Sommersemester 2011: Seminar Geometrie für Lehramt

Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik Sommersemester 2011: Seminar Geometrie für Lehramt Vortrag 1 am 05.04.2011: Konvexe Umgebungen Stephanie Fuchs

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Wiederholung 3 3 Vorbereitende Überlegungen 4 4 Konvexe Umgebungen 7 5 Literaturverzeichnis 11 1

1 Einleitung Dieser Vortrag beschäftigt sich mit konvexen Umgebungen und dem Beweis ihrer Existenz. Die Auassung von konvexen Umgebungen auf Flächen ist sehr stark analog zur Denition der Konvexität im R n. In beiden Fällen geht es um die Existenz einer kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten einer Menge unter der Bedingung, dass die Verbindung komplett in dieser Menge enthaten ist. Im R n handelt es sich bei dieser Verbindung bekanntlich um eine Strecke, also den Teilabschnitt einer Geraden. Diese Ausarbeitung widmet sich nun dem verwandten Aspekt auf Flächen, bei dem die kürzeste Verbindung eine Geodäte ist. Zunächst werde ich einige Notationen festlegen und mehrere vorbereitende Sätze zitieren, die ich jedoch nicht beweisen werde, da sie nicht Thema dieser Ausarbeitung sind. Anschlieÿend folgt eine Denition von konvexen Umgebungen, die zwar in gewisser Weise einen Vorgri auf spätere Inhalt bedeutet, jedoch in diesem Fall dazu dienen soll, dass der Leser während der Herleitung das Ziel nicht ganz aus den Augen verliert. Die eigentliche Herleitung und damit der Beweis des nalen Satzes, gliedert sich in drei Abschnitte: zunächst zeigen wir, dass eine Umgebung um einen Punkt p gibt, so dass jeder Punkt aus dieser Umgebung mit p durch eine eindeutige Geodäte verbunden werden kann. Danach werden wir diese Erkenntnis ein wenig erweitern, so dass nun zwei beliebige Punkte aus der Umgebung um p durch eine Geodäte verbunden werden können. Der abschlieÿende Satz enthält dann endlich die Aussage, dass man die Umgebung so wählen kann, dass die verbindende Geodäte komplett darin enthalten ist. Damit ist die Existenz von konvexen Umgebungen zu jedem beliebigen Punkt gezeigt. 2

2 Wiederholung Zunächst einmal einige wichtige Begrie und Sätze, die bereits aus der Vorlesung bekannt sind: Denition 1. Eine Fläche im R 3 ist eine Menge S R 3 mit folgenden Eigenschaften: für alle p S gibt es eine Umgebung V R 3 von p und eine dierenzierbare Abbildung α : U R 3, U R 2 oen, so dass 1) α injektiv ist 2) α(u) = S V 3) dα (die Jacobi-Matrix) maximalen Rang 2 in jedem Punkt hat. Die Abbildungen α heiÿen Koordinatensystem von S. Denition 2. Sei S R 3 eine Fläche, p S, α : U R 3 ein Koordinatensystem mit p = α(u 0, v 0 ). Dann heiÿt das Bild von dα [u0,v 0 ] R 3 der Tangetialraum von S in p. Denition 3. Eine Kurve c : I S heiÿt Geodäte, falls c (t) parallel entlang c ist, also D dt c (t) = 0 ( D kovariante Ableitung). dt Satz 4. Es gibt eine oene Menge E T p S R, die alle Punkte (v, 0) enthält, und eine dierenzierbare Abbildung e : E Sso, dass für alle v T p S gilt: c v (t) := e(v, t) ist die Geodäte mit c v (0) = p, c v(0) = v. Denition 5. Sei p S. Dann gibt es ɛ > 0, so dass die Abbildung exp p : {v T p S : v < ɛ} S mit v c v (1), wobei c die Geodäte mit c v (0) = p, c v(0) = v ist. Diese Abbildung heiÿt Exponentialabbildung in p. Satz 6. Für die Exponentialfunktion in p gilt: 1) exp p ist dierenzierbar 2) gegebenenfalls nach Verkleinerung von ɛ > 0 ist exp p ein Dieomorphismus auf sein Bild 3) c v (t) = exp p (tv). Auÿerdem benötigen wir noch einen Satz über Inverse Funktionen, der in einer Spezialform ebenfalls aus der Vorlesung bekannt ist: Satz 7. Sei ϕ : P Q, P, Q oene Mengen im R n, dierenzierbar und nichtsingulär (d.h. det(ϕ (t)) 0) im Punkt p P und sei ϕ(p) = q. Dann existiert eine Umgebung P von p, so dass ϕ(p ) = Q eine oene Umgebung von q Q ist und ϕ P ein Dieomorphismus auf Q ist, dh. es existiert auch eine dierenzierbare inverse Abbildung ϕ 1 : Q P. 3

