Berufsmaturitätsschule GIB Bern Aufnahmeprüfung 2010 Mathematik Teil A Zeit: 45 Minuten Name / Vorname:... ALGEBRA Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein Schreiben Sie Ihre Lösungswege direkt auf diese Aufgabenblätter 1.1. Setzen Sie die Zahlen in den Term ein und berechnen Sie den Wert des Terms. Zahlen Term Berechnungen Lösungen a) x = 2 b) x = 2 ( x( 3 + x) ) x x x 2 a) b) 1.2. Schreiben Sie den Term ohne Klammern und vereinfachen Sie so weit wie möglich. Term Berechnungen Lösung (2P) 2 ( x y) ( x + y ) 2 1.3. Zerlegen Sie die Summenterme in möglichst viele Faktoren. (1P) Summenterme Lösungen 12a + 18af + 6af 2 (1P) Seite 1
BMS Bern Aufnahmeprüfung 2010 Algebra 2.1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung in der Grundmenge G = R. x + 4x 26 = 6x 22 3x Lösungsweg: Lösung: (1P) 2.2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung in der Grundmenge G = R. 2 ( x + 1)( x + 6) = ( x + 3) Lösungsweg: Lösung: (1P) 2.3. Gegeben ist die Gleichung mit den Unbekannten x und b. Setzen Sie für b die Zahl 1 ein und lösen Sie anschliessend die Gleichung nach x auf. x + 1 1 x 1 + = b b + 1 b( b + 1) Lösungsweg: Lösung: (2P) Seite 2
BMS Bern Aufnahmeprüfung 2010 Algebra 3.1. Gemäss Skizze werden zwei kongruente, aneinandergrenzende, rechteckige Kaninchengehege durch einen Maschendrahtzaun (schwarze Linie) der Länge 33.1 m begrenzt. Berechnen Sie den Inhalt A der gesamten markierten Gehegefläche. 5.7 m Zaunlänge: 33.1 m Anzahl Gehege: 2 A = (1P) 3.2. Gemäss Skizze werden zwei kongruente, aneinandergrenzende, rechteckige Kaninchengehege durch einen Maschendrahtzaun der Länge 33.1 m begrenzt. Berechnen Sie den Inhalt A der gesamten markierten Gehegefläche in Abhängigkeit der Breite b. (D.h. die Variable b kommt in der gesuchten Formel vor.) b Zaunlänge: 33.1 m Anzahl Gehege: 2 A = (1P) 3.3. Gemäss Skizze werden drei kongruente, aneinandergrenzende, rechteckige Kaninchengehege durch einen Maschendrahtzaun der Länge z begrenzt. Berechnen Sie den Inhalt A der gesamten markierten Gehegefläche in Abhängigkeit der Breite b und der Länge z. (D.h. die Variablen b und z kommen in der gesuchten Formel vor.) b Zaunlänge: z Anzahl Gehege: 3 A = (1P) 3.4. Gemäss Skizze werden n kongruente, aneinandergrenzende, rechteckige Kaninchengehege durch einen Maschendrahtzaun der Länge z begrenzt. Berechnen Sie den Inhalt A der gesamten markierten Gehegefläche in Abhängigkeit der Breite b, der Länge z und der Anzahl Gehege n. (D.h. die Variablen b, z und n kommen in der gesuchten Formel vor.) b Zaunlänge: z Anzahl Gehege: n A = (1P) Seite 3
