Versuch 243 Galvanometer zur Strom- und Ladungsmessung Lernziele: Aufbau, Funktionsweise, Verwendung und Genauigkeit eines Drehspulgalvanometers zur Messung von Strömen und elektrischen Ladungen sollen erlernt werden. Die Bewegungsformen eines harmonisch schwingungsfähigen Systems unter verschiedenen Dämpfungsgraden sollen experimentell erfahren werden. Das Galvanometer soll zur Messung von Ladungen und von groÿen Widerständen eingesetzt werden. Kenntnisse: Magnetfeldlinien im Eisen und Luftspalt; mechanische und elektrodynamische Kräfte und Drehmomemente auf die Spule des Galvanometers; Bewegungsgleichung eines Drehspulgalvanometers; Strom- und Ladungsmessung; Entladung eines Kondensators über einen Widerstand; Zeitkonstante eines RC-Gliedes; Strahlengang Lichtzeiger. Literatur: Jedes Grundkurs-Lehrbuch der Physik und jedes Lehrbuch zum Physikalischen Praktikum Westphal, Walcher, Geschke; Anhang A1 dieser Anleitung. Geräte: Galvanometer mit verschiedenen Messingscheiben, Skala, Umschalter, Ausschalter, Taster, Kondensator 10µF, Widerstand R x, 2 Stöpselrheostaten 1...100Ω; 100 2000Ω; digitales Multimeter, Netzgerät 2...4 V, Stoppuhr, Strippen. 243.1 Eigenschaften eines Drehspulgalvanometers 243.1.1 Erläuterungen Ein Drehspulgalvanometer ist wie in Abbildung 243.1 skizziert aufgebaut. Eine starre, rechteckige Drehspule Sp mit den Kantenlängen a und b, dem ohmschen Widerstand R g und n Windungen hängt drehbar an einem Torsionsdraht in dem aus den Polen eines Permanentmagneten und einem Weicheisenkern K gebildeten zylindrischen Luftspalt. Die Torsionsdrahtaufhängung bewirkt ein Richtmoment D und deniert die Ruhelage der Spule. Aufgabe 243.A: Berechnen Sie die Kräfte auf die Leiterstücke der Spule. Hängen diese Kräfte von der Stellung der Spule bezüglich der Ruhelage ab? Wie tragen diese Kräfte zu den Drehmomenten bei, die auf die Spule wirken? Welche Leiterstücke tragen zum elektrodynamischen Drehmoment N e bei? Abb. 243.1: Drehspulgalvanometer P0910 Sei ϕt der Drehwinkel der Spule gegen die Ruhelage zur Zeit t, so erzeugt die Torsion des Aufhängedrahtes ein Drehmoment vom Betrag N d t = D ϕt, 243.1 das der Auslenkung entgegen wirkt. Die mechanische Dämpfung der Spulenbewegung, z.b. durch die Luftreibung im Luftspalt, erzeugt auch ein Drehmoment, das proportional der Drehgeschwindigkeit ϕt ist. Mit der Dämpfungskonstanten ρ gilt für seinen Betrag N r t = ρ ϕt. 243.2 Flieÿt nun ein Strom It durch die Spule, so kommt ein elektrodynamisches Drehmoment N e hinzu, dessen Betrag sich aus dem Magnetfeld B, der Anzahl der Spulenwindungen n, sowie den Spulenseiten a und b mit Hilfe des Biot- Savartschen Gesetz zu N e t = nabbit 243.3 berechnet. Mit der dynamischen Galvanometerkonstanten G nabb kann man dies schreiben als N e t = GIt. 243.4 Physikalisches Institut der Universität Bonn: Praktikumsanleitung 243.1
