Didaktik der Algebra und Gleichungslehre Algebra in den Jahrgangsstufen 5 bis 8 Dr. Christian Groß Lehrstuhl Didaktik der Mathematik Universität Augsburg Sommersemester 2008 Vollrath: Algebra in der Sekundarstufe Lernziele Natürliche Zahlen Lerninhalte Natürliche Zahlen Die Schüler sollen ein vertieftes Verständnis der dezimalen Stellenwertschreibweise gewinnen und dieses beim Rechnen mit natürlichen Zahlen anwenden. Große Anzahlen lernen sie mit geeigneten Verfahren abzuschätzen und zu bestimmen. Sie sollen größere Zahlen sicher lesen, schreiben, runden und in Schaubildern darstellen können sowie additive und multiplikative Beziehungen aufdecken. - Stellenwertschreibweise der Zahlen bis zu den Milliarden verstehen; Aufbau nach Einern, Zehnern, Hundertern, Tausendern, und Dreiergruppierung in Einer-, Tausender-, Millionen- und Milliardengruppe Zahlenraumerweiterung bis zur Billion - Zahlen zerlegen; Zahlbeziehungen entdecken und begründen - Verfahren zum Bestimmen und Abschätzen großer Anzahlen - Runden - Schaubilder (vor allem Balkendiagramme) deuten und selbst erstellen Schaubilder am Computer erstellen 3 4
Lernziele Grundrechenarten Lerninhalte Grundrechenarten Die Schüler rechnen im Kopf oder mit Hilfe von Notizen nach selbst gefundenen und begründbaren Wegen, auch überschlägig. Sie vertiefen ihr Verständnis von den schriftlichen Normalverfahren und gewinnen in ihrem Gebrauch Sicherheit und Geläufigkeit. Für die Beschreibung der Operationen und ihrer Ergebnisse verwenden sie Fachbegriffe. 5 - strategisches Rechnen; Rechenwege finden und begründen - Kopfrechnen mit einfachen Zahlen - überschlägiges Rechnen - Rechnen mit Notizen - schriftliche Normalverfahren (einer der Faktoren bzw. Divisor höchstens zweistellig) alternative Rechenverfahren - Fachbegriffe: addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren; Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division; Summe, Differenz, Produkt, Quotient 6 unverzichtbare und lebensbedeutsame Ziele und Inhalte der Arithmetik Aufbau des Zahlenraums, Stellenwertschreibweise, Zahlen ordnen Verfahren zum Bestimmen und Abschätzen großer Anzahlen Zahlen runden und in Schaubildern darstellen natürliche Zahlen situationsangemessen im Kopf und schriftlich sowohl genau als auch überschlägig addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren 7 Lernziele Terme und Gleichungen Die Schüler entwickeln Terme mit Zahlen, Operationszeichen (nicht mehr als zwei verschiedene) und Klammern. Dabei stellen sie immer wieder den Bezug zu konkreten Sachverhalten her. Die Schüler lernen, Terme umzuformen und deren Wert zu berechnen. Gleichungen der Form ax ± b = c lösen sie mit Hilfe entsprechender Umkehraufgaben. 8
Lerninhalte Terme und Gleichungen - Zahlenterme umformen und Termwerte berechnen (Klammerregel, Regel Punkt-vor- Strich", Kommutativ- und Assoziativgesetz) - Terme zu Sachsituationen bilden und berechnen - Gleichungen der Form ax ± b = c (mit natürlichen Zahlen als Lösungen) ansetzen und lösen unverzichtbare/lebensbedeutsame Ziele und Inhalte: Zahlenterme ansetzen und deren Wert berechnen Gleichungen ansetzen und lösen 9 Algebra in der Jahrgangsstufe 5 Themen: 1. Anordnung in Í Mathematik 5. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2004 (S. 28). Modell: Zahlenstrahl Die kleinere Zahl steht links von der größeren. 