Vektorgeometrie Ebenen 1

Vektorgeometrie Ebenen 1 Parametergleichung von Ebenen Punkte und Geraden in Ebenen. Spezielle Lagen von Punkten in Bezug auf ein Parallelogramm oder Dreieck. Datei Nr. 63021 Stand 1. Juli 2009 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Didaktisches Vorwort für Lehrer Die Einführung der Gleichung einer Ebene stellt kein großes Problem dar. Auf den folgenden Seiten ist eine Beispielversion aufgezeigt. Ich zeige jedoch hier noch eine didaktische Methode, die mir persönlich noch nicht in der Literatur begegnet ist. Dies ist die Einführung von ebenen-internen Koordinaten, die ich so schreibe P rs. Ein Punkt in der Ebene hat diese Koordinaten, wenn der Pfeil vom Aufpunkt A aus r zu P durch die Linearkombination AP = ru + sv = s dargestellt werden kann. Dies entspricht den übliche ( xy ) Koordinaten in der zweidimensionalen Zeichenebene. Damit lassen sich Geradengleichungen wie y = x, y = 1 - x usw. in die Ebene übernehmen und dort in dreidimensionale Vektorkoordinaten umrechnen. Auf verblüffend einfache Weise kann man so die Lage von Punkten innerhalb der Ebene, z.b. hinsichtlich eines Parallelogramms oder Dreiecks ermitteln. Doch lesen Sie selbst. Von erneuter Bedeutung wird dies wieder beim Schnitt von Ebenen einige Dateien später..., einfach immer dann, wenn eine Gerade in einer Ebene liegt!

63021 Ebenen 1 1 1. Erreichbarkeit von Punkten auf einer Ebene A a v u O x s Eine Ebene ist ein zweidimensionaler affiner Raum, d.h. die Vektoren innerhalb der Ebene beziehen sich auf zwei Basisvektoren u, v. Genau wie bei der Geraden benötigen wir einen Aufpunkt A, um vom Ursprung erst einmal auf die Ebene zu kommen. Von dort aus benutzen wir das ebenen-interne Koordinatensystem, das durch u, v installiert wird: In der Abbildung ist AP = u + 2v = 2. also hat P innerhalb dieser Ebene die Koordinaten P[ 2 ], nennen wir sie doch Ebenenkoordinaten. Die Ebene enthält auch die r-achse und die s-achse, ganz analog zu dem, was wir in der üblichen Zeichenebene als x-achse und y-achse kennen. Vom Aufpunkt A aus hat ein Punkt P der Ebene 2 Ebenenkoordinaten : P r s, und das heißt, dass AP = ru + sv ist [ ] Nun ist aber die Ebene Teil des Raumes und somit eingebettet in das räumliche, nunmehr dreidimensionale Koordinatensystem. In ihm hat jeder Punkt und jeder Vektor 3 Koordinaten und dies wenden wir nun so an: Die Berechnung von Punkten geschieht im affinen Raum stets durch die Ortsvektoren der Punkte. Also können wir nie Punkte berechnen, sondern immer nur ihre Ortsvektoren x = OP. Und dies geschieht durch die einfache Vektorsumme: x = OP = OA + AP. Wenn P in der Ebene E mit den Basisvektoren u, v liegt, dann können wir diese Berechnungsvorschrift so schreiben: x = OA + AP = a+ ru+ sv x=a+ru+sv Diese Berechnungsvorschrift für Ebenenpunkte nennt man eine Ebenengleichung. Sie enthält den Ortsvektor eines Aufpunktes (genannt Stützvektor) und zwei linear unabhängige (Basis-)Vektoren der Ebene, man nennt sie auch die Richtungsvektoren der Ebene. r P E

