Fiazmathematik für HAK Dr.Mafred Gurter 2008. Kapitalverzisug bei der Bak mit lieare (eifache) Zise währed des Jahres Beispiel : Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% für 250 Tage verzist. Wie viel bekommt ma am Ede samt Zise? Lösug: Die Zise Z werde so berechet: Z = K 0 p/0 Tage/30 = 3000 5/0 250/30 = 4,7 Das Edkapital am Ede des Jahres beträgt da K = K 0 + Z = 34,7 Kurzformel für eifache Verzisug: K E = K 0 (+ p/0*d/30) mit d = Tage 2. Kapitalverzisug mehrjährig (theoretisch) mit expoetiellem Ziseszis Beispiel 2: Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% verzist. Wie viel bekommt ma am Ede eies Jahres samt Zise? Lösug: Die Zise Z werde so berechet: Z = K 0 p/0 = 3000 5/0 = 50. Das Edkapital am Ede des Jahres beträgt da K = K 0 + Z = 350 Wie geht es ohe Zwischeschritt? K = K 0 + K 0 p/0 = K 0 ( + p/0) = K 0 (+i) K = 3000 (+5/0) = 3000,05 = 350 ud damit sid wir für die Turbospeed-Berechug vo Kapitalie ud Zise ud Ziseszise bereit! Beispiel 3: Ei Kapital vo 3000 soll 4 Jahre mit 5% Zise verzist werde. Wie viel ist der Edbetrag? Lösug: Mit der lagsame Methode müsste ma jedes Jahr die Zise bereche ud da dazu schlage, mit der TUBO-Methode geht es scheller: Für jedes Jahr muss ma mit (+i) = (+p/0) multipliziere, so dass sich ach 4 Jahre ergibt: K 4 = K 0 (+i) 4 = 3000 (+5/0) 4 = 3000,05 4 = 34,52 K = K 0 (+p/0) = K 0 (+i) Beispiel 4:.Umkehraufgabe: Welches Kapital muss ich heute alege, um 20 000 ach Jahre bei 3% Verzisug zu bekomme? Lösug: Wir köe die Formel zuerst durch dividiere durch (+i) umforme: K 0 = K / (+i) = 20 000 /,03 = 488,88 Fiazmathematik
Dr.Mafred Gurter 2008 Beispiel 5: 2.Umkehraufgabe: Bei welchem Zissatz wurde ei Kapital vo 4500 agelegt, we es i 5 Jahre auf 5344,59 agewachse ist? Lösug: Jetzt probiere wir das Eisetze i die Formel ohe vorheriges Umforme: K = K 0 (+i) 5344,59 = 4500 (+i) 5 : 4500,879 = (+i) 5 5.Wurzel ziehe (+i) = 5, 879 =,035 +p/0 =,035 p=3,5% Beispiel : 3.Umkehraufgabe: Wie lage muss ich ei Kapital vo 00 auf der Bak zu 4,5% liege lasse, damit ich 2000 bekomme? Lösug: Hier hilft ur systematisches (biäres) Probiere, we ma de Logarithmus icht ket: 00,045 = 552,97 zu weig 00,045 20 = 24,7 zu viel 00,045 5 = 935,28 etwas zu weig 00,045 = 2022,37 etwas zu viel also müsse wir ca. 5 ½ Jahre warte bis sich das Kapital verdoppelt. Beispiel 7: Welches Edkapital erhält ma i Jahre, we ma heute 3000 eilegt, i 3 Jahre 2000 eilegt ud i 7 Jahre 500 eilegt? (Zissatz 3%) Lösug: Zum bessere Überblick lege wir eie Zeitleiste a: (+i) =,03 Dazu müsse wir eigetlich ur summiere: E = 3000 (+i) + 2000 (+i) 7 + 500 (+i) 3 = = 3594,22 We ma die Kapitalie ohe Zise summiert, erhält ma: 3000+2000+500 = 500, also erhält ma a Ziseszise: 3594,22 500 = 2094,22 3. NUN WID ES ENST MIT DE ENTE: Beispiel 8: eteedwert vorschüssig Wie viel erhält ma ach Jahre, we ma Jahre lag jedes Jahr am Begi (=vorschüssig) 500 auf ei Koto eilegt, das mit 5% verzist wird? Lösug: Diese Problem brigt mich icht aus der uhe, ich zeiche eie Zeitleiste: Also ist der Edwert aller Eilage: E = 500 (+i) + 500 (+i) 9 + 500 (+i) 8 + 500 (+i) 7 +...