2. Wiederholung der Grundrechenarten 3. Rechenregeln und deren Begründung 4. Sehr einfache Gleichungen Zu den Themen 1 bis 3 siehe Vorlesung Didaktik der Zahlbereiche 10 Addition und Subtraktion in der Grundschule 1. Klasse: Einführung über Mengenvereinigung (statisch/dynamisch), 1+1-Tafel bis 20. 2. Klasse: Halbschriftliches Rechnen bis 100: Schrittweise: Stellenweise: 45 23= 23 45+23= 68 45 20=25 40+20=60 25 3=23 5+ 3= 8 3. und 4. Klasse: Schriftliches Rechnen Stellenwerttafel: H Z E Normalverfahren: (erst ohne, 2 3 5 235 später mit 4 6 1 +492 1 Übertrag) 6 9 6 727 11 Addition und Subtraktion: Veranschaulichungen Zahlenstrahl: Mathematik 5. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2004 (S. 12-14). Pfeilmodell: Aufgabe und Umkehraufgabe In beiden Modellen treten +a und a als Operator und Gegenoperator auf, die von einem Anfangszustand zu einem Endzustand führen. 12
Addition und Subtraktion: Veranschaulichungen Streifenmodell (vgl. Folien 4.6 und 5.10): Multiplikation und Division: Veranschaulichungen Pfeilmodell: Mathematik 5. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2004 (S. 69). Rechenbäume bzw. -pläne: Simplex (nur eine Operation): Mathematik 5. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2004 (S. 14). Rechenbäume bzw. -pläne: Komplex (mehrere Operationen): (für Kettenrechnungen) Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 140). 13 Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 140). Zwei-/Dreidimensionale Darstellungen (Wasserkästen, etc., vgl. Folie 4.13) 14 Begründung der Rechenregeln Mittels der verschiedenen Veranschaulichungen werden die Rechenregeln begründet (vgl. Kapitel 4) Wichtig: nicht nach einem Beispiel selbst die Regel aufstellen und dann üben lassen, sondern durch mehrere Beispiele die Regel selbst herausfinden lassen. Rechenregeln als Rechenvorteil: 17+46+3=17+3+46=20+46=66 5 14 = 5 (7 2) = 7 (5 2) = 7 10 = 70 15 Lösung von Gleichungen in Klasse 5 Additive Gleichungen: Gesucht sind alle x Í 0 mit a + x = b für a, b Í 0 (und a b). Multiplikative Gleichungen: Gesucht sind x Í 0 mit a x = b für a, b Í 0 (und a T b). Gleichungen dieses Typs finden sich schon in der Grundschule. Hier wird natürlich keine formale Lösung erwartet, sondern eine Übersetzung der Aufgabe in eine Formulierung, die unmittelbar eine Lösung liefert. Beispiel: 4 + x = 6. Übersetzung: Welche Zahl muss ich zu 4 addieren, um 6 zu erhalten? Dies wird als gedankliches Lösen bezeichnet und eignet sich nur für sehr einfache Gleichungen. 16
Lösung von Gleichungen in Klasse 5 Lösung von Gleichungen in Klasse 5 Lösen durch Probieren: Lösen mittels der Umkehraufgabe: Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 88). Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 89). Dieser Lösungsweg eignet sich auch für Ungleichungen, wenn mehrere Lösungen zu erwarten sind. Dahinter steckt die Auffassung von (Un-)Gleichungen als Aussagenformen, die je nach Wahl der Variablen zu 17 wahren oder falschen Aussagen werden. 18 Lösung von Gleichungen in Klasse 5 Lösung von Gleichungen in Klasse 5 Lösen mittels der Gegenoperatoren: Geometrisches Lösen (Streifenmodell): Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 89). Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 89). 19 Und schließlich nach Einführung des Waagemodells (vgl. Folie 5.12): 20