BMS Bern Aufnahmeprüfung 2010 Algebra 4.1. Gegeben sind die Zahlen a, b, c und d in der Exponentenschreibweise. Setzen Sie die Zahlen a, b, c und d in die Terme ein und berechnen Sie den Wert des Terms. Geben Sie die Lösungen wiederum in der Exponentenschreibweise an. 1600 a = 10 b = 10 2200 c = 3 10 d = 5 10 6900 2300 Terme Berechnungen Lösungen a 2 b cd c d (2P) 7 4.2. Der Äquatordurchmesser der Erde beträgt d E = 1.2756 10 m. Der Durchmesser von einem Pockenvirus beträgt d P = 0.000 000 24m. Bringen Sie die Werte der beiden Durchmesser in die andere Schreibweise. Durchmesser Dezimalzahl Exponentenschreibweise 7 d (Einheit: m) 1.2756 10 E d (Einheit: m) 0.000 00024 P (2P) Seite 4
BMS Bern Aufnahmeprüfung 2010 Algebra 5. Anna, Barbara und Carla haben gewürfelt. Bei jedem Wurf haben sie die geworfene Augenzahl des Würfels festgehalten. In der folgenden Tabelle sind die erhobenen Daten zusammengefasst. Im Säulendiagramm sind die Summen aller geworfenen Einer, Zweier, Sechser dargestellt. Im Kreisdiagramm finden Sie die entsprechenden Prozentsätze der Summen. Bestimmen Sie die fehlenden Werte A bis J. Total Würfe Anna 11 A 20 8 14 13 82 Barbara 16 G E 18 10 14 B Carla 9 H E 4 16 13 17 83 Summe 36 I J 42 37 44 250 40 30 36 I J 42 37 C F 18.0% 14.4% 20 10 16.8% D 14.8% A = G = B = H = C = I = D = J = E = F = (4P) Seite 5
Berufsmaturitätsschule GIB Bern Aufnahmeprüfung 2010 Mathematik Teil B Zeit: 45 Minuten Name / Vorname :... GEOMETRIE Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein. 4 Punkte pro Aufgabe. Die Aufgaben sind direkt auf dem Aufgabenblatt zu lösen. (Bei Platzmangel bitte die Rückseite benutzen und vorne vermerken!) 1. Ein Rechteck ist fünfmal so lang wie breit. Der Umfang beträgt 72cm. 1.1 Wie lang ist das Rechteck? 1.2 Wie gross ist die Fläche des Rechtecks in dm 2? 1.3 Wie lang ist die Diagonale des Rechtecks in cm? 1.4 Wie lang ist der Umkreis des Rechtecks in mm?
2.1 Wie lang ist die Seite a im skizzierten rechtwinkligen Dreieck ABC? (2 P.) Es gilt: AD = 24cm, DE = 10cm, EC = 5.2cm E 5.2 cm C 10 cm a 24 cm A D B 2.2 Von einem Kreissektor sind bekannt: (2 P.) Zentriwinkel α = 329 und Kreisbogen b = 12.6cm. Berechnen Sie den Kreisradius r und die Kreisfläche A. r r α b Seite 2
3.1 Im grossen Rechteck hat jedes der beiden nicht schraffierten, kleinen Rechtecke den (2 P.) gleichen Flächeninhalt wie die schraffierte T Figur". Berechnen Sie die Breite x des grossen Rechtecks. 2 cm x 5 cm 2 cm 5 cm 3.2 Aus einem Würfel mit der Kantenlänge s =12cm wurde auf jeder Seite ein (2 P.) Quader herausgeschnitten. Die herausgeschnittenen Quader sind untereinander kongruent (gleich). Die Quaderkanten an der Würfeloberfläche messen 2cm und 3cm. Berechnen Sie die Länge der dritten Kante der herausgeschnittenen Quader, wenn man weiss, dass das Volumen des Restkörpers 1611cm 3 beträgt. 2 cm 12 cm 3 cm Seite 3