Versuch 243. Galvanometer zur Strom- und Ladungsmessung Durch die Drehung der Spule im Magnetfeld wird eine Spannung U ind induziert: U ind t = Φ = G ϕt, 243.5 wobei Φ der magnetische Fluss im Luftspalt ist. Wenn die Spulenenden extern leitend verbunden werden, dann erzeugt diese Induktionsspannung U ind einen Induktionsstrom I ind t = U ind /R. Aufgabe 243.B: Warum ist die induzierte Spannung direkt proportional zur Winkelgeschwindigkeit? Hinweis: Kleinwinkelnäherung einer trigonometrischen Funktion ist falsch. Aufgabe 243.C: Aus welchen Anteilen setzt sich der magnetische Fluss Φ durch die Spule zusammen? Sei R g der Widerstand der Spule und R a der Widerstand des äuÿeren Schlieÿungskreises, so gilt für den Induktionsstrom: U ind I ind = = R a + R g G ϕ. 243.6 Insgesamt ieÿt somit der Strom I + I ind durch die Spule, und 243.4 für N e muss ergänzt werden zu N e = GI ϕ. 243.7 Wird das Trägheitsmoment des Drehsystems mit Θ bezeichnet, so ergibt sich für das Gesamtdrehmoment N: N = Θ ϕ = Dϕ ρ ϕ + GI ϕ. 243.8 Aufgabe 243.D In dieser Drehmomentbilanz ist ein Term vernachlässigt worden, der von der Selbstinduktion L der Spule herrührt. Wie lautet dieser Term? Mit welcher Begründung kann man ihn vernachlässigen? Somit lautet schlieÿlich die Dierentialgleichung für ϕt: Θ ϕt + ϕt + D ϕt = GIt. 243.9 243.1. Eigenschaften eines Drehspulgalvanometers Ein Galvanometer z. B. Mavometer, Unigor wird häug zur Messung einer konstanten Stromstärke I benutzt. In diesem Fall verschwinden nach dem Einschwingen die zeitlichen Ableitungen in 243.9, und man erhält: D ϕ = G I 243.10 oder ϕ = G D I = c I I. 243.11 Der Ausschlag ϕ des Galvanometers ist der Stromstärke I proportional. Die Proportionalitätskonstante c I = ϕ/i bezeichnet man als Stromempndlichkeit. Aufgabe 243.E Wie ändert sich die Aussage der Glg. 243.11, wenn der Weicheisenkern innerhalb der Spule weggelassen wird und die Polschuhe des Permanentmagneten eben geformt sind? Wie bereits erwähnt rührt das Drehmoment G I auf der rechten Seite dieser Gleichung vom Messstrom durch das Galvanometer her. Ein konstanter Strom I ändert an der Bewegungsform der Drehspule nichts. Transformiert man zur Winkelkoordinate ψ = ϕ + G I/D, die den Ausschlag relativ zum asymptotischen Galvanometerausschlag ϕ = G I/D beim Strom I beschreibt, so verschwindet die rechte Seite; die Dierentialgleichung wird homogen. Betrachtet man den einfachen Fall des Schwingens um die Ruhelage so ist I = 0 und man kann ϕ beibehalten. Man erhält: oder mit und kann man schreiben ϕ + 1 Θ 2β := 1 Θ ϕ + D ϕ = 0, 243.12 Θ R a + R g 243.13 ω 2 0 := D Θ. 243.14 ϕt + 2β ϕt + ω 2 0ϕt = 0. 243.15 Aufgabe 243.F Prüfen Sie nach, dass β und ω 0 die Dimension einer reziproken Zeit haben. 243.2
243.1. Eigenschaften eines Drehspulgalvanometers Versuch 243. Galvanometer zur Strom- und Ladungsmessung Die Lösungen der Dierentialgleichung 243.15 werden im Anhang A1 der Praktikumsanleitung diskutiert. Von besonderer Bedeutung für den Einsatz als Messinstrument ist der aperiodische Grenzfall. Er tritt für β = ω 0 ein, d.h. für 1 2Θ = D Θ. 243.16 243.1.2.2 Dämpfungsverhalten Aufgabe 243.a: Bewegen Sie mit der Fingerspitze die Spule des Galvonmeters vorsichtig einmal mit und einmal ohne kurzgeschlossenen äuÿeren Stromkreisreis: Die elektrische Dämpfung ist spürbar. Aufgabe 243.b: Mit Hilfe von Schaltung 243.2 lässt sich der Grenzwiderstand R Gr ermitteln. Geben Sie dazu dem Galvanometer eine kleine Auslenkung Löst man diese Gleichung nach dem äuÿeren Widerstand R a auf, so ergibt sich: R a = R Gr wird als Grenzwiderstand bezeichnet. 