3 Vorbereitende Überlegungen Die Geodäten zu einer festen Parametrisierung x(u, v) kann man durch ein Gleichungssystem angeben u + Γ 1 11(u ) 2 + Γ 1 12u v + Γ 1 22(v ) 2 = 0 v + Γ 2 11(u ) 2 + Γ 2 12u v + Γ 2 22(v ) 2 = 0, wobei die Γ k ij Funktionen der lokalen Koordinaten u und v sind. Setzt man nun u = ξ und v = η, so lässt sich das obige Gleichungssystem in der Form ξ = F 1 (u, v, ξ, η) η = F 2 (u, v, ξ, η) u = F 3 (u, v, ξ, η) v = F 4 (u, v, ξ, η), mit F 3 (u, v, ξ, η) = ξ, F 4 (u, v, ξ, η) = η darstellen. Es bietet sich an, die folgende Notation zu benutzen: (u, v, ξ, η) bezeichnet einen Punkt des R 4, den wir als karthesisches Produkt R 4 = R 2 R 2 auassen werden; (u, v) bezeichnet einen Punkt des ersten Faktors und (ξ, η) einen Punkt des zweiten Faktors. Das obige Gleichungssystem entspricht dann einem Vektorfeld in einer oenen Teilmenge des R 4, das analog zu Vektorfeldern im R 2 deniert ist. Der Satz von der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungskurven gilt auch in diesem Fall und wird folgendermaÿen formuliert: Satz 8. Seien das Gleichungssystem von oben, eine oene Umgebung U R 4 und ein Punkt (u 0, v 0, ξ 0, η 0 ) U gegeben. Dann gibt es eine eindeutige Lösungskurve α : ( ɛ, ɛ) U, so dass α(0) = (u 0, v 0, ξ 0, η 0 ). Wenn man nun dieses Ergebnis auf eine reguläre Fläche S übertragen möchte, kann man für eine Parametrisierung x(u, v) in p S der Koordinatenumgebung V die Punkte (u, v, ξ, η) aus dem R 4 mit Paaren (q, v) aus V T q (S) identizieren. Hierbei geben die beiden Komponenten (u, v), aus denen q besteht, einen Punkt auf der Fläche an und die Komponenten (ξ, η) einen Vektor aus dem T q (S), und zwar von der Form v = x u ξ + x v η. Wenn wir von der Dierenzierbarkeit und Stetigkeit in der Menge der Paare (q, v) sprechen, meinen wir die Dierenzierbarkeit und Stetigkeit, die durch diese Identikation übertragen wird. Aus dem Hauptsatz folgt, dass für einen Punkt q = (u 0, v 0 ) V und einen Tangentialvektor v = (ξ 0, η 0 ) T q S ungleich Null eine eindeutige, parametrisierte Geodäte γ = π α : ( ɛ, ɛ) V in V existiert (wobei π(q, v) = q eine Projektion V R 2 V ist). Der Satz von der Abhängigkeit des Vektorfeldes vom Anfangswert der Dierentialgleichungen ist ebenfalls wichtig. Auch dieser Satz ist nahezu identisch zu dem für den R 2 : 4

