Nullserie zur Prüfungsvorbereitung Die folgenden Hilfsmittel und Bedingungen sind an der Prüfung zu beachten. Erlaubte Hilfsmittel Beliebiger Taschenrechner (Der Einsatz von Lösungs- und Hilfsprogrammen ist verboten) Lösungsformel für quadratische Gleichungen (siehe Folgeseite) Bedingungen Prüfungsdauer Punktzahlen Schreibmittel Korrektheit der Lösungen Anschrift der Blätter Lösung der Aufgaben Notizpapier 10 Minuten TOTAL: 40 Punkte, Note 6: 31 Punkte, lineare Notenskala. Schreiben Sie bitte mit Kugelschreiber oder ähnlichem. Bleistift ist nicht erlaubt. Eine Aufgabe gilt nur als vollständig korrekt gelöst, wenn der Lösungsweg nachvollziehbar geschildert ist. Um die volle Punktzahl zu erhalten, müssen Sie ihre Lösungen vollständig und formal richtig anschreiben. Alle Blätter sind mit Ihrem Namen zu versehen. Jede Aufgabe ist auf ein eigenes Blatt zu lösen. Bei allen Textaufgaben ist ein Antwortsatz zu formulieren. Die farbigen A4-Blätter sind als Notizblätter gedacht. Sie werden eingezogen, aber nicht korrigiert. Seite 1
Lösungsformel für quadratische Gleichungen Die quadratische Gleichung a x + b x + c 0 hat die Lösungen x 1, b ± b 4 a c a Seite
Aufgabe 1 Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme: 3 5 A) m n n 1 3 4 6 m + n 33 n B) 7xy y x 4y 6 Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsvariable x der folgenden Gleichungen: 1 A) x 4 x B) x + ax 16a 0 4x 4x + 5 C) + 11 D) log ( 7) log ( 9) + log ( 3) log ( x) b b b b E) log x ( 81) 4 Aufgabe 3 Vereinfachen Sie die folgenden Terme soweit wie möglich: t + t 6 A) t t t + 3t 1 t 18s 8s B) s 3 1s 3 Aufgabe 4 In einem fiktiven Land war in den letzten 3 Jahren eine Inflation (Teuerung) von 7.9 %, 11. % und 8.9 % zu verzeichnen. Gleichzeitig wurden die Löhne jährlich um 8.7 % gesteigert. A) Welche Gesamtteuerung (in %) ergab sich für dieses Land in den 3 Jahren? B) Welchen Kaufkraftverlust (in %) mussten die Einwohner dieses Landes in diesen drei Jahren gesamthaft hinnehmen? Seite 3
Aufgabe 5 Von 3 Zahlen ist die Zweite so gross wie das Doppelte der Summe der anderen beiden Zahlen. Weiter ist das 10-Fache der dritten Zahl gleich gross wie das 3-Fache der ersten Zahl. Schliesslich beträgt die Summe der 3 Zahlen 39. Wie lauten die drei Zahlen? Aufgabe 6 Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt S. Die erste Gerade kann durch die Funktionsgleichung G 1 : 0.7x 3 y + 5 10 beschrieben werden. Die zweite Gerade G weist einen y-achsenabschnitt von 15 und eine Steigung von 3 auf. A) Wie lautet die Funktionsgleichung der Geraden G? B) Wie lauten die Koordinaten des Schnittpunktes S? Aufgabe 7 Bei der Herstellung einer Ware entstehen Kosten, welche sich durch folgende Formel ermitteln lassen: K 0.005m + 37.5m + 45 000 m : Produktionsmenge in Stück, 0 m 4 000 K : Produktionskosten in Franken Da der Hersteller dieser Ware als Monopolist auf dem Markt agiert, kann er den Verkaufspreis der Ware seinen Vorstellungen entsprechend einrichten, ohne auf die Konkurrenz achten zu müssen. A) Ab welcher Stückzahl erzielt der Hersteller Gewinn, falls er die Ware zu 48.- Fr. pro Stück anbietet? B) Ab welcher Stückzahl wird bei demselben Stückverkaufspreis eine Rentabilität von 0 % erreicht? (Die Rentabilität gibt den prozentualen Anteil des Gewinnes am eingesetzten Kapital, also den Produktionskosten an.) Seite 4
