Nützlich bei Disretisierungen von Problemen sind Gausslammern, die reellen Werten ganzzahlige zuordnen: Definition 57 (floor, ceiling.. r R : floor(r := r := max{z Z z r} 2. r R : ceiling(r := r := min{z Z z r} Beispiel 58. Wie viele natürlichen Zahlen leiner oder gleich 00 gibt es, die durch 2,3 und 5 teilbar sind? Sei A := {n N n 00 teilt n} Dann ist die Antwort A 2 A 3 A 5 = A 2 + A 3 + A 5 ( A 2 A 3 + A 2 A 5 + A 3 A 5 + A 2 A 3 A 5 Es ist A = 00/, und A A l = A l, damit ergibt sich A 2 + A 3 + A 5 ( A 6 + A 0 + A 5 + A 30 = 50 + 33 + 20 6 0 6 + 3 = 03 32 + 3 = 74 Das Prinzip von Inlusion und Exlusion ann man auch verwenden, wenn das zuviel Gezählte als Produt eingeht: Beispiel 59. Wenn man Personen auf Plätze verteilen soll, hat man (geordnetes Ziehen ohne Zurüclegen! Möglicheiten. Sind die Plätze aber an einem runden Tisch, ist der Startposition egal, man muss also den Fator wieder herausnehmen, beleiben (!/ = (! verschiedene Möglicheiten. Weitere einfache Zählprinzipien: Gleichheitsprinzip: Falls f : A B bijetiv ist, ist A = B. Doppeltes Abzählen: Für eine binäre Relation R A B gilt R = x A {y B (x, y R} und R = y B {x A (x, y R} Schubfachprinzip: Verteilt man n Dinge auf m Schubladen, und ist n > m, liegen in mindestens einer Lade mindestens zwei Dinge. (Bew: Widerspruch Etwas formaler gilt das verallgemeinerte Schubfachprinzip (pigeonhole principle: Satz 60 (Schubfachprinzip. Sei f : A B eine Funtion, dann gilt: A b B : f (b B Beweis. durch Widerspruch Beispiel 6. (Spezialfall des Satzes von Ramsey In einer Gruppe von 6 Personen gibt es entweder drei, die sich ennen, oder drei, die sich alle nicht ennen. (ennen ist dabei symmetrisch Sei die Gruppe P = {p, p 2,..., p 6 }, und enn : P \ {p } {0, } die ennen-funtion für p. Dann liegen im Urbild von 0 oder mindestens 5/2 = 3 Elemente. Wir nehmen mal an, das das für der Fall ist (im anderen Fall argumentiert man analog mit nicht ennen, und numerieren mal so, das zumindest p 2, p 3, p 4 darin liegen. Beispiel 62. Nun haben wir folgende Fälle:. p 2, p 3, und p 4 ennen sich alle nicht - dann haben wir drei Personen, die sich alle nicht ennen - fertig. 2. Zwei davon - OBdA p 2, p 3 - ennen sich. Da sie aber auch beide p ennen, haben wir drei Personen, die sich ennen - auch fertig. - q.e.d. 2.2 Permutationen Definition 63. Für n N, n > 0 ist [n] := {,..., n} Definition 64. Sei M eine endliche Menge. Eine bijetive Abbildung π : M M nennt man Permutation. Ein Wert m M mit π(m = m heisst Fixpunt der Permutation. Es genügt, alle Permutationen auf [n] zu untersuchen, denn es gilt 20
Satz 65. Für jede bjetive Abbildung f einer endlichen Menge M mit M = n in sich selbst gibt es bijetive Abbildungen num : M [n] und π : [n] [n] mit f = num π num Beweis. Jede endliche Menge ist numerierbar. Beispiel 66 (Derangement-Zahlen. Mit den o.g. Siebformel ann man auch der Anzahl der fixpuntfreien Permutationen der Länge n, die sogenannten Derangenment-Zahlen D n, berechnen.: D n = n!( + /2 /3! +... + ( n /n! Beweis: Wir berechnen die Anzahl aller Permutationen (n!, und ziehen davon die Anzahl der Permutationen mit mindestens einem Fixpunt (ξ n ab. Sei A i := {p : [n] [n] p(i = i} Dann liefert uns die Siebformel das Ergebnis für ξ n = i=,...,n A i = r=,...,n ( (r i <...<i r n j=,...,r A i j Die j=,...,r A ij sind genau die Permuationen mit p(i j = i j für alle j =,.., r. Diese liegen also fest. Die übrigen sind nicht eingeschränt. Damit gibt es dort (n r! Möglicheiten. Davon gibt es C(n, r Kombinationen. Mit der Überlegung erhalten wir: ξ n = ( (r (n!/(r!(n r!(n r! = ( (r (n!