4.1 Im Parallelogramm ABCD ist AB = 6cm, DF = 2cm und M der Mittelpunkt der (2 P.) Seite BC. Der Abstand von M zur verlängerten Grundseite beträgt 1.5cm. A D 2 cm 6 cm a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks CFM. F B M C 1.5 cm b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AMF. 4.2 Konstruieren Sie ein beliebiges, rechtwinklig, gleichschenkliges Dreieck. (2 P.) In diesem Dreieck konstruieren Sie den Schwerpunkt S und den Umkreismittelpunkt U. Seite 4
5. Bei einem Spiel gibt es einen ersten Rang, zwei zweite und drei dritte Ränge. Zur Preisverleihung muss ein besonderes Podest gebaut werden. Es besteht aus aufeinandergeschichteten und zusammengeklebten Würfeln der Kantenlänge 1m. Das Podest wird zusätzlich für vier vierte Ränge erweitert. 1 2 2 3 3 3 5.1 Wie gross ist das Volumen aller Würfel des erweiterten Podests zusammen, einschliesslich der nicht sichtbaren Würfel? 5.2 Wie gross ist die Oberfläche dieses Podests (ohne die Bodenfläche)? 5.3 Wie gross wäre die Oberfläche, wenn man das Podest noch mit fünf fünften Plätzen ergänzen würde? 5.4 Wie gross wäre die Oberfläche des Podests bei n Plätzen? Versuchen Sie eine allgemeine Formel herzuleiten. Seite 5
Berufsmaturitätsschule GIB Bern Aufnahmeprüfung 2010 Mathematik Name I Vorname.... /. TeilA I I ' r Zeit: 45 Minuten. I{ CJr;~ef Ir 1 f/ dt 1,.- cc-. /... k.~... L1.d<o.. -:.~~......... ALGEBRA Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein Schreiben Sie Ihre Lösungswege direkt auf diese Aufgabenblätter 1.1. Setzen Sie die Zahlen in den Term ein und berechnen Sie den Wert des Terms. Zahlen Term Berechnungen Lösungen a) x = -2 a)--) - x(x(3 + x)) X x-2 b) X= 2 b) c&j. f}t{.h,f 1P 1P 1.2. Schreiben Sie den Term ohne Klammern und vereinfachen Sie so weit wie möglich. (2P) l~e ht.j,be,~--, fli..htk_ Term Berechnungen Lösung ><-.,_:(1 +- J - X + >t:j +Ö>v" - -::. ;2 ')..? {.1-- 2 ) (x- y)2 -(x+ y)2-4-,:1 - >( -.._ I. I.d (( i'" 4 ] -,_ -L:A'f( -;-.1- - y...-/ 'ip 1.3. Zerlegen Sie die Summenterme in möglichst viele Faktoren. / I ( ) lp 1f Summenterme Lösungen 12a + 18cif + 6af 2 =bq (2 + \ ' / ip- ~ I. -~.f + j '~-) -~~bei (1_~ /)(2+ /) ~/ (lp) 1f0 Seite I
BMS Bern Aufnahmeprüfung 2010 Algebra 2.1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung in der Grundmenge G = R. x + 4x- 26 = 6x- 22-3x Lösungsweg: ~>< - 2 C: ~ ~ x. _ 27 21( ~ 4- >( = 2 Lösung:. L_ -~--2_} 11P ~~"e h&tü:,(!.a FfAv..kk 2.2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung in der Grundmenge G = R. (x + 1)(x + 6) = (x + 3) 2 Lösungsweg: '2. -7->( + 6 ").. 