Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de

Ringe und Moduln ausgearbeitet von Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Seminar Darstellungstheorie Prof. Dr. H. Krause, PD Dr. D. Kussin Wintersemester 2007/2008

Grundlagen 1 Grundlagen 1.1 Definition - Halbgruppe, Monoid Sei G eine Menge. Man nennt G, zusammen mit der Verknüpfung : G G G, (g, h) g h = gh, die assoziativ ist, eine Halbgruppe. Eine Halbgruppe G mit neutralem Element e nennt man Monoid. 1.2 Definition - Ring Man nennt eine Menge R, zusammen mit zwei Verknüpfungen + : R R R (Addition) und : R R R (Multiplikation) einen Ring, falls gilt: (R, +) ist eine abelsche Gruppe (R, ) ist ein Monoid +, sind durch die Distributivgesetze miteinander verbunden: r(s + t) = rs + rt, (r + s)t = rt + st r, s, t R +, sind assoziativ Ein Ring heißt kommutativ, falls rs = sr r, s R gilt. 1.3 Beispiele Körper sind kommutative Ringe. Beispiele für Körper: Q, R, C, endliche Körper, C(T ), Körpererweiterungen von Q. Schiefkörper, wie z.b. H, Schiefkörper der Hamiltonschen Quaternionen. Viele Ringe tauchen als Endomorphismenringe auf: Ist V ein K-Vektorraum (über dem Körper K), so ist R = End K (V ) ein Ring, der nur dann kommutativ ist, falls dim K (V ) = 1 ist. Sei X eine Menge und R ein Ring, dann ist R X, die Menge der R-wertigen Funktionen auf X, ein Ring, wenn man für f, g R X definiert: f + g : X R, x f(x) + g(x) 2

Grundlagen f g : X R, x f(x) g(x) Matrizenringe: Ist K ein Körper, dann ist R = M n (K), die Menge der quadratischen n n-matrizen, ein Ring, der nur im Fall n = 1 kommutativ ist. Allgemeiner: Ist R ein Ring, so ist auch M n (R) ein Ring. Polynomringe: Ist R ein Ring, so ist R[X] der Ring der Polynome in einer Unbestimmten X. Seien (a n ) und (b n ) Polynome in R[X], dann sind durch (a n )+(b n ) = (a n +b n ) und (a n ) (b n ) = ( a l b k ) Addition und Multiplikation definiert. Zusammen mit l+k=n diesen Verknüpfungen ist R[X] ein nullteilerfreier, kommutativer Ring. 1.4 Bemerkung Über Körpern werden Vektorräume definiert und mit ihnen gerechnet. Nun definiert man ähnliches über kommutativen Ringen mit Einselement. Dies führt zum Begriff des Moduls: 1.5 Definition - Moduln Eine Menge M mit einer Verknüpfung + : M M M heißt R-Rechtsmodul (über dem Ring R), falls (M, +) eine abelsche Gruppe ist und für die Abbildung M R M, (x, r) xr die üblichen Vektorraum-Axiome gelten: x(r + s) = xr + xs (x + y)r = xr + yr x(rs) = (xr)s x = x1 r, s R, x, y M M heißt R-Linksmodul, wenn für die Abbildung R M M, (r, x) rx gilt: (r + s)x = rx + sx r(x + y) = rx + ry (rs)x = r(sx) 1x = x r, s R, x, y M Falls R ein kommutativer Ring ist, macht es keinen Unterschied, ob man R-Rechts- oder R- Linksmoduln betrachtet. Aber im Allgemeinen sind R-Rechtsmoduln und R-Linksmoduln nicht dasselbe. Um zu betonen, dass M ein R-Rechtsmodul ist, schreibt man manchmal auch M R, bzw. bei R-Linksmoduln R M. 3