/r! r=,...,n r=,...,n Für die Derangement-Zahlen D n ergibt sich zusammengefasst die o.g. Darstellung. Die Permutationen auf [n] bilden die Symmetrische Gruppe S n. Es gibt unterschiedliche Darstellungen für Permutationen: Wertetabelle: π = ( 2... n π( π(2... π(n ggf. auch nur als untere Zeile π = (π(...π(n. Matrixdarstellung: mit m... m n π =..... = (m ij i,j=,...,n m n... m nn { falls π(i = j m ij := 0 sonst Damit ist die Anwendung der Permutation die Multipliaton mit der Matrix. Zyeldarstellung: Definition 67. Für eine Permutation π ist ein Zyel bzw. Zylus der Länge eine Folge (p,..., p bei der für i =,..., gilt p i+ = π(p i, und π(p = p. Man ann jede Permutation auch als Produt von Zyeln schreiben. Zyel sind gewissermassen Kreise - das Startelement ist gleichgültig, aber die Reihenfolge ist wichtig! 2
Beispiel 68. Die Anzahl der Permutationen von [3] ist 3! = 6: ( 2 3 = (((2(3 ( 3 2 = (((3 2 (2 3 = ((2 (3 (2 3 = ((3 2 (3 2 = ((3 2 (3 2 = ((3 (2 Wir haben also: Permutation mit 3 Zyeln, 3 Permutationen mit zwei Zyeln, und 2 Permutationen mit einem Zyel. 2.3 Stirling-Zahlen. Art Definition 69 (Stirling-Zahlen. Art. Für n, N bezeichnet man die Zahlen als Sterling-Zahlen erster Art James Stirling (692-770 Satz 70. s n, := {π : [n] [n] π ist eine Permutation mit genau Zyeln} n s n, = n! = Beweis. Jede Permutation hat mindestens einen und maximal n Zyel. Andererseits genau es genau n! Permutationen über [n] Satz 7. Setzt man s 0,0 :=, so gilt für alle n : s n, = s n, + (n s n, Beweis. (ombinatorisch: Wie ann eine Permutation über [n] mit Zylen entstehen? Entweder entsteht sie durch Zufügen des Zylus (n zu den Permutationen mit Zylen über [n ]. Das ergibt den. Summanden. Oder n wird in einen der -Zylen über [n ] hinzugefügt. Da die Reihenfolge bei Zyeln wichtig ist, hat man dafür (n Möglicheiten. Das ergibt den 2. Summanden. Mit der Reursionsformel ann man ein Dreiec der Stirling-Zahlen erster Art aufbauen. Die Zeilennummer ist dabei das n, die Zahlposition in der Zeile das, und die Zählung beginnt bei (0, 0: 0 0 0 2 3 0 6 6 0 24 50 35 0 0 20... Beginnt man die Zählung bei (, und betrachtet nur > 0, ommt man auf folgendes Dreiec: 22
2 3 6 6 24 50 35 0 20... 2.4 Mehr zu Binominaloeffizienten Auch die Binominaloeffizienten haben einige weitere interessante Aspete: Satz 72. = n- Beweis. Das folgt mit n (n = diret aus der Definition. Satz 73. 2 n = n =0 Beweis. Das folgt aus 2 n = ( + n und der binomischen Formel. Beweis. (alternativ, ombinatorisch: 2 n ist die Menge der Elemente der Potenzmenge einer n-elementigen Menge, und ist die Anzahl der die -elementigen Teilmengen. Summiert man über alle, muss die Anzahl aller Teilmengen entstehen. auch hier gibt es eine Reursionsformel: Satz 74. (Pascal-Dreiec Für n, N mit n > gilt: ( n- = - - + Beweis. (ombinatorisch: Die line Seite der Gleichung entspricht der Anzahl der -elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Wie setzen sich diese zusammen? Nun, man diese in zwei Gruppen zerlegen, indem man ein Element - sei dies mit e n bezeichnet - auswählt. Die n-elementigen Teilmengen von M setzen sich dann zusammen aus den Teilmengen, die e n enthalten, und denen, die e n nicht enthalten. Das sind einerseits die (--elementigen Teilmengen von M {e n }, zu denen man das Element e n hinzunimmt, und andererseits die -elementigen Teilmengen von M {e n }. Deren Anzahlen stehen aber genau in der Summe auf der rechten Seite der Gleichung. Damit ann man das Werte reursiv berechnen. Nimmt man n für die Zeile, und für die Spalten, und startet bei n=, =, ergibt sich 2 3 3 4 6 4 5 0 0... Es gilt auch die Vandermondesche Identität: 23
