1 Ordnung uß sein 1.1 Angeordnete Körper Wir nehen einal an, daß es in eine Körper Eleente gibt, die wir positiv nennen. Welche Eigenschaften sollen diese haben? O1) Wenn x und y positiv sind, dann auch x + y und x y O2) Für jede Zahl x = 0 ist entweder x positiv oder x positiv aber nicht beides) O3) 0 ist nicht positiv Definition: Besitzt ein Körper positive Eleente it den Eigenschaften O1-O3, so heißt der Körper angeordnet. Definition: x < y bedeutet y x ist positiv y > x bedeutet x < y x y bedeutet x < y oder x = y y x bedeutet x y Kurzschreibweise: x y z heißt x y und y z 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxioen OF1) Für beliebige Zahlen a, b gilt: Genau eine der folgenden drei Dinge gilt: a < b, b < a, a = b Grund: Sei x := b a. Nach O2 gilt genau eines der drei folgenden: x > 0, x < 0, x = 0. Das entspricht der Behauptung. OF2) Wenn a < b und b < c, dann a < c Grund: a < b bedeutet b a > 0 und b < c bedeutet c b > 0. Also ist b a) + c b) > 0. Und dait c a > 0 also a < c. OF3) Wenn a < b, dann a + c < b + c Grund: Sei x := a + c, y := b + c. Dann ist y x = b a > 0, also y > x. OF4) Wenn a < b und c > 0, dann ist a c < b c Grund: a < b bedeutet b a > 0. Dann ist für c > 0 : c b a) = c b c a > 0 OF5) Wenn a = 0, dann ist a 2 > 0 Grund: Ist a > 0, so ist a 2 > 0. Ist a < 0, dann ist a) > 0 also a) a) = 1) 1) a a = a 2 > 0. OF6) 1 > 0 Grund: Voriger Satz it a = 1 OF7) Wenn a < b und c < 0, dann a c > b c Grund: a < b bedeutet b a > 0 und c < 0 bedeutet c) > 0. Also ist c) b a) > 0. Soit a c b c > 0.
OF8) Wenn a < b, dann a > b. Speziell: Wenn a < 0, dann a) > 0 Grund: Folgt aus vorige Satz durch c = 1 OF9) Ist a b > 0, dann sind entweder a und b beide positiv oder a und b beide negativ. Grund: Sei z.b a > 0 und b < 0. Dann wäre a b) = a b > 0 OF10) Wenn a < c und b < d, dann a + b < c + d Grund: Mit c a > 0 und d b > 0 ist c a + d b = c + d) a + b) > 0 OF11) Wichtige Tatsache : Es ist a 2 0 für alle a. Ist a 2 + b 2 = 0, so gilt a = b = 0. Grund: Für a = 0 ist a 2 > 0 und 0 2 = 0, also a 2 0. Daher ist a 2 + b 2 0 für alle a, b. Ist nun a = 0 oder b = 0, so ist a 2 + b 2 > 0. OF12) Es gibt, in eine angeordneten Körper, keine Zahl i it i 2 = 1 denn i 2 + 1 2 = 0. F 2 ist nicht angeordnet: 1 2 + 1 2 + 1 + 1 = 0. OF13) Ist 0 < a < b, so gilt 0 < a n < b n und ugekehrt. Grund: Es ist b n a n = b a)b n 1 + b n 2 a +... + ba n 2 + a n 1 ) = b a) n 1 k=0 ak b n k 1. Da die Ausdrücke der zweiten Klaer alle positiv sind, ist das Vorzeichen der rechten Seite identisch it de Vorzeichen von b a > 0, also b n a n > 0. a n > 0 ist wegen a > 0 klar. Die Ukehrung folgt ebenso aus der Tatsache, daß die beiden Seiten der obigen Gleichung dasselbe Vorzeichen haben. Beerkung: OF11 sichert, daß 1 + 1 = 0, 1 + 1 + 1 = 0 usw. Dait ist aber auch 1 1 = 0, 1 1 1 = 0 usw. Dait liegen die ganzen Zahlen Z in jede angeordneten Körper. Weiter sieht an daß dait die rationalen Zahlen p q it p Z und q N in jede angeordneten Körper liegen. Für F 2 ist das offenbar falsch, denn 1 + 1 = 0. Beispiel: Der Körper Q = { p q p Z und q N} ist ein angeordneter Körper. Es gilt: und dait p q > r s p q r s > 0 p s r q q s p q > 0 p > 0 > 0 p s r q > 0 p s > r q Definition Intervalle):i) Für einen angeordneten Körper it Eleenten a b definieren wir: a, b) := {x a < x < b} [a, ) := {x a x} a, b] := {x a < x b} a, ) := {x a < x} [a, b) := {x a x < b}, b] := {x x b} [a, b] := {x a x b}, b) := {x x < b} dabei heißt a, b) offenes Intervall und [a, b] abgeschlossenes Intervall. Die anderen beiden Intervalltypen heißen halboffen. Übungen: 1) Die Sue zweier negativer Zahlen ist negativ 2) Wenn a > 0, dann 1 a > 0; wenn a < 0, dann 1 a < 0 3) Wenn 0 < a < b, dann 0 < b 1 < a 1 4) Wenn a b und b c, dann a c 5) Wenn a b und b c und a = c, dann b = c
