Vorkurse der Hochschule Aalen Brückenkurs Höhere Mathematik Aufgabensammlung März 209 Das Grundlagenzentrum (GLZ) wird aus Mitteln des Bundesministeriums für Bildung und Forschung (BMBF) unter dem Förderkennzeichen 0PL05 im Rahmen des Gemeinsamen Bund-Länder-Programms für bessere Studienbedingungen und mehr Qualität in der Lehre gefördert. Die Verantwortung für den Inhalt dieser Veröffentlichung liegt beim GLZ.
Grundregeln HM-6.: Bilden Sie die Ableitung folgender Funktionen, wobei n, m N seien: a) f(x) = 5x + 7x 2 2 b) f(x) = t 4 + at 2 + x c) f(s) = n s + s2 2 a d) f(t) = n 2 t s t + c e) f(x) = 4x 2 + x f) f(x) = x 2 x + x 4 g) f(x) = x h) f(x) = x 4 i) f(u) = u j) g(u) = 4 u k) f(x) = a e x l) v(t) = sin t cos t m) f(s) = 2 ln s n) f(x) = m xm o) f(x) = x n+ 2 x 2n + x n+ p) f(x) = u4 4 q) f(x) = ax n r) f(x) = x2n 4 2n 4 s) f(x) = tan x t) f(t) = t + a HM-6.2: An welchen Stellen hat f(x) = 4 x2 die Steigung,, 2, 2? Produkt-, Quotienten- und Kettenregel HM-6.: Bilden Sie die Ableitung mittels Produktregel: a) f(x) = x e x b) f(x) = (x + 2)(6x 4 2) c) f(x) = x (e x ) d) f(x) = ( x 2)(2 x) x e) v(t) = t e t cos t f) f(x) = (2x + a)(ax + 2bx 2 + c) g) f(x) = x n e x ln x h) f(t) = cos t sin t tan t HM-6.4: Bilden Sie die Ableitung mittels Quotientenregel: a) f(x) = 2x + x + x 2 b) f(x) = ax 2 bx 2 + cx c) f(x) = x2 7x + e x d) s(t) = t e) f(x) = 2 ln x x 2 f) f(x) = eln x ln e x Grundlagenzentrum GLZ Seite
g) f(x) = + x x h) f(x) = x2 e x HM-6.5: Bilden Sie die Ableitung mittels Kettenregel: a) f(x) = (x + 2x ) 2 5 b) f(x) = ln x c) v(t) = sin(ω t 4φ) d) f(x) = ln(e x + ) e) f(x) = x 2 5 f) s(t) = tan( t 2) g) f(x) = e x2 2x+ h) f(x) = ln(ln x) HM-6.6: Bilden Sie Ableitungen zu den folgenden Funktionen. Die Lösungen sollten jeweils paarweise übereinstimmen. a) f(x) = (2 5x) 2 f(x) = 4 20x + 25x 2 b) f(t) = ( sin t) 2 f(t) = 2 2 sin t cos ²t c) f(x) = (x 2 5 x 2) 2 f(x) = 9x 4 0 + 25 x 4 d) f(x) = (7 sin x)(7 + sin x) f(x) = 48 + cos 2 x e) f(x) = ( x ) (2 + 2 x 2) f(x) = 2 x x2 x Monotonie und Krümmungsverhalten HM-6.7: Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Bereiche, in denen die zugehörigen Kurven streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend) sind. In welchen Intervallen ergibt sich eine Rechts- bzw. Linkskrümmung? a) f(x) = x 2 x2 4x b) g(x) = 4 x2 (x 2 2) HM-6.8: Diskutieren Sie die Kurven, die durch nachstehende Gleichungen gegeben sind (Schnittpunkte mit Koordinatenachsen, Steigung in diesen Punkten, Hoch-, Tiefpunkte): a) f(x) = 2x 6x 2 b) f(x) = x 6 x5 c) f(x) = x 4 2x 2 + Anwendungsaufgaben HM-6.9: Ein Auto fährt in 0 Minuten 40 km nach Osten. Danach fährt das Auto 0 km nach Norden wofür es 2 