+500 (+i) also tippe ich sie alle ei ud erhalte: E = 03,39 mit der eteformel ergibt das scheller: E v = (+i),05 = 500,05 = 03,39,05 Fiazmathematik 2
Dr.Mafred Gurter 2008 Beispiel 9: etebarwert achschüssig.umkehraufgabe: Welches Kapital muss ich eilege, um 7 Jahre hidurch jährlich eie ete vo 5000 am Ede des Jahres (=achschüssig) zu bekomme (bei 4% Zise)? Lösug: Jetzt ist die Zeitrichtug umgekehrt: Es iteressiert der BAWET der Auszahluge, d.h. welches K 0 ma eilege muss, um K zu bekomme. B = 5000 5000 5000 5000 + + +... + 2 3 7 ( + i ) Wieder begie wir vo rechts ud erkee eie geometrische eihe mit dem Startwert 5000 ud dem 7 7 5000 ( Faktor +i + i) B = = 30 0,27 B = 7 ohe Zise wäre es 7 5000 = 35000, die ma eizahle müsste Beispiel : eteberechug 2.Umkehraufgabe: Welche ete bekomme ich durch 5 Jahre hidurch jährlich am Ede des Jahres, we ich heute 20 000 gewie ud auf ei Koto lege, das mit % verzist wird? Lösug: Der Barwert ist 20000 ud die Formel ergibt damit: B = 20000 =,0 5 5,0,0 20000,0 (,0 5 5 (,0 ) = = 2059,2 ) Beispiel : Zissatzberechug 3.Umkehraufgabe: Welche Zissatz habe ich bekomme, we ich regelmäßig 500 pro Jahr Jahre lag (am Begi des Jahres) eigezahlt habe ud am Ede 500 bekomme. Lösug: Hier ist wieder die Edwertformel a der eihe: E v = q q q 00 = 500 q 7 = q??? q q Hier muss ma wieder probiere, bis ma 7 erreicht: q q =, q q q q =,05 q q q q =,04 q q = 8,48 - zu groß = 7,4 - zu groß =,89 - zu klei q q =,045 q = 7,02 - fast richtig der Zissatz liegt bei 4,5% q Fiazmathematik 3
Dr.Mafred Gurter 2008 Beispiel 2: Barwert vorschüssig Welche Barwert erhalte ich, we ich regelmäßig 3000 am Jahresbegi eizahle, 7 Jahre lag bei eiem Zissatz vo i = 3,5% Lösug: B v = 3000 =,035 7,035 = 8 985,,035 Beispiel 3: Edwert achschüssig Welche Edwert erhalte ich, we ich regelmäßig 500 am Jahresede auf ei Koto mit i = 2,5% für Jahre lag eilege? Lösug: E = =,025 500 = 50,9,025 Beispiel 4: Zeitdauerberechug ud estrate Wie lage muss ich aspare, um 0 000 zu erhalte, we ich regelmäßig 4000 am Jahresede eizahle (bei i = 4%) ud welche Eizahlug muss ich im letzte Jahr mache, gleichzeitig mit der letzte Eizahlug vo 4000? Lösug: i ( + ) E =,04 0 000 = 4000,04 :3000,04 25 = (,04-),04 =,04 + 2 =,04 log log(2) = log(,04) :log(,04) = 7,7 Jahre Ich spare also 7 Jahre a ud da zahle ich och die estrate gleichzeitig mit der letzte ate: = E 7,04 = 0 000 4000 = 5209,95 + 4000 = 9209,95,04 Oder ich spare 8 Jahre a ud muss im letzte (=8. Jahr) am Jahresede ur mehr zahle: = E 8,04 = 0 000 4000 = 258,5 + 4000 = 48,35,04 Hier sid alle Formel auf eie Blick: B v = B = E v = q E = Fiazmathematik 4
