Funktionen (Grundlagen)

Funktionen (Grundlagen) 1. Kapitel aus meinem ANALYSIS - Lehrgang Sprachprofil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 23. November 2011

Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen (Grundlagen) 1 1.1 Einführung.............................. 1 1.2 Definitionen.............................. 7 1.3 Darstellungsmethoden........................ 10 1.4 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt................. 12 1.5 Funktionen & EXCEL........................ 15 1.6 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen...... 16 I

1 Funktionen (Grundlagen) 1.1 Einführung Mit dem Begriff der Funktion werden wir ein Hilfsmittel der Mathematik kennenlernen, welches von zentraler Bedeutung ist. Mit Hilfe von Funktionen lassen sich Bewegungsabläufe beschreiben, Vorhersagen über das Bevölkerungswachstum machen, die Bahn eines Satelliten imweltraum berechnen,... und vieles mehr. Mathematisch betrachtet ist eine Funktion nur eine Vorschrift, die einem Element aus der einen Menge genau ein Element in einer anderen Menge zuordnet. Die Eigenschaften und die Diskussion von Funktionen werden im weiteren Mathematikunterricht eine wichtige Rolle spielen. Am Beispiel des (idealen) freien Falls wollen wir uns einen ersten Zugang zum Begriff der Funktion verschaffen und gehen von den folgenden (messbaren) Werten aus: Aufgewendete Zeit [in s] 0 1 2 5 10 Momentane Geschwindigkeit [in m/s] 0 9.81 19.62 49.05 98.1 Zurückgelegter Weg [in m] 0 4.905 19.62 122.625 490.5 Wir wollen die Informationen und Zusammenhänge aus der Tabelle graphisch darstellen in dem wir die obigen Werte in ein Koordinatensystem übertragen, beginnen aber mit einer kurzen Wiederholung einiger Grundbegriffe im Zusammenhang mit kartesischen Koordinatensystemen: 1

Wir beginnen mit der Darstellung des zurückgelegten Weges in Abhängigkeit von der aufgewendeten Zeit: Aufgewendete Zeit [in s] 0 1 2 5 10 Zurückgelegter Weg [in m] 0 4.905 19.62 122.625 490.5 Wir haben somit......... Zeitpunkt t............... Streckenlänge s zugeordnet:................ Die Streckenlänge s ist also.............................. : Die Entwicklung der Streckenlänge lässt sich bildlich darstellen: Mit Hilfe dieser graphischen Dartellung lassen sich die folgenden Fragen (ungefähr) beantworten: Nach 4 Sekunden sind...... m zurückgelegt worden. Für 600 m freier Fall benötigen wir...... s. 2

Wir wollen nun die momentane Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der aufgewendeten Zeit graphisch dar: Aufgewendete Zeit [in s] 0 1 2 5 10 Momentane Geschwindigkeit [in m/s] 0 9.81 19.62 49.05 98.1 und beantworte die folgenden Fragen: Wie gross ist die momentane Geschwindigkeit nach 7.5s freiem Fall? Wann wird eine Geschwindigkeit von 30m/s erreicht? Wann wird eine Geschwindigkeit von 100km/h erreicht und wie viele Meter freier Fall müssen dafür zurückgelegt werden? 3

Aufgaben : Stelle die aufgewendete Zeit in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke graphisch dar: Aufgewendete Zeit [in s] 0 1 2 5 10 Zurückgelegter Weg [in m] 0 4.905 19.62 122.625 490.5 und beantworte die folgenden Fragen: Wieviel Zeit wird für eine Strecke von 250m gebraucht? Wie viele Meter freier Fall werden in 9s zurückgelegt? Formuliere weitere Fragen, die mit der obigen graphischen Darstellung beantwortet werden können: Analysis-Aufgaben: Funktionen(Grundlagen) 1 4