Grundlagen 1.6 Beispiele Sei A A ein Ideal, so ist der Restklassenring A/A ein A-Modul. Betrachtet man einen Vektorraum V über einem Körper K, so wie einen K-Endomorphismus ϕ : V V, dann ist V ein Modul über dem Polynomring einer Variablen K[X], wenn man die Multiplikation durch K[X] V V, ( a i x i, v) a i ϕ i (v) definiert. Umgekehrt ist jeder K[X]-Modul V insbesondere ein K-Vektorraum, wobei man die Multiplikation mit X als K-Endomorphismus ϕ : V V auffassen kann. Auf diese Weise entsprechen die Paare der Form (V, ϕ), bestehend aus einem K-Vektorraum V und einem K-Endomorphismus ϕ : V V, bijektiv den K[X]-Moduln. Jede abelsche Gruppe G lässt sich als Z-Modul auffassen. Man definiere nämlich die Produktbildung Z G G, (a, x) ax durch ax = a x für a 0 und ax = ( ax) für a < 0. Umgekehrt kann man aus jedem Z-Modul M eine abelsche Gruppe G gewinnen, indem man die Z-Multiplikation auf M vergisst. Auf diese Weise entsprechen sich abelsche Gruppen und Z-Moduln bijektiv. Dies dehnt sich auch auf Homomorphismen, Untergruppen und Untermoduln, Restklassengruppen und Restklassenmoduln aus. i=1 1.7 Definition - Algebra Sei R ein kommutativer Ring. Ein Ring (A, +, ) wird (assoziative) R-Algebra genannt, falls es eine Abbildung A R A, (a, r) ar gibt, so dass A ein R-Rechtsmodul ist (also (A, +) eine abelsche Gruppe ist und die Abbildung die vier Eigenschaften erfüllt) und zusätzlich gilt: (ab)r = a(br) = (ar)b r R, a, b A. 1.8 Beispiele Jeder Ring ist in natürlicher Weise eine Z-Algebra: Für n Z und a A sei a +... + a n 0 (n Summanden) an = ( a) +... + ( a) n < 0 ( n Summanden) Die Theorie der Ringe ist also nichts anderes als die Theorie der Z-Algebren. Setzt man nichts weiter über den kommutativen Ring R voraus (oder nur sehr wenig), so ist also die Theorie der R-Algebren allgemeiner als die Theorie der Ringe. Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum, dann ist End K (V ) eine K-Algebra. Allgemeiner: Sei R ein kommutativer Ring und M ein R-Rechtsmodul, dann ist End(M R ) eine R-Algebra. 4

Grundlagen Sind A und B zwei R-Algebren, so ist auch das Produkt A B eine R-Algebra. 1.9 Bemerkung Links- und Rechtsmoduln über einer R-Algebra A sind genau wie für den Ring A definiert. 1.10 Definition - Homomorphismus Sind G und H Monoide, so heißt die Abbildung f : G H Monoidhomomorphismus, falls gilt: f(gg ) = f(g)f(g ) g, g H f(e G ) = e H Sei R ein Ring und M und N zwei R-Rechtsmoduln. Ein Homomorphismus von R-Rechtsmoduln ist eine Abbildung f : M N mit f(x + y) = f(x) + f(y) f(xr) = f(x)r x, y M, r R Häufig nennt man solche Abblidungen auch (R-)linear. Es bezeichne Hom R (M, N) die Menge aller R-linearen Abbildungen von M nach N. Seien A und B Ringe. Eine Abbildung f : A B heißt Ringhomomorphismus, falls für alle x, y A gilt: f(x + y) = f(x) + f(y) f(xy) = f(x)f(y) f(1 A ) = 1 B Sind A und B Algebren über dem kommutativen Ring R und ist f ein Homomorphismus von R-Moduln, so heißt f ein (R-)Algebrenhomomorphismus. Sei f : A B ein Homomorphismus, dann heißt f Endomorphismus genau dann, wenn M = N gilt. Monomorphismus genau dann, wenn f injektiv ist. Epimorphismus genau dann, wenn f surjektiv ist. Isomorphismus genau dann, wenn f bijektiv ist. Automorphismus genau dann, wenn M = N gilt und f bijektiv ist. 5

