation sei statistisch normalverteilt. Bei U LI = 700 kv hat man 0%, also keine Durchschläge, bei U LI = 1000 kv führen 50% der Blitzimpulse zum Durchschlag bei U LI = 1300 kv führen 100% der Blitzimpulse zum Durchschlag. Im Bereich zwischen 700kV und 1300kV gibt es eine Gauss-Verteilung. Beispiel: Die Gaus-Verteilung der Durchschlagspannung habe die Parameter 50% Meridian, Erwartungswert U d50% = d = 1000kV Standard-Abweichung d = 100kV Dichtefunktion der Durchschlagsspannung d = Verteilungsfunktion der Durchschlagsspannung d = 1 $ exp( (U d d ) 2 2 ) 2 $ d 2$ d 1 U 2 $ d $ d exp( (U d d ) 2 2 ) $ du 2$ d d

Seite 3.8 von 3.19 Verteilung 1,1 5,5E-06 1,0 5,0E-06 0,9 4,5E-06 0,8 4,0E-06 Verteilung Phi(Ud) / 1 0,7 0,6 0,5 0,4 3,5E-06 3,0E-06 2,5E-06 2,0E-06 Dichte phi(ud) / (1/V) 0,3 1,5E-06 0,2 1,0E-06 0,1 5,0E-07 0,0 0,0E+00 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 Ud / kv Bild 8 : Verteilungsfunktion Φ(U d ) und Dichtefunktion ϕ(u d ) der Durchschlagspannung U d im linearen Maßstab 50% Meridian, Erwartungswert U d50% = d = 1000kV Standard-Abweichung d = 100kV

Seite 3.9 von 3.19 Verteilungsfunktion Phi(Ud) im Gauss Wahrscheinlichkeits Papier 2000 1900 1800 1700 1600 1500 1400 1300 1200 1100 X 1000 900 800 700 600 500 400 300 99,95 99,90 99,80 99,70 99,60 99,50 99,00 98,00 97,00 96,00 95,00 90,00 84,13 80,00 70,00 60,00 50,00 200 100 40,00 30,00 20,00 15,87 10,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0-3,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Bild 9 : Die Verteilungsfunktion der Durchschlagspannung U d zeigt sich im Wahrscheinlichkeitspapier als eine Gerade

Seite 3.10 von 3.19 Da die Amplituden der Blitze variieren, gibt es eine statistische Verteilung der Überspannungen in einem Netz Beispiel: Die Gaus-Verteilung (Normal-Verteilung) der Überspannungen habe die Parameter Erwartungswert der Überspannungen U ü50% = ü = 700kV Standard-Abweichung der Überspannungen ü = 150kV Dichtefunktion der Überspannung ü = 1 $ exp( (U d d ) 2 2 ) 2 $ ü 2$ d Die Dichtefunktion der Überspannungen ist auf der folgenden Seite dargestellt. Verteilungsfunktion der Überspannung ü = 1 $ U ü 2 $ ü exp( (U ü ü ) 2 2 ) $ du 2$ ü ü

Seite 3.11 von 3.19 Dichtefunktion von Überspannung und Durchschlagsspannung 4,5E-06 4,0E-06 3,5E-06 3,0E-06 2,5E-06 2,0E-06 1,5E-06 1,0E-06 5,0E-07 0,0E+00 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 phi / (1/V) U / kv phi d Standabw. Erwartungswert phi ü SA, EW Bild 11 : Dichtefunktion der ϕ(uü) Überspannungen (rot) und der ϕ(ud) Durchschlagsspannungen (grün)

Wenn die Dichtefunktionen ϕ der Überspannungen und der Durchschlagsspannungen sich überlappen, kann es Durchschläge geben. Die Fehlerwahrscheinlichkeit für einen Durchschlag nennt man das Risiko R. Für die Berechnung von R wird zuerst wird der Ausdrück X berechnet X = ü d ü 2 + d 2 Mit diesem Wert von X wird der zugehörige Wert der standardisierten Verteilungsfunktion berechnet (X,, ) = 0 = 1 Seite 3.12 von 3.19 Berechnung von Φ (X,, )= 1 $ x 2 $ exp( (t )2 2$ 2 ) $ dt Die Fehlerwahrscheinlichkeit bzw. das Risiko R für einen Durchschlag ist R = (X,, )