Satz 9. Sei p = (u 0, v 0, ξ 0, η 0 ) U. Dann existieren eine Umgebung V = V 1 V 2 von p, ein oenes Intervall I und eine Abbildung α : I V 1 V 2 U (wobei V 1 eine Umgebung von (u 0, v 0 ) und V 2 eine Umgebung von (ξ 0, η 0 ) ist), so dass für ein festes (u, v, ξ, η) = (q, v) V und t I α(t, q, v) der Weg durch (q, v) ist. Um diese Aussage auf eine reguläre Fläche S anwenden zu können, führen wir wieder eine Parametrisierung in p S, mit Koordinatenumgebung V, ein und identizieren, wie oben, die Menge der Paare (q, v), q V, v T q S mit V R 2. Als Anfangswert nehmen wir das Paar (p, 0) und erhalten ein Intervall ( ɛ 2, ɛ 2 ), eine Umgebung V 1 V von p in S, eine Umgebung V 2 um den Ursprung im R 2 und eine dierenzierbare Abbildung γ : ( ɛ 2, ɛ 2 ) V 1 V 2 V, so dass für (q, v) V 1 V 2, v 0 die Kurve t γ(t, q, v), t ( ɛ 2, ɛ 2 ) eine Geodäte von S ist, die den folgenden Bedingungen genügt: γ(0, q, v) = q, γ (0, q, v) = v und für v = 0 entartet die Kurve zu dem Punkt q. Hier ist γ = π α, wobei π(q, v) = q die Projektion U = V R 2 V und α die Abbildung von oben ist. Auf der Fläche ist die Menge V 1 V 2 von der Form (p, v), p V 1, v V q (0) T q S, wobei V q (0) eine Umgebung um den Ursprung in T q S bezeichnet. Daher können wir, wenn wir γ auf ( ɛ 2, ɛ 2 ) p V 2 einschränken, p V 2 = G ɛ1 T p S wählen und erhalten einen Satz, der in sehr ähnlicher Form bereits aus der Vorlesung bekannt ist (vergleiche auch Satz 4 im Kapitel Wiederholung). Die veränderte Notation ist jedoch für die weiteren Überlegungen wichtig. Eine Umgebung der Form G r (q) bezeichnet im Folgenden immer eine oene Kreisscheibe vom Radius r um den Punkt q in der Tangentialebene. Meistens werden wir es mit Kreisscheiben um den Ursprung zu tun haben, bei denen der Mittelpunkt dann nicht immer angegeben ist. Satz 10. Für ein festes p S gibt es ɛ 1 > 0, ɛ 2 > 0 und eine Abbildung γ : ( ɛ 2, ɛ 2 ) G ɛ1 S, G ɛ1 T p (S), so dass für v G ɛ1, v 0, t ( ɛ 2, ɛ 2 ) die Kurve c(t) = γ(t, v) die Geodäte auf S ist mit γ(0, v) = p, γ (0, v) = v und für v = 0 ist γ(t, 0) = p. Der obige Satz gilt nur für den Fall, dass p fest ist. Um den allgemeinen Fall zu behandeln, bezeichnen wir zunächst mit F r (q) den Bereich, der von einem kleinen geodätischen Kreis mit Radius r und Mittelpunkt q berandet wird, und mit F r (q) die Vereinigung von F r (q) mit seinem Rand. Sei ɛ > 0 so, dass F r (q) V 1. Sei F δ(q) (0) V q (0) die gröÿte oene Kreisscheibe in V q (0), also der Vereinigung von V q (0) mit seinen Grenzpunkten und setze ɛ 1 = infδ(q), q F ɛ (p). ɛ 1 muss aufgrund der Kompaktheit von F r (q) gröÿer als Null sein. Daher ist die Menge U = {(q, v); q B ɛ (p), v B ɛ1 (0) T q S} in V 1 V 2 und wir erhalten: 5

Korollar 11. Für ein festes p S gibt es ɛ, ɛ 1 > 0, ɛ 2 > 0 und eine dierenzierbare Abbildung γ : ( ɛ 2, ɛ 2 ) U S, wobei U = {(q, v) : q F ɛ (p), v G ɛ1 (0) T q (S)}, so dass die Kurve c(t) = γ(t, q, v) mit t ( ɛ 2, ɛ 2 ) die Geodäte auf S ist, für die gilt γ(0, q, v) = q, γ (0, q, v) = v und für v = 0 git dann γ(t, q, 0) = q. 6