Grundlagen 1.11 Beispiele Im Fall R = Z ist ein Algebrenhomomorphismus nichts anderes als ein Ringhomomorphismus. Sei A eine R-Algebra, dann ist f : R A, r 1 A r ein Ringhomomorphismus (sogar ein R-Algebrenhomomorphismus), dessen Bild im Zentrum von A landet. Umgekehrt liefert ein solcher Ringhomomorphismus eine R-Algebrenstruktur auf A. Sei A eine R-Algebra und G ein Monoid mit Einselement e. Für a A und x G definiere σ(a)(x) = aδ ex und ψ(x)(y) = δ xy. Dies ergibt einen injektiven Algebrenhomomorphismus σ : A AG und einen injektiven Monoidhomomorphismus ψ : G AG, wobei AG die Menge AG = {f : G A f(x) = 0 für fast alle x G} ist. 1.12 Definition - Bild, Kern, Kobild, Kokern Sei f : M N ein Homomorphismus. Dann heißt Bild(f) = {f(x) N x M} das Bild von f, Kern(f) = {x M f(x) = 0} der Kern von f. Außerdem heißen Kobild(f) = M/Kern(f) das Kobild von f und Kokern(f) = N/Bild(f) der Kokern von f. 1.13 Definition - Darstellung Sei A eine R-Algebra (über dem kommutativen Ring R). Eine Darstellung von A ist ein R-Algebrenhomomorphismus ϕ : A End R (V ) für einen R-Modul (K-Vektorraum) V. Ist R = K ein Körper, so heißt die Darstellung ϕ endlichdimensional, falls V K endlichdimensional ist. 1.14 Bemerkung Die Darstellungstheorie endlichdimensionaler Algebren untersucht die Moduln über einer endlichdimensionalen Algebra. Das Konzept der Gruppenalgebra verbindet die Darstellungstheorie von Gruppen mit der Darstellungstheorie endlichdimensionaler Algebren. 6

Homomorphiesätze 2 Homomorphiesätze 2.1 Definition - Untermodul Sei A eine R-Algebra und M ein A-Modul. Eine Teilmenge U M nennt man Untermodul von M, falls folgendes gilt: U 0 U x, y U x + y U ( U + U U) a A, x U xa U ( U A U) 2.2 Beispiele Sei f : M N ein Homomorphismus von Moduln. Dann ist Kern(f) ein Untermodul von M. Beweis. f(0) = 0 0 Kern(f) x, y Kern(f) f(x + y) = f(x) + f(y) = 0 + 0 = 0 x + y Kern(f) a M, x Kern(f) f(xa) = f(x)a = 0 a = 0 xa Kern(f) Seien N und L Untermoduln des Moduls M. Dann ist N L ein Untermodul von M. Allgemeiner: Sind N i Untermoduln von M für jedes i I, so ist auch N i ein i Untermodul von M. Beweis. Sei P := N L 0 N L x, y P x + y P a M, x P xa P 2.3 Definition - Faktormoduln Sei A eine R-Algebra, M ein A-Modul und U M ein Untermodul von M. Dann ist die Menge M/U = {u + x x M} aller Nebenklassen von U in M selbst wieder ein A-Rechtsmodul und zwar durch die Regeln: 7

Homomorphiesätze (U + x) + (U + y) := U + (x + y) (U + x)a := U + xa für x, y M, a A und wird Faktormodul genannt. 2.4 Satz - Homomorphiesatz für Moduln Sei A eine R-Algebra, seien M und N Moduln und sei f : M N ein Homomorphismus von Moduln. Sei U ein Untermodul mit U Kern(f). Dann gibt es genau einen Homomorphismus f : M/U N mit f π = f, wobei π : M M/U die kanonische Surjektion ist. Außerdem gilt: f ist injektiv genau dann, wenn U = Kern(f) ist. Beweis. Wir definieren f : M/U N durch f(u + x) = f(x). Dies ist wohldefiniert, denn: Sei U + x = U + y für x, y M, es gibt also ein u U mit x = u + y. Dann folgt: f(x) = f(u + y) = f(u) + f(y). Da u U Kern(f) f(x) = f(y). f ist ein Homomorphismus, denn: Seien x, y M, dann ist f((u + x) + (U + y)) = f(u + (x + y)) = f(x + y) = f(x) + f(y) = f(u + x) + f(u + y). Und sei x M, a A, dann ist f((u + x)a) = f(u + xa) = f(xa) = f(x)a = f(u + x)a Es gilt f π = f, denn nach Konstruktion gilt für alle x M: f π(x) = f(u + x) = f(x) f ist eindeutig, denn: Sei h ein Homomorphismus mit h π = f. Für jedes x M gilt: h(u + x) = h π(x) = f(x) = f π(x) = f(u + x). Also folgt: h = f f injektiv U = Kern(f): Sei f injektiv. Sei x U f(x) = f(u + x) = en umgekehrt x Kern(f) e N = f(x) = f(u + x) x U Kern(f) = U. x Kern(f). Sei Sei U = Kern(f). Sei x M mit f(u + x) = e N. Es folgt f(x) = f π(x) = f(u + x) = e N x Kern(f) = U U + x = U + e N in M/U f ist injektiv. 2.5 Isomorphiesätze 1. Ist f : M N ein Epimorphismus von A-Moduln, so gilt M/Kern(f) N. 2. Sind K und L Untermoduln von M mit K L, dann gilt (M/K)/(L/K) M/L. 8