Lösung von Gleichungen in Klasse 5 Lösen mittels Äquivalenzumformungen: Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 90). 21 Sonderfälle von Gleichungen Werden die Sonderfälle von Gleichungen betrachtet, bei denen entweder jede oder keine natürliche Zahl Lösung ist, so sollte man die Aufgaben so formulieren, dass die Schüler diese Ausartungen erwarten können: Überlege, ob es möglich ist, Zahlen x zu finden, so dass 2 + x = x + 3 gilt. Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 93). Auch ist die Einsicht anzustreben, dass es in Í unlösbare Gleichungen gibt, weil Subtraktion und Division nicht immer ausführbar sind. 22 Sonderfälle von Gleichungen Gleichungen für Sachaufgaben Auch die Probleme mit der Null werden thematisiert: Multiplikation: x = 3 0 oder x = 0 3 x = 0. Grundvorstellung: dreimal 0 Taschengeld oder nullmal 3 Taschengeld bekommen! Division: x = 0 : 3 x = 0. Grundvorstellung: 0 Äpfel auf drei Kinder aufteilen! Permanenzreihen: 3 2 = 6-3 2 3 = 6-1 -1-3 6:3 = 2-3 3 1 = 3-1 -3 1 3 = 3-1 -3 3:3 = 1-3 3 0 = 0 3 = 0:3 = Aber x = 3 : 0 ist unlösbar, denn die Gegenaufgabe ist x 0 = 3, mit dem Widerspruch 3=0! 23-1 -1 Typische Sachaufgaben in Klasse 5 sind Zahlenrätsel (zur Versprachlichung von Termen): Mathematik 5. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2004 (S. 149).
Gleichungen für Sachaufgaben und leicht zu modellierende Sachsituationen: Mathematik 5. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2004 (S. 149). Algebra in der Jahrgangsstufe 6 Themen: 1. Einführung der Menge der Bruchzahlen Á Rechenoperationen mit konkreten Brüchen und Dezimalbrüchen 2. Wiederholung der Rechenregeln; Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) 3. Einfache Terme und Gleichungen ansetzen und lösen Wiederholung der Lösungswege aus Klasse 5, jetzt auch mit Bruchzahlen 26 Lernziele Terme und Gleichungen Lerninhalte Terme und Gleichungen Die Schüler entwickeln Terme und Gleichungen aus Sachzusammenhängen und geometrischen Aufgaben heraus. Bei der Termumformung wenden sie das Distributivgesetz an. Ausgehend von anschaulichen Modellen, zeichnerischen Darstellungen und Tabellen lernen sie Gleichungen zu lösen. - Zahlenterme und Terme mit einer Variablen ansetzen und umformen (Distributivgesetz); Termbegriff vertiefen - Gleichungen ansetzen; Gleichungsbegriff vertiefen - einfache Gleichungen durch Operationsumkehrung und Äquivalenzumformungen lösen - zu Termen und Gleichungen passende Sachsituationen finden unverzichtbare/lebensbedeutsame Ziele und Inhalte: Terme und Gleichungen zu Sachsituationen ansetzen, umformen und lösen 27 28 Bayerischer Lehrplan für die Hauptschule Klasse 6 Bayerischer Lehrplan für die Hauptschule Klasse 6
Lösung von Gleichungen in Klasse 6 Lösung von Gleichungen in Klasse 6 Lösen von Simplexen mittels der Umkehraufgabe: Formel 6. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2005 (S. 116). 29 Lösen von Komplexen mittels der Gegenoperatoren: Formel 6. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2005 (S. 116). Lösung von Gleichungen in Klasse 6 Lösung von Gleichungen in Klasse 6 Geometrisches Lösen (Streifenmodell): Lösen mittels Äquivalenzumformungen: 30 Formel 6. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2005 (S. 118). Die Notation der Lösungsschritte erfolgt hier wie bei Äquivalenzumformungen. 31 Formel 6. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2005 (S. 119). 32