4 Konvexe Umgebungen Denition 12. Eine oene Umgebung P S heiÿt konvex, wenn für jedes Paar von Punkten q 1, q 2 P, eine eindeutige, längenminimierende Geodäte in P liegt, die die beiden Punkte verbindet. Denition 13. Eine parametrisierte Geodäte, die zwei Punkte verbindet, heiÿt minimierend, wenn ihre Länger kleiner oder gleich der Länge jeder anderen parametrisierten, stückweise regulären Kurve ist, die diese Punkte verbindet. Am Ende unserer nun folgenden Überlegungen wird der Satz stehen, dass man für jeden Punkt eine solche konvexe Umgebung nden kann - und sei sie auch noch so klein. Mithilfe von Korollar 11 aus dem Kapitel Vorbereitende Überlegungen können wir nun einen Satz über normale Umgebungen beweisen: Satz 14. Für ein festes p S existieren eine Umgebung W von p in S und ein δ > 0, so dass für jedes q W exp q ein Dieomorphismus auf G δ (0) T q (S) und exp q (G δ (0)) W ist. Das heiÿt, W ist eine normale Umgebung in allen Punkten. Beweis. Sei V eine Koordinatenumgebung von p. Seien ɛ, ɛ 1, ɛ 2 und γ : ( ɛ 2, ɛ 2 ) U V wie in Korollar 11. Wir wählen nun ɛ 1 < ɛ 2, damit für (q, v) U exp q (v) = γ(1, q, v)) wohldeniert ist. Also können wir eine dierenzierbare Abbildung ϕ : U V V denieren durch ϕ(q, v) = (q, exp q (v)). Wir zeigen zunächst, dass dϕ in (p, 0) nichtsingulär ist. Hierzu verfolgen wir, wie ϕ die Kurven in U abbildet, die durch a(t) = (p, tw), b(t) = (α(t), 0) gegeben sind, wobei w T p S und α(t) eine Kurve in S ist mit α(0) = p. Die Tangentenvektoren dieser Kurven für t = 0 sind a (0) = (0, w) und b (0) = (α (0), 0). Also gilt dϕ (p,0) (0, w) = d dt ϕ((p, tw)) t=0 = d dt (p, exp p(wt)) t=0 = (0, w), sowie dϕ (α (0),0)(0, w) = d dt ϕ((α(t), 0)) t=0 = d dt (α(t), exp α(t)(0)) t=0 = (α (0), α (0)) und dϕ (p,0) bildet linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Vektoren ab. Also ist dϕ (p,0) nichtsingulär. Daraus folgt, dass sich hier der Satz über Inverse Funktionen anwenden lässt und wir erhalten die Existenz einer Umgebung V von (p, 0) in U, so dass ϕ ein Dieomorphismus von V auf eine Umgebung von (p, p) in V V ist. Sei nun U F ɛ (p) und δ > 0, so dass V = {(q, v) U; q U, v G δ (0) T q (S)}. Sei schlieÿlich noch W U eine Umgebung von p so, dass W W ϕ(v). Wir behaupten nun, dass die so erhaltenen δ und W die Bedingungen des 7

Satzes erfüllen. Da ϕ ein Dieomorphismus in V ist, ist auch exp q ein Dieomorphismus in G δ (0) für q W. Weiterhin gilt für q W : ϕ({q} G δ (0)) {q} W (nach der Wahl von W ). Und weiter, aufgrund der Denition von ϕ: exp q (G δ (0)) W. Damit sind beide Aussagen des Satzes gezeigt. Der Satz sagt uns, dass wir nicht nur für jeden einzelnen Punkt p S ein ɛ wählen können, sondern dass es auch ein δ gibt, so dass für alle Punkte q in einer gewissen Umgebung von p exp q ein Dieomorphismus auf das Bild ist. Zusätzlich erhalten wir noch, dass sich diese Umgebung so verkleinern lässt, dass sie komplett im Bild von exp q enthalten ist. Bis jetzt haben wir gezeigt, dass für zwei feste Punkte q 1, q 2 W immer eine eindeutige (Korollar 11), längenminimierende (Satz 14) Geodäte γ existiert, die q 1 und q 2 verbindet. Bevor wir nun unser eigentliches Vorhaben in die Tat umsetzen und beweisen, dass es für jeden Punkt eine konvexe Umgebung gibt, benötigen wir noch einen weiteren wichtigen Satz. Der Beweis ist relativ lang, hilft uns aber später beim Beweis des letzten Satzes. Satz 15. Für jeden Punkt p S gibt es eine positive Zahl ɛ mit der folgenden Eigenschaft: wenn eine Geodäte γ(t) eine Tangente im Punkt γ(0) an den geodätischen Kreis S r (p), r < ɛ, ist, dann liegt für kleine t 0 γ(t) auÿerhalb des Kreisinnern F r (p). Beweis. Sei W die Umgebung von p wie in Satz 14. Für jedes Paar (q, v), q W, v T p S, v = 1 betrachten wir die Geodäte γ(t, q, v) and setzen für ein festes (q, v): exp 1 p γ(t, q, v) = u(t) und f(t, q, v) = u(t) 2 = f(t). Also gibt f(t) für ein festes (q, v) das Quadrat des Abstands von p zum Punkt γ(t, q, v) an. f(t, q, v) ist oenbar dierenzierbar. Auÿerdem ist f(t, p, v) = vt 2, da f(t, p, v) eine Gerade durch 0 in Richtung v parametrisiert. Nun bezeichnen wir mit U 1 die Menge U 1 = {(q, v), q W, v T q S, v = 1} und denieren eine Funktion 8

