8 Kreisgeometrie in der Zeichenebene 8.1 Inversion am Kreis 8.1.1 Definition Ein Kreis k ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M, dem Mittelpunkt des Kreises, festen Abstand r haben. Dabei heißt r 0 der Radius des Kreises. 8.1.2 Bemerkung: Jede Gerade durch M schneidet k in zwei verschiedenen Punkten mit Abstand 2r, außer wenn r = 0. 8.1.3 Definition Geg.: Kreis k mit Mittelpunkt O und Radius r > 0. Sei ι : Z \ {O} Z \ {O} gegeben durch i ιp OP + ii OP OιP = r 2 Die Abbildung ι heißt die Inversion an k.
8.1.4 Bemerkung: Konstruktion von ιp mit dem Kathetensatz Tafelskizzen 1. Fall: OP = r 2. Fall: OP > r 3. Fall: OP < r 8.1.5 Bemerkung: Ist P = ιp, so gilt: OP = r 2 OP OP 2. In kartesischen Koordinaten: O 0, y 0, P, y, P, y 0 r 2 y = + y 0 0 2 + y y 0 2 0 y y 0 Ist speziell O0, 0, so ist y = r2 2 + y 2 Ist zudem r = 1, so gilt: y = 1 2 + y 2 y y
8.1.6 Bemerkung: Die Inversion an k ist eine bijektive Abbildung von Z \ {O} auf Z \ {O}. 8.1.7 Bemerkung: Die Inversion ι ist involutorisch, d.h. ι ι = id. 8.1.9 Darstellung durch komplee Zahlen Mittelpunkt m, Radius r, Urbildpunkt z, Bildpunkt z : Für m = 0: z = m + r2 z m 2z m. z = r2 z 2z. Falls zusätzlich r = 1: z = z z 2 = z z z = 1 z, mit z = + iy: z = + iy 2 + y 2.
8.1.10 Bild einer Geraden Da ι involutorisch ist, kann man so vorgehen: Geradengleichung: Einsetzen von liefert oder g : a + by d = 0 y ar 2 2 + y 2 + = r2 2 + y 2 y br2 y 2 + y 2 d = 0 ar 2 + br 2 y d 2 + y 2 = 0. Falls d = 0, also falls O g: g = g, Tafelskizze falls d 0, also falls O / g: g ist Kreis k durch O. 2 2 ar2 2d + y2 2y br2 2d = 0 2 2 ar2 r 4 2d +a2 4d 2 +y2 2y br2 r 4 2d +b2 4d 2 = r4 a 2 + b 2 4d 2
ar2 2d 2 + y br2 2d 2 = r4 a 2 + b 2 4d 2 Geometrische Interpretation: o.b.d.a. sei die Gleichung von g in Hesse- Form vorgelegen: Mittelpunkt von k: M ar2 2d, br2 2d auf dem Lot zu g durch O, auf derselben Seite von O wie g im Abstand 2d r2. Tafelskizze Vorsicht: Wir haben nur gezeigt: g k. Wir müssen noch überlegen: Welche Punkte von k treten als Bildpunkte auf? Anhand einer Skizze: g = k \ {O}.
8.1.11 Bild eines Kreises Kreis k : m 2 + y n 2 r 2 = 0. Da ι involutorisch: Einsetzen von liefert y = r2 2 + y 2 y r 2 2 + y 2 r 2 y m2 + 2 + y 2 n2 r 2 = 0 oder r 2 m 2 + y 2 2 + r 2 y n 2 + y 2 2 r 2 2 + y 2 2 = 0. 2 +y 2 2 m 2 +n 2 r 2 2 2 +y 2 r 2 m+ny + 2 + y 2 r 4 = 0 2 +y 2 m 2 +n 2 r 2 2r 2 m+ny+r 4 = 0
Falls m 2 + n 2 r 2 = 0, also falls O k: Gerade; O selbst hat keinen Bildpunkt Tafelskizzen falls m 2 + n 2 r 2 0, also falls O / k: Kreis Tafelskizzen Bild des Mittelpunkts von k: r 2 m m 2 + n 2 n Das ist nicht der Mittelpunkt des Bildes!
8.2 Die konform erweiterte Ebene Die Ausnahmestellung des Kreismittelpunkts stört. Wir betrachten daher M 2 := Z { }, wobei / Z und definieren zusätzlich: ιo :=, ι := O. Damit ist ι : M 2 M 2. 8.2.1 Definition: Sowohl eine Gerade { } als auch ein Kreis auch ein Kreis mit Radius r = 0 heißt ein M-Kreis. Damit gilt: 8.2.2 Satz: Das Bild eines M-Kreises unter der Inversion ι ist ein M-Kreis. Beweis: Rückschau auf die Rechnungen in 8.1.10 und 8.1.11. 8.2.3 Satz: Die Inversion ι induziert eine bijektive Selbstabbildung auf der Menge der M-Kreise. Bew.: klar
8.2.4 Definition: Jede bijektive Selbstabbildung auf M 2, bei der alle M-Kreise auf M-Kreise abgebildet werden, heißt eine Möbius-Transformation. 8.2.5 Satz: Jede Möbius-Transformation ist die Nacheinanderausführung von Ähnlichkeiten und Inversionen. Bew.: Durchaus nichttrivial, wird hier nicht geführt.