63021 Ebenen 1 2 Die Ebenen-eigenen Koorinaten P 2 wurden deshalb in eckige Klammern gesetzt, um anzudeuten, dass es nicht die wirklichen Koordinaten sind. Es ist wie in einer Pension: Die Zimmernummer 2 bedeutet. Stock, 2. Zimmer. Aber damit ist ja über die Lage des Zimmers in der Straße nichts gesagt. Wir brauchen noch weitere Angaben über Straße und Hausnummer. Die tatsächliche Lage liefert uns das räumliche Koordiunatensystem., und die Richtungsvektoren der Ebene sind durch diese Koordinaten im Raum festgelegt: 1 2 u= 3 und v = 2 1 dann verändert sich unsere Ebenengleichung so: 2 1 2 E: x = 3 + r 3 + s 4 2 1 Nehmen wir an, der Aufpunkt A unserer Ebene ist A ( 23 4) Tja, und unser Punkt P 2 d.h. mit r = und s = 2 erhält diese räumlichen Koordinaten: 2 1 2 2+ + 4 11 x = 3 + 3 + 2 = 3 1+ 10 = 2 P( 11 2 8). 4 2 1 4+ 10+ 2 8 Hier noch eine Abbildung, die ein grau eingefärbtes Ebenenstück im 3-dimensionalen Achsenkreuz zeigt. Da der Ursprung verdeckt wird, sieht man auch nicht den Ortsvektor des Punktes A. z oder x 3 v A u P y oder x 2 x oder x 1

63021 Ebenen 1 3 2. Grundaufgaben zur Ebenengleichung GA 1: Gegeben sind 3 Punkte einer Ebene E. Stelle die Gleichung der Ebene auf. 1. Methode: Vektoriell Beispiel: Gegeben sind: A ( 403,B1 ) ( 23) und C31 ( ). 1 4 3 4 1 1 4 AB = 2 0 = 2 ; AC= 3 0 = 3 ; BC= 3 2 = 3 3 0 1 3 2 1 3 2 1. Da AB k AC sind diese Vektoren nicht kollinear, d.h. A,B und C liegen nicht auf einer Geraden sondern bilden ein Dreieck. 2. Jeder der Punkte A, B oder C kann als Aufpunkt gewählt werden. Und in jedem dieser 3 Fälle kann man je zwei der drei Vektoren als Richtungsvektoren auswählen. Das gibt bis jetzt schon 9 Möglichkeiten für die Gleichung von E. Zwei seien angeschrieben: 4 3 1 E: x= 0 + r 2 + s 3 3 0 2 3 4 E: x= 3 + r 2 + s 1 0 2 In der zweiten Gleichung habe ich außerdem vektor verwendet. AB als Richtungs- Wir wollen weiter überlegen und dazu die Abbildung auf Seite 1 betrachten: Dort hatten wir die beiden Basisvektoren u, v für die Ebene verwendet. Nun denken wir uns zwei andere Basisvektoren erzeugt. Etwa d1 = 2u v, d2 = 3u+ 2v. Sie sind linear unabhängig und bilden daher ebenfalls eine Basis für die Ebene. Damit wird klar, dass man ohne Fehler auch beliebige Linearkombinationen z.b. aus AB und AC als Richtungsvektoren verwenden könnte, vorausgesetzt sie sind linear unabhängig. Damit wird eine Vermutung zur Gewissheit: Es kann beliebige viele Gleichungen einer Ebene geben. Und man sieht es ihnen nicht an, dass sie dieselbe Ebene darstellen. Denken Sie immer daran, woher das kommt: Eine Ebenengleichung ist ja nichts anderes als eine Berechnungsvorschrift für die Ortsvektoren der Ebenenpunkte. Und dabei kann man von jedem beliebigen Aufpunkt der Ebene ausgehen, und man kann beliebige Achsen in der Ebene wählen (d.h. Basisvektoren u, v ). Es ist unbedingt wichtig, dass dieses Verständnis vorhanden ist. Raumgeometrie ohne Verständnis ist ein Irrgarten!

