Lagrangesche Mechanik

Kaptel Lagrangesche Mechank De Newtonsche Mechank hat enge Nachtele. 1) De Bewegungsglechungen snd ncht kovarant, d.h. se haben n verschedenen Koordnatensystemen verschedene Form. Z.B., zwedmensonale Bewegungsglechungen schrebt man n kartesschen Koordnaten als mẍ = F x, mÿ = F y De Stange übt ene Kraft aus, de wr ncht kennen. Bespel: das Programm xsprnges, das unter LINUX läuft, läßt verschedene Kräfte modelleren, ncht aber ene Pendelbewegung. Um de Newtonsche Mechank zu verallgemenern, gehen wr von Mnmumprnzp aus. Aus der Statk wssen wr, daß statonäre Zustände als Mnma vom Potental beschreben werden können. Und das Mnmum wrd Koordnatensystemunabhängg als U = 0 beschreben. Wenn wr auch de Bewegung als Mnmum darstellen wollen, sollten wr enen matematschen Formalsmus haben, der de Mnmum-Berechnung von Funktonen verallgemenert. In Polarkoordnaten hat man dagegen sehr komplzerte Glechungen, de auch ṙ, φ erhalten. ) Für enge Probleme snd de Newtonschen Glechungen ncht un- mttelbar anwendbar. Als Bespel betrachten wr das ebene Pendel. Der Massenpunkt wrd durch ene Stange der Länge l auf ener Kresbahn gehalten. De Beschränkung der Bahn kann man durch folgende Zwangsbedngung schreben x +y = l l 1

.1 Zwangsbedngungen und generalserte Koordnaten En freer Massenpunkt hat 3 Frehetsgraden: der Zustand des Telchens wrd durch 3 Parametern bestmmt. Das n-telchen System braucht für de vollständge Beschrebung 3n Parametern, kann also 3n Frehetsgrade haben. Häufg st aber dese Zahl durch Zwangsbedngungen reduzert. Defntonen: 1. Zwangsbedngungen snd Bedngungen, de de free Bewegung der Massenpunkten enschränken. Das snd geometrsche Bndungen: z.b. für das ebene Pendel gbt es de Zwangsbedngung x +y = l, es gbt nur enen Frehetsgrad.. Zwangskräfte snd Kräfte de de Zwangsbedngungen bewrken, also de free Bewegung behndern. Zwe Probleme der Beschrebung enes mechanschen Systems: 1. Zwangskräfte snd m allgemenen unbekannt, deswegen kann man das Glechungssystem m d r dt = j F j + f ncht formuleren. Wr versuchen deshalb de Mechank so umzuformuleren, daß de Zwangskräfte rausfallen.. De Telchenkoordnaten r = (x,y,z ) snd nchtunabhängg vonenander. Wr wollen deswegen versuchen, de durch lnear unabhängge verallgemenerte Koordnaten zu ersetzen. De snd n der Regel unanschaulcher, dafür werden aber de matematsche Probleme vel enfacher..1.1 Holonome Zwangsbedngungen Holonome: aus Grecheschen ganzgesetzlche ; skleronome: gefrorene ; rheonome: flussge. Holonome Zwangsbedngungen snd de Verknüpfungen der Telchenkoordnaten und der Zet n der Form: f ( r 1, r,..., r n,t) = 0 = 1,...,k

Holonom-skleronome Zwangsbedngungen Das snd Holonome Zwangsbedngungen de ncht explzt zetabhängg snd: f t = 0. Bespel.1 Hantel Der Abstand zwschen zwe Massenpunkten st konstant: (x 1 x ) +(y 1 y ) +(z 1 z ) l = 0 Bespel. Telchen auf Kugeloberfläche De Zwangsbedngung lautet: x +y +z R = 0 Holonom-rheonome Zwangsbedngungen Das snd Holonome Zwangsbedngungen mt explzter Zetabhänggket: f t 0. Bespel.3 Telchen m Aufzug Der Aufzug bewegt sch nach oben mt ener konstanten Geschwndgket v 0. Das Telchen kann sch nur n der (x, y)-ebene fre bewegen. Für de z-koordnate glt de Zwangsbedngung z(t) = v 0 (t t 0 )+z 0. Bespel.4 Masse auf schefer Ebene mt veränderlcher Negung De Holonom-rheonome Zwangsbedngung lautet: Generalserte Koordnaten z x tan(φ(t)) = 0. Also, wenn es k holonome Zwangsbedngungen gbt, dann reduzert sch de Zahl der Frehetsgrade: S = 3n k. Wr wollen de generalserten Koordnaten q 1,q,...,q s enführen, de zwe Bedngungen erfüllen müssen: 3

