Praktikum Einführung in die Materiawissenschaften I Temperaturabhängigkeit der eektrischen Leitfähigkeit von Metaen und Habeitern 1. November 7 Versuchsbetreuer: ndré Wachau Gruppe 8 Gruppenmitgieder: nja Habereder Jonathan Griebe ndreas Hanauer
1 Grundagen 1.1 Physikaische Grundagen 1.1.1 Leitfähigkeit Der eektrischen Leitung iegt die ewegung von Ladungsträgern im E-Fed zugrunde. Die ewegichkeit der Ladungsträger µ fogendermaßen beschrieben, wobei τ die mittere Zeit zwischen zwei Stößen ist. eτ µ = (1) m e Je höher die Ladungsträgerkonzentration und je größer die ewegichkeit der Ladungsträger ist, desto höher ist die spezifische eektrische Leitfähigkeit σ. σ = e n µ () us der eektrischen Leitfähigkeit ergibt sich der spezifische eektrische Widerstand ρ. σ = ρ 1 (3) uf die ewegichkeit der Ladungsträger µ nimmt die nzah der Stoßpartner Einfuss. Diese können tomrümpfe, Leersteen, Fremdatome und Phononen (Gitterschwingungen eines Festkörpers) sein. Die nzah der Phononen ist proportiona abhängig von der Temperatur. ρ ph (T)~T (4) Der eitrag der Störsteen (positive tomrümpfe, Fremdatome) zum spezifischen eektrischen Widerstand ist nicht temperaturabhängig und ist daher konstant. ρ st (T) = const. (5) Die Matthiesen sche Rege fasst den eektrischen Widerstand zusammen. ρ ges = ρ st + ρ ph (6) us den Geichungen (4), (5) und (6) fogt die ineare Temperaturabhängigkeit des gesamt spezifischen Widerstands mit dem ineare Widerstandskoeffizienten α. ρ(t)= ρ (1 + αt) (7) 1
1.1. Das ändermode Im tom können Eektronen nur ganz bestimmte Energieniveaus besetzten, die Orbitae. Im ekü kommt es zur Wechsewirkung der Orbitae, sie überappen sich und spaten sich in bindende und antibindende Zustände auf. Je mehr tome zu einem Festkörper zusammentreten, desto mehr Zustände kommen gemäß der tomanzah n hinzu. Diese Zustände iegen so dicht zusammen, dass von einem and gesprochen wird. In den ändern gehen die Energieniveaus quasi kontinuierich ineinander über. ei der esetzung der einzenen Zustände git das Paui Prinzip. In vo besetzten ändern können sich die Eektronen nicht frei bewegen und deshab nicht zur eektrischen Leitung beitragen. In ändern, die nicht vo besetzt sind, können die Eektronen in höhere Niveaus angeregt bzw. in freie Zustände gestreut werden. Sie sind nun frei bewegich und können zur eektrischen Leitung beitragen. Das and der Vaenzeektronen heißt Vaenzband. Ist das Vaenzband im Grundzustand vo besetzt, so heißt das nächst höhere and Leitungsband. Für die Lage des Leitungsbandes bezügich des Vaenzbandes gibt es drei Mögichkeiten. Die änder können überappen, was zur Foge hat, dass sich Vaenzeektronen im Leitungsband befinden. Die andücke E g zwischen Vaenzund Leitungsband kann reativ kein (< 3 ev) bzw. reativ groß (> 3 ev) sein. Ist das Vaenzband vo, so können Eektronen durch Energieaufnahme in das Leitungsband gestreut werden. ufgrund der andstruktur unterscheidet man die Materiaien nach: Isoatoren: Das Vaenzband ist kompett gefüt und die andücke ist besonders groß (E g > 3 ev). Sie besitzen so gut wie keine eektrische Leitfähigkeit. Leiter: Das Vaenzband ist nur teiweise gefüt oder das Vaenzband ist vo überappt sich aber mit dem Leitungsband. Diese Stoffe eiten den eektrischen Strom gut. Habeiter: Das Vaenz und Leitungsband iegen zwar auseinander aber mithife von Energie (E g < 3 ev) können die Eektronen in das Leitungsband angeregt werden.