2 ΘD ρ R g =: R Gr. 243.17 243.1.2 Versuchsdurchführung 243.1.2.1 Justage Lichtzeiger Der Winkelausschlag des Galvanometers wird mit einem Lichtzeiger sichtbar gemacht. Unter der Spule ist ein kleiner Spiegel angebracht. Ein beleuchteter Spalt steht im Brennpunkt einer Meniskuslinse, die nahe am Spiegel angebracht ist. Nach Durchsetzen der Linse fällt das Licht des Spaltes parallel auf den Spiegel; eine Winkeländerung ϕ des Spiegels ändert die Richtung des reektierten Strahls um 2 ϕ. Der reektierte Strahl durchsetzt erneut die Meniskuslinse, welche so den Beleuchtungsspaltes auf eine gekrümmte Skala oberhalb des Spaltes abbildet. Dies erfordert, dass der Krümmungsradius der Skala und die Brennweite der Meniskuslinse gleich sind was durch die Abmessungen der Geräte gesichert ist. Wegen des Reexionsgesetzes Einfalls = Ausfallswinkel muss der Spiegel vertikal mittig zwischen Beleuchtungsspalt und Skala stehen; andernfalls liegt das Bild des Beleuchtungsspaltes nicht auf der Skala. Horizontal muss der Krümmungsmittelpunkt der Skala im Spiegel liegen; andernfalls ändert sich der Abstand zwischen Skala und Spiegel mit dem Ausschlag ϕ und damit die Schärfe der Abbildung. Die Meniskuslinse ist so orientiert einzusetzen, dass die Brennweiten-Abstandsbedingung über einen möglichst groÿen Winkelbereich ϕ eingehalten wird. Geringfügige Dejustagen der Apparatur können durch Querverschiebung der Meniskuslinse ausgeglichen werden. Abb. 243.2: Schaltung zur Bestimmung des Grenzwiderstands. und beobachten Sie die nachfolgende Bewegung bei verschiedenen Werten von R a, die Sie mit einem Stöpselwiderstand darstellen. Ist der aperiodische Grenzfall erreicht, kann man R Gr = R a mit einem Widerstandsmessgerät messen, z.b. mit einem analogen z.b. Unigor oder digitalem DMM Multimeter Beim Unigor die Anleitung auf der Rückseite des Gerätes beachten. Bringen Sie nun die Zusatzgewichte an und messen Sie R Gr erneut. Erklären Sie anhand von Gleichung 243.17 den Unterschied. Aufgabe 243.G 1. Wozu kann man die Kenntnis von R Gr sinnvoll benutzen? 2. In der Praxis wählt man einen geringfügig gröÿeren Widerstand als R Gr. Warum? 243.1.2.3 Stromempndlichkeit c I und Innenwiderstand R g Betrachten Sie Schaltung 243.3. Die Widerstände R 1 und R 2 der Potentiometerschaltung sind so zu wählen, dass R + R g R 2 gilt. Damit errechnet sich der 243.3
Versuch 243. Galvanometer zur Strom- und Ladungsmessung Abb. 243.3: Schaltung zur Bestimmung der Stromempndlichkeit. Gesamtstrom nach: I 0 = U 0 R 1 + R 2. 243.18 Der Strom, der durch das Galvanometer ieÿt, beträgt dann: Mit 243.11 folgt dann: I G = R 2 R g + R I 0 = R 2 R g + R U 0 R 1 + R 2. 