Uterjährige Verzisug: Dr.Mafred Gurter 2008 a) Kapitalverzisug uterjährig We ma icht ur eimal verzist währed des Jahres, so spricht ma vo uterjähriger Verzisug. Dazu brauche wir eue Buchstabe. Sei u j der omielle Jahreszis (z.b.: j = 2% p.a.). So et ma diese Jahreszis bei j halbjähriger Verzisug: j 2 = (j 2 = % p.s.= per Semester) 2 vierteljähriger Verzisug: j 4 = 4 j (j 4 = 3% p.q.= per Quartal) moatlicher Verzisug: j 2 = 2 j (j 2 = % p.m.= per Moat) Die Verzisug vo Kapitel erfolgt wie bei jährlicher Verzisug, ur muss jetzt ierhalb des Jahres mehrmals verzist werde: K = K 0 (+j m ) m = K 0 (+j/m) m m =Azahl der Verzisuge pro Jahr, =Jahre Beispiel 5: omialer Edwert Wie viel erhalte ich bei omialer Verzisug vo 4% p.a. für ei Startkapital vo 00 ach Ablauf eies Jahres mit a) halbjähriger Verzisug j 2 b) vierteljähriger Verzisug j 4 c) moatlicher Verzisug j 2? Lösug: a) j 2 = 4% : 2 = 2% K 2 = K 0 (+j 2 ) 2 = 00,02 2 = 40,40 b) j 4 = 4% : 4 = % K 4 = K 0 (+j 4 ) 4 = 00,0 4 = 40,0 c) j 2 = 4% : 2 = /3 % K 2 = K 0 (+j 2 ) 2 = 00,00333 2 = 40,74 Der Uterschied dieser Verzisuge ist bei 00 och icht wirklich spürbar, bei mehrjähriger Verzisug kommt aber doch ei Uterschied heraus. Damit auch bei uterjähriger Verzisug das gleiche Ergebis erzielt wir, muss ma de äquivalete Zissatz ehme: Beispiel : äquivaleter Zissatz Wie muss der Zissatz sei, damit bei moatlicher Verzisug der gleiche Edwert wie bei jährlicher Verzisug vo 00 ei Jahr lag etsteht (bei i = 4% p.a.)? Lösug: Es muss also gelte: jährliche Verzisug vo 00 ergibt ach eiem Jahr 40 ud es soll mit der moatliche Verzisug der gleiche Wert erzielt werde, also muss gelte: 00*(+i 2 ) 2 = 40 ==> (+i 2 ) 2 =,04 ==> +i 2 = 2,04 =, 00327374 Das heißt, die moatliche Verzisug müsste mit dem Zissatz i 2 = 0,327374 % erfolge (ud icht wie im vorige Beispiel mit 0,333333 % Äquivaleter Zissatz: Der äquivalete Zisfaktor +i erhält folgede Buchstabe als Name ud de Wert: bei gazjähriger Verzisug: +i bei halbjähriger Verzisug: +i 2 = 2 + i bei vierteljähriger Verzisug +i 4 = 4 + i bei moatlicher Verzisug: +i 2 = 2 i + Die Verzisug vo Kapitel erfolgt wie bei der omiale Verzisug: K = K 0 (+i m ) m m...azahl der Verzisuge pro Jahr,... Jahre Fiazmathematik 5
Dr.Mafred Gurter 2008 Beispiel 7: Edwert mit gemischter oder theoretischer Verzisug Auf welche Wert wächst ei Kapital vo 20 000, das 5 Moate lag auf eiem Koto, das mit i=3% p.a. verzist wird, liegt a) bei gemischter Verzisug (Zistermi ach 2 Moate) b) bei theoretischer moatlicher Verzisug mit dem äquivalete Zissatz Lösug: a) Gemischte Verzisug ergibt K = 20 000*(+0,03)*(+0,03*3/2) = 20 754,50 b) Theoretische Verzisug mit dem äquivalete Moatszissatz vo +i 2 = 2,03 =, 002427 