Gleichungen für Sachaufgaben Gleichungen für Geometrieaufgaben Thematisierung der Modellierungsschritte: Formel 6. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2005 (S. 121). Formel 6. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2005 (S. 121). Algebra in den Jahrgangsstufen 7 und 8 Themen: 1. Einführung der Menge der ganzen Zahlen Ù 7. Klasse: Addition und Subtraktion 8. Klasse bzw. 7M: Multiplikation und Division 2. Einführung der Menge der rationalen Zahlen Ð Alle Rechenoperationen (Divisor: Dezimalbruch) 3. Terme und Gleichungen mit bis zu einer Variablen ansetzen und lösen 7. Klasse: mit ganzen Zahlen Lernziele Terme und Gleichungen Die Schüler formen unter Anwendung von Rechenregeln und Rechengesetzen auch komplexere Terme um. Gleichungen lösen sie vorwiegend durch Äquivalenzumformungen, wobei anschauliche Modelle und zeichnerische Darstellungen als Vorstellungs- und Begründungshilfe dienen können. Ihre Fähigkeiten im Bereich des Ansetzens und Lösens von Gleichungen wenden sie bei Sachsituationen an. Zur Förderung des Verständnisses finden die Schüler gelegentlich auch zu Termen und Gleichungen passende Sachsituationen. 36 8. Klasse: mit rationalen Zahlen (Dezimalbrüche) Bayerischer Lehrplan für die Hauptschule Klasse 7
Lerninhalte Terme und Gleichungen - Terme mit ganzen Zahlen sowie bis zu einer Variablen ansetzen und umformen (vorteilhaftes Umstellen, Auflösen von Klammern und Ausklammern, Zerlegen und Zusammenfassen) - Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen - zu Sachsituationen Gleichungen ansetzen und lösen unverzichtbare/lebensbedeutsame Ziele und Inhalte: Rechenregeln und Rechengesetze anwenden Terme und Gleichungen zu Sachsituationen ansetzen und lösen Maßeinheiten sachgerecht verwenden Bayerischer Lehrplan für die Hauptschule Klasse 7 37 Gleichungen für Sachaufgaben Zu Termen und Gleichungen Sachsituationen finden: Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 153). Gleichungen für Sachaufgaben Gleichungen für Geometrieaufgaben Veranschaulichung durch Streifenmodell: Mathematik 7. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2006 (S. 155). Formel 7. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 90).
Gleichungen für Geometrieaufgaben Lernziele Terme und Gleichungen Formel 7. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 90). Die Schüler lösen komplexere Gleichungen durch Term- und Äquivalenzumformungen. Dabei bearbeiten sie auch einfache Aufgaben mit rationalen Zahlen. Bei der Bearbeitung von Sachsituationen setzen sie Gleichungen an und verwenden bekannte Formeln. Bayerischer Lehrplan für die Hauptschule Klasse 8 42 Lerninhalte Terme und Gleichungen Gleichungen äquivalent umformen - Terme mit rationalen Zahlen sowie bis zu einer Variablen umformen - Gleichungen im Bereich der rationalen Zahlen (in dezimaler Schreibweise) ansetzen und lösen - Werte in Formeln einsetzen; entstehende Gleichungen lösen unverzichtbare/lebensbedeutsame Ziele und Inhalte: Brüche in Dezimalbrüche umwandeln Terme umformen; Rechengesetze und Rechenregeln Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen Maßeinheiten sachgerecht verwenden Bayerischer Lehrplan für die Hauptschule Klasse 8 43 Formel 8. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2006 (S. 90).
Gleichungen äquivalent umformen Gleichungen mit negativen Lösungen Fortgeschrittene Algorithmisierung! Formel 8. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2006 (S. 91). Formel 8. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2006 (S. 90). Gleichungen für Prozentaufgaben Gleichungen für Prozentaufgaben Formeln sind Gleichungen und können genauso umgeformt werden! Formel 8. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2006 (S. 85). Formel 8. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2006 (S. 85).