Satz 75., m, n N gilt: ( n+m = j=0 ( n j ( m -j Beweis. Der Beweis ist larer, wenn man die n und m nach Eigenschaften gruppiert, hier - obda - in männlich und weiblich. Seien die n und m die Mächtigeiten unterscheidbarer Teilmengen ( einer Menge, z.b. n Frauen und n+m m Männer einer Personengruppe. Es gibt nun, wie bereits beweisen, -elementige Teilmengen davon. Andererseits hat jede -elementige Teilmenge 0 j Frauen aus den n Frauen ausgewählt, und entsprechend ( j Männer. ( ( n m Beweis. Es gibt also für jede -elementige Teilmenge mit j Frauen genau Möglicheiten. Nun j -j müssen wir noch über alle möglichen j summieren, um alle möglichen -elementigen Teilmengen der (n + m- elementigen Menge zu beommen. Das ist genau die rechte Seite der Gleichung. Das Berechnungsschema des pascalschen Dreiecs findet man auch bei den Bernsteinpolynomen der Bezierurven wieder. Definition 76. Für n, i N, n i ist das i-te Bernsteinpolynom n-ten Grades B n,i (t := i t i ( t n i Definition 77. Für t [0, ] ist eine Bezierurve n-ten Gerades C(t zu n + -Stützpunten (Kontrollpunten, Bezierpunten P 0,..., P n definiert durch n C(t := B n,i (tp i Satz 78. i=0 B n,i (t = tb n,i (t + ( tb n,i (t 2.5 Mengenpartitionen - Stirling-Zahlen 2. Art Definition 79. Die Zerlegung einer Menge M mit n Elementen in disjunte Teilmengen, also M = i=,..., A i mit A i A j = für i j nennt man -Partition Die Anzahl der -Partitionen einer n-elementigen Menge wird mit S n, bezeichnet. Diese Zahlen nennt man auch Stirling-Zahlen 2. Art Für > n ist sicher S n, = 0, und für n > 0 gilt auch S n,0 = 0. Mit einem sinnvoll definiertem Wert für S 0,0 ommt man damit wieder zu einer schönen Reurzsonsformel: Satz 80. Sei S 0,0 :=, dann gilt für n, N, n > : S n, = S n, + S n, Das ergibt wieder ein Dreiec, beim Start bei (, und > 0: 3 7 6 5 25 0 3 90... 24
Beweis. (ombinatorisch: Lins steht die Anzahl der -Partitionen einer n-elementigen Menge. Wie entstehen diese? Wir wählen wieder ein festes Element e n aus M. Man ann die -Partitionen von M dann zusammensetzen aus den -Partionen von M {e n }, indem man einer der Teilmengen das Element e n hinzufügt. Dafür hat man Möglicheiten - das ergibt den rechten Summanden. Oder man hat {e n } als eigene Partitionsmenge, dort ommen dann die ( -Partitionen von M {e n } hinzu - das ergibt den ersten Summanden. 2.6 Zahlpartitionen 4 = + + + = 2 + + = 2 + 2 = 3 + = + 3 = + + 2 = + 2 + 2.6. Geordnete Zahlpartitionen Satz 8. Die Anzahl der geordneten Zahlpartitionen mit Summanden ist - - Dieser Satz löst einen Spezialfall bei diophantischen Gleichungen. Beweis. (ombinatorisch Man ann die Zahl als Summe von -sen schreiben, und dann Klammerpaare hinzufügen: m = ( + +.. + ( +.. + + ( +... +. Dann stehen + zwischen den Klammerpaaren. ( Für die n- Auswahl dieser - aus den n- Positionen - das ist ungeordnetes Ziehen ohne Zurüclegen - habe ich - Möglicheiten. 2.6.2 Ungeordnete Zahlpartitionen Definition 82. Die Anzahl der Möglicheiten, eine natürliche Zahl n als Summe von Summanden zu schreiben, wird mit P n, bezeichnet. Man setzt P 0,0 := Satz 83. Für alle n, N mit n gilt P n, = j=0 P n,j Beweis. Wir sortieren die möglichen Partitionen, so das die -sen vorn stehen. Es ist dann n = n +... + n i + n i+ +... + n, wobei n = n 2 =... = n i = gilt. Also sind alle n i+,..., n 2. Zieht man von dem Teil bei jedem Summanden eine ab, ommt man also auf eine Zahlpartionierung von ( i-partitionierung von (n. Umgeehrt ann man jede -Partitionierung von n mit i -sen so erzeugen. Es gibt also genau P n, i verschiedene Partitionen mit i -sen. Summiert man über alle mögliche i, beommt man mit i=0,... P n, i = j=0,..., P n,j die Behauptung - q.e.d. 2.7 Catalanzahlen Definition 84. Eine Triangualisierung ist eine Partition des onvexen n-ecs in Dreiece durch sich gegenseitig nicht schneidende Diagonalen. Ein Binärbaum ist ein Baum mit einem eindeutigen Wurzelnoten, bei dem jeder Knoten maximal zwei Kindnoten hat. 25