ergibt K = 20 000*,002427 5 = 20752,79 Hier ergibt sich ei Uterschied vo,7, da währed des Jahres mit eifache Zise gerechet wird. Für die eterechug ist der Uterschied aber miimal, so dass hier immer mit der theoretische Verzisug gerechet wird. b) Uterjährige eterechug Die eterechug muss hier um die Umrechug des Zissatzes i de äquivalete Zissatz ergäzt werde, da ka ma mit de gleiche Formel wie vorher arbeite we ma icht vergisst, dass jetzt eie eue Bedeutug bekommt: = Azahl der ete (ud icht Jahre!) ud m = Azahl der ate pro Jahr Nachschüssige Formel : E = A B = A A A A = E / A mit A = + i m = m + i Beispiel 8: Edwert ud Barwert achschüssig Welche Edwert ud Barwert hat die etereihe vo 50 pro Moat Eizahlug am Moatsede (achschüssig) auf ei Koto, das mit 3,5% p.a. verzist wird, ach Jahre? Lösug: Hier liegt die achschüssige ( Eizahlug am Moatsede ) Aufgabe vor. Zuerst kommt die Berechug des äquivalete Zissatzes: +i 2 = 2,035 =, 002870899 (STO> A) da kommt mit dem auf A gespeicherte Zissatz ud der Beachtug, dass = 2* = 72 Eizahluge ist: 72 A E = = 50 = 978,23 A Vertraue ist gut Kotrolle ist besser. Ma ka diese echug äherugsweise kotrolliere durch: ete x Azahl x Verzisug währed der halbe Zeit = 50**2*,035 3 = 974,5 Die Barwertberechug erfolgt u durch die Divisio durch de Zisfaktor +i hoch Jahre B = E / (+i) = 978,23 /,035 = 9744,30 Fiazmathematik
Dr.Mafred Gurter 2008 Vorschüssige Formel : E v = A A B v = A A A A = E / A mit A = + i m = m + i Beispiel 9: Edwert ud Barwert vorschüssig Welche Edwert ud Barwert hat die etereihe vo 50 pro Moat Eizahlug am Moatsafag (vorschüssig) auf ei Koto, das mit 3,5% p.a. verzist wird, ach Jahre? Lösug: Hier liegt die vorschüssige ( Eizahlug am Moatsafag ) Aufgabe vor. Zuerst kommt die Berechug des äquivalete Zissatzes: +i 2 = 2,035 =, 002870899 (STO> A) da kommt mit dem auf A gespeicherte Zissatz ud der Beachtug, dass = 2* = 72 Eizahluge ist: 72 A E = = 50 A = 2 02,2 v A Vertraue ist gut Kotrolle ist besser. Ma ka diese echug äherugsweise kotrolliere durch: ete x Azahl x Verzisug währed der halbe Zeit = 50**2*,035 3 = 974,5 Die Barwertberechug erfolgt u durch die Divisio durch de Zisfaktor +i hoch Jahre B = E / (+i) = 2 02,2/,035 = 9772,28 Auch hier ka ma wie vorher die Aufgabestellug umdrehe ud icht ach Edwert oder Barwert frage soder ach ete oder Zeitdauer (ud Schlussrate) oder Zissatz (letzteres ur mit Tascherecher mit solve-fuktio). Beispiel 20: eteberechug We ich 50 000 auf die Bak zu 4% p.a. lege ud moatlich achschüssig davo eie ete durch 2 Jahre lag beziehe möchte wie hoch ist diese ete? Lösug: Hier ist die Barwertformel achschüssig ötig: B = B = 50 000 +i 2 = 2,04 =, 00327374 (STO> A) = 2*2 = 44 44 A 50 000 = 44 A A Das muss umgeformt werde durch Multiplikatio mit A 44 (A ) ud Divisio durch (A 44 ) zu 44 50 000 A ( A ) = = 43,03 44 ( A ) Kotrolle: B 43,03*2*2 /,04 = 49 22,53 50 000 also OK Fiazmathematik 7