Homomorphiesätze 3. Sind K und L Untermoduln von M, dann gilt (L + K)/K L/(L K). Beweis. 1. Da f surjektiv ist und f = f π folgt, dass auch f surjektiv ist. Da U = Kern(f) f ist injektiv. Also ist f bijektiv und mit Hilfe des Homomorphiesatzes folgt: M/Kern(f) N. 2. Betrachte die Abbildung ϕ : M/K M/L, K + x L + x, dies ist wohldefiniert, denn: seien x, y M mit K + x = K + y x y K x y L L + x = L + y. ϕ ist ein Homomorphismus, denn: ϕ((k+x)+(k+y)) = ϕ(k+(x+y)) = L+(x+y) = (L + x) + (L + y) = ϕ(k + x) + ϕ(k + y) und ϕ((k + x)a) = ϕ(k + xa) = L + xa = (L + x)a = ϕ(k + x)a, für x, y M, a A. Nach Konstruktion ist ϕ surjektiv. Betrachte nun Kern(ϕ) = {K + x x L}. Dann gilt Kern(ϕ) = L/K, denn sei x M mit ϕ(k + x) = L + x = L + e x L, also K + x L/K. Und umgekehrt sei x L/K, dann ist ϕ(k + x) = L + x = L + e x Kern(ϕ). Also folgt insgesamt: Kern(ϕ) = L/K. Wende nun den Homomorphiesatz an: es existiert eine eindeutige Abbildung ϕ : (M/K)/(L/K) M/L. Da Kern(ϕ) = L/K, ist ϕ injektiv, und da ϕ surjektiv ist, ist auch ϕ surjektiv. Damit ist ϕ bijektiv und es folgt die Behauptung. 3. Definiere die Abbildung f : L (L + K)/K, x K + x. (L + k) ist ein Untermodul von M, denn: (L + K) x, y (L + K), x = l + k, y = m + n x + y = (l + k) + (m + n) = (l + m) + (k + n) (L + K) a M, x = l + k (L + K) xa = (l + k)a = la + ka (L + K) f ist ein Homomorphismus, denn für x, y L, a M gilt: f(x + y) = K + (x + y) = (K + x) + (K + y) = f(x) + f(y) f(xa) = K + xa = (K + x)a = f(x)a Es gilt Kern(f) = {x L f(x) = e} = L K, denn: sei x L, x Kern(f) K + x = K + e x K x L K. f ist surjektiv, denn: sei (x + y) + K (L + K)/K, x L, y K (x + y) + K = x + k = f(x) (L + K)/K Wende nun den Homomorphiesatz an, nach dem eine eindeutige Abbildung f existiert mit f : L/(L K) (L + K)/K, und da Kern(f) = L K, ist f injektiv. Da f surjektiv ist, ist dann auch f surjektiv. Insgesamt folgt also die Behauptung. 9