1. Grundagen zur erechnung der andücke Die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit bei Habeitern wird durch den otzmannterm beschrieben. Dieser beschreibt die Wahrscheinichkeit, dass ein Eektron aufgrund der thermischen Energie die andücke überwinden kann. Die nzah der Ladungsträger wird in Geichung (8) beschrieben. n EG k T = n e (8) Da die potentiee bhängigkeit der ewegichkeit gegenüber der exponentieen bhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration von der Temperatur vernachässigt werden kann fogt für die eektrische Leitfähigkeit: ( T) = σ e EG k T σ (9) Durch ogarithmieren von Geichung (9) ergibt sich Geichung (1). nhand der Steigung der Regressionsgeraden in der uftragung von n(σ) über 1/T resutiert die andücke E G. 1.3 4-Punkt Messung EG 1 n( σ ) = n( σ ) (1) k T n der zu untersuchenden Probe werden inear 4 Kontakte angebracht. n den äußeren Kontakten wird der Strom aufgeprägt und an den inneren die Spannung gemessen. Da in der inneren Masche aufgrund des hohen Innenwiderstandes des Votmeters nahezu kein Strom fießt, kann in ihr auch keine Spannung abfaen. Der aufgeprägte Strom I entspricht I Probe und die gemessene Spannung Mess die der Probe Probe. Dadurch ist der Widerstand der Kontakte nicht mehr reevant. Nach dem Ohmschen Gesetz = R I (11) und unter erücksichtigung der Probengeometrie geangt man zu fogender Forme für den spezifischen Widerstand: Mess ρ = π w (1) n I 3
edingung für die nwendbarkeit der Forme ist, dass der bstand der Kontakte kein gegenüber der Probenbreite ist. Durchführung uf Grundage der 4-Punkt-Methode wurde nacheinander die eektrische Leitfähigkeit von ybdän und Germanium in bhängigkeit von der Temperatur gemessen. Hierzu wurde zunächst eine ybdänprobe mit einer Schichtdicke w von µm auf eine Heizpatte geegt. Von oben mündeten in einer Reihe vier Godnaden in geichem bstand s auf die Probe. n den beiden äußeren Naden wurde ein konstanter Strom I = (199,8 ±,1) m eingeprägt. Zwischen den zwei inneren Naden wurde die Spannung gemessen. Zwischen die Haterung der Naden und der Heizpatte wurde ein Thermoeement eingespannt, mit wechem die tatsächiche Temperatur der Heizpatte gemessen wurde. Zum ufheizen wurde die Heizpatte auf ca. 15 C eingestet und während des ufheizprozesses im bstand von 1 C die Spannung abgeesen. Die usgangstemperatur betrug 7 C, der höchste Wert 147 C. Während des bkühens wurde die Spannung im bstand von 5 C gemessen, bis eine Temperatur von 57 C erreicht war. Für die Messung der eektrischen Leitfähigkeit von Germanium wurde ein uminiumkörper zwischen die Heizpatte und die Germaniumprobe (w = 15 µm) eingefügt, um einen gemäßigten Temperaturanstieg verzeichnen zu können. Das Thermoeement wurde hier zwischen die Haterungsvorrichtung der Naden und dem uminiumkörper eingebaut. Der angeegte Strom I betrug 5,8 ±,1 m. Die usgangstemperatur ag bei 8 C. is zu einer Maximatemperatur von 5 C wurde in 5 C-Schritten die Spannung abgeesen. 3 uswertung 3.1 estimmung des inearen Widerstandskoeffizienten von ybdän Zur estimmung des inearen Widerstandskoeffizienten von ybdän wird ausgehend von G. (7) in einem Diagramm (siehe bb. 1) der spezifische Widerstand ρ über der Temperatur T aufgetragen und mit Hife einer Regressionsgeraden die Steigung αρ und der Ordinatenabschnitt ρ ermittet 1. nschießend wird über den Quotienten der beiden Werte α ausgerechnet. 1 Mit Hife eines Tabeenkakuationsprogrammes 4
Tabee 1 - Messwerte für ybdän αρ [ΩmK -1 ] ρ [Ωm] α [K -1 ] ufwärmen 9,347E-1 4,81E-8,194 bkühen 9,87E-1 4,481E-8,1 3. estimmung der andücke Germaniums Mit Hife von G. (9) für die eektrische Leitfähigkeit kann die andücke Germaniums durch Logarithmieren und uftragen von n(σ) über den Kehrwert der Temperatur (s. bb.) bestimmt werden Ε G kβ Τ σ = σ e (13) mformen (ogarithmieren mit n): E 1 n( σ ) = G + n(σ ) (14) k T Β E G Die Steigung der resutierenden Regressionsgeraden entspricht k, n(σ ) entspricht dem Ordinatenabschnitt. eide Werte werden durch estimmen und uswerten der Regressionsgeraden im Diagramm (bb.) ermittet. E k G = 4175 K n(σ ) = 14,75 us (15) fogt für die andücke: E G = - k 4175K = 1,15 1-19 5