Dr.Mafred Gurter 2008 Beispiel 2: etedauer ud estrate Soja hat 40 000 agespart ud will ab sofort (vorschüssig) eie vierteljährliche ete vo 800 bei 4,5% Bakzise beziehe. Wie lage ka sie diese beziehe? Wie groß ist die estrate, ei Quartal ach der letzte Vollrate ausbezahlt? Lösug: zuerst die Umrechug auf de äquivalete Quartalszissatz: +i 4 = 4, 045 =,0499 (STO> A) da die richtige Formel: B v = umgeformt auf ergibt schrittweise: A A A A A B v = = = A A A A A A (A-) :( A) Bv ( A ) = A A - Bv ( A ) = A A (-) Bv ( A ) = A A log B ( ) log v A = log( A) : -log(a) A B v ( A ) log A = log( A) 40 000 ( A ) log 800 A das ergibt eigesetzt: = = 7,999 ete also 7 Vollrate log( A) durch 4 geteilt, sid das rud 8 Jahre (ohe Zise wäre es 40000:800 = 50 ete) Der Barwert der estrate B ist erhältlich, we ma i der Barwertformel das Gleichheitszeiche durch ei Mius ersetzt: 7 A A 800A A B =B v = 40 000 = 35,90 7 A A A A Die estrate soll ei Quartal ach der letzte ate ausbezahlt werde. Die erste ate wird sofort ausbezahlt (vorschüssig), daher wird die 7. ate ach 70 Quartale ausbezahlt ud die estrate ach 7 Quartale. Also muss ma 7 Quartale mit dem Zisfaktor (+i 4 ) = A aufzise: = B (+i 4 ) 7 = 35,90 A 7 = 799,23 Diese Formel sollte ma sich merke: vorschüssig: Bv ( A ) log A = achschüssig: log( A) B ( A ) log = A= +i m. log( A) Fiazmathematik 8
Dr.Mafred Gurter 2008 eteumwadluge Beispiel 22: eteumwadlug i Eimalzahlug Statt eie ete vo 500 moatlich vorschüssig für 8 Jahre hidurch möchte Sadra eie Eimalzahlug 2 Jahre ach Begi der geplate etezahlug (bei i = % p.a.). Wie viel beträgt dieser Eimalbetrag? Lösug: a) Ma ka hier de Edwert der etereihe bereche ud da Jahre rückzise b) oder ma ka de Barwert bereche ud 2 Jahre aufzise c) oder ma ka de Edwert der erste 2 Jahre ud de Barwert der letzte Jahre bereche ud addiere. Hier soll die Methode a) gezeigt werde: zuerst die Berechug des äquivalete Zissatzes: A = +i 2 = 2, 0 =,0048755 E v = (+i) 8 2 A = 500 A = 297,3 A Barwert vor Jahre = 297,3 /,0 = 43 22,4 Beispiel 23: eteumwadlug i aschließede ete Herbert spart jährlich 500 achschüssig für 20 Jahre lag bei i=3,5% p.a. bei eier Bak, um da aschließed jährlich achschüssig für Jahre lag eie ete ausbezahlt zu bekomme wie hoch wird dieser etebetrag sei? Lösug: Da der Aschluss der Auszahluge a die Eizahluge sofort erfolgt, ka ma sage, dass der Edwert der erste etereihe gleich dem Barwert der 2.etereihe ist: E = 4249,52 = 20,035 = 500 = 4249,52 = B =,035,035,035,035 = 4249,52,035 (,035 (,035 ) = 50,58 ) Fiazmathematik 9