Homomorphiesätze 2.6 Definition - Ideal Gegeben sei eine R-Algebra A und ein R-Rechtsmodul I des R-Moduls A. Dann heißt I ein Rechtsideal, falls I A I gilt, Linksideal, falls A I I gilt und (zweiseitiges) Ideal, falls beides gilt. 2.7 Bemerkung Ein Rechtsideal ist also nichts anderes als ein A-Untermodul von A A, ein Linksideal nicht anderes als ein A-Untermodul von A A. 2.8 Beispiele Sei f : A B ein Homomorphismus von R-Algebren. Dann ist Kern(f) = {a A f(a) = 0 B } ein (zweiseitiges) Ideal in A. Sei a A, dann ist aa ein Rechtsideal, Aa ein Linksideal und AaA ein (zweiseitiges) Ideal in A. { n } Sei X eine Teilmenge von A, dann ist X A = x i a i n 0, a i A, x i X das i=1 kleinste A-Rechtsideal, das X enthält. Analog gilt dies für Linksideale. 2.9 Definition - Faktoralgebra Sei A eine R-Algebra und sei I ein (zweiseitiges) Ideal in A. Dann ist durch (I + a) + (I + b) := I + ab a, b A in natürlicher Weise eine R-Algebrenstruktur auf A/I definiert. Dies wird die Faktoralgebra von A modulo I genannt. 2.10 Satz - Homomorphiesatz für Algebren Sei f : A B ein Homomorphismus von R-Algebren, sei I ein Ideal in A mit I Kern(f). Dann gibt es genau einen Algebrenhomomorphismus f : A/I B mit f π = f, wobei π : A A/I, a I + a die kanonische Surjektion ist. Außerdem gilt: f ist genau dann injektiv, wenn I = Kern(f) gilt. Beweis. Analog zum Beweis des Homomorphiesatzes für Moduln. 10

Direkte Summen und Produkte 3 Direkte Summen und Produkte 3.1 Definition - einfach Ein Modul S heißt einfach, falls er vom Nullmodul verschieden ist und als einzige Untermoduln 0 und S besitzt. 3.2 Satz Ein Modul S 0 ist einfach genau dann, wenn 0 und S die einzigen Faktormoduln von S sind. Beweis. Sei S einfach, dann sind 0 und S die einzigen Untermoduln von S. Dann gibt es nur die Faktormoduln S/S = 0 und S/0 = S. Umgekehrt seien S und 0 die einzigen Faktormoduln von S. Sie haben dann die Form S = S/0 und 0 = S/S. Es folgt, dass 0 und S die einzigen Untermoduln von S sind, und somit ist S einfach. 3.3 Beispiel Ein Modul V D über einem Schiefkörper D (also ein Vektorraum) ist einfach genau dann, wenn dim(v D ) = 1 gilt, also genau dann, wenn gilt V D D. In diesem Fall gilt End(V D ) D. 3.4 Definition - Summe und innere direkte Summe Für eine Familie N i von Untermoduln, i I, ist die Summe wie folgt definiert: N = { } N i = x i x i N i, x i = 0 für fast alle i I. N heißt direkte Summe der N i, wenn jedes x N eine Darstellung der Form x = x i mit eindeutig bestimmten Elementen x i N i hat. Schreibweise: N = N i Insbesondere ist eine Summe N + L zweier Untermoduln von M genau dann direkt, wenn N L = 0 gilt. 11

Direkte Summen und Produkte 3.5 Definition - Direkte Summanden Ein Untermodul N von einem Modul M heißt direkter Summand, falls ein Untermodul N von M mit N N = M existiert. Allgemeiner: Seien N und M Moduln, dann ist N ein direkter Summand von M, falls es einen Modul N gibt mit N N M. (Achtung: Im Gegensatz zur Theorie der Vektorräume muss ein Untermodul kein direkter Summand sein!) 3.6 Definition - Produkt und äußere direkte Summe Seien M i Moduln für jedes i I, I Indexmenge. Dann nennt man M i = {(x i ) x i M i } das Produkt der M i, welches selbst wieder ein Modul ist. M i = {(x i ) x i M i, fast alle x i = 0} ist ein Untermodul von M i und wird die (äußere) direkte Summe der Moduln M i genannt. Es gilt offenbar M i = M i genau dann, wenn M i 0 nur für endlich viele i I gilt. Also gilt insbesondere M N = M N für Moduln M und N. Für jedes i I hat man kanonische Injektionen j i : M i M i, bzw. j i : M i M i, sowie kanonische Projektionen p i : M i M i, bzw. p i : M i M i. 3.7 Satz - Universelle Eigenschaft der direkten Summe Für jedes i I, I Indexmenge, sei f i : M N ein Homomorphismus von Moduln. Dann gibt es genau einen Homomorphismus von Moduln f : M i N mit f j i = f i i I. Man schreibt auch f = f i. Beweis. Definiere f durch f((x i ) i ) := f i (x i ) (x i ) i M i. Da fast alle x i = 0 sind, wird nur über endlich viele Summanden summiert. Hierdurch wird ein Homomorphismus mit den gewünschten Eigenschaften definiert. Aus der Eigenschaft f j i = f i i I folgt (zusammen mit der Homomorphieeigenschaft), dass man f auch genau so definieren muss. 3.8 Satz - Universelle Eigenschaft des Produkts Sei für jedes i I ein Homomorphismus g i : M N i von Moduln gegeben. Dann gibt es genau einen Homomorphismus von Moduln g : M M i mit p i g = g i i I. Beweis. Man definiert g durch g(x) = (g i (x)) für jedes x M. 12