z m 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 φ(t) x 1. Der Zustanddes physkalschen Systems st durchq 1,q,...,q s endeutg festgelegt. Das hesst, es gelten de folgende Transformatonsformeln r = r (q 1,q,...,q s,t). De q sund unabhängg vonenenader, d.h. es gbt kene Bezehungen der Form F(q 1,q,...,q s,t) = 0 Bemerkungen: 1. Man nennt q 1, q,..., q s generalserte Geschwndgketen.. Der Zustand des Systems für alle Zeten wrd durch enen Punkt m Phasenraum q 1,q,...,q s, q 1, q,..., q s bestmmt. 3. De Wahl der Größen q st ncht endeutg, wohl aber hre Zahl. 4. De Größen q snd belebg, ncht nur Längen. De beschreben ncht mehr unbedngt Enzeltelchen. Bespel.5 Telchen auf Kugeloberfläche De Zwangsbedengung lautet x +y +z R = 0 De Zahl der Frehetsgrade: S = 3 1 =. Als generalserte Koordnaten beten sch zwe Wnkel an: q 1 = θ, q = φ. De Transformatonsformeln snd: x = Rsn(q 1 )cos(q ) y = Rsn(q 1 )sn(q ) z = Rcos(q 1 ) (Ener Ort auf de Erdoberfläche wrd durch Länge und Brete bestmmt.) 4

Bespel.6 Ebenes Doppelpendel Es gbt nsgesammt 4 Holonom-skleronome Zwangsbedngungen: z 1 = z = const φ 1 l 1 φ l und x 1 +y 1 = l 1 (x x 1 ) +(y y 1 ) = l De Zahl der Frehetsgrade: S = 6 4 =. Generalserte Koordnaten: q 1 = φ 1, q = φ. De Transformatonsformeln x 1 = l 1 cos(q 1 ) y 1 = l 1 sn(q 1 ) z 1 = 0 x = l 1 cos(q 1 )+l cos(q ) y = l 1 sn(q 1 )+l sn(q ) z = 0 erhalten mplzt de Zwangsbedngungen.. Varatonsrechnung, Euler-Lagrange-Glechung Ene Funkton y = y(x) st ene Vorschrft, de jedem x-wert ene Zahl (y-wert) zuordnet. In der Varatonsrechnung betrachtet man dagegen Funktonale, de jeder Funkton q(t) ene Zahl (den Wert des Funktonals) zuordnet. Am häufgsten defnert man en Funktonal mt Hlfe des Integrals: t dt L(q(t)) Das Funktonal kann auch von q und t abhängg sen: S[q(t)] = t dt L(q, q,t) 5

Bespel.7 Wegstrecke De Wegstrecke entlang der Kurve y = y(x) zwschen den Punkten x 1 und x wrd durch x x x l = ds = dx +dy = 1+(y ) dx x 1 x 1 x 1 gegeben. q q+δq q(t) t Unsere Zel st das Mnmum von S zu fnden. Es se nun q(t) de gesuchte Funkton, de das Funktonal S mnmal macht. Dann muß S[q +δq] mt ener belebgen Abwechung δq größer als S[q] sen. Dann ändert sch n erster Nährung das Funktonal ncht, und dese Bedngung wollen wr jetzt explzt schreben. Se δq ene Störung, de Randbedngungen δq( ) = δq(t ) = 0 erfüllt. Betrachten wr de Varaton von S: δs = t De Funkton L läßt sch ableten: Das ergbt dt [L(q +δq, q +δ q,t) L(q, q,t)] L(q +δq, q +δ q,t) L(q, q,t)+δq q +δ q q δs = t dt (δq ) q +δ q q Schreben wr den zweten Tel des Integrals um: δ q q = d dt (δq q ) δq d dt q 6

