Partialwellenanalyse

Partialwellenanalyse Marc Schiereck 21. November 2007 Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 1 / 35

Einleitung Überblick 1 Resonanzen 2 Partialwellenentwicklung 3 Polarisationsobservablen 4 Beispiel: Partialwellenzerlegung im Gebiet der -Resonanz Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 2 / 35

Resonanzen Anregungsspektrum des Nukleons Das Nukleon ist kein Punktteilchen, sondern setzt sich aus Konstituenten (Quarks) zusammen. Dies äuÿert sich in der Ausdehnung, dem Formfaktor und dem Anregungsspektrums des Nukleons. Dieser Vortrag beschäftigt sich damit Informationen über das Anregungsspektrum zu erhalten. Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 3 / 35

Resonanzen Erinnerung: Klassisches Bild einer Resonanz erzwungene Schwingung ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = K exp ωt Lösung: A exp(iωt) Amplitude A: A = K (ω2 0 ω2 2iγω) (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2γω) 2 ω : Anregungsfrequenz ω 0 : Eigenfrequenz γ: Dämpfung K : Amplitude Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 4 / 35

Resonanzen Messungen Messungen Bisher: Messung von πn πn-streuung. Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 5 / 35

Resonanzen Messungen Resonanzspektrum des Nukleons Vergleich: Experiment Modell; viele Resonanzen nicht gemessen Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 6 / 35

Resonanzen Messungen Vergleich πn-streuung mit Photoproduktion darum: u. a. Messung von γ + N π + N γ + N η + N Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 7 / 35

Resonanzen Messungen Photoproduktion Untersuchung von weiteren Zerfallskanälen sinnvoll, falls Resonanz schwach an einen Kanal (z. B. πn πn) koppelt Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 8 / 35

Resonanzen Partialwellen Photoproduktion Partialwellen Beschreibung dieser Prozesse Pion-Photoproduktion einlaufende Photonen und auslaufende Pionen sinnvoll: Notation, die dies berücksichtigt Einführung von Partialwellen Photonen-Multipole Pion-Partialwellen Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 9 / 35

Resonanzen Partialwellen Partialwellenschreibweise einlaufende Photonen mit Drehimpuls L: {EL, ML} Im Endzustand ist der Gesamtdrehimpuls l π ± 1 2 : {E, M} l π± (E und M werden vom Photon übernommen) Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 10 / 35

Resonanzen Partialwellen Drehimpuls- und Paritätserhaltung Drehimpulserhaltung: L ± 1 2 = J = l π ± 1 2 Paritätserhaltung: EL: ( ) L = ( ) lπ+1 ML: ( ) L+1 = ( ) lπ+1 Insgesamt folgt damit: EL L l π = 1 ML L = l π Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 11 / 35

Resonanzen Partialwellen Beispiele für Partialwellen mit L = 1, 2 Photon J l π Partialwelle E1 M1 E2 M2 1 2 0, 1 E 0+ 3 2 1, 2 E 2 1 2 0, 1 M 1 3 2 1, 2 M 1+ 3 2 1, 2 E 1+ 5 2 2, 3 E 3 3 2 1, 2 M 2 5 2 2, 3 M 2+ Partialwellen: M lπ± EL L l π = 1 ML L = l π Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 12 / 35

Resonanzen Resonante Partialwellen Resonante Partialwellen Wie hängen Partialwellen und Resonanzen zusammen? Man führt folgende Schreibweise für Resonanzen ein: (1232)-Resonanz: P 33 (1232) l π Bahndrehimpuls des Pions I Isospin der Resonanz J = l π ± 1 2 Gesamtdrehimpuls M Masse der Resonanz Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 13 / 35

Resonanzen Resonante Partialwellen Zusammenhang Resonanzen Partialwellen Partialwellen: M lπ± Resonanzen: l π2i 2J (M) EL L l π = 1 ML L = l π Bezeichnung I J l π M[MeV] Γ π /Γ Γ η /Γ Partialwellen P 33 (1232) 3 2 P 11 (1440) 1 2 D 13 (1520) 1 2 S 11 (1535) 1 2 S 11 (1650) 1 2 3 2 1 1232 0,99 0 E 1+, M 1+ 1 2 1 1462 0,69 M 1 3 2 2 1524 0,59 0,001 E 2, M 2 1 2 0 1544 0,40 0,50 E 0+ 1 2 0 1659 0,89 0,03 E 0+ Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 14 / 35

Polarisationsobservablen Observablen Nun müssen Observablen gefunden werden, die sich dazu eignen die Partialwellen zu bestimmen. Dabei stellt sich die Frage, wieviele Observablen benötigt werden, um den Prozess vollständig zu beschreiben. Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 15 / 35

Polarisationsobservablen Benötigte Anzahl an Observablen Pion-Nukleon-Streuung π +N π +N Spin: 0 ± 1 2 0 ± 1 2 4 Möglichkeiten Pion-Photoproduktion γ +N π +N Spin: ±1 ± 1 2 0 ± 1 2 8 Möglichkeiten Paritätserhaltung: Anzahl auf die Hälfte reduziert. D. h. für die Photoproduktion: Es sind 4 komplexe Gröÿen zu bestimmen, um die Reaktion eindeutig festzulegen. πn πn γn πn Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 16 / 35