Beispiel für die Berechnung von R,,, Lösung mit MathCad U d50% = d = 1000kV d = 100kV U ü50% = ü = 700kV ü = 150kV µd = 1 10 6 V σd = 1 10 5 V µü = 7 10 5 V σü = 1.5 10 5 V Seite 3.13 von 3.19 Xdü := µü µd Xdü = 1.664 σü 2 + σd 2 Standardisierte Normalverteilung σn := 1 µn := 0 xn1:= 1000 xn2:= Xdü Φdü := xn2 xn1 1 exp σn 2π ( t µn) 2 2 σn 2 dt Φdü = 0.048 Rüd := Φdü Rüd = 0.048 Das Durchschlag-Risiko beträgt R = 0,048 = 4,8%. Dieser Wert ist bezogen auf alle Überspannungsereignisse. Bei 1000 normalverteilten Blitzspannungs-Impulsen kommt es in 48 Fällen zu einem Durchschlag.

Seite 3.14 von 3.19 Der Wert von R kann aus der Tabelle abgelesen werden. Beispiel X = -1,664 Wir benutzen ( X)=1 (X) ( 1, 664)=1 (1, 664) Werte für Φ aus der Tabelle a (1, 660)=0, 9515 b (1, 670)=0, 9525 R a = 1 0, 9515 = 0, 0485 R b = 1 0, 9525 = 0, 0475 R liegt zwischen R a und R b R l 0, 048 Bemerkung: Man sollte R nicht zu genau berechnen, da die Daten zur Bestimmung der Dichtefunktionen meist ungenau sind.

Seite 3.15 von 3.19

Seite 3.16 von 3.19 3,5 3,5 3500 3 3000 2,5 2500 2 2000 1,5 1500 1 1 1000 0,5 500 X 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 2 3 4 5 10 15,87 20 30 40 0-0,5 50 0 60 70 80 84,13 90 95 96 97 98 99 99,5 99,6 99,7 99,8-3,5 0 3,5 99,9 99,95 0-500 -1-1 -1000-1,664-1,5-2 -1500-2000 -2,5-2500 -3-3000 -3,5-3,5 Φ(X) -3500 Bild 16 : Der Wert von R kann aus dem Diagramm abgelesen werden R = (x) hier X = -1,664 gibt R=4,8%

Ausgangssitutation mit 4 Wahrscheinlichkeitsparameter, R = 0,048 = 4,8% U d50% = d = 1000kV, d = 100kV, U ü50% = ü = 700kV, ü = 150kV Übung 3. : Parameter-Untersuchung 3.1 Die Überspannungen werden gößer. Wie ändert sich R? U d50% = d = 1000kV, d = 100kV, U ü50% = ü = 800kV, ü = 150kV 3.2 Die Streung der Überspannung wird gößer. Wie ändert sich R? U d50% = d = 1000kV, d = 100kV, U ü50% = ü = 700kV, ü = 300kV 3.3 Bei welchem Wert wird R = 0,5? U d50% = d = 1000kV, d = 100kV, U ü50% = ü =?kv, ü = 150kV 3.4 Bei welchem Wert wird R = 0,9? U d50% = d =?kv, d = 100kV, U ü50% = ü = 700kV, ü = 150kV 3.5 In welchem Fall strebt man kleine Werte von R an? In welchem Fall strebt man große Werte von R an? Seite 3.17 von 3.19

Seite 3.18 von 3.19 Lösung zur Übung 3.1 bis 3.4 ud σd uü σü R kv kv kv kv 1 1000 100 700 150 0,048 3.11.1 1000 100 800 150 0,134 3.11.2 1000 100 700 300 0,171 3.11.3 1000 100 1000 150 0,500 3.11.4 469 100 700 150 0,900

Seite 3.19 von 3.19 Stehstoßspannungsprüfung mit 15 Impulsen 3.6 Berechnen Sie die zulässige relative Durchschlagshäufigkeit h l für k l = 0 ; 1 ; 2 Durchschläge von 15 Testimpulsen 3.7 Berechnen Sie jeweils pu und po mit einer statistischen Sicherheit ε = 95 % für h l Bemerkung: h l (Ud) liegt im Intervall pu < h(ud) < po