So erhalten wr δs = t ( dt δq q d dt q )+δq q Der letzte Term verschwndet wegen Randbedngungen. Wr sehen jetzt, daß de Varaton von S n erster Näherung Null für jede Störung wrd, wenn de Glechung d dt q q = 0 glt. Dese heßt Euler-Lagrange-Glechung. Falls S von mehreren Funktonen q 1, q,..., q n abhängg st, erhält man für jede Varable de Euler-Lagrange-Glechung. Zu bemerken st, daß de Euler-Lagrange-Glechung ncht unbedngt das Mnmum von S beschrebt, sondern auch das Maxmum, oder, m Allgemenen, statonäre Funktonen. Bespel.8 Gerade Lne als Mnmum der Wegstrecke Schreben wr de Euler-Lagrange-Glechung für de Wegstrecke n kartesschen Koordnaten: S = dx 1+(y ), L = 1+(y ) De Euler-Lagrange-Glechung lautet also Se lässt sch lösen: d y dx 1+(y ) = 0 t y = 0 y = y 1+(y ) = const y = a, y = ax+b y 1+(y ) Wr haben ene gerade Lne erhalten. In Polarkoordnaten schrebt man de Wegstrecke als l = ds = (dr) +r (dφ) = dφ (r ) +r Wr erhalten also r = r r +(r ), r = r r +(r ) 7

und de Euler-Lagrange-Glechung lautet man kann de auch als d dφ umschreben. Endlch erhalten wr r r +(r ) = r r +(r ) r r +(r ) r rr +r r r +(r ) r +(r ) = r r (r ) r = 0 r r +(r ) Der Ansatz r = 1/ξ läßt de folgende enfache Glechung entstehen deren Lösung ξ +ξ = 0 ξ = Acos(φ φ 0 ) st. Letztendlch erhalten wr de Glechung für ene gerade Lne n Polarkoordnaten.3 Hamltonsches Prnzp Arcos(φ φ 0 ) = 1 Wr verglechen jetzt de Euler-Lagrange-Glechung mt der Newtonschen Glechung Wenn wr wählen q = x, d dt (mx ) = U x d = dt q q = mx = p, q = U q x dann stmmt de Euler-Lagrange-Glechung mt der Newtonschen Glechung überen. Wenn wr de Funkton L n der Form L = m ẋ U(x 1,...,x n,t) = T U 8

wählen, also als Dfferenz knetscher und potenteller Energen, dann wrd de Newtonsche Glechung erfüllt. In der Mechank heßt L = T U Lagrangefunkton, S de Wrkung oder Wrkungsfunktonal, und de Euler-Glechung heßt de Lagrangesche Glechung. Art. Des st Inhalt des Hamltonschen Prnzps: De Bewegung läuft so ab, daß de Bahnkurve de Wrkung statonär macht. Manchmal wrd das auch als Prnzp der klensten Wrkung genannt. Man nennt: q verallgemenerte (generalserte) Koordnaten q verallgemenerte Geschwndgketen q verallgemenerte Impulse q verallgemenerte Kräfte. q q q 1 q t t v 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 t 1 Bespel.9 Kraftfree Bewegung Falls das Potental ene Konstante st, muss das Integral von der knetsche Energe t t 9

S = t Tdt mnmal sen. Seen de Zetpunkte, und de Koordnaten q( ) = q 1, q(t ) = q gegeben. De Frage st, welche Bewegung lefert das Mnmum der Wrkung S? Man kann sch verschedene Bewegungstypen vorstellen (sehe Bld), nun muss de Bewegung mt mnmalem S gefunden werden. Wr betrachten Bewegungen mt verschedenen Geschwdgketen v(t). Wel de Endpunkte fxert snd, glt t v(t)dt = q q 1 Wr bezechnen v = q q 1 t und betrachten das Integral I = t m (v v) dt = t m v dt v (t ) m Dann können wr de Wrkung n der folgender Form darstellen t m S = v dt = I + v (t ) m Wel I 0 st, wrd das Mnmum von S be I = 0 errecht, d. h. be v = v = const. Wr stellen fest, daß de Bewegung mt konstanter Geschwndgket de Wrkung mnmsert. Bespel.10 Zentralkraftbewegung Schreben wr de Lagrangefunkton n Polarkoordnaten aus: De verallgemenerten Impulse q snd L = T U = m (ṙ +r φ ) U(r) ṙ = mṙ, De Lagrange-Glechungen snd φ = mr φ (Drehmpuls!) d dt (mr φ) = 0 (Drehmpulserhaltung!) und d (mṙ) = m r = dt r = mr φ U r = U eff r wobe U eff = U +L z /(mr ) (L z st Drehmpuls). 10