9 j_ (D X + = X + 0x + c:- - ).. (lp) >< -=- ~ c--. i (t:j ).. ' Lösung: (lp) 2.3. Gegeben ist die Gleichung mit den Unbekannten x und b. Setzen Sie für b die Zahl 1 ein und lösen Sie ansebliessend die Gleichung nach x auf. x+i 1-x 1 --+--= b b +1 b(b + 1) - + - Lösungsweg: X-+A 1-)(_,1 ~ -1-f~ 1 (-14-1) {-+1 + 1~-( :i (._:... ~(D "[...,. - (.._!. 2-1? '2 i+ 2- + 1-i --1 {-- A :J x -1.. 3 = -1 ~ ( :>!._ - - L t---- 1 (:Y c-- ( l.. Lösung: (2P) Seite 2
BMS Bern Aufnahmeprüfung 2010 Algebra 3.1. Gernäss Skizze werden zwei kongruente, aneinandergrenzende, rechteckige Kaninchengehege durch einen Maschendrahtzaun (schwarze Linie) der Länge 33.1 m begrenzt. Berechnen Sie den Inhalt A der gesamten markierten Gehegefläche. Tm.:';:.,:. -... : _ :< _ '_. _ :_ :.._.. _.: Zaunlange. 33.1 m 5.7m1.. :,, - 1.. '}'< ;... 1 - Anzahl Gehege 2 (lp) 3.2. Gernäss Skizze werden zwei kongruente, aneinandergrenzende, rechteckige Kaninchengehege durch einen Maschendrahtzaun der Länge 33.1 m begrenzt. Berechnen Sie den Inhalt A der gesamten markierten Gehegefläche in Abhängigkeit der Breite b. (D.h. die Variable b kommt in der gesuchten Formel vor.) b]j~,~;i~~!~lc~,xl =~~; 3.3. ~~ _A-_-_b_~_~_~J-~-~b- ----~'1P (lp) Gernäss Skizze werden drei kongruente, aneinandergrenzende, rechteckige Kaninchengehege durch einen Maschendrahtzaun der Länge z begrenzt. Berechnen Sie den Inhalt A der gesamten markierten Gehegefläche in Abhängigkeit der Breite b und der Länge z. (D.h. die Variablenbund z kommen in der gesuchten Formel vor.) b ll'~~~11~~gin',t?,~:l ~~:ge: 3 I~ A_=_b_ _r_-_2~-h----~~~p ki;,e- hcllev, PLIA-7 /4-.e- (lp) 3.4. Gemäss Skizze werdenn kongruente, aneinandergrenzende, rechteckige Kaninchengehege durch einen Maschendrahtzaun der Länge z begrenzt. Berechnen Sie den Inhalt A der gesamten markierten Gehegefläche in Abhängigkeit der Breite b, der Länge z und der Anzahl Gehegen. (D.h. die Variablen b, z und n kommen in der gesuchten Formel vor.) b JWiq;:,~'~:;r.c~t.J.,... I ~~:ge: n ~A_= b_-_~_--_i_n_-+~-)b----~'1p I~ e:;} ~ h dj)0t-, 1-lvn~.f-e. (lp) Seite 3
BMS Bern Aufnahmeprüfung 2010 Algebra 4.1. Gegeben sind die Zahlen a, b, c und d in der Exponentenschreibweise. Setzen Sie die Zahlen a, b, c und d in die Terme ein und berechnen Sie den Wert des Terms. Geben Sie die Lösungen wiederum in der Exponentenschreibweise an. a = 10 16oo b = 1 0-22oo c = 3 1 06900 d = 5 1 02300 Terme Berechnungen Lösungen Fa 1oJ' 60 b2 ~ --lfiftb cd 9' As---.-4 - uv --1. (0 l.. c - d -:5 ~ 4-6o~' s o (2P) 4.2. Der Äquatordurchmesser der Erde beträgt d t: = 1.2756 1 0 7 m. Der Durchmesser von einem Pockenvirus beträgt d P = 0.00000024m. Bringen Sie die Werte der beiden Durchmesser in die andere Schreibweise. Durchmesser Dezimalzahl Exponentenschreibweise d E (Einheit: m) /fil~tooo 1.2756 10 7 1P dp (Einheit: m) 0.00000024 r-, ' ~ -7-.L,4-. 0 1? (2P) /oi,a.-e. hi-..l.l&t-. f'lv..,l4 Seite 4