8.3 Eigenschaften der Möbius- Transformationen 8.3.1 Satz: Jede Möbius-Transformation ist winkeltreu. Bew.: Schneiden zwei Kreise einander in zwei Punkten P und Q, so sind die beiden Schnittwinkel in P und in Q gleich wegen der Symmetrie bezüglich der Verbindungsgeraden den Mittelpunkte. Schneiden einander ein Kreis und eine Gerade in zwei Punkten P und Q, so sind die beiden Schnittwinkel in P und in Q gleich wegen der Symmetrie bezüglich des Mittellotes von P Q. Schnittwinkel von Kreisen sind die Schnittwinkel der Tangenten der Kreise in einem Schnittpunkt. Geraden kann man parallelverschieben, ohne den Schnittwinkel zu ändern, Kreise nicht!
Es genügt daher zu zeigen: Schneiden einander zwei Geraden g, h in einem Punkt, so schneiden einander die Bilder g, h bei der Inversion ι an einem Kreis mit dem Mittelpunkt O0, 0 und dem Radius r unter demselben Winkel wie g und h. g : a + by d = 0, h : p + qy s = 0. Schnittwinkel ϕ von g, h, falls g, h nicht parallel: cos ϕ = ap + bq a 2 + b 2 p 2 + q 2 1. Fall: g, h schneiden einander in O. Hier kann man nichts zeigen, weil ιo =, und weil der Schnittwinkel von g, h in noch nicht definiert ist. Definition: Schneiden einander zwei Geraden in einem Punkt P Z unter einem Winkel ϕ, so schneiden sie einander in ebenfalls unter dem Winkel ϕ.
Sind zwei Geraden parallel, so schneiden sie einander in unter dem Winkel 0, sie berühren einander in. Da g = g und h = h, gilt die Behauptung. 2. Fall: O g, O / h. g = g : a + by d = 0 h : pr2 2s 2 + y qr2 2s 2 = r4 p 2 + q 2 4s 2 Ein Schnittpunkt von g und h ist O. Tafelskizze! Schnittwinkel ϕ von g und h ist der Winkel der Normalen von g und h in einem Schnittpunkt. cos ϕ = apr 2 2s + bqr2 2s a 2 + b 2 p 2 r 4 4s 2 + q2 r 4 4s 2 = ap + bq a 2 + b 2 p 2 + q 2 Damit gilt die Behauptung.
3. Fall: O / g, h. g : ar2 2d 2 + y br2 2d 2 = r4 a 2 + b 2 4d 2 h : pr2 2s 2 + y qr2 2s 2 = r4 p 2 + q 2 4s 2 Ein Schnittpunkt ist O. Schnittwinkel ϕ in O: cos ϕ = = ar 2 pr 2 2d2s + br2 qr 2 2d2s a 2 r 4 4d 2 + b2 r 4 4d 2 p 2 r 4 4s 2 + q2 r 4 4s 2 ap + bq a 2 + b 2 p 2 + q 2 Damit gilt die Behauptung.
8.3.2 Möbius-Transformationen und stereographische Projektion auf die Riemannsche Zahlenkugel der Funktionentheorie Einheitskugel S 2 im R 3 : S 2 : 2 + y 2 + z 2 = 1 Projektion σ der y-ebene ε auf S 2 aus dem Nordpol N1, 0, 0: Tafelskizze so das s, y = y 0 + λ y 1 also 2 1 λ 2 + y 2 1 λ 2 + λ 2 = 1, 2 + y 2 1 λ 2 = 1 λ 2. Folglich ist λ = 1 oder 2 + y 2 1 λ = 1 + λ
λ 1 + 2 + y 2 = 2 + y 2 1 Damit ist s, y = λ = 2 + y 2 1 2 + y 2 + 1 1 2 + y 2 + 1 2 2y 2 + y 2 1. Jeder Punkt von S 2 tritt als Bildpunkt auf mit Ausnahme des Nordpols N. Festlegung: σ := N. Definition: Die Abbildung σ : R 2 { } S 2 heißt stereographische Projektion. Bemerkung: Oft heißt auch σ 1 stereographische Projektion. Satz: Die stereographische Projektion σ ist eine bijektive Abbildung, die alle M- Kreise auf Kreise abbildet. Umgekehrt bildet σ 1 Kreise auf M-Kreise ab.
Satz: Die stereographische Projektion ist winkeltreu. Beweis: Schneiden einander zwei Kreise in zwei Punkten, so sind die Schnittwinkel in beiden Punkten gleich. Es genügt, Schnittwinkel von Geraden in ε zu betrachten. Schneiden einander Geraden g, h ε in einem Punkt P, so schneiden einander die Kreise g := σg, h im Punkt P und im Punkt N. Es genügt, den Schnittwinkel von g, h in N zu betrachten. Die Tangenten t g, t h von g, h in N sind parallel zu g bzw. h. Damit ist g, h = t g, t h = g, h.