.3.1 Echtransformaton Es kann verschedene Lagrangefunktonen geben, de zu den selben Bewegungsglechungen führen. Z. B. kann man ene gegebene Lagrangefunkton mt ener Konstante multplzeren oder adderen. Ene wchtge Klasse von glechwertgen Lagrangefunktonen ergbt sch aus den sogenannten Echtransformatonen: Dabe wrd zu L de totale Zetabletung ener belebgen Funkton f(q, t) addert: Das Wrkungsntegral für L lautet S = t L (q, q,t) = L(q, q,t)+ d dt f(q,t) dt L = t dt L+f(q(t ),t ) f(q( ), ) Wel de Randwerte be der Varaton festgehalten werden, also δq( ) = δq(t ) = 0, bekommen wr δs = δs: De Lagrangefunktonen L und L führen zu denselben Bewegungsglechungen. Bespel.11 Galletransformaton Für en frees Telchen haben wr L = m v Unter ener Galletransformaton erhalten wr L = m ( v + V) = m v +m v V + m V = m v + d dt (m r V + m V t).4 Systeme mt Zwangsbedngungen Falls de Massenpunkte enes mechansches Systems sch ncht völlg unabhängg vonenander bewegen können, sondern gewssen Nebenbedngungen unterlegen, sprcht man von Zwangsbedngungen. Betrachten wr weder das ebene Pendel. Der Massenpunkt st zwe Kräften unterworfen: der Gravtatonskraft m g und der unbekannten Kraft K. Wr nutzen jetzt de Kovaranz von Lagrangeglechungen bezüglch der Koordnatenwahl, und schreben de Lagrangefunkton n Polarkoordnaten L(r,ṙ,φ, φ,t). Dann lauten de Bewegungsglechungen d dt = φ φ, 11 d dt ṙ = r

Wegen der Zwangsbedngung st aber r konstant, also st nur de Glechung für φ nchttrval. In der Lagrangefunkton können wr deshalb r = l = const, ṙ = 0 ensetzen und de Lagrangefunkton für das Pendel bekommen, de nur von φ und φ abhängt: L(φ, φ,t) = T U = m v +mgrcosφ = m l φ +mglcosφ De Bewegungsglechungen lauten d dt φ = ml φ = mglsnφ oder φ+ω snφ = 0 ω = g/l Im allgemenen Fall - es gbt N Telchen, de m 3-dmensonalen Raum mt 3N Varablen beschreben werden - es gbt K Zwangsbedngungen, de als K Glechungen l g 1 (x 1,y 1,...,z N,t) = 0,... g K (x 1,y 1,...,z N,t) = 0 beschreben werden können. Solche Zwangsbedngungen, de nur von Koordnaten abhängg snd, nennt man holonome ( ganzgesetzlche ). Man unterschedet auch zwschen zetabhänggen (rheonomen) und zetunabhänggen (skleronomen) Bedngungen. Man kann en allgemenes Rezept zur Lösung von mechanschen Problemen formuleren: 1) Man wählt verallgemenerte Koordnaten, um de Zwangsbedngungen zu erfüllen. De Zahl solcher Koordnaten st 3N K. ) Man stellt de Lagrangefunkton L = T U n desen Koordnaten dar 3) De Bewegungsglechungen snd dann de Lagrangesche Glechungen. Art Bespel.1 Telchen auf enem Zylnder Wr betrachten enen Massenpunkt, der sch auf enem Zylnder fre bewegen kann. Her haben wr N = 1 und K = 1 (de holonome skleronome Zwangsbedngung lautet x + y = l ). Wr wählen zylndrsche Koordnaten, wobe nur z und φ unsere 1

