Wirtschaftswissenschaften häufig nicht so klar formulierbar. Viel häufiger tritt das Phänomen auf, dass man Aussagen widerlegt! Kehren wir zurück zu unserem Beispiel 1.13 über den Zusammenhang zwischen Arbeitslosenquote und Inflation. Dieser Zusammenhang ist heutzutage eindeutig durch etliche Gegenbeispiele widerlegt. Bis in die 80 er Jahre hinein wurde ein solcher Zusammenhang aber vermutet! 1.4 Mengen Ein zentrales Konzept für die Mathematik ist der Begriff der Menge. Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte. Von jedem dieser Objekte muss eindeutig feststehen, ob das Objekt zur Menge gehört oder nicht. Die Objekte heißen Elemente der Menge Ist a ein Element der Menge M, schreiben wir auch 46
a M andernfalls a / M Die Elemente einer Menge sind immer alle verschieden. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, Mengen zu beschreiben. Wir wollen die Menge M aller geraden ganzen Zahlen zwischen 2 und 15 beschreiben: 1. Aufzählung M = {2,4,6,8,10,12,14}. 47
2. teilweise Aufzählung M = {2,4,6,...,12,14} Hierbei muss man aufpassen, dass es nicht zu Missverständnissen kommt. 3. Beschreibung durch charakteristische Eigenschaften M := {x : x Z und x 2 und x 15 und x gerade}. Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Beispiel 1.18 = {x : x wohnt in der Bundesrepublik Deutschland und x ist im Jahre 1700 geboren} Die Mächtigkeit oder Ordnung einer Menge ist die Anzahl der Elemente in der Menge. Unsere oben betrachtete Menge M = {2,4,6,8,10,12,14} hat also die Mächtigkeit 7. Schreibweise: M = Anzahl der Elemente in M. Falls M unendlich viele Elemente hat, schreiben wir M = ( : unendlich). Beziehungen zwischen Mengen 48
WirnennenAeineTeilmengevonB,wennjedesElementausAaucheinElement von B ist. Dabei darf auch A = B gelten. A B: A Teilmenge von B A B: A Teilmenge von B und A B Beachte, dass stets A A gilt. Ferner gilt für alle Mengen A. Beispiel 1.19 N Z Q R Die Menge aller Einwohner Magdeburgs ist eine Teilmenge der Menge aller Einwohner Deutschlands. Verknüpfung von Mengen Wir können Mengen schneiden oder vereinigen: A B = {x : x A oder x B} Vereinigung A B = {x : x A und x B} Schnitt 49
A B A B A A B B Achtung: Es gilt nicht A B = A + B, sondern A B = A + B A B Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn ihr Schnitt leer ist. Für disjunkte Mengen gilt A B = A + B Manchmal wollen wir mehr als nur eine Menge vereinigen oder schneiden. Wir schreiben dann 50
n A i = A 1 A 2... A n i=1 n A i = A 1 A 2... A n i=1 Die Differenz von Mengen ist wie folgt definiert: A\B = {x : x A und x / B} A B A\B Ist A eine Teilmenge von Ω, so schreiben wir statt Ω\A auch A oder, genauer, A Ω = Ω\A: 51
Ω A A Beispiel 1.20 Wir betrachten die folgenden vier Mengen: A = {x : x R und 1 x 6} B = {x : x N und x < 6} C = {x : x N und x 2} D = {x : x R und x < 6} 52
Dann gilt: Mengenalgebra A B = {1,2,3,4,5} A\D = {6} A C = {2,3,4,5,6} C \A = {x : x N und x > 6} B C = {2,3,4,5} B C = N A N = {1,2,3,4,5,6} A R = {x : x R und (x < 1 oder x > 6)} B N = {6,7,8,...}. Ähnlich wie für die Verknüpfung von Aussagen gibt es auch gewisse Rechenregeln für die Verknüpfung von Mengen. Wir geben im folgenden die wichtigsten Regeln an: 53
Idempotenzgesetze A A = A A A = A Kommutativgesetze A B = B A A B = B A 54
Assoziativgesetze A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Distributivgesetze A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Inklusionsgesetze A A B A B A Man macht sich diese Regeln am besten anhand einiger Mengendiagramme(Venn- Diagramm) klar. Wir illustrieren hier nur das erste Distributivgesetz. Im ersten Diagramm sehen wir die Menge B C schraffiert. Danach vereinigen wir diese Menge mit A. Im letzten Bild haben wir die Mengen A B und A C jeweils unterschiedlich schraffiert und dadurch auch gleich den Schnitt (A B) (A C) gekennzeichnet. 55
B B A B C A A (B C) C C B A (A B) (A C) Ähnliche Gesetze gelten für die Komplementbildung und die Mengendifferenz. Neue Mengen aus alten Mengen Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A. Bezeichnung: P(A). Ist A endlich, so gilt P(A) = 2 A. Seien a 1,...a n irgendwelche Elemente. Wir nennen (a 1,a 2,...,a n ) 56 C