Direkte Summen und Produkte 3.9 Definition - exakt Eine Folge K Kern(g) = Bild(f) gilt. f L g M von zwei Homomorphismen heißt exakt (in L), falls Eine (endliche oder unendliche) Folge von Homomorphismen heißt exakt, falls sie exakt in jedem M i ist. f i 1 f i f i+1... M i 1 M i Mi+1 M i+2... 3.10 Beispiele 0 M 0 ist exakt genau dann, wenn M = 0 gilt. 0 M M f N ist exakt genau dann, wenn f ein Monomorphismus ist. g N 0 ist exakt genau dann, wenn g ein Epimorphismus ist. 0 M f N 0 ist exakt genau dann, wenn f ein Isomorphismus ist. Eine exakte Folge der Form 0 M f N g L 0 nennt man auch kurze exakte Folge. Dies ist gleichbedeutend mit: f ist Monomorphismus, g ist Epimorphismus und g induziert N/f(M) L. Insbesondere gilt: Ist K ein Untermodul von M, so hat man folgende kurze exakte Folge: 0 K g M π M/K 0. 3.11 Definition - aufspaltend Eine kurze exakte Folge 0 M f N äquivalente Bedingungen erfüllt sind: 1. s Hom(L, N) mit g s = 1 L g L 0 heißt aufspaltend, wenn folgende 2. r Hom(N, M) mit r f = 1 M 3. Man hat folgendes Diagramm exakter Folgen: 0 M f N g L 0 h 0 M i M L p L 0 13

Direkte Summen und Produkte 3.12 Definition - Erzeugendensystem, endlich erzeugt, Basis Sei M ein A-Modul. Eine Familie (x i ) von Elementen in M heißt Erzeugendensystem von M, wenn M = Ax i gilt. Besitzt M ein endliches Erzeugendensystem, so heißt M endlich erzeugtes Modul. Außerdem nennt man das System (x i ) frei, wenn aus einer Darstellung a i x i = 0 mit Koeffizienten a i A schon a i = 0 für alle i I folgt. Ein freies Erzeugendensystem wird auch Basis genannt. Jedes x M hat dann eine Darstellung der Form x = a i x i mit eindeutig bestimmten Koeffizienten a i A. Dann heißt M ein freier A-Modul. 3.13 Beispiel A n ist ein freier A-Modul, für ein n N. Ebenso ist A (I) ein freier A-Modul für eine beliebige Indexmenge I. 3.14 Bemerkung Falls man statt einem Ring A einen Körper K betrachtet, so geht die Theorie der A-Moduln über in die Theorie der K-Vektorräume. Man kann auch weitgehend genauso in einem Modul M über einem Ring A rechnen, wie in Vektorräumen über Körpern. Jedoch mit der Ausnahme, dass aus der Gleichung ax = 0 für a A, x M nicht a = 0 oder x = 0 geschlossen werden kann, da es zu a 0 nicht unbedingt ein inverses Element gibt. Daher besitzt auch nicht jeder Modul über einem Ring eine Basis, wie es jedoch bei jedem Vektorraum über einem Körper der Fall ist. 14