verallgemenerte Koordnaten snd. De knetsche Energe lautet T = m (ż +l φ ). De Bewegungsglechungen snd enfach: z = 0 φ = 0 und als Lösung erhalten wr de Schraubenlne z = z 0 +v z t φ = φ 0 +v φ t ω α r Bespel.13 Massenpunkt auf roterender Stange Wr betrachten enen Massenpunkt, der sch längs ener roterenden Stange bewegen kann. De Stange rotere mt ener konstanten Wnkelgeschwndgket ω. Wr haben her zwe (ene rheonome und ene skleronome) Zwangsbedngungen x +y /z = tanα und y/x = tanωt. Wr wählen den Abstand r zum Zentrum als verallgemenerte Koordnate. Dann glt z = rcosα x = rsnαcosωt y = rsnαsnωt Aus T = m v U = mgrcosα erhalten wr L = T U = m (ṙ +r ω sn α) mgrcosα 13

(Dese Lagrangefunkton st zetunabhängg, obwohl de Zwangsbedngungen rheonom snd!) Des führt zur Bewegungsglechung d = m r = dt ṙ r = mgcosα+rmω sn α Wr erhalten ene endmensonale Bewegung mt dem effektven quadratschen Potental U(r) = mgrcosα m r ω sn α Zwe Bemerkungen: Es st bequem zu nutzen daß v = ( ) dl = dl dt dt wobedl deelementare Verschebungst. Inkartesschen Koordnatenst dl = dx +dy +dz, deswegen L = m/(ẋ +ẏ +ż )+U In zylndrschen Koordnaten st dl = dr +r dφ +dz, deswegen L = m/(ṙ +r φ +ż )+U Für ncht-mechansche Systeme st es ncht enfach, de Lagrangefunkton zu schreben. Glücklcherwese snd alle wchtgen Kräfte gut genug und lassen sch mt der Lagrange-Formulerung beschreben. (Z.B., de Lorentz-Kraft.).5 Symmetren und Erhaltungssätze Schreben wr de Lagrangeglechungen aus d = dt q q Es st enfach zu sehen, daß wenn L von der verallgemenerten Koordnate q unabhängg st, dann st der verallgemenerte Impuls p = q ene erhaltene Größe; de Koordnate q heßt dann zyklsche Koordnate. 14

.5.1 Zetunabhänggket der Lagrangefunkton Se de Lagrangefunkton ncht explzt von der Zet abhängg, L = L(q, q). Leten wr de Lagrangefunkton nach der Zet ab: dl dt = s ( t + q + ) q q q Berückschtgen wr jetzt, daß t = 0, und stellen den Ausdruck q durch Lagrangeglechungen dar, so erhalten wr dl s ( dt = q d dt q + ) q q = d s ( ) dt q q Als Ergebns erhalten wr s q L = q s p q L = const, wobe auf de lnke Sete de sogenannte Hamlton Funkton steht. De physkalsche Bedeutung deser Größe können wr für üblche Systeme feststellen: für L = T U = s m q / U(q) haben wr s q L = q Das st der Energeerhaltungssatz..5. Noether-Theorem s m q T +U = T +U = E Wr formuleren jetzt en allgemenes Theorem (Noether-Theorem): Ist de Lagrangefunkton nvarant unter ener kontnuerlchen Koordnatentransformaton, so gbt es ene Erhaltungsgröße. Das bedeutet, daß ene Funkton von Koordnaten und Geschwndgketen f(q, q,t) ene Konstante st. Betrachten wr jetzt ene allgemene Koordnatentransformaton, wobe de Zet unverändert st: Q = Q (q,t,ǫ) Wchtg st, daß dese Transformaton stetg vom Parameter ǫ abhängt und der Parameterwert ǫ = 0 der dentschen Transformaton Q (q,t,0) = q entsprcht. Dann können wr n erster Näherung n ǫ Q = q +ǫψ (q,t) 15