Aufgabe 8 Aus Reis und Hähnchen sollen Notrationen mit einem möglichst hohen Wärmewert bereitgestellt werden. Eine solche Notration soll ein Gewicht von insgesamt nicht mehr als 30 g (ohne Verpackung) aufweisen und aus mindestens 60 g Hähnchen und 80 g Reis bestehen. Zudem darf ein Kostenmass von.80 Fr. pro Ration nicht überschritten werden. Hähnchen Reis Wärmewert in kj pro 100 g 503 1 546 Kosten in Fr. pro kg 11.80 1.70 A) Zeigen Sie grafisch diejenigen Zusammenstellungen von Notrationen auf, welche allen geforderten Bedingungen genügen. B) Ermitteln Sie mit grafischen Mitteln die Notration mit maximalem Wärmewert. Einteilung: 1 Häuschen sind 10 g auf beiden Achsen Menge an Hähnchen in g 0 Menge an Reis in g Seite 5
Lösungen Aufgabe 1A m 3 3 5 n n 1 8 m 9n 10n 1 8m 19n 1 4 6 m + n 33 n m + n 33 8m + 8 n 13 7 n 144 Lösung: m 11.667 und n 5.333 Aufgabe 1B x 4 y 6 x y + 3 7 x y y 7 ( y + 3) y y 14y + 1y y 13y + 1y 0 y ( 13y + 1) 0 Lösungen: y 1 0 und x 1 3 oder y 1.615 und x 0.31 Aufgabe A x 4 x x ( 4 x) x 576 48x + x x 49x + 576 0 a 1; b 49; c 576 x 1, b ± b 4 a c a ( 49) ± ( 49) 1-4 1 576 49 ± 97 Lösung: x 19.576 (zweite Lösung ist Scheinlösung) Seite 6
Aufgabe B 1 x + ax 16a 0 a 0.5; b a; c 16a b ± b 4 a c a ± x1, a - ( a) 4 0.5 ( 16a ) 0.5 a ± 4a + 3a a ± 6a Lösungen: x 1 4a und x 8a Aufgabe C 4x + 4x + 5 11 4x ( 1 + ) 11 5 4x 64 6 Lösung: x 1.5 Aufgabe D log ( 7) log ( 9) + log ( 3) log( x) log 3 log ( 9) log ( x) b b b Lösung: x 9 7 9 b b b Aufgabe E log x ( 81) 4 x 4 81 Lösung: x 3 Aufgabe 3A t + t 6 t t + 3t t 1 t ( t + 3) ( t ) t t ( t + 3) t 1 t t t Lösung: t Seite 7
Aufgabe 3B 18s s 3 8s 3 1s 3 3 s s s 3 3 s 3 1 s 6 s s s Lösung: s Aufgabe 4A 1 + 7.9 100 11. 1 + 1 + 100 8.9 100 1.30663 p3 1 + 100 Lösung: 30.663 % Aufgabe 4B 1 + 8.7 100 3 1.8437 p3 1 + 100 p 3 8.437 % 1.8437 100 100 1.30663 Lösung: 1.7043 % 1.7043 Aufgabe 5 Die drei Zahlen x, y, z seien gesucht I y ( x + z) A y x + z II 10 z 3x B z 0.3x III x + y + z 39 B in A eingebracht y x + 0.3x.6x Aus III wird dann x +.6x + 0.3x 39 3.9x 39 x 10 z 3 und y 6 Lösung: x 10, y 6, z 3 Seite 8
Aufgabe 6A Lösung: y 3x + 15 Aufgabe 6B Geradengeichung 1 y + 5 0.7x 3 7 x 30 y + 5 7 x 35 y 10 y 1 3.5x 17.5 3x + 15 3.5x 17.5 3.5 6.5x x 5 Lösung: Koordinaten von S sind (5 / 0) Aufgabe 7A Gewinn Erlös Kosten G 48m ( 0.005m + 37.5m + 45 000) 48m + 0.005m 37.5m 45 000 G 0.005m + 10.5m 45 000 0 a 0.005; b 10.5; c 45 000 x1, b ± b 4 a c a - ( 10.5) 4 0.005 ( 45 000) 10.5 ± 10.5 ± 560.5 0.005 0.005 x1 633.9 und x < 0 Lösung: Gewinn wird ab 634 Stück erzielt. Seite 9
Aufgabe 7B Re ntabilität Gewinn 100 Kosten R 0.005m + 10.5m 45 000 100 0.005m + 37.5m + 45 000 0 ( 0.005m + 10.5m 45 000) 100 0 ( 0.005m + 37.5m + 45 000) 0.5m + 1 050m 4 500 000 0.05m + 750m + 900 000 0.3m + 300m 5 400 000 0 x1, b ± b 4 a c a Lösungen: m 1 3 77 und m < 0 ( 4 77) - ( 300) 4 0.3 ( 5 400 000) 300 ± 300 ± 6 570 000 0.3 0.6 Aufgabe 8 Notrationen 400 Gesamtgewicht in g 350 Mindestmenge Reis Mindestmenge Hähnchen Kostengrenze 300 Wärmewert 000 KJ Wärmewert 3000 KJ 50 Hähnchen [g] 00 150 100 ZB Optimallösung 50 0 0 50 100 150 00 50 300 350 Reis [g] Seite 10