Dr.Mafred Gurter 2008 Beispiel 24: eteumwadlug mit Uterbrechug Barbara soll als Studieuterstützug eie regelmäßige Zahlug vo 500 achschüssig pro Moat, Jahre lag, i Jahre bekomme. Wie viel muss ma ab heute jährlich für 8 Jahre achschüssig eilege? (i=2,5% p.a.) Lösug: Hier habe wir eie Lücke zwische Eizahlug ud Auszahlug! Ma muss zuerst de Barwert der 2.Auszahlugsreihe bereche, da 2 Jahre rückzise, das ergibt de Edwert der.eizahlugsreihe ud davo de atebetrag bereche: Zuerst die Berechug des Zisfaktors A = +i 2 = 2, 025 =,00205983, da Barwert 2 500 A B 2 = = = 33 425,75 2 A A u erfolgt die ückzisug: E = B 2 :,0252 = 33 425,75 :,025 2 = 3 85, ud u kommt die jährliche eteberechug : E = 8,025 3 85, (,025 ) 3 85, = = = 34,79,025 (,025 8 ) Beispiel 25: eteumwadlug i adere ete Statt ab sofort eie vorschüssige ete vo 00 pro Semester für Jahre zu bekomme will obert eie ete pro Quartal für 8 Jahre, begied i 3 Jahre (vorschüssig). Wie hoch wird die ete sei bei i=4%? Lösug: Hier wird der Barwert der erste ete um 3 Jahre verschobe ud die Laufzeit ist auch aders! Zisfaktorberechug: A = +i 2 =, 04 =,09803903 2 00 A B v = = = 85,2 A A Diese Barwert muss ma 3 Jahre aufzise, da wird daraus der eue Barwert B v2 : B v2 = 85,2,04 3 = 334,80 ud damit lässt sich die eue ete bereche: zuerst wieder der Zisfaktor, da jetzt Quartale berechet werde: A = +i 2 = 4, 04 =,009853407 B v2 = 2 3 34,80 = 3 3 34,80 A ( A ) 2 = = 483,5 32 ( A ) A 2 3 32 A A Fiazmathematik
Dr.Mafred Gurter 2008 Kreditabbrüche ud Umwadluge Beispiel 2: eimalige estzahlug (estschuldberechug) Ei Kredit vo 20 000 wird über Jahre lag durch eie jährliche achschüssige ate zurückgezahlt. (Zissatz i = 8% p.a.) Wie groß ist diese ate? Der Kreditehmer hat ach 2 Jahre plötzlich viel Geld ud ka de Kredit auszahle. Wie viel müsste er für die estschuld zahle? Lösug: Hier müsse wir die Barwertformel für achschüssige Zahlug ehme:,08 B = 20 000 =,08,08 20 000,08 (,08 ) = = 2980,59 (,08 ) Die estschuld ach 2 Jahre ka u folgedermaße berechet werde: Die Kreditschuld wird 2 Jahre aufgezist: 20 000,08 2 = 23 328 ud der Edwert der atezahlug über 2 Jahre wird berechet: E = 2,08 = 2980,59 = 99,3,08 Ud da wird die estschuld als Differez der aufgeziste Schuld ud dem Edwert berechet zu: S = 23328 99,3 = 7 28,37 Es geht auch scheller: Ma ka de Barwert der icht gezahlte Beiträge bereche: 8 2980,59,08 B = = 8 =7 28,37,08,08 Beispiel 27: ateäderug Zeitdauerberechug ud estrateberechug Ei Kredit vo 20 000 wird über Jahre lag jährlich durch eie achschüssige ate vo = 2980,59 zurückgezahlt (bei i = 8% p.a.). Nach Ablauf vo 2 Jahre soll die ate auf 3800 erhöht werde. Wie groß ist da die ückzahlugsdauer ud wie hoch ist die estrate ei Jahr ach der letzte Vollrate? Lösug: Wie im vorige Beispiel scho berechet, ist die estschuld ach 2 Jahre: S = 7 28,37 Jetzt ka eie Laufzeitberechug erfolge: B ( A ) 728,37 (,08 ) log log = 3800 = = 5,8 Epoche, also 5 Vollrate ud eie log( A) log(,08) estrate, die wir folgedermaße bereche: Barwert: 5 3800,08 B = B = 728,37 = 95,07 5,08,08 Der Edwert Jahre später ergibt sich zu: = 95,07,08 = 34,04 Fiazmathematik