schreben, wobe de Funkton ψ de nfntesmale Transformaton defnert. Im allgemenen st de neue Lagrangefunkton L(Q(ǫ), Q(ǫ),t) von ǫ abhängg. Wenn dese Abhänggket verschwndet, bedeutet das Invaranz oder Symmetre der Lagrangefunkton bezüglch deser Transformaton. Schreben wr jetzt dese Bedngung explzt: 0 = ǫ = Q Q ǫ + Q Q ǫ Aus Bewegungsglechungen folgt schreben. Also erhalten wr Q = d dt 0 = d dt Q. Außerdem können wr Q Q Q ǫ ǫ als d dt Wenn wr de Abletung nach ǫ berechnen, dann glt Q ǫ = ψ (q,t). De Erhaltungsgröße st dann C = q ψ (Wel für ǫ = 0 glt L = L und Q = q und der Erhaltungssatz glt auch für ǫ = 0.) Betrachten wr de wchtgsten Bespele. 1. Wenn L von Koordnate q unabhängg st, dann st L unter der Transformaton Q = q +ǫ nvarant, das entsprcht ψ = 1. Wr erhalten C = q de schon bekannte Erhaltung des Impulses.. De Symmetre unter Rotaton um de z-achse. In kartesschen Koordnaten st, z. B., dese Lagrangefunkton so nvarant: De Rotaton kann man als L = T U(x +y,z) Q ǫ X = xcosǫ ysnǫ, Y = xsnǫ+ycosǫ schreben. De nfntesmale Transformaton st X = x yǫ, Y = y +xǫ 16

Das ergbt De Erhaltungsgröße st ψ x = y, ψ y = x C = ẋ ψ x + ẏ ψ y = mẋ( y)+mẏx = L z de z-komponente des Drehmpulses. Wr können jetzt de wchtgsten Symmetren mt Erhaltungssätzen verbnden: Homogentät der Zet Energesatz Homogentät des Raums Impulssatz Isotrope des Raums Drehmpulssatz Bemerkung: Des glt nur für kontnuerlche Symmetren, dskrete Symmetren (z.b. x x) entsprechen kenen Erhaltungsgrößen, wel es her kenen kontnuerlchen Parameter ǫ gbt..6 Anwendung: Klene Schwngungen.6.1 En Frehetsgrad: free Schwngungen Wr betrachten en System mt enem Frehetsgrad, der durch de generalserte Koordnate q beschreben wrd. De Lagrangefunkton se von der Form L(q, q) = a(q) q U(q). (De Knetsche Energe st m v ; wenn x = f(q) dann st ẋ = f q). Das System bestze ene stable Glechgewchtslage be q = q 0, d. h. das Potental U hat be q = q 0 en Mnmum. De Taylorentwcklung des Potentals um q = q 0 lautet U(q) = U(q 0 )+ k (q q 0) Wr setzen nun de Auslenkung aus der Ruhlage x = q q 0 en, dann entwckeln auch de knetsche Energe bs zur quadratschen Ordnung n x: T = a(q 0) ẋ 17

damt wrd de Lagrangefunkton für klene Auslenkungen zu L(x,ẋ) = m ẋ k x wobe m = a(q 0 ). Wr bekommen schon bekannte Bewegungsglechung mẍ+kx = 0 oder ẍ+ω x = 0, ω = k/m Bespel.14 Ebenes Pendel De Lagrangefunkton lautet De Bewegungslechung st L = m l φ +lgmcosφ ml φ = lgmsnφ (Mathematsches Pendel). Für klene Wnkel snφ = φ φ+ g l snφ = 0. und wr erhalten φ+ω φ = 0. wobe ω = g l Bespel.15 Roterende Raute ω m l φ m g 18