Stunden benötigt. a) Welche Gesamtstrecke hat das Auto zurückgelegt? b) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit für die gesamte Strecke? HM-6.0: Der Ort eines Steins, der von einer Steilküste geworfen wird, lasst sich ungefähr durch die Gleichung x = (5 m/s 2 ) t 2 beschreiben, wobei die positive x-achse nach unten zeigt und der Ursprung an der Oberkante der Steilküste liegt. a) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Steins für einen beliebigen Zeitpunkt t? Grundlagenzentrum GLZ Seite 2
b) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Steins für die Zeitpunkte t = s und t = s? c) Wie groß ist die Beschleunigung des Steins? HM-6.: Welche der Weg-Zeit-Kurven in der folgenden Abbildung zeigt die Bewegung eines Körpers ) mit konstanter positiver Geschwindigkeit, 2) mit positiver Beschleunigung, ) der ständig ruht? HM-6.2: Der Ort eines Körpers, der an einer Feder schwingt, ist durch x = A sin ωt gegeben, wobei A und ω Konstanten mit den Werte A = 5,0 cm und ω = π s sind. Grundregeln a) Zeichnen Sie x als Funktion von t für 0s t 4s. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v für einen beliebigen Zeitpunkt t. c) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers für die Zeitpunkte t = 0s und t = 0.5s? d) Zeichnen Sie Geschwindigkeit v als Funktion von t für 0s t 4s. LHM-6.: a) f (x) = 5x 2 + 4x b) f (x) = c) f (s) = n + s d) f (t) = n 2 s e) f (x) = 8x f) f (x) = 2 x + x 2 4 x 5 = x 2x 2 4 x 5 g) f (x) = 2 x i) f (u) = 4 u h) f (x) = 2 x 4 j) g (u) = 4 4 u 7 k) f (x) = ae x l) v (t) = cos t + sin t m) f (s) = 2s n) f (x) = x m o) f (x) = (n + )x n 4nx 2n (n + ) x n+2 p) f (x) = 0 q) f (x) = a(n )x n 4 Grundlagenzentrum GLZ Seite
r) f (x) = x 2n 5 s) f (x) = cos² x t) f (t) = LHM-6.2: f (x) = 2 x f (x) 2 2 x 2 2 Produkt-, Quotienten- und Kettenregel LHM-6.: a) f (x) = x 2 e x + x e x = x 2 e x ( + x) b) f (x) = x 2 (6x 4 2) + (x + 2) 24 x = 42x 6 + 48x 6x 2 c) f (x) = 2 x (ex x ) + x ( ex + x 2) = ex ( 2 x + x) + 2x x d) f (x) = (2 x) + ( x 2) ( 2 x 2 x ) = 2 x = 2 x x e) v (t) = e t cos t + t e t cos t t e t sin t = e t (cos t + t cos t t sin t) f) f (x) = 2(ax + 2bx 2 + c) + (2x + a)(ax 2 + 4bx) = 8ax + (9a 2 + 2b)x 2 + 2abx + 2c g) f (x) = e x n ln x ( x n+ + n ln x + x ln x + ln x + xn xn+) = ex x n+ h) f (t) = ( sin t) sin t tan t + cos t cos t tan t + cos t sin t cos 2 t oder erst umformen: f(t) = cos t sin t sin t cos t = sin² t und nach Kettenregel f (t) = 2 sin t cos t LHM-6.4: a) f (x) = 2x4 7x 2 2x (x 2 ) 2 b) f (x) = ac (b + cx) 2 c) f (x) = e x (x 2 9x + 8) d) s (t) = 2( t) 2 t e) f (x) = 2 4 ln x f) f (x) = 0 x x 2 g) f (x) = ( x ) 2 x h) 2 x x f (x) = LHM-6.5: a) f (x) = 2 (x + 2x )(x 2 + 2) b) f (x) = c) v (t) = ω cos(ω t 4φ) d) f (x) = ex e x + e x 5 x 5 x 2 5 = 5x Grundlagenzentrum GLZ Seite 4