1.3 Die Betragsfunktion In eine angeordneten Körper können wir den Betrag eines Eleentes wie folgt definieren: x falls x positiv ist x := 0 falls x = 0 x falls x negativ ist Kürzer geht das durch s.u.) x := x 2 Definition: Der Abstand zweier Zahlen x, y ist x y. Satz: x y = x y Grund Wenn x und y gleiches Vorzeichen haben, ist x y positiv, also x y = x y. Wenn beide negativ sind ist x y = x) y) = x y = x y. Sind beide positiv, so gilt: x y = x y = x y. Ist x negativ und y positiv, so gilt: x y = x y) = x y = x y, da dann das Produkt negativ ist. Analog geht der letzte verbliebene Fall. Satz Dreiecksungleichung): x + y x + y Grund: Für x gilt x x und für y gilt y y. Also folgt x + y x + y. Außerde gilt x x und y y und soit x + y) = x + y) x + y. Insgesat also die Behauptung. 1.4 Das Supreusaxio Bei Q handelt es sich zwar u einen angeordneten Körper, er hat aber noch Lücken. Die Zahl 2, als die Länge der Diagonale eines Quadrates it Seitenlänge 1 ist keine rationale Zahl. Grund: Wir nehen an: 2 = p q it teilerfreden p und q. Dann folgt q 2 = p und nach Quadrieren: 2q 2 = p 2. Dann ist aber die rechte Seite ein Quadrat. Dann uß aber p durch 2 teilbar sein, also p = 2k, für ein k N. Dann ist aber 2q 2 = 4k 2 ithin q 2 = 2k 2. Mit de gleichen Arguent wie oben ist dann aber auch q eine gerade Zahl und p und q haben den geeinsaen Teiler 2. Definition: Sei S eine Menge von Zahlen eines angeordneten Körpers. Eine Zahl s heißt obere Schranke vo S, falls für ALLE Zahlen a in S gilt a s. Gibt es eine obere Schranke für S, so heißt S nach oben beschränkt. Definition Supreu: Eine Zahl s 0 ist kleinste obere Schranke Supreu) einer Menge S =, wenn gilt: i) s 0 ist obere Schranke für S ii) Keine Zahl kleiner als s 0 ist obere Schranke für S, d.h. s < s 0 a S : a > s. Anders gesagt: Ist s obere Schranke von S, so gilt s s 0. Beerkung: i) Wenn Sie sich einen Pegelstandsanzeiger a Rhein ansehen, sehen Sie lauter obere Schranken für den tatsächlichen Pegelstand. Dieser tatsächliche Pegelstand ist das Supreu dieser.
ii) Analog zu Supreu ist das Infiu die größte untere Schranke einer nicht leeren, nach unten beschränkten Menge. Die Eigenschaften von Suprea gelten sinngeäß auch für Infia. Satz: Suprea und Infia sind eindeutig. Grund: Wir nehen an, daß s 0 und s 1 beide Suprea der nach oben beschränkten Menge S sind. Weil s 0 kleinste obere Schranke ist, gilt s 0 s 1. Da s 1 kleinste obere Schranke ist, gilt: s 1 s 0. Also insgesat s 0 = s 1 Beerkung: Wir betrachten in eine angeordneten Körper für ein Eleent a die Mengen S 0 := {x x a} und S 1 := {x x < a} Offenbar sind beide Mengen nicht leer, da z.b. x 1 in beiden liegt. Die beiden Mengen sind verschieden a S 0 und a / S 1 ) haben aber das gleiche Supreu a. I ersten Falle nennt an das Supreu auch Maxiu. Lea: Ist sup A = s, so gibt es zu jede N ein x A, it s 1 < x s. Grund: Es ist A = A\s 1, s] s 1, s] A ). Jedes Eleent x der ersten Menge erfüllt also x s 1. Wäre die zweite Menge leer, so wäre s 1 eine kleinere obere Schranke von A. Definition: Ein angeordneter Körper erfüllt das Supreusaxio, wenn jede nach oben beschränkte, nichtleere Teilenge ein Supreu hat. Satz: Die reellen Zahlen R sind ein angeordneter Körper der das Supreusaxio erfüllt. Beerkung: Die reellen Zahlen sind sogar, in eine vernünftigen Sinne, der einzige angeordnete Körper it Supreusaxio. Lea: Seien A, B zwei nichtleere Teilengen von R it a < b für alle a A und b B. Dann existieren sup A und inf B und es gilt: sup A inf B Grund: Sei zunächst b B fest. Dann gilt a < b, also auch a b, für alle a A. Also ist A nach oben durch b beschränkt, also existiert sup A R. Nun ist sup A kleinste obere Schranke und b obere Schranke von A, also gilt sup A b. Da diese Arguentation für beliebiges b B gilt, folgt sup A b für alle b B. Daher ist sup A untere Schranke von B. Daher ist B ist B nach unten beschränkt und besitzt eine größte untere Schranke: inf B R. Annahe: sup A > inf B. Dann existiert x A, it sup A 1 < x sup A. Für genügend große ist x > inf B z.b. für 1 sup A+inf B < 2 ). Also haben wir inf B < x sup A Also ist x keine untere Schranke von B. Daher gibt es ein y B, it y < x, i Widerspruch zu A < B. 1.5 Archiedizität In diese Abschnitt sei K ein angeordneter Körper, der das Supreusaxio erfüllt. Satz: Die Menge der natürlichen Zahlen 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1,...ist in K nach oben unbeschränkt. D.h., daß es zu jede x K ein n N gibt, it x < n.