BMS Bern Aufnahmeprüfung 2010 Algebra 5. Anna, Barbara und Carla haben gewürfelt. Bei jedem Wurfhaben sie die geworfene Augenzahl des Würfels festgehalten. In der folgenden Tabelle sind die erhobenen Daten zusammengefasst. Im Säulendiagramm sind die Summen aller geworfenen "Einer", "Zweier",... "Sechser" dargestellt. Im Kreisdiagramm finden Sie die entsprechenden Prozentsätze der Summen. Bestimmen Sie die fehlenden WerteAbis J. Anna 11 Barbara 16 Ri Ii ~ A 20 8 G E 18 88 II Total Würfe 14 13 82 10 14 B Carla 9 Summe 36 40 30 20 10 H E-4 16 I J 42 13 17 83 37 44 250 A= -16 B= gs C= Lr4 D= /fl,{% E= /(5"' F= 1~4-% i ("~ ']_ - G= 11._ H= -11 1= 4-s- J= 4-6 (4P) Seite 5
Berufsmaturitätsschule GIB Bern Aufnahmeprüfung 2010 Mathematik Teil B Zeit: 45 Minuten Name I Vorname:... J;;c:.r..~~~.~!..C:.~/.t;.~~~..... GEOMETRIE Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein. 4 Punkte pro Aufgabe. Die Aufgaben sind direkt auf dem Aufgabenblatt zu lösen. (Bei Platzmangel bitte die Rückseite benutzen und vorne vermerken!) 1. Ein Rechteck ist funfinal so lang wie breit. Der Umfang beträgt 72cm. 1.1 Wie lang ist das Rechteck? Lavr;e. ~x '?-..-e, './e_ >< ='P u = A2x.. =-D X.= (.~ nd..'1 D_.~. (c. lj.j, 1.2 Wie gross ist die Fläche des Rechtecks in dm 2? A := L b == 'So. c :; A~O cc-...2... (Cltl.) A.-1P. 1.3 Wie lang ist die Diagonale des Rechtecks in cm? ~~JLz+\_::,L - 0" ) 3o,~5cL,.z... 1.4 Wie lang ist der Umkreis des Rechtecks in mm? u = d-\\ ==- ~c...) C"-, (_.)/2-P) l o'q.) 'v\ - '::t ~ "< '-"-"-'-' A \?. ~~~~~~ bli.""" ~... ea.~.' '=tc;,~\...~ : \...;:,~.)...A. ~\.s...l.., \...ev\-. 1 o...~ e:..~ -e;... --.\l~\.ll.s.. ~~~, c*~"""" ~~ ber-c;:c..\:._~c...\."\..'~ ~...,.e\.... 0\..\\.e...~e ="~> of".
2.1 Wie lang ist die Seite a im skizzie1ien rechtwinkligen Dreieck ABC? - - - (2 P.) Es gilt: AD = 24cm, DE = locm, EC = 5.2cm c a A 24cm - Ac_ 1Sc... \Sc_ Ac. t>c c::. = :::> =- ;:::. Ae "t::>e (Y... I'.) ~0 0::: 4-. R c~ (Y'I.P.),RE (!_/t. P.) 3.\. 2. lo :::. 1\2_ CW\. ===(Yd.) 2?. 2.2 Von einem Kreissektor sind bekannt: (2 P.) Zentriwinkel a = 329 und Kreisbogen b = 12.6cm. Berechnen Sie den Kreisradiusrund die Kreisfläche A. la.= b. '5C.o '62..~ = ;\ "?:> ' ':1 '8 -=t- c:::-"""' (Af.z..~) "2.u (' ;::::. ~ :;:;.. 2- A ~"-\ C..'-"-' I (A.~.) ~ 'lz.- \'. A ::: ( 2..1\ ;::::. A~ 1.A.~ c~.oo....'2..- '/z_ P. Seite 2