Die obigen Fragen liessen sich nur ungefähr beantworten. Wie lässt sich die Genauigkeit der Antworten verbessern? Mit einer Funktionsgleichung erhalten wir eine Vorschrift, die... Beispiel 1.1... jeder aufgewendeten Zeit genau eine zurückgelegte Wegstrecke zuordnet: s(t) = 9.81 2 t2 1. s(2) = Ausgedeutscht bedeutet das 2. s(10) = 3. Bestimme die zurückgelegte Wegstrecke nach 5s 4. Ob wir mit den obigen Resultaten richtig liegen, können wir kontrollieren: 5. Mit s(t) berechnen wir somit... 5

Beispiel 1.2... jeder aufgewendeten Zeit genau eine momentane Geschwindigkeit zuordnet: v(t) = 9.81 t 1. Berechne v(1) = 2. Bestimme die Geschwindigkeit nach 5s freiem Fall 3. Wie lange muss ein Körper fallen, um eine momentane Geschwindigkeit von 75m/s zu erreichen? Aufgaben : Formuliere eine eigene Fragenstellung: Bestimme die zugehörige mathematische Darstellung: Bestimme die Lösung rechnerisch: Beispiel 1.3... jeder zurückgelegter Strecke genau eine aufgewendete Zeit zuordnet: 2s t(s) = 9.81 Aufgaben : t(20) = t(500) = Bestimme die Zeit, welche für 250m aufgewendet werden müssen. Nach 12s wird welche Strecke zurückgelegt? Der Strecke 100m wird welche Zeit zugeordnet? Der Zeit 5s wird welche Strecke zugeordnet? 6

1.2 Definitionen Def.: Bem.: Seien A und B zwei nicht-leere Mengen. Eine Abbildung / Funktion f : A B ist eine............, die............ Element aus A............ ein Element aus B zugeordnet. Sprechweise: Beispiel 1.4 1. f(3) = 9 2. f(5) = 25 3. f( 2) = 4 g(x) = x 1. g(2) = 2 2. g(18) = 3. g( 7) = h(x) = x 2 2 1. h(7) = 2. h(3) = 3. h(0) = 4. h( 3) = Analysis-Aufgaben: Funktionen(Grundlagen) 2 7

Weitere Schreibweisen & Begriffe: f : A B x f x 2 f(x) = x 2 Beispiel 1.5 f : N Q, x f 1 x 2 1. D(f) = 2. W(f) = 3. die zugehörige Funktionsgleichung lautet: 4. f(3) = 5. f( 1 2 ) = g : N 0 N, t g 2t 3 1. D(g) = 2. W(g) = 3. die zugehörige Funktionsgleichung lautet: 4. g(4) = 5. g(0) = 8

3. a : Q Q, a(r) = r 3 r 2, b : Q Q, b(r) = 2r (a) a(1) = (b) b(2) = (c) a b(2) = (d) a b(1) = (e) b a(2) = (f) b b(0) = (g) a b a( 1) = 4. (a) Bestimme den kleinstmöglichen Wertebereich: i. x : Z..., für x(a) = a 2 ii. y : Q..., für y(s) = 0.2 (b) Bestimme den grösstmöglichen Definitionsbereich: i. v :... Z, für v(t) = 1 t ii. w :... Q, für w(g) = 5g 5. Eine Verknüpfung von Funktionen kann sich auch durch eine Funktion darstellen lassen. Wir verwenden f(x) = x + 1, g(x) = x 2 und beginnen mit dem, was wir schon können: (a) f(2) = (b) g(4) = (c) f g(4) = (d) f f(2) = (e) g(a) = (f) f(k 2 ) = (g) f g(x) = (h) g f(x) = Analysis-Aufgaben: Funktionen(Grundlagen) 3 9

1.3 Darstellungsmethoden Ein wichtiges Thema in der Mathematik wird später die Diskussion von Funktionen sein. Wir werden dann unter Anwendung weiterer mathematischer Hilfsmittel Extremas, Nullstellen, Monotonieverhalten,... einer Funktion exakt bestimmen. Wenn wir uns vom Verlauf der Funktion ein Bild machen, können wir jetzt schon einige dieser Eigenschaften ungefähr bestimmen. Wir wollen zwei Darstellungsmethoden an der folgenden Funktion besprechen: f : R R, f(x) = x 2 + 1.5x 4.5 1. Wertetabelle: x -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 f(x) 2. Graphische Darstellung: 10