ein n-tupel. Die Elemente müssen nicht unbedingt verschieden sein. Die Menge aller n-tupel (a 1,...,a n ) mit a i A i heißt das kartesische Produkt von A 1,...,A n. Bezeichnung: A 1 A 2 A n. Beispiel 1.21 Sei A = {1,2} und B = {a,b} und C = {b,c}. Dann gilt A (B C) = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a), (2,b),(2,c)} (A B) (A C) = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b), (1,c),(2,c)} A (B C) = {(1,b),(2,b)} (A B) (A C) = {(1,b),(2,b)} Diese Beispiele legen nahe (und man kann es auch beweisen), dass A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) gilt. Im allgemeinen ist A B B A. 57
1.5 Relationen und Abbildungen Die Definition einer Relation ist ganz einfach: Beispiel 1.22 Eine Relation R zwischen zwei Mengen X und Y ist eine Teilmenge R X Y. Gilt X = Y, so heißt R eine Relation auf X. Man schreibt x R y falls (x,y) R. X: Menge der MathematikerInnen. Y: Menge der WirtschaftswissenschaftlerInnen. Eine Relation zwischen X und Y wird z.b. durch Mathematiker x ist jünger als Wirtschaftswissenschaftler y erklärt. Sei X die Menge aller Frauen, Y die Menge aller Männer. Als Relation zwischen X und Y wählen wir verheiratet. A = {1,2}, B = {2,3}. Dann ist A B = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}. 58
Wir erhalten z.b. folgende Relationen: R 1 = {(a,b) A B : a = b} = {(2,2)} R 2 = {(a,b) A B : a < b} = {(1,2),(1,3),(2,3)} R 3 = {(a,b) A B : a b} = {(1,2),(1,3),(2,3),(2,2)} = A B R 4 = {(a,b) A B : a+b = 2} = Man kann diese Relationen auch durch Graphen verdeutlichen. Dazu malen wir die Menge A und die Menge B auf und verbinden zwei Elemente mit einem Pfeil genau dann, wenn sie in Relation miteinander stehen: 59
1 2 R 1 2 3 1 2 1 2 2 3 R 3 2 3 R 2 1 2 R 4 2 3 Diese Beispiele zeigen, dass an jedem Punkt kein, ein oder mehrere Pfeile beginnen können. Genauso kann an jedem Punkt kein, ein oder mehrere Pfeile ankommen. Solche Pfeildiagramme sind natürlich unhandlich, wenn die Mengen X und Y unendlich sind. Sind X und Y Zahlbereiche, können wir versuchen, die Menge der Punkte (x, y) R in einem Koordinatensystem zu skizzieren. 60
Abbildungen In den Wirtschaftswissenschaften haben wir es meistens mit Abbildungen zu tun. Eine Abbildung aus X nach Y ist eine Relation zwischen X und Y, so dass es zu jedem x X höchstens ein y Y gibt, so dass x und y in Relation zueinander stehen. Das Element y wird mit f(x) bezeichnet. In unserer Pfeildarstellung bedeutet dies, dass in jedem Element x X höchstens ein Pfeil beginnt: Beachte, dass nicht jedem x X ein Funktionswert zugeordnet werden muss. Häufig wird gefordert, dass jedem x X ein y so zugeordnet wird, dass x 61
und y in Relation stehen. Wir benutzen hier manchmal folgende Sprechweise: Wenn jedem x X höchstens ein y zugeordnet wird, so sprechen wir von einer Funktion aus X nach Y. Wird jedem x X genau ein f(x) zugeordnet, so wollen wir von einer Abbildung von X nach Y sprechen: Das ist manchmal ganz praktisch: Es hat Vorteile, wenn man komplizierte Funktionen hat wie etwa x f(x) = x 5 +3x 3 x 4, aufgefasst als Abbildung aus R nach R, wo man von vornherein gar nicht weiß, für welche x der Nenner 0 wird, die Funktion also gar nicht definiert ist. Bezeichnung: f : X Y. Die Menge der x X, für die f(x) erklärt ist, nennen wir den Definitionsbereich von f, bezeichnet mit D(f). Der Definitionsbereich D(f) muss nicht ganz X sein, wie die obigen Beispiele zeigen. Die Menge 62
X heißt die Menge der unabhängigen Variablen, die Menge Y bezeichnet die abhängigen Variablen, denn wenn wir x kennen, kennen wir auch f(x). Beachten Sie bitte, dass der Definitionsbereich alle x X enthält, für die es ein f(x) gibt, er ist also in einem gewissen Sinne maximal. Beispiel 1.23 Wir definieren f : R R durch f(x) = 1. Dieser Ausdruck x 2 1 ist natürlich nur erklärt, wenn x 2 1 0. Also ist f eine Abbildung aus R nach R. Der Definitionsbereich ist R\{±1}. Die graphische Veranschaulichung: 4 y 2 6 4 2 2 4 6 x 2 4 63
