Computational Finance Kapitel 2.2: Monte Carlo Simulation Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität Bremen Hochschulring 4 / WiWi-Gebäude 28359 Bremen e-mail: poddig@uni-bremen.de 1
Gliederung: 2.2. Monte Carlo Simulation 2.2.1. Grundlegender Ansatz 2.2.2. Fallstudie: Simulation einer Stop-Loss-Strategie 2.2.3. Fallstudie: Simulation zum Cost-Average Effekt 2
2.2.1. Grundlegender Ansatz Simulation von Modellen mit Zufallsvariablen Monte Carlo in Anlehnung an weltbekannte Spielcasino Ursprünglich entwickelt in Los Alamos (1940er Jahre, amerikanische Forschungsprogramm zur Entwicklung der Atombombe) Idee: Approximative, simulationsbasierte Lösung von Problemen, bei denen analytische Lösungen fehlen oder zu zeitaufwändig sind 3
Prinzipielle Vorgehensweise Ziehung von Zufallszahlen Konstruktion der Realisation eines stochastischen Pfades Modellauswertung Verteilungseigenschaften der Zielgröße 4
Beispiel: Test einer Kapitalanlagestrategie Problem: Zentrale Zielgrößen, z.b. Rendite Risiko sind abhängig von der Wertentwicklung der benutzten Anlageinstrumente! Lösung des Problems: Analytische Approximation Monte Carlo Simulation 5
Lösung mittels Monte Carlo Simulation 1. Formulierung der Kapitalanlagestrategie 2. Formulierung des stochastischen Modells der Wertentwicklungen (Spezifikation von Modell und Parameter) 3. Ziehung von Zufallszahlen 4. Berechnung des stochastischen Pfades gemäß 2. 5. Auswertung der Strategie nach 1. 6. Ermittlung der Verteilung der Zielgröße(n) 6
2.2.2. Fallstudie: Simulation einer Stop-Loss-Strategie Problem: Stop-Loss-Strategie ist eine einfache Wertsicherungsstrategie. Vorgegeben ist ein am Ende des Anlagezeitraums zu erreichender Vermögensendwert. Der abdiskontierte Wert ist der sog. Floor. Sobald der Wert des Portfolios unter den Floor fällt, wird in vollständig in die risikofreie Anlage umgeschichtet. Welche Eigenschaften besitzt diese Strategie? 7
Beispielhafte Lösung: 1. Formulierung der Kapitalanlagestrategie Angenommen wird: a) Ein Anfangsvermögen von 1000 (Indexwert). b) Ein Anlagezeitraum von 10 Jahren. c) Eine garantierte Mindestverzinsung von 2% p.a. d) Eine sichere Anlagemöglichkeit zu 5% p.a. e) Eine 50:50 Aufteilung zwischen risikofreier und risikobehafteter Anlage f) Ein Handeln nach der beschriebenen Stop-Loss- Strategie. 8
2. Formulierung des stochastischen Modells: Random-Walk-Modell a) Random-Walk ohne Drift y 1 t y t t mit t standardnormalverteilte Zufallsvariable b) Random-Walk mit Drift mit y t y t 1 Driftkomponente t 9
Annahme der Verteilung und der Verteilungsparameter Stetige Renditen Normalverteilungsannahme Erwartungswert 8% p.a. Standardabweichung 20% p.a. Stochastische Modell der Wertentwicklung: P r t t exp(ln( P 1) ~ t N(0.08,0.2) r t ) 10
Wert Monte Carlo Simulation Kapitel 2.2 Schritte 3, 4 und 5: Pfad 1 Wertentwicklungen 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 2 4 6 8 10 Zeit Floor Risikoanlage Portfolio 11
Häufigkeit Monte Carlo Simulation Kapitel 2.2 6. Ermittlung der Verteilung der Zielgrößen Klasse Häufigkeit 1255,12086 1 1630,92371 103 2006,72656 32 2382,52941 28 2758,33226 12 3134,13512 6 3509,93797 7 3885,74082 6 4261,54367 0 4637,34652 2 5013,14937 1 5388,95222 0 5764,75508 1 6140,55793 0 und größer 1 120 100 80 60 40 20 0 1255,120859 Histogramm 2006,726561 2758,332264 3509,937967 4261,54367 5013,149372 Klasse 5764,755075 und größer Häufigkeit 12
Aufgaben: 1. Umsetzung des Beispiels mit Excel und den PopTools 2. Umsetzung des Beispiels mit Matlab 13
Mit Excel und den PopTools 14
Mit Matlab: Histogramm der Verteilung des Endvermögens bei 1000 Durchläufen 600 500 400 300 200 100 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 15
2.2.3. Fallstudie: Simulation zum Cost-Average-Effekt Aufgabe: Modifikation der Musterlösung aus Kap. 2.1 Erweiterung auf beliebig viele Simulationsdurchläufe Simulation mit 5000 Durchläufen Beantwortung der gestellten Frage (vgl. Kap. 2.1) 16