Grund: Wäre N beschränkt, so gäbe es nach de Supreusaxio s = sup N. Nun ist s 1 < s keine obere Schranke für N. Also gibt es ein n N, it n > s 1. Also ist n + 1 > s i Widerspruch dazu, daß s obere Schranke vo N ist. Folgerung: Ist x K und x > 0, dann existiert ein n N, it 1 n < x. Grund: Nach vorangehende Satz gibt es ein n N, it 1 x < n, also x > n 1 Folgerung: Ist 0 x < n 1 für alle n N, so ist x = 0. Folgerung: Ist b a < n 1 für alle n N, so ist b = a. 1.6 Wurzeln Sei K ein angeordneter Körper, der das Supreusaxio erfüllt. Satz: Sei a > 0. Dann gibt es genau ein positives Eleent b, it b 2 = a. Grund Skizze): Die exakte Begründung ist technisch schwierig. Die Idee s.u.) ist, daß eine der drei Möglichkeiten b 2 > a, b 2 < a, b 2 = a gelten uß. Die Annahe von b 2 > a bzw. b 2 < a führen auf einen Widerspruch, so daß b 2 = a gelten uß. Eine ausführliche Begründung finden Sie auf Übungsblatt 3) Sei K ein angeordneter Körper, der das Supreusaxio erfüllt. Satz: Sei a > 0. Dann gibt es zu jede n N genau ein positives Eleent b, it b n = a. Grund: Ist 0 < y < z, so gilt 0 < y n < z n. Zwei verschiedene positive Zahlen können also potenziert it n nicht gleich werden. Dies zeigt die Eindeutigkeit. *) Existenz: Sei zunächst a > 1. Wir betrachten die Menge S = {x > 0 x n a}. Zunächst gilt 1 n = 1 < a, also 1 S und soit ist S nicht leer. Weiter gilt für x S: x n < a < a n und soit a n x n > 0. Dait ist nach OF13) x < a. Die Menge S ist also durch a beschränkt. Nach de Supreusaxio gibt es also s = sup S in K. Wegen 1 S ist s 1. Wegen s 1 < s < s + 1 für alle N it 2 gilt: s ) 1 n < s n < s + 1 ) n Wegen der Supreuseigenschaft von s und wegen s 1 < s gibt es ein b S it s 1 < b. Dann gilt aber s 1 ) n < b n a Da s + 1 > s, ist s + 1 / S also s + 1 ) n > a. Insgesat gilt also: s ) 1 n < b n a < s + 1 ) n Daher ist b n a < s + 1 ) n s 1 ) n
) 2 n 1 = s + 1 ) k s 1 ) ) n k 1 k=0 Wegen 0 < s 1 < s + 1 < s + 1 ist dieser Ausdruck kleiner als n 1 2 k=0 s + 1) k s + 1) n k 1 = 1 2ns + 1)n 1 wird also beliebig klein für große. Daher gilt b n = a. Ist nun a < 1, so gibt es ein b, it b n = 1 a > 1. Dann ist 1 b ) n = 1 b n = 1 1 a = a. Definition: a 1 n = n a = b, a n = a n ) 1. Die reellen Zahlen eine Übersicht): Die reellen Zahlen sind ein angeordneter Körper, der das Supreusaxio erfüllt. Insbesondere gilt: i) Die reellen Zahlen erfüllen, it der Addition und Multiplikation, die Axioe und dait deren Folgerungen) eines Körpers ii) Die reellen Zahlen sind angeordnet durch <, isbesondere ist jedes Eleent ungleich 0 entweder positiv oder negativ. iii) In reellen Zahlen hat jedes positive Eleent eine Quadratwurzel. i) Die reellen Zahlen sind archiedisch geordnet, d.h. zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl n, it x < n