4 Diskussion Literaturwerte: Temperaturkoeffizient α =,435 K -1 von -1 C für ybdän andücke E G =,67eV bei 3K für Germanium Der von uns ermittete Wert für den Widerstandskoeffizienten von ybdän ist deutich größer as der Literaturwert (ca. um das Fünffache). Ein Grund hierfür könnte sein, dass die Probe beim ufheizen bzw. beim bkühen nicht genau die Temperatur hatte die abgeesen wurde da die Temperatur nicht direkt auf der Probe gemessen wurde. Des Weiteren könnte die bweichung auch an Inhomogenitäten in der Schichtdicke unserer Probe iegen. Diese nimmt Geichung (1) direkt Einfuss auf die Gerade im Diagramm. Das heißt, wenn die Schichtdicke größer wird, wird der spez. Widerstand größer und somit auch ρ durch die Paraeverschiebung der Geraden im Diagramm da ρ der Ordinatenabschnitt ist. Der Temperaturkoeffizient wird über die Steigung der Regressionsgeraden geteit durch ρ bestimmt. Fogich erhät man mit größerer Schichtdicke einen keineren Temperaturkoeffizienten α. Der von uns ermittete Wert für die andücke von Germanium iegt Nahe am Literaturwert und kann aufgrund aufgetretener Messungenauigkeiten wie oben bereits erwähnt (Temperaturübereinstimmung Probe zur angezeigten Temperatur am Thermoeement nicht korrekt) oder durch minimae bweichungen in der Schichtdicke unserer Probe, as annähernd korrekt ermittet angesehen werden. us: H.Kuching, Taschenbuch der Physik, Fachbuchverag Leipzig, 1 6
bbidung 1 - uftragung des spezifischen Widerstandes ρ über die Temperatur T für bbidung - rrheniuspot, uftragen von n(σ) gegen den Kehrwert der Temperatur 1/T für Ge 7
5 ufgaben 5.1 Meta 5.1.1 ufgabe 1 nsatz: Da P = I und = R I fogt durch einsetzten P = R I us T ( I) = m I + q fogt I T q = () m nd aus ρ = R fogt R = ρ () durch einsetzten von R und I in P = R I fogt P = ρ T q ( ) m 1 8 us (3) fogt mit den Werten α =,1K und ρ = 4,48 1 Ωm 7 ρ (773,15 K) = 7,6 1 Ωm Mit den Werten =, 6m ; 4 = π ( 1,5 1 m) ; T 773, 15 K = ; q = 45, 41K ; m = 5, 79 K erhät man für P = 1,6 W 5.1. ufgabe us = R I und Geichung (3) fogt mit () und (): T 1 m q + ( q) T ( + ) = α α ρ α o us der p-q Forme und mit den Werten 8
=, 6m ; 4 = π ( 1,5 1 m) ; T 773, 15 K 1 8 α =,1K ; = 4,48 Ωm = ; q = 45, 41K ; ρ 1 und = 1 V ergibt sich für T: K m = 5, 79 ; Tmax = 84,76 K Der zweite Wert für T aus der p-q Forme beträgt -645,66 Kevin. Da die Temperatur in Kevin aber nicht negativ werden kann ist der Wert unbrauchbar. Der Draht und das Netztei sind für das Verdampfen von Cacium geeignet. 5. Habeiter 5..1 ufgabe 3 us = R I und ρ( T ) = σ e 1 Ε G kβ Τ mit den Werten: 14,75 1 = 1,15 1 J ; σ = e Ωm ; T = 96, 15 K fogt E G 19 o ρ (96,15 K) Ge =, 519 Ωm In einer Reihenschatung ist der Strom an aen Widerständen geich groß, aso I. I = R + R Ge I = ( ρ + ρ Ge ) mit 7 = 1V und ρ (96,15 K) = 3,19 1 Ωm Daraus ergibt sich für I = 1,58 1 7 In einer Paraeschatung sind die abfaenden Spannungen geich groß. 9
us ufgabe 1 fogt I = ρ Mit = 1V und ρ (96,15 K) = 3,19 1 7 Ωm fogt I =,56 I Ge = 1,57 * 1 7 I = I + I Ge =,56 I I 5.. ufgabe 4 Reihenschatung: R = 3,9 Ω R = ρ R Ge = 6343788,7 Ω 6,34 MΩ R Ge = ρ R ges = R + R Ge = 634379,6 Ω 6,34 MΩ Ge R ges R Ge Der Widerstand von Germanium ist um mehrere Größenordnungen höher as der von ybdän. Das Germanium beeinfusst den Gesamtwiderstand am meisten. (R ges R Ge ) Paraeschatung: 1 1 R =,56 Ω 1 7 1 = 1, 58 1 Ω R Ge R 1 1 1 1 ges = R + R Ge =,56 Ω R ges = 3,96 Ω R ges R Der Widerstand von Germanium ist um mehrere Größenordnungen höher as der von ybdän. so ist der Kehrwert keiner. Das ybdän beeinfusst den Gesamtwiderstand am meisten. (R ges R ) 1