Aufgaben : Stelle die folgenden Funktionen in einem Koordinatensystem graphisch dar: (a) f(x) = x 2 6, 25 (b) g(x) = x 4 13x 2 + 36 (Verwende als Argumente: -4, -3.5, -3,... 3.5, 4 und achte auf eine geschickte Wahl der Einheiten: auf der y-achse von -8 bis 40) Bestimme weiter die Nullstellen von f: den Achsenabschnitt von g: den Schnittpunkt von f mit der y-achse: die Schnittpunkte von g mit der x-achse: die Schnittstellen von f und g: Analysis-Aufgaben: Funktionen(Grundlagen) 4, 4b 11

1.4 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt Wir wollen am Beispiel des Börsenkurses der Nestle Namensaktie vom 2. Okt. 06 bis zum 2. Nov. 06 unsere bisherigen mathematischen Kenntnisse in die Praxis umsetzen und verwenden dazu die folgende graphische Darstellung: (Quelle: http://www.swissquote.ch ) Bestimme den Definitions- und Wertebereich Bestimme den Wert der Aktien am 19. Oktober 2006... 12

Bestimme die Tage, an welchen der Wert der Aktien grösser als Fr. 440.- war.... Bestimme den Tag, an welchem der Wert der Aktien am grössten war.... {x D(f) f(x) = minimal}... {x D(f) f(x) < 420}... {x D(f) y > 450}... {x D(f) 420 < y < 430}... Bestimme die Tage, an welchen der Aktienwert kleiner als Fr. 500.- war.... {y 10 x 23}... {y W(f) 10 x 23}... 13

Aufgaben : Suche auf der homepage http://www.swissquote.ch ein aktuelles Beispiel und formuliere sechs eigene Fragen: drei in deutsch, drei in der mathematisch beschreibenden Form. 14

1.5 Funktionen & EXCEL In diesem Abschnitt geht es darum, dass Programm EXCEL als Hilfsmittel zur Darstellung von Funktionen kennenzulernen. Als Grundage dient dazu Analysis-Aufgaben: Funktionen(Grundlagen) 5 Zusammenfassung: Analysis-Aufgaben: Funktionen(Grundlagen) 5 15

1.6 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen Am folgenden Beispiel der graphischen Darstellung zweier Funktionen...... wollen wir die folgenden Mengen kennzeichnen: 1. {x R f(x) > 0} 2. {x R g(x) 0} 3. {x R g(x) = 2} 4. {x R f(x) = 2} 5. {x R f(x) < 2} 6. {x N f(x) = g(x)} 16

7. {(x y) x = 2.5} 8. {(x y) y = 0} 9. {(x y) x 2 y < 4} 10. {(x y) x = 1 y = f(x) > 2} 11. {(x y) x = 1 y = f(x) > 3} 12. {(x y) y = g(x)} 17

Von grosser Bedeutung ist auch die Betrachtung des Graphen einer Funktion als eine Menge. Versuche, in dem Du einige Elemente (Punkte) eines Graphen bestimmst, mit Hilfe der folgenden Beispiele den Graphen einer Funktion als eine Menge zu beschreiben: Def.: Sei f : R R eine Funktion. Dann gilt: graph(f) := {... 18

Aufgaben : Wir gehen von der folgenden Funktion aus: f(x) = 3x 2. 1. Welche der folgenden Punkte sind Elemente des Graphen von f: (Begründe deine Antwort!) (a) A = (0/ 2) (b) B = (3/7) (c) C = ( 3/ 7) (d) D = ( 2 3 /0) 2. Bestimme die fehlende Koordinate so, dass der Punkt auf dem Graphen von f liegt: (a) E = (1/y E ) (b) F = (x F / 1) (c) G = ( 5/y G ) (d) H = (x H / 35) Analysis-Aufgaben: Funktionen(Grundlagen) 6, 6b 19