63021 Ebenen 1 4 Grundlage: 2. Methode: Nicht-Vektoriell Eine Ebene kann auch durch eine solche Gleichung dargestellt werden: (Dies wird in 63022 gezeigt.) Man nennt sie die Koordinatengleichung: ax + by + cz = d Diese Gleichung hat 4 unbekannte Koeffizienten. Um sie zu bestimmen würde man eigentlich 4 Gleichungen benötigen, die man erhält, wenn man 4 Punkte einsetzt. Eine Ebene kann jedoch bereits durch 3 Punkte festgelegt werden. Daher muss man mit folgendem Trick arbeiten: Wenn die Ebene nicht durch den Ursprung geht, ist d 0. Dann kann man durch d dividieren und erhält: a b c x+ y+ z= 1 d d d Die Brüche ersetzt man durch r, s und t: ry + sy + tz = 1 Dann setzt man die drei Punkte ein: A ( 403,B1 ) ( 23 ) und C31 ( ) A eingesetzt ergibt: 4r + 0s + 3t = 1 (1) B eingesetzt ergibt: r 2s+ 3t = 1 (2) C eingesetzt ergibt: r + 3s + t = 1 (3) Dieses Gleichungssystem löst man durch eine der vielen Methoden. Lösung durch das Eliminationsverfahren: Da in (1) bereits s fehlt, eliminiere ich s auch aus (2) und (3) durch diese 3 2 + 2 3 : 13r + 11t = (4) Rechnung: ( ) ( ) Aus (1) und (4) ermittelt wird nun t eliminiert: 11 ( 1 ): 44r + 33t = 11 () 3 ( 3 ): 39r + 33t = 1 (6) () (6): r = 4 r = 4 r in (1) ergibt t: 16 16 + 3t = 1 3t = 1+ = 21 t = 7 r und t in (2) ergibt s: 4 2s + 21 = 1 2s = 12 6 s = Ergebnis: E: 4 6 7 x+ y+ z= 1 4x + 6y + 7z = Dies ist die sogenannte Koordinatengleichung der Ebene. Sie wird ausführlich im Text 63022 behandelt.

63021 Ebenen 1 Ein weiteres Beispiel zu dieser Methode: Gegeben sind die 3 Punkte: A ( 0 2 1), B6 ( 0), ( ) C1 0 1. Annahme: Die gesuchte Ebene geht nicht durch den Ursprung, dann kann man diesen Gleichungsansatz machen: ry + sy + tz = 1 (*) A eingesetzt: 2s t = 1 (1) B eingesetzt: 6r s = 1 (2) C eingesetzt: r+ t = 1 (3) Methode: Ich stelle (3) nach r um und ersetze damit r in (2): Dann hat die Folgegleichung wie schon (1) die Unbekannten s und t. Aus (3) folgt: r = 1 t (4) In (2): 61 ( t) s= 1 6 6t s= 1 s 6t = ( 1) s + 6t = () 12s 6t = 6 (6) 6 ( 1 ): ()+(6): 17s = 11 s = 11 27 s in (1). 22 22 t = 1 t= 1= 17 17 17 t in (4): r = 1 = 12 17 17 Damit lautet die Ebenengleichung: 12 x+ 11 y+ z= 1 17 17 17 17 bzw. 12x + 11y + z = 17 Sonderfall: Die Ebene geht durch O. Dann führt der Ansatz (*) zu keiner Lösung, denn dann hat die Ebene eine Gleichung der Form: Beispiel zum Üben: A ( 1 1 ), B2 3 12, ( ) C( 1 0 3) ay + by + cz = 0 führen zu E: 3x + 2y z = 0

63021 Ebenen 1 6 GA 2: Gegeben ist eine Ebene E durch ihre Gleichung. Berechne einzelne Ebenenpunkte. Dies ist wohl die leichteste Übung. Hier also die Ebene: 3 1 4 x = 0 + r 2 + s 1 4 3 1 r s Ortsvektoren Punkte 1 0 0 1 1 1 2-1 -12 8 3 1 4 4 x = 0 + 2 + 0 1 = 2 4 3 1 1 3 1 4 7 x = 0 + 0 2 + 1 = 1 4 3 1 3 1 4 8 x = 0 + 2 + 1 = 1 4 3 1 2 3 1 4 1 x = 0 + 2 2 1 = 4 3 1 3 3 1 4 23 x = 0 12 2 + 8 1 = 32 4 3 1 48 P 10 = P ( 4 2 1) 1 1 P 01 = P ( 7 1) 2 2 P 11 = P ( 8 12) 3 3 P 2 1 = P ( 1 3) 4 4 P 128 = P ( 23 32 48) Die eckigen Punktkoordinaten sind ebenen-interne Koordinaten bezogen