Langfristiger Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht

Langfristiger Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht Prof. Dr. Regina Bruder, Technische Universität Darmstadt Frankfurt, 13.11.2007

Gliederung 1. Worum geht es? Welche Kompetenzen sollen langfristig und nachhaltig entwickelt werden? 2. Beispiel: Lernen, mathematische Fragen zu stellen 3. Beispiel: Abstandsbestimmungen 4. Lerntheoretischer Hintergrund für ein Unterrichtskonzept zur langfristigen Kompetenzentwicklung 5. Ein didaktischer Handlungsrahmen als Unterrichtskonzept

Beispiel: Die Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen beträgt 434. Wie lauten diese drei Quadratzahlen? Erwartungshorizont: (n-1)² + n² + (n+1)² = 434 3n² +2 = 434 n² = 144 Alternative Schülerlösung mit EXCEL! Was fördert diese Aufgabe als Übungsaufgabe im Unterricht mit welcher Rahmung und was prüft eine solche Aufgabe in einem Test?

Vision für modernen MU Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

Pisa: Literacy-Konzept Fähigkeit einer Person die Rolle zu erkennen und zu verstehen, die Mathematik in der Welt spielt, fundierte mathematische Urteile abzugeben und Mathematik in einer Weise zu verwenden, die den Anforderungen des Lebens dieser Person als konstruktivem, engagiertem und reflektiertem Bürger entspricht.

Nachhaltige langfristige Förderung mathematischer Kompetenzen meint dann: - Verstehen lernen, worum es geht in der Mathematik - Behalten und verfügbar haben, wie man vorgehen kann, um (mathematikhaltige) Problemstellungen erfolgreich zu bearbeiten - grundlegende Mathematisierungsmuster auf prototypische Sachverhalte anwenden können

Um welche prototypischen Sachverhalte geht es? Themenfelder für vernetztes Lernen Schätzen und Überschlagen von Größen Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale Umgehen mit Geld... Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz, Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...) Optimieren Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen Zuordnungen beschreiben (Wachstum/Zerfall) Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...) Symmetrie, Kongruenz Ähnlichkeit... Figuren erzeugen in Ebene und Raum Zufall beschreiben...

Um welche prototypischen Sachverhalte geht es? Schätzen und Überschlagen von Größen (sinnhaft!!) Schaffen es die Luftballons bis über den nahe gelegenen Berg? Erfüllt die Konfektschachtel die Kriterien einer Mogelpackung? Wie viel Liter Wasser passen in diesen Fasswagen?

Bildungsstandards umsetzen mit den prozessbezogenen Kompetenzen: - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematische Aktivitätsbereiche (Lechner 2005) Heuristisch- experimentell Darstellend- interpretativ Formal- operativ Kritisch- argumentativ Warum gerade diese Kompetenzen? Wie hängen sie miteinander zusammen?

Phasen mathematischen Modellierens als Rahmung für schulisches Lernens von Mathematik Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse 1 situiertes Strukturieren 2 Mathematisieren Mathematik Realität 2 4 3 Verarbeiten mit mathematischen Werkzeugen umgehen 4 Interpretieren Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse 5 Validieren Realsituation

Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

Wo kann es individuell schwierig werden? Problemlösen! Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse 1 situiertes Strukturieren 2 Mathematisieren Mathematik Realität 2 4 3 Verarbeiten mit math. Werkzeugen umgehen 4 Interpretieren 5 Validieren Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. -- kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

Ziele des MU Die Lernenden - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt?

a) Schätze das Volumen dieser Schachtel und beschreibe, wie du dabei vorgehst! b) Wenn das Volumen des Inhalts 70% (oder weniger) des Volumens der Verpackung beträgt, spricht man von einer Mogelpackung. Handelt es sich hier um eine Mogelpackung? Begründe deine Meinung rechnerisch.

Einstufung des Lernpotenzials der Aufgabe: a) L2 Messen, K3- Modellieren, Level II, K6- Kommunizieren, Level II b) Ohne genaue Maßangaben: L2 Messen, K2-II Problemlösen, K3-II Modellieren K5-I Technik

Die Lernenden - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt? Realsituationen mathematisch beschreiben: Codierung, Bau einer Autobahnabfahrt, Proportionen in der Natur (Fibonacci) usw. Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematische Beschreibung bieten?

Mathematikbrille aufsetzen - Reflexion Reflexion: Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und auch zu beantworten versuchen? -etwas optimieren -etwas schrittweise verfeinern, annähern -einen Algorithmus finden (eine Formel ) für einen Zusammenhang -Mathematische Modelle für Realsituationen finden, Simulationen Wenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat: - Ist das die einzige Lösung? Kann man das beweisen? - Kann man die spezielle Lösung auch verallgemeinern?