Beispiel 1.24 Wir betrachten f : R R definiert durch f(x) = lgx (dekadischer Logarithmus). Wir haben schon gesehen, dass der Logarithmus nur für positive Zahlen erklärt ist. Der Definitionsbereich ist also R + : 1 0.5 x 5 10 15 20 0.5 1 1.5 2 Machen Sie sich bitte nicht zu viele Gedanken über die Frage, ob eine Abbildungen von oder aus einer Menge X erklärt ist. Wichtig ist nur, dass bei der Beschreibung einer Abbildung durch eine Vorschrift, wie z.b. lg x oder 1 x 2 1 zu 64
beachten ist, dass diese Vorschrift für einige Werte von x möglicherweise nicht definiert ist. Oft liegt das daran, dass man nicht durch 0 dividieren darf. Andere Möglichkeiten: Logarithmen oder Wurzeln negativer Zahlen sind nicht definiert. Manche trigonometrische Funktionen haben Stellen, wo sie nicht definiert sind, z.b. tan(π/2) ist nicht definiert. Abbildungen werden oft auch Funktionen genannt. Meistens spricht man von Funktionen, wenn die Mengen X und Y Zahlbereiche sind. Wenn wir hier von Zahlbereichen sprechen, meinen wir nicht etwa nur R, sondern auch R 2, R 3 usw. Denken Sie daran: Ökonomische Daten hängen fast nie nur von einer Variablen ab. Injektiv, Surjektiv, Bijektiv 65
Eine Abbildung f : X Y heißt injektiv wenn aus f(x 1 ) = f(x 2 ) stets x 1 = x 2 folgt. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es zu jedem y Y (mindestens) ein x X gibt mit f(x) = y. Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist und es zu jedem x X ein y gibt mitf(x) = y (f alsoinsbesondereeineabbildung von X nach Y ist). Für unsere Pfeildarstellung von Abbildungen bedeutet das folgendes: injektiv: in jedem y Y endet höchstens ein Pfeil surjektiv: in jedem y Y endet mindestens ein Pfeil bijektiv: in jedem y Y endet genau ein Pfeil und in jedem x X beginnt genau ein Pfeil. 66
injektiv surjektiv bijektiv 67
In allen drei Fällen haben wir Abbildungen, weil aus den linken Mengen an jedem Punkt nur höchstens ein Pfeil beginnt. Ist f eine injektive Abbildung, so definieren wir f 1 : Y X durch folgende Vorschrift: f 1 (y) = x, wobei x X durch die Eigenschaft f(x) = y bestimmt ist. Beachte, dass x wegen der Injektivität eindeutig bestimmt ist. In unseren Pfeilbildern bedeutet dies einfach, dass wir jeden Pfeil umdrehen. Die Abbildung f 1 heißt die zu f inverse Abbildung. Beachte, dass auch f 1 injektiv ist. Ferner ist f bijektiv genau dann wenn f injektiv und surjektiv ist und zusätzlich f 1 auch surjektiv ist. Bei einer bijektiven Abbildung geht von jedem Punkt in X genau ein Pfeil aus und in jedem Punkt aus Y endet genau ein Pfeil. Das heißt insbesondere, dass X und Y gleich viele Elemente haben. Verknüpfung von Abbildungen Seien f : X Y und g : Y Z zwei Abbildungen. Wir definieren die Abbildung g f : X Z wie folgt: (g f)(x) = g[f(x)]. Also: Wir wenden erst f auf x an, dann auf den Wert f(x) die Abbildung g. Wichtigistes,sichzumerken,dassg f bedeutet,erstf unddanng anzuwenden. 68
f g X Y Z g f 69
2 Funktionen einer Variablen 2.1 Einführende Beispiele Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertige Waschmaschinen. Es hat monatliche Fixkosten von 170.000. Die sind unabhängig von der produzierten Menge. Pro produziertem Stück fallen variable Kosten (vor allem Material und Löhne) von 500 an. Die monatlichen Gesamtkosten des Unternehmens (in ) betragen dann K(x) = 170.000+500x, wobei x die Anzahl der im Monat produzierten Waschmaschinen ist. Bei 100 Waschmaschinen fallen also Gesamtkosten an in Höhe von bei 1000 Stück K(100) = 230.000, K(1000) = 670.000. K heißt die Kostenfunktion. Wenn man nicht an den Gesamtkosten K interessiert ist, sondern an den Kosten pro produziertem Stück, so erhält man die 70
Stückkostenfunktion S(x). Sie ergibt sich aus der Kostenfunktion K(x) einfach durch In obigem Beispiel ist S(x) = K(x) x. S(x) = 170.000+500x x Bei 100 produzierten Waschmaschinen ist das also bei 1000 Maschinen S(100) = 2300, S(1000) = 670. = 500+ 170.000. x Weitere ökonomische Funktionen sind Nachfrage-Funktion (Preis-Absatz-Funktion): Sei p der Preis eines Gutes, N die nachgefragte(abgesetzte) Menge. Die Nachfragefunktion ist dann N(p). Üblicherweise wird N(p) kleiner, wenn der Preis p steigt. So könnte z.b. (p ausgedrückt in ) N(p) = 100.000 500p (2.1) 71