Wr betrachten ene roterende Raute. Der Quadrat der nfntesmalen Verschebung st (dr) = (ldφ) + (lsn(φ) ωdt). Für jedes Telchen lautet dann de Lagrange- Funkton L = m [(l φ) +(ωlsnφ) ]+mglcosφ De Bewegungsglechung st ml φ = mω l cosφsnφ mglsnφ oder φ = ω cosφsnφ g l snφ Wr fnden zuerst de Fxpunkte: Es gbt zwe Lösungen ω cosφsnφ = g l snφ snφ = 0 φ 1 = 0 cosφ = g lω De zwete Lösung exstert wenn ω > g/l. Wr lnearseren de Bewegungsglechung drekt, φ = φ +x. Am Punkt φ entwckeln wr cos(φ +x) cosφ (snφ )x sn(φ +x) snφ +(cosφ )x Das ergbt (nach Benutzung ω cosφ = g/l) oder ẍ = ω [cos φ 1]x g l cos(φ )x = ω [cos φ g lω cos(φ ) 1]x ẍ+(ω g ω l )x = 0 Ω = ω g ω l.6. Lneare Schwngungen mt mehreren Frehetsgraden Wr betrachten en System mt n Frehetsgraden, de durch de verallgemenerten Koordnaten q 1,...,q n beschreben werden. Zunächst, zegen wr, dass de Knetsche Energe als quadratsche Form der verallgemenerten Geschwndgketen dargestellt werden kann: T = 1 n a,j (q 1,...,q n ) q q j.,j=1 19

Nehmen wr an, wr haben N Telchen, de durch s Koordnaten beschreben werden: Dann r = r(q 1,q,...,q n ). N m n r T = N m q j n r r = q j q k q =1 j=1 j q =1 j=1,k=1 j q k T = 1 ( n N ) r r m q j q k = 1 n a j,k q j q k q j=1,k=1 =1 j q k j=1,k=1 mt a j,k = a k,j. Se de Lagrangefunkton des Systems von der Form L = 1 n,j=1 a,j (q 1,...,q n ) q q j U(q 1,...,q n ) Be q 1 = q1 0,...,q n = qn 0 habe das System ene stable Glechgewchtslage. Wr entwckeln de potentelle Energe um dese Stelle ( U U(q 1,...,q n ) = U(q1 0,...,q0 n )+ q )0 (q q 0 )+ 1 ( U ) q q (q q 0 j 0 )(q j qj 0 ) Der lneare Term fällt weg, da n der Glechgewchtslage das Potental en Mnmum hat. Außerdem lassen wr den unwesentlchen konstanten Term weg. Für klene Auslenkungen x = q q 0 erhalten wr somt U 1 Vj x x j, V j = V j = ( U q q j ) 0 In der knetschen Energe st berets der nedrgste Term quadratsch n der Auslenkung T 1 aj (q1 0,...,q0 n ) q q j = 1 Tj ẋ ẋ j, T j = T j Also erhalten wr de Lagrangefunkton n der Form Für n = schreben wr (als Bespel) L(x,ẋ) = 1 (Tj ẋ x j V j x x j ) L = 1/(T 11 ẋ 1 +T 1, ẋ 1 ẋ +T,1 ẋ ẋ 1 +T ẋ ) 0

1/(V 11 x 1 +V 1x 1 x +V 1 x x 1 +V x ) φ 1 l φ l Bespel.16 Zwe gekoppelte Pendel (1) Nehmen wr de Wnkel φ 1 und φ als verallgemenerte Koordnaten. Dann und T = 1 ml φ 1 1 + ml φ U = mglcosφ 1 mglcosφ + k ( lsnφ 1 +lsnφ ) De Glechgewchtslage st φ 1 = φ = 0 und de Lagrangefunkton für klene Auslenkungen lautet L = 1 (Tj φ φ j V j φ φ j ) wobe (Für klene Wnkel ) T 11 = ml, T = ml, T 1 = T 1 = 0 V 11 = mgl +kl V = mgl +kl V 1 = V 1 = kl U = mgl(1 φ 1/) mgl(1 φ /)+k/( lφ 1 +lφ ) U = mgl +mglφ 1/+mglφ /+ kl (φ 1 +φ φ 1 φ ) U = 1 ] [(mgl +kl )φ 1 +(mgl +kl )φ kl φ 1 φ kl φ φ 1 Schreben wr jetzt de Bewegungsglechungen (Lagrangesche Glechungen. Art) aus. Für n = bekommen wr T 11 ẍ 1 +T 1 ẍ +V 11 x 1 +V 1 x = 0 1