e) f (x) = 2 x (x 2 5) 2 f) s (t) = cos² ( 2 t 2) t g) f (x) = e x2 2x+ (6x 2) h) f (x) = x ln x LHM-6.6: a) f (x) = 50x 20 c) f (x) = 6x 00 x 5 e) f (x) = 2x2 4x + 6 x 4 b) f (t) = 2(cos t sin t cos t) d) f (x) = 2 sin x cos x Monotonie- und Krümmungsverhalten LHM-6.7: a) f (x) = x 2 x 4, f (x) = 2x steigend für x > 2,56 oder x <,56 fallend für,56 < x < 2,56 linksgekrümmt für x > 2 ; rechtsgekrümmt für x < 2 b) g (x) = x(x 2 6), g (x) = x 2 6 steigend für 6 < x 0 oder x > 6 fallend für x < 6 oder 0 < x < 6 linksgekrümmt für x < 2 oder x > 2; rechtsgekrümmt für 2 < x < 2 LHM-6.8: a) N(0 0); N( 0); TP(2 8); HP(0 0) b) N(0 0); N(±4 0); TP ( 48 96 5 25 48 5 ) ; HP ( 48 5 96 25 48 5 ) ; c) N(± 0); HP(0 ); TP(± 0) Anwendungsaufgaben LHM-6.9: a) 50 km b) 60 km h LHM-6.0: a) v(t) = (0 m s 2 )t b) v(s) = 0 m/s, v(s) = 0 m/s c) a(t) = 0 m/s 2 LHM-6.: ) (b) 2) (c) c) (a) Grundlagenzentrum GLZ Seite 5
LHM-6.2: a) b) v(t) = x (t) = ωa cos ωt c) v(0s) = 5,7 cm/s, v(0.5s) = 0 cm/s d) Grundlagenzentrum GLZ Seite 6
HM-Übungsblatt 7: Vektoren HM-Übungsblatt 7: Vektoren Vektoren HM-7.: Gegeben sind die Punkte A(0 0), B( 0), C(4 0), D(0 ), E( ), F(4 ), G(0 4), H( 4), I(4 4). a) Zeichnen Sie die Punkte in das Koordinatensystem ein. y 4 2 0 2 4 x b) Berechnen Sie die folgenden Vektoren. a =, AE b = BF, c) Berechnen Sie ihre Beträge/Längen. d) Berechnen Sie folgende Vektoren. c = EG, a + b b c 2a c e) Beweisen Sie die folgenden Gleichungen. DH = FB, d = IB. IB + BF + FG + GE = IE. HM-7.2: Ein Airbus A20 befindet sich mit mit v = ( 0 220 ) km im Landeanflug. 5 Sekunden h bevor das Flugzeug den Boden berührt, wird es von einer starken Böe gepackt, die das Flugzeug mit v w = ( 58 0 ) km h abtreibt. a) Berechnen Sie die resultierende Geschwindigkeit v. r b) Berechnen Sie den Betrag v. r c) Wieviel Meter entfernt sich das Flugzeug in 5 Sekunden von der geplanten Landeposition? (P.S. eine Landebahn ist ca. 45 m breit) d) Welche Geschwindigkeit v muss der Pilot einlegen, damit das Flugzeug sicher landet, dh. v r = ( 0 220 ) km? h Grundlagenzentrum GLZ Seite 7
HM-Übungsblatt 7: Vektoren Vektoren LHM-7.: a) b) a = ( ), b = ( ), c) a = 2, b = 0, d) a + b = ( 4 2 ), b c = ( 4 2 ), e) DH = FB = 0 LHM-7.2: a) v r = ( 58 220 ) km h b) v r 227,52 km h d) 80,56 m e) v = ( 58 220 ) km h Vektoren in Dimensionen HM-7.: Die Punkte A bis F eines Sechsecks befinden sich in der Mitte der Kanten eines Würfels. Die Kantenlange des Würfels ist 2. z (0 0 2) A F (2 2 2) E B O (0 2 0) y x α C D a) Stellen Sie die Kanten des Sechsecks als Vektoren (AB, BC, CD, DE, EF, FA ) dar. b) Bestimmen Sie den Umfang des Sechsecks. c) Bestimmen Sie den Winkel α zwischen CB und CD. Grundlagenzentrum GLZ Seite 8