243.19 1 ϕ = R 1 + R 2 c I U 0 R 2 R g + R. 243.20 Aufgabe 243.c: Messen Sie diesen linearen Zusammenhang durch und stellen Sie ihn grasch dar. Aufgabe 243.d: Bestimmen Sie aus der Steigung der Fit-Geraden die Stromemp- ndlichkeit c I. Aufgabe 243.e: Bestimmen Sie den Widerstand der Galvanometerspule R g aus dem Schnittpunkt der Geraden mit der R-Achse. Aufgabe 243.f: Messen Sie R g mit einem DMM oder einem Unigor und vergleichen Sie die Ergebnisse. Aufgabe 243.g: Messen Sie jeweils einmal den Ausschlag ϕ für ein bestimmtes R a und damit c I mit verschiedenen aufgesteckten Zusatzgewichten. Erklären Sie das Resultat mit 243.11. 243.2. Ballistisches Galvanometer Aufgabe 243.H: Wie kann man die Empndlichkeit des Galvanometers steigern? Aufgabe 243.I: Wo liegen die prinzipiellen Grenzen für die Empndlichkeit eines Galvanometers? Aufgabe 243.J: In welcher Einheit wird die Stromempndlichkeit hier sinnvoll angegeben? 243.2 Ballistisches Galvanometer 243.2.1 Erläuterungen Abb. 243.4: Schaltung zur Entladung eines Kondensators über einen Widerstand. In der Schaltung zur Entladung eines Kodensators über einen Widerstand siehe Abb. 243.4 gilt: U C + U R = 0 243.21 U C 243.22 = Q C U R = RI = R dq dt 243.23 und somit dq dt = 1 Q. 243.24 RC Die Lösung dieser Dierentialgleichung lautet: Q = Q 0 e t RC. 243.25 243.4
243.2. Ballistisches Galvanometer Versuch 243. Galvanometer zur Strom- und Ladungsmessung Um Ladungen mit einem Galvanometer zu messen, nutzt man die Proportionalität zwischen der Ladungsmenge Q und dem ersten Maximalausschlag des Galvanometers ϕ m. Für den Fall kleiner Dämpfung β ω 0 und unter der Annahme, dass die Strom- usszeit t klein gegen die Schwingungsdauer des Galvanometers ist, gilt: Der Strom dq/dt erzeugt das Drehmoment N = GdQ/dt und erteilt dem System in der Zeit t den Drehimpuls Θ ϕ = G t 0 dq dt dt = G Q 0 dq = GQ. 243.26 Der Energieerhaltungssatz liefert, dass im Umkehrpunkt ϕ m die Rotationsenergie 2 ϕ t 243.27 in potentielle Energie umgewandelt worden ist: Hieraus folgt: Θ 2 Θ 2 Q 2 ϕ t = 2 2Θ = D 2 ϕ2 m. 243.28 ϕ m = G DΘ Q, 243.29 was zur Messung von elektrischen Ladungen evtl. nach einer Eichung genutzt werden kann. 243.2.2 Versuchsdurchführung Aufgabe 243.h: Es ist ein groÿer Widerstand mit Schaltung 243.5 zu messen. Verfahren: Ein bekannter Kondensator wird auf die Spannung U 0 aufgeladen. Dann entlädt man den Kondensator über den unbekannten Widerstand R eine zumessende Zeit t lang; zur Zeit t 0 önet man Schalter S, zur Zeit t 1 klappt man W um. Dabei misst man t = t 1 t 0 und ϕ m. Die Messung wird für verschiedene Entladungszeiten t durchgeführt. Die halblogarithmische Darstellung der so gemessenen Funktion ϕ m t = ft ist eine Gerade. Die Steigung der Fit-Geraden liefert die Zeitkonstante RC, und damit R. Die Auswertung soll grasch geschehen. Frage: Warum braucht man den Maximalausschlag ϕ m nicht in Restladung Q auf dem Kondensator umzurechnen? 243.5 G = Galvanometer N = Netzgerät 2...4 V W = Wechselschalter S = Ausschalter T = Kurzschlusstaste Abb. 243.5: Schaltung zur Bestimmung eines groÿen Widerstandes mit einem ballistischen Galvanometer. Es ist sinnvoll, zur Versuchsdurchführung die Messingscheiben im Abstand 2R = 6 cm anzubringen. Aufgabe 243.K: Welche anderen Methoden zur Messung von Widerständen kennen Sie? Warum eignen sich diese Schaltungen nicht zur Messung sehr groÿer Widerständen?