und m allgemenen T 1 ẍ 1 +T ẍ +V 1 x 1 +V x = 0 n T j ẍ j +V j x j = 0 j=1 = 1,...,n Das st en System von n lnearen homogenen gewöhnlchen Dfferentalglechungen. Ordnung mt konstanten Koeffzenten. Wr suchen ene Lösung n der Form x j (t) = a j cos(ωt+α), und setzen se n de Glechungen en: n ( ω T j +V j )a j cos(ωt+α) = 0 j=1 Für n = schreben wr es explzt aus: ẍ j = a j ω cos(ωt+α) = 1,...,n [( ω T 11 +V 11 )a 1 +( ω T 1 +V 1 )a ]cos(ωt+α) = 0 [( ω T 1 +V 1 )a 1 +( ω T +V )a ]cos(ωt+α) = 0 Dese Glechungen sollen für alle t erfüllt sen, deshalb n ( ω T j +V j )a j = 0 = 1,...,n j=1 Des st en lneares homogenes Glechungssystem für de Größen a 1,...,a n. Es gbt zwe Möglchketen: 1) De Determnante ω T j +V j verschwndet ncht, dann st de trvale Lösung a j = 0 de enzge Lösung. ) De Determnante ω T j +V j verschwndet, dann st ene nchttrvale Lösung möglch. Wr haben also de Glechung ω T j +V j = 0 de de möglche Frequenzen defnert. Dese sogenannte charakterstsche oder säkulare Glechung st ene Glechung von Grade n n ω. Dese Glechung erlaubt uns, n Frequenzen zu fnden. Für n = lautet de Glechung: ω T 11 +V 11 ω T 1 +V 1 ω T 1 +V 1 ω T +V = 0 ( ω T 11 +V 11 ) ( ω T +V ) ( ω T 1 +V 1 ) ( ω T 1 +V 1 ) = 0

Bespel.17 Zwe gekoppelte Pendel () Wr schreben de Determnante als mgl +kl ω ml kl kl mgl +kl ω ml De algebrasche Glechung. Grades für ω lautet = 0 ω 4 m l 4 ω (ml (mgl +kl ))+(mgl+kl ) k l 4 = 0 Dese Glechung hat de Lösungen ω 1 = g l ω = g l + k m De Lösungen der charakterstschen Glechung heßen Egenfrequenzen. Betrachten wr ene Egenfrequenz ω k. Wenn wr desen Wert n de Glechungen für Ampltuden ensetzen, erhalten wr das System n ( ωk T j +V j )a j = 0 j=1 Deses System läßt uns de Ampltuden bestmmen, se dese Lösung a (k) j. De Egenvektoren a (k) j snd ncht endeutg festgelegt, man kann se mt ener Konstante multplzeren. De allgemene Lösung des Systems von dfferentalen Glechungen st dann x 1 = a (1) 1 cos(ω 1 t+α 1 )+a () 1 cos(ω t+α ) x = a (1) cos(ω 1 t+α 1 )+a () cos(ω t+α ) Wr wählen jetzt cos(ω 1 t+φ 1 ) und cos(ω t+φ ) als Normalkoordnaten Q 1 and Q. Im allgemenen x = a (k) Q k k Aus dem System x 1 = a (1) 1 Q 1 +a () 1 Q x = a (1) Q 1 +a () Q können de Normalkoordnaten bestmmt werden. 3

Also, de Bewegung st ene überlagung von harmonschen Schwngungen mt unterschedlchen Frequenzen. Für jede Normalkoordnate bekommen wr de entkoppelte Glechung Q k +ω kq k = 0. Bespel.18 Zwe gekoppelte Pendel (3) 1) Fnden wr de Egenvektoren: Erste Egenfrequenz ω 1 = g/l: (mgl +kl (g/l)ml )a (1) 1 kl a (1) = 0 a (1) 1 = a (1) Zwete Egenfrequenz ω = g/l +k/m: (mgl +kl (g/l)ml (k/m)ml )a () 1 kl a () = 0 a () 1 = a () ) Fügen wr de Normalkoordnaten en 3) Analyseren wr de Egenmoden: Mode 1: Q = 0 φ 1 = φ Mode : Q 1 = 0 φ 1 = φ φ 1 = a (1) 1 Q 1 +a () 1 Q φ = a (1) Q 1 +a () Q 4