HM-Übungsblatt 7: Vektoren Skalarprodukt HM-7.4: Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren: a) a = ( ), b = ( 2 4 ) b) c = (2 ), v = (5 n ) c) a = ( a), g = ( 7 t m ) 5 0 5 i e d) a = ( ), b = ( ) e) x = ( ), t = ( 2) f) p = ( k), s = ( f) 9 2 l h HM-7.5: Bestimmen Sie die fehlende Vektorkomponente so, dass die beiden Vektoren a und b senkrecht aufeinander stehen. a) a = ( a x ), b = ( 2 4 2 6 ) b) a = ( ), b = ( b y ) 9 0 N HM-7.6: Die konstante Kraft F = ( 2 N 5 N ) verschiebe einen Massenpunkt geradlinig vom Vektorprodukt Punkt P = ( m; 5 m; m) aus in den Punkt Q(0 m; m; 4 m). a) Welche Arbeit wird dabei verrichtet? Die Arbeit errechnet sich aus W = F s. b) Wie groß ist der Winkel zwischen der Kraft und dem Verschiebungsvektor? HM-7.7: Berechnen Sie das Vektorprodukt. 2 6 a a) a = ( 5 ), b = ( 2 ) b) v = ( b), B = ( B y ) 2 c B z HM-7.8: A = ( 4), B = ( 2 2 5) und C = (4 6 ) bilden die Punkte eines Dreiecks im Raum. a) Drücken Sie die Seiten des Dreiecks durch Vektoren aus. b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit Hilfe des Vektorproduktes. HM-7.9: Zwischen zwei Nägeln, die in gleicher Höhe im Abstand von,5 m in der Wand stecken, hängt an einem,8 m langen Seil ein Bild mit einem wertvollen, schweren Rahmen. Das Seilstück vom Bild zum linken Nagel ist 50 cm lang, zum rechten Nagel, m. Das Bild hat eine Masse von 2 kg. B x α l β a) Wie weit hängt das Bild tiefer als die beiden Nägel? b) Wie groß sind die Winkel α und β? c) Mit welcher Kraft zieht das Bild jeweils am linken und am rechten Nagel? Anleitung: Die Gewichtskraft des Bildes wird auf die beiden Seilstücke verteilt. Die Summe der beiden Kräfte weist senkrecht nach oben. Grundlagenzentrum GLZ Seite 9
HM-Übungsblatt 7: Vektoren Geradengleichung HM-7.0: Geben sind die Punkte A(2 2), B(5 0), C(8 2) und D( 2 4). a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte A und B geht. b) Liegen die Punkte C und D auf der Geraden g? Vektoren in Dimensionen 0 0 LHM-7.: a) AB = ( 0 ), BC = ( ), CD = ( ), DE = ( 0 ), EF = ( ), FA = ( ). 0 0 b) 6 2 c) 20 Skalarprodukt LHM-7.4: a) a b = 0 b) c v = 7 c) a g = an tm d) a b = 27 e) x t = 4 f) p s = ie + kf + lh LHM-7.5: a) a x = 4 b) b y = 7 LHM-7.6: a) 27 Nm b) α = 67, Vektorprodukt 2 b B z c B y LHM-7.7: a) a b = ( 2 ) b) v B = ( c B x a B z ) 4 ab y b B x 6 LHM-7.8: a) AB = ( ), BC = ( 4 ), CA = ( ) b),6 2 LHM-7.9: a) 0,42 m b) α = 57,4, β = 8,85 c) F = 5,2 N, F 2 = 65,5 N Geradengleichung 2 LHM-7.0: a) g: r = ( ) + λ ( 0) b) C g, D g 2 2 Grundlagenzentrum GLZ Seite 0