Reflexion und Hintergrund Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - Jedes Ziel umfasst: Intelligentes Wissen In welche Richtungen kann man fragen? (Wo ist Mathematik versteckt, wo hilfreich ) Typische Mathematikerfragen kennen Handlungskompetenz Konkrete Fragen in einem Kontext finden auf verschiedenen Orientierungsleveln 1. Probierorientierung 2. Orientierung am Bsp. 3. Feldorientierung Metakompetenz Beurteilungskriterien für mathematikhaltige Fragestellungen

Kompetenzförderung kann untersucht werden - innerhalb eines Schuljahres über verschiedene Unterrichtsthemen bzw. Leitideen hinweg in horizontaler Verknüpfung (z.b. Abschätzaufgaben in verschiedenen Kontexten) - innerhalb einer Leitidee, aber vertikal mit fachlicher Anreicherung angelegt über mehrere Klassenstufen. (Beispiel: Entfernungs- bzw. Abstandsbestimmungen) Benötigt wird ein lernförderliches unterrichtliches Umfeld.

Was ist das Wesentliche... Math. Fragen stellen können aber wo? Themenfelder für vernetztes Lernen Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale Umgehen mit Geld... Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz, Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...) Optimieren Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen Zuordnungen beschreiben (Wachstum/Zerfall) Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...) Symmetrie, Kongruenz Ähnlichkeit... Figuren erzeugen in Ebene und Raum Zufall beschreiben...

Breite eines Flusses bestimmen mit Maßband und Winkelmessgerät

Beispiel: Laternenhöhe a) Schätze zunächst die Höhe der Laterne anhand des Fotos. Entwickle dann eine rechnerische Methode, um vor Ort die Höhe der Laterne mit einer angemessenen Genauigkeit zu ermitteln, wenn ein Maßband und ein Winkelmessgerät zur Verfügung stehen. Aus: Bildungsstandards konkret 2006

b) Eine weitere mathematische Vorgehensweise zur Höhenbestimmung, die sogenannte Holzfäller- Methode, ist hier beschrieben (zitiert nach http://www.wdrmaus.de/sachgeschichten/baumhoehe _messen/:... Erkläre, wie diese Methode mathematisch begründet werden kann und führe diese mit deinen Mitschülern an Objekten auf dem Schulhof durch. Präsentiert Eure Gruppenergebnisse auf einem Poster!

- Überlege dir zwei verschiedene reale Situationen, in denen es notwendig oder interessant sein kann, die Entfernung zwischen zwei Punkten zu bestimmen, von denen mindestens einer nicht zugänglich ist. -Versuche, möglichst viele verschiedene mathematische Vorgehensweisen zu finden, die bei einem solchen Problem helfen können. Ordne verschiedenen Situationen geeignete Verfahren zu. - Begründe, warum die früheren Segelschiffe einen Ausguck auf dem Hauptmast hatten. Wie weit konnten sie auf einem 20m hohen Ausguck im Vergleich zu einer 3 m hohen Bordwand sehen?

Tätigkeitstheorie Lompscher u.a. Lernziele und Lernmotive initiieren Lernhandlungen, die sich unterscheiden in: Antrieben, Orientierung, Verlauf und erkennbar werden in den Lernergebnissen Handlungsprodukten

Individueller Lernfortschritt lässt sich dann so erklären: Die/der Lernende stellt sich eine Lernaufgabe und erarbeitet (konstruiert) sich seine Handlungsorientierung zur Bewältigung der Lernaufgabe (auf unterschiedlichem Niveau). Je umfassender und reichhaltiger die Lernaufgabe ist, um so größer sind die Chancen, dass die entwickelte Orientierungsgrundlage einen größeren Allgemeinheitsgrad erreicht. I Orientierung nach Versuch-Irrtum (Probierorientierung) II Orientierung am Beispiel (Muster) III Feldorientierung.

Lernfortschritt erfordert also Eine selbst gestellte Lernaufgabe der Schüler Erarbeitung von Orientierungsgrundlagen für die notwendigen Lernhandlungen auf verschiedenen Niveaus I Orientierung nach Versuch-Irrtum (Probierorientierung) II Orientierung am Beispiel (Muster) III Feldorientierung. Schlussfolgerungen für aufgabenbasierte Lernumgebungen: Entwicklungsgemäße und entwicklungsfördernde Lernanforderungen stellen Nicht nur anspruchsvolle Lernanforderungen stellen sondern auch zu deren Bewältigung befähigen.