Polarisationsobservablen Totaler Wirkungsquerschnitt Reaktion γp pπ 0 σ M 1+ 2 + E 1+ 2 + E 0+ 2 Problem: einige Partialwellen sehr dominant M 1+ 2 + E 1+ 2 Lösung: Observablen mit Interferenztermen M 1+ E 1+ Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 17 / 35

Polarisationsobservablen Wirkungsquerschnitt mit Polarisationsfreiheitsgraden Man verwendet Polarisationsobservablen. dσ dω = dσ0 dω [1 p T Σ cos 2φ] p T linear polarisierte Photonen Σ Photonasymmetrie Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 18 / 35

Polarisationsobservablen Wirkungsquerschnitt mit Polarisationsfreiheitsgraden Man verwendet Polarisationsobservablen. dσ dω = dσ0 dω [1 p T Σ cos 2φ + p x ( p T H sin 2φ + p C F ) p y ( T + p T P cos 2φ) p z ( p T G sin 2φ + p C E)] p T linear polarisierte Photonen p C zirkular polarisierte Photonen p x, p y, p z Targetpolarisation Σ Photonasymmetrie Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 18 / 35

Polarisationsobservablen Übersicht über Polarisationsobservablen Photon Target x y z unpolarisiert σ 0 T 0 linear polarisiert Σ H (-P) -G zirkular polarisiert 0 F 0 -E 4 komplexe Gröÿen 8 unabhängige Observablen notwendig. Damit wäre modellunabhängige Partialwellenanalyse möglich. Bei πn πn ist eine vollständige Analyse möglich. Dies ist bei Pion-Photoproduktion bislang noch nicht möglich. Diese Observablen sind empndlich für Interferenzterme. Σ M 1+ E 1+ (1232)-Resonanz T M 1+ E 0+ S 11 (1535)-Resonanz G M 1+ M 1 P 11 (1440)-Resonanz Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 19 / 35

Partialwellenentwicklung Wie erhält man die Partialwellen? Es existieren vier komplexe Gröÿen F i, durch die man die Observablen ausdrücken kann. dσ 0 dω = f [F 1(W, θ π), F 2 (W, θ π), F 3 (W, θ π), F 4 (W, θ π)] Σ = g [F 1 (W, θ π), F 2 (W, θ π), F 3 (W, θ π), F 4 (W, θ π)] T = h [F 1 (W, θ π), F 2 (W, θ π), F 3 (W, θ π), F 4 (W, θ π)] Schwerpunktsenergie W und π-winkel θπ genügen als Parameter der F i. im Schwerpunktsystem Diese F i lassen sich nun nach Partialwellen E l± (W ), M l± (W ) und Legendre-Polynomen mit cos θπ als Parameter entwickeln. Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 20 / 35

Partialwellenentwicklung Partialwellenentwicklung Partialwellenentwicklung allgemein kugelsymmetrisches Problem Partialwellenentwicklung möglich d. h. Entwicklung einer Funktion F (W, θ) in der Form F (W, θ) = l=0 M l (W )P l (cos θ) M l P l Partialwellen Legendre Polynome Eine Partialwellenzerlegung kann bei Kräften mit geringer Reichweite schon nach wenigen Summanden abgebrochen werden. daraus: Zusammenhang Messgröÿen Partialwellen Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 21 / 35

Partialwellenentwicklung Partialwellenentwicklung Partialwellenentwicklung im Bereich der -Resonanz Pion-Photoproduktion am Proton Bereich der -Resonanz endliche Ausdehnung des Protons und der -Resonanz d. h. Partialwellenentwicklung kann früh abgebrochen werden es reichen s- und p-wellen Informationen über folgende Partialwellen: l π = 0: E 0+ l π = 1: M 1+, M 1, E 1+ p γ 340MeV/c r 1fm p π 200MeV/c lπ = r p π l π = 1fm 200MeV/c c 200MeVfm l π = 1 Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 22 / 35

Partialwellenentwicklung Partialwellenentwicklung der F i Anwendung auf die F i Partialwellenentwicklung der F i (W, θ π) Aufteilung in energieabhängige Partialwellen und Winkelanteil F 1 = X [lm l+(w ) + E l+(w )] P l+1 (x) l=0 + [(l + 1)M l (W ) + E l (W )] P l 1 (x) X F 2 = [(l + 1)M l+(w ) + lm l (W )] P (x) l l=1 X F 3 = [le l+(w ) M l+(w )] P l+1 (x) + [E l (W ) + M l (W )] P l 1 (x) l=1 X F 4 = [M l+(w ) E l+(w ) M l (W ) E l (W )] P (x) l=2 l Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 23 / 35