~.cct...~.p,\.<.""l 3.I Im grossen Rechteck hat jedes der beiden nicht schraffierten, kleinen Rechtecke den (2 P.) gleichen Flächeninhalt wie die schraffierte "T- Figur". ~~ &-l)~. 0?.-v\n~ (;>(>. Berechnen Sie die Breitex des grossen Rechtecks. 6~s;O\"-\\-\C:.ckst. ;:: 3.. s.~....-~=-l._~c.k.e...(jt", A2 x ('~ ==- \2._ "'!(. =- 2, (2.-,( 4- A 0 2) (''kp.) ~ x + C,o /- b ~ or: by...:- bo }: ~ - AO cv-... ojv. = ß. (s. c~-z..) t1't..pj - A.S: x - 'So I - 1?..., -+3o /<. Oc.v...:. ")( ===== 0r.> 2.. ~ 3.2 Aus einem Würfel mit der Kantenlänge s =12cm wurde aufjeder Seite ein (2 P.) Quader herausgeschnitten. Die herausgeschnittenen Quader sind untereinander kongruent (gleich). Die Quaderkanten an der Würfeloberfläche messen 2cm und 3cm. Berechnen Sie die Länge der dritten Kante der herausgeschnittenen Quader, wenn man weiss, dass das Volumen des Restkörpers 1611cm 3 beträgt. \Jo\. C. Q..."_~.: Vo)L w=-,~ - \J.o>\ 'R>c.... ~p-r -=- ;\~'28' -.A b~l =- AA4 c.... "'} ( V~J>.) Seite 3
4.1 Im Parallelogramm ABCD ist AB = 6cm, DF = 2cm und M der Mittelpunkt der (2 P.) SeiteBC. Der Abstand von M zur verlängerten Grundseite beträgt 1.5cm. M T I :1.5 cm A~~--------------~~ 1 1-----------6~----------t B \-c:. t c;:.~e.c..\c..q....e...'-..~.:-~~e} er'. a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks CFM. = b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AMF. = A.8 4.2 Konstruieren Sie ein beliebiges, rechtwinklig, gleichschenkliges Dreieck. (2 P.) In diesem Dreieck konstruieren Sie den SchwerpunktS und den Umkreismittelpunkt U. "- /?,., 'I n ""'.., h 'f"' \.e... z. '. ~t..\..r. ~'"\ 'b" \~ ;~ 'L..P. 27. Seite 4
5. Bei einem Spiel gibt es einen ersten Rang, zwei zweite und drei dritte Ränge. Zur Preisverleihung muss ein besonderes Podest gebaut werden. Es besteht aus aufeinandergeschichteten und zusammengeklebten Würfeln der Kantenlänge 1m. Das Podest wird zusätzlich für vier vierte Ränge erweiteli. 5.1 Wiegrossist das Volumen aller Würfel des erweitelien Podests zusammen, einschliesslich der nicht sichtbaren Würfel? 5.2 A. S:..L... 'V.» A ~~?. 3. \...;,::.. 4. "0 \...J=\ Wiegrossist die Oberfläche dieses Podests (ohne die Bodenfläche)?.A. ~cj,...\..{;' ~+c... j 2. ~c..w ~ s.,_.s ::-...10 ~ ~ so ""'-"2. V' ocl. ~ '3.. s...t...-.tc-l-.\. : ~...,. lr"... r=-,.,c.:s; ~-+a- Af. u.. $..~-.tj,.,..\.. "Zo ~~ ~... ~ ~ ~... c.4-.i ""'ö' s. 5.3 Wie gross wäre die Oberfläche, wenn man das Podest noch mit fünffünften Plätzen ergänzen würde? ~\~.\e-\.,_ \sw \k_~~~~ '""";;\..l 5.4 Wie gross wäre die Oberfläche des Podests bei n Plätzen? Versuchen Sie eine allgemeine Fmmel herzuleiten..a. S..c.t..:...W: L S.c...\...:.c.A.-.\. ~ s ~ ~ ~..._... ~ o\.o.v.,._ )o ~. ;\\.'. ~"" ~ ('"?.) S,.-:;. s VI l V>4.A.) ~.... c,. ~=- '2.- '"'2... \t;.\. ~vl--\. ~'"'s ) Seite 5