Schlussfolgerungen für aufgabenbasierte Lernumgebungen: Aufgaben mit hohem Aktivierungspotenzial formulieren Lernziele und Lernmotive initiieren Lernhandlungen, die sich unterscheiden in: Antrieben, Orientierung, Verlauf und erkennbar werden in den Lernergebnissen Handlungsprodukten Individuellen Lernzuwachs herausarbeiten Verantwortung für eigenes Lernen übernehmen

Ein lernförderliches Umfeld: Zieltransparenz des Mathematikunterrichts für die Lernenden und deren Eltern mit klaren Informationen über Leistungserwartungen Klare Strukturierung des Unterrichts im Hinblick auf die zu lernenden Inhalte mit Reflexionselementen zur Beschreibung des Lernstandes Das Lernpotenzial, das in einer Aufgabe steckt, auch nutzen: Welche Strategien waren nützlich? Welche mathematischen Werkzeuge geholfen, die Aufgabe zu lösen? haben uns Was ist das Gemeinsame aller Beispielaufgaben, die wir zuletzt bearbeitet haben? Worin unterscheiden sich die bearbeiteten Aufgaben voneinander?

Modellierungskompetenz langfristig aufbauen: Probierorientierung Orientierung am Muster Exemplarisch: Lösen einer Beispielaufgabe (z.b. Tankenaufgabe Kl.7) Lösen einer weiteren Beispielaufgabe und Vergleich der beiden Aufgaben Input: Modellierungskreislauf und Fokussierung der Teilhandlungen im Kontext Lösen von Aufgaben zu den Teilhandlungen des Modellierens in wenig variierenden Kontexten, Musterlösungen mit Kommentierung stehen zur Orientierungsbildung zur Verfügung Reflexion des Modellierungskreislaufes und der Teilhandlungen bzgl. Einsatz von Mathematik und von Strategien Feldorientierung Vergleichen von Beispielaufgaben und Herausarbeiten von Analogien mit Verallgemeinerung, die im Modellierungskreislauf verortet wird; Transfer auf andere Kontexte

Ein lernförderliches Umfeld: Zieltransparenz des Mathematikunterrichts für die Lernenden und deren Eltern mit klaren Informationen über Leistungserwartungen Klare Strukturierung des Unterrichts im Hinblick auf die zu lernenden Inhalte mit Reflexionselementen zur Beschreibung des Lernstandes Schaffen von Lerngelegenheiten für Selbsteinschätzungen der Schülerinnen und Schüler und für das individuelle und zunehmend eigenverantwortliche Schließen von Lücken im Basiswissen Effektiver Umgang mit der Lernzeit mit einem professionellen Klassenraum-Management Kognitive Aktivierung im Unterricht mit einem funktionalen Wechsel der Sozial- und Arbeitsformen, Ein positives Unterrichtsklima mit einer lernförderlichen Arbeitsatmosphäre sowohl für Lernschwache als auch für Leistungsstarke und einer entsprechenden Gesprächs- und Feedback- Kultur.

Welche Aufgabentypen sind grundsätzlich notwendig für nachhaltiges Lernen und langfristigen Kompetenzaufbau?

Aufgabentypen für nachhaltiges Lernen Aufgabentypen als Aufgabenset Gege- Transfor- Gesuchbenes mationen tes ----------------------------------------------------------------------- X X X gelöste Aufgabe ( stimmt das?) X X - einfache Bestimmungsaufgabe - X X einfache Umkehraufgabe X - X Beweisaufgabe, Spielstrategie X - - schwere Bestimmungsaufgabe, auch: open ended tasks, Blüte - - X schwierige Umkehraufgabe - X - Aufforderung, eine Aufgabe zu erfinden (-) - (-) offene Problemsituation (Trichtermodell)

Erste und vertiefende Übung zu Nullstellenberechnungen von linearen Funktionen Wähle mindestens fünf der folgenden Aufgaben aus und löse sie es sind dafür 15min vorgesehen. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen: 1. f(x) = x - 5 2. f(x) = 2x + 6 Grundaufgabe 3. f(x) = - 5x 2,5 4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = - 3 5. Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6. Gib die Gleichungen zweier linearer Funktionen an, die bei x = 4 ihre Nullstelle haben. 7. Notiere die Gleichung einer linearen Funktion, die keine Nullstelle hat. Umkehrung ( -, x, -) 8. Überlege Dir einen Sachverhalt, der mit Hilfe einer linearen Funktion beschrieben werden kann, welche bei P(1;0) eine Nullstelle hat. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9. Warum können lineare Funktionen nie mehr als eine Nullstelle haben? 10. Finde einen Ausdruck zur Bestimmung der Nullstelle für eine beliebige lineare Funktion: f(x) = mx + b und gib dazu evtl. notwendige Bedingungen für m,x und b an!