Partialwellenentwicklung Partialwellenentwicklung der F i Nur s und p-wellen In diesem Fall kann man die Entwicklung also bei l = 1 abbrechen und erhält: F 1 = E 0+ + (M 1+ + E 1+ )3 cos θ π F 2 = 2M 1+ + M 1 F 3 = 3(E 1+ M 1+ ) F 4 = 0 Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 24 / 35

Partialwellenentwicklung Observablen Zusammenhang zwischen den F i und dem Wirkungsquerschnitt (ohne Polarisation): dσ 0 dω (W, θ π) = q [ F 1 2 + F 2 2 + 1 k 2 sin2 θπ( F 3 2 + F 4 2 ) ] Re{2 cos θπ F 1 F 3 sin 2 θπ(f 1 F 4 + F 2 F 3 + cos θπ F 3 F 4)} Einsetzen der Partialwellenentwicklung in s und p-wellen ergibt: dσ dω A + B cos θ + C cos2 θ Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 25 / 35

Partialwellenentwicklung Observablen mit A = E 0+ 2 + 9 2 E 1+ 2 + 5 2 M 1+ 2 + M 1 2 + Re{M1+ M 1 } 3Re{E 1+ (M 1+ M 1 ) } B = 2Re{E 0+ (3E 1+ + M 1+ M 1 ) } C = 9 2 E 1+ 2 3 2 M 1+ 2 3Re{M1+ M 1 } + 9Re{E 1+ (M 1+ M 1 )} In A und C ist der Interferenzterm E 1+ M 1+ zu nden. dominanter Term M 1+ 2 noch vorhanden Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 26 / 35

Partialwellenentwicklung Observablen Photonasymmetrie linear polarisierter Photonenstrahl + unpolarisiertes Target dσ dω = dσ 0 dω [1 p T Σ cos 2φ] Damit erhält man: Σ(θπ) dσ dω (θ π)/ sin 2 θπ = q k A Σ mit 3 A Σ = 3( 2 E 1+ 2 1 ) 2 M 1+ 2 Re{E1+(M 1+ M 1 ) + M1+ + M1+ M 1 } M 1+ 2 ist immer noch vorhanden. Photonasymmetrie viel genauer bestimmbar kein Problem Grund: Messung von Σ nur über Zählraten Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 27 / 35

Partialwellenentwicklung Observablen Bestimmung der Partialwellen dσ dω, Σ bestimmt daraus A, B, C, A Σ bestimmt Diese sind Funktionen der Partialwellen E 0+, M 1+, M 1, E 1+. (A(E 0+, M 1+, M 1, E 1+ ) usw.) Nach diesen Partialwellen kann man auösen. Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 28 / 35

Ergebnisse Dierentielle Wirkungsquerschnitte; γp π 0 p Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 29 / 35

Ergebnisse Photonasymmetrie ; γp π 0 p Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 30 / 35

Ergebnisse Erinnerung: Klassisches Bild einer Resonanz erzwungene Schwingung ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = K exp ωt Lösung: A exp(iωt) Amplitude A: A = K (ω2 0 ω2 2iγω) (ω 2 0 ω2 ) 2 + (2γω) 2 ω : Anregungsfrequenz ω 0 : Eigenfrequenz γ: Dämpfung K : Amplitude Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 31 / 35

Ergebnisse P 33 -Partialwellen Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 32 / 35

Schluss Zusammenfassung Messung mit Photoproduktion um Zugang zu mehr Zerfallskanälen als bisher zu erhalten. Es werden mehr Observablen zur vollständigen Partialwellenanalyse benötigt. Dabei will man die resonanten Partialwellen bestimmen; diese werden teilweise stark von anderen Partialwellen überlagert. Zur Lösung dieses Problems werden Polarisationsobservablen verwendet. Diese Polarisationsobservablen sind empndlich auf Interferenzterme wie z. B. M 1+ E 1+. Aus ihnen lassen sich die gewünschten Partialwellen bestimmen. Vorstellung eines Beispiels in Form eines durchgeführten Experiments. Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 33 / 35

Fermi-Watson-Theorem Partialwellen komplexwertige Funktionen Zusammenhang zwischen Real- und Imaginärteil hilfreich Bei Pion-Photoproduktion: Fermi-Watson-Theorem: M I l±(w ) = M I l±(w ) e iδ a+inπ δ a ist die πn-streuphase. Für die resonanten Partialwellen der (1232)-Resonanz gilt: M 1+ = M 1+ exp(iδ P33 ) E 1+ = E 1+ exp(iδ P33 ) Kennt man δ P33 benötigt man nur noch zwei zusätzliche Gröÿen zur Festlegung von M 1+ und E 1+. Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 34 / 35

Photonasymmetrie Σ(θ π) = 1 p T = 1 p T (dσ /dω)(θ π ) (dσ /dω)(θ π ) (dσ /dω)(θ π ) + (dσ /dω)(θ π ) N (θ π ) N (θ π ) N (θ π ) + N (θ π ) Zurück Marc Schiereck Partialwellenanalyse 21. November 2007 35 / 35