Q : U 1 R durch Q(q, v) = 2 f t 2 t=0. Da f dierenzierbar ist, ist Q stetig. Da f =2< u(t), t u (t) >, also 2 f = 2 < u(t), u (t) > +2 < u (t), u (t) >, und im Punkt (p, v) t 2 u (t) = v, u (t) = 0 gilt, erhalten wir Q(p, v) = 2 v 2 = 2 > 0 für alle v T p S, v = 1. Jetzt folgt aber aufgrund der Stetigkeit, dass es eine Umgebung V W gibt, so dass Q(q, v) > 0 für alle q V und v T q S mit v = 1. Sei nun ɛ > 0 so gewählt, dass F ɛ (p) V. Wir behaupten nun, dass dieses ɛ die Aussage des Satzes erfüllt. Sei r < ɛ und sei γ(t, q, v) eine geodätische Tangente an S r (p) im Punkt γ(0) = q. Wir führen nun geodätische Polarkoordinaten um p ein und erhalten, dass < u(0), u (0) >= 0. Dies gilt, da exp p (u(0)) sowohl auf γ(t, q, v), als auch auf einem Kreis um p liegt, daher ist die Tangente in exp p (u(0)) ebenfalls eine Tangente an den Kreis. Aufgrund der Eigenschaften der Exponentialfunktion übertragen sich diese Gegebenheiten auf u(0) und u (0) ist also tangential zu dem Kreis um den Ursprung in T p (S), auf dem u(0) liegt. Daraus ergibt sich jetzt, dass f (0) = 0 ist. Also hat die Funktion f für t = 0 t ein lokales Extremum oder einen Wendepunkt. Weil ( 2 f )(0) > 0, muss es t 2 sich um ein lokales Minimum handeln. Da f(0, q, v) = r 2, ergibt sich, dass f(t) > r 2 für kleine t 0. Also liegt γ(t) auÿerhalb von F r (p). Satz 16. Für jeden Punkt p S gibt es eine Zahl c > 0, so dass F c (p) konvex ist, d.h. für jedes Paar von Punkten aus F c (p) existiert eine eindeutige, minimale Geodäte in F c (p), die die beiden Punkte verbindet. Beweis. Sei ɛ wie in Satz 15. Wähle nun δ und W aus Satz 14 so, dass δ < ɛ/2. Wähle nun c < δ so, dass F c (p) W. Wir werden nun beweisen, dass F c (p) konvex ist. Seien q 1, q 2 F c (p) und sei γ : I S die Geodäte mit Länge kleiner als δ < ɛ/2, die q 1 und q 2 verbindet. Wie man sich leicht überlegt, 9

ist γ(i) in F ɛ (p) enthalten: ein Punkt y in F c (p) habe den gröÿtmöglichen Abstand w zu p. Oenbar gilt w < c < δ < ɛ/2. γ hat eine Länge kleiner als δ, also hat der Punkt y auf γ, der am weitesten von p entfernt ist, maximal den Abstand w < w + δ < 2δ < ɛ. Daher liegt γ(i) ganz in F ɛ (p). Wir müssen nun noch beweisen, dass γ(i) auch ganz in F c (p) enthalten ist. Dazu nehmen wir das Gegenteil an. Dann gibt es einen Punkt m F ɛ (p), in dem der gröÿte Abstand v von γ(i) zu p angenommen wird. In einer Umgebung von m liegen nun die Punkte von γ(i) innerhalb von F r (p). Dies widerspricht jedoch Satz 15. 10

5 Literaturverzeichnis DoCarmo, Manfredo P. Dierential Geometrie of Curves and Surfaces.Englewood Clis, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.1976 11