Beispiel für ein Lernprotokoll Welche Möglichkeiten kennst Du, um Zuordnungen darzustellen? Gib ein Beispiel für eine proportionale Zuordnung an und nenne ein Beispiel, das keine proportionale Zuordnung ist. Welchen Vorteil kann eine mathematische Beschreibung von Zuordnungen haben? Beispiel dafür Beispiel dagegen Mehrwert?? Löse die beiden Aufgaben! Um sein Budget aufzubessern arbeitet ein Student als Hilfskraft pro Woche vier Stunden und verdient 32. Wie viel hat er in einer halben Stunde verdient? Bei einer Gartenarbeit habt Ihr zu dritt mit angepackt und vier Stunden benötigt. Wie viele Helfer hättet Ihr gebraucht, um in einer halben Stunde die Arbeit abzuschließen? Wie realistisch ist das?

Markante Elemente des Unterrichtskonzeptes aufgabenbasierte Lernumgebungen für Typische Unterrichtssituationen Lernanlässe für Systematisierungen und für Vorgehens- und Inhaltsreflexionen Grundlagensicherung Konstruktiver Umgang mit Heterogenität in der Lerngruppe

Praktikable Wege zu nachhaltigem Lernen von Mathematik in heterogenen Lerngruppen - Beispiele - Intelligente regelmäßige Kopfübungen für die Grundlagensicherung - Wahlmöglichkeiten auch in Hausaufgaben - Aufgaben öffnen: Blütenmodell (selbst differenzierend, zum Lernen und Leisten ) - Schüler werden zu Experten motivierende Fragestellungen - Reflexion: Was hat uns geholfen, die Aufgabe zu lösen? - Systematisierungen: Was können/wissen wir schon?

Unterstützungssysteme Vorträge unter www.math-learning.com Halbjährliche Lehrerfortbildungskurse unter www.prolehre.de zur Kompetenzförderung im MU Aufgabendatenbank für Lehrkräfte www.madaba.de www.problemloesenlernen.de Materialplattform www.amustud.de für Anwendungsorientierten MU

Blütenaufgabe : Rechenzauber Torsten hat sich einen Zaubertrick ausgedacht. Er sagt: Denke dir eine Zahl. Verdopple deine Zahl und addiere 9. Multipliziere das Ganze nun mit 4 und ziehe 36 ab. Torsten behauptet, dass er anhand des Ergebnisses sofort die gedachte Zahl benennen kann. a) Jan denkt sich die Zahl 5. Welches Ergebnis nennt er Torsten? b) Beim nächsten Versuch hat Jan das Ergebnis 64. Welche Zahl hatte er sich gedacht? c) Wie kann Torsten schnell und einfach die gedachte Zahl berechnen? Erkläre, warum dieser Trick immer funktioniert.

Intelligente regelmäßige Kopfübungen für die Grundlagensicherung Löse die Gleichung im Kopf: 3x - 5 = 1 Gib Maße für zwei verschiedene Dreiecke an mit 20cm 2 Flächeninhalt. Gib einen Überschlag an für den Umfang eines Kreises mit 15cm Durchmesser. Auf einer Karte im Maßstab 1: 200000 werden 4cm zwischen zwei Orten gemessen. Wie groß ist die reale Entfernung? Gib zwei Beispiele an, die in der Form a b = c beschrieben werden können und eins, bei dem das nicht sinnvoll ist! Notiere alle Primzahlen bis 20. Unter welchen Voraussetzungen kann man den Satz des Pythagoras anwenden? Was ist 80cm lang? Schreibe drei Achtel als Kommazahl 11² =?

Inhalte von Kopfübungen systematische Begleitung im MU -Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen -Umrechnen von Einheiten, Größenvorstellungen -Dreisatz (z.b. Maßstab) - Zahle/Anteile/Verhältnisse in verschiedenen Darstellungsformen angeben -Punkte im Koordinatensystem -Übersetzungsbausteine (Termstrukturen) -Basiswissen Geometrie (Winkel, Flächenberechnung...) -Ebenes und Raumvorstellungsvermögen (Skizzieren, Identifizieren) -Logisch-kombinatorisches Denken

Lernziel gestellt Lernziel angekommen? Grundverständnis sichern mit einem Lernprotokoll Aufgabenformate für Lernprotokolle Worum ging es im Einführungsbeispiel in der letzten Stunde? (Erläuterung) Grundaufgabe und ihre Umkehrung Wir haben ein neues Verfahren (Begriff, Satz) kennen gelernt: Gib ein Beispiel an, wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins, wo das nicht möglich ist! (Beispiel Gegenbeispiel) Welche Fehler können passieren, wenn man das Verfahren... anwendet?

Kontakt: bruder@mathematik.tu-darmstadt.de Für die prolehre-fortbildungskurse: jreibold@mathematik.tu-darmstadt.de