Dr.Mafred Gurter 2008 Beispiel 28: Uterbrechug mit ateberechug Die Schuld vo 35 000 soll i 5 Jahre abgetrage werde mit eier jährliche achschüssige ate bei i = 7%. a) Wie hoch ist die ate? b) Nach 7 Jahre ka der Kreditehmer die ate für 2 Jahre icht zahle. Da will er die Zahlug mit erhöhte ate wieder aufehme, um i der vorgesehee Zeit damit fertig zu werde. Lösug: 5,07 a) ateberechug: B = 35 000 = = 3842,8 5,07,07 b) estschuldberechug ach 7 Jahre = 8 verbliebee Jahre: 8 3842,8,07 S = B = = = 22 94,58 8,07,07 2 Jahre aufzise (weil Pause): 22 94,58,072 2 = 2 27,53 8,07 eue ateberechug: B = 2 27,53 = = 55, 8,07,07 Beispiel 29: Zisäderug Ei Kredit vo 000 soll auf 5 Jahre durch moatliche vorschüssige ate zurückgezahlt werde (bei i=%) a) Wie groß ist die ate? b) Nach 2 Jahre wird der Zissatz auf i=7% erhöht. Wie groß ist u die ate bei gleich bleibeder estdauer? Lösug: a) ateberechug: zuerst muss A=+i 2 berechet werde: A= 2, 0 =,0048755 da kommt die Barwertformel: 0 59 A 000 A ( A ) B v = 000 = = = 9, 59 0 A A ( A ) b) estschuldberechug ach 2 Jahre = 3 verbliebee Jahre = 3 Moate: 3 9, A S = = = 345,74 35 A A eue ateberechug ach Zisäderug: A = +i 2 = 2, 07 =,0055445 B v = 345,74 = A 35 3 A = A 35 345,74 A ( A ) = 94,22 3 ( A ) Fiazmathematik 2
Dr.Mafred Gurter 2008 Ivestitiosbewertug mit der Kapitalwertmethode Beispiel 30: Kapitalwertmethode Zwei Ivestitiosobjekte solle vergliche werde. A) liefert jährlich achschüssig 3000 durch Jahre ud ka heute mit 5 000 erworbe werde B) liefert am Ede des erste Jahres 4000, am Ede des 2. Jahres 3000, am Ede des dritte Jahres 5000, am Ede des.jahres 8000. Es ka um 5 000 erworbe werde. Welches Objekt liefert mehr Kapitalwert, we als Zis i=5% ageomme wird? Lösug: A) ist eifach eie Barwertberechug für die regelmäßige Zahlug: 3000,05 B = = = 5 227,08,05,05 Vo diesem ückfluss muss ich mei eigesetztes Kapital vo 5 000 abziehe ud erhalte als Überschuss: 227,08 B) Ist eie Kapitalrückzisug: K 0 = 4000/,05 + 3000/,05 2 + 5000/,05 3 + 8000/,05 8 = 24,52 Vo diesem ückfluss muss ich mei eigesetztes Kapital vo 5 000 abziehe ud erhalte als Überschuss: 24,52 also werde ich die 2. Ivestitio wähle Diskot ud atizipativer Zissatz Beispiel 3: Diskot ud atizipativer Zissatz Ei Kapital vo 8000 soll mit dem Diskotsatz vo d = 3% über 5 Jahre verzist werde. Wie groß ist das Edkapital? Lösug: Der Diskot ist ei verkehrter Zis, der bei Wechselgeschäfte verlagt wird. Er wird vom Edwert des Wechsels rückbezoge. Dabei gilt, dass der äquivalete (dekursive) Zissatz sich berechet mit: + i = = =,030927835 ud ist immer höher als der ormale d 0,03 Zissatz. Damit wird user Edkapital: K = K 0 (+i) = 8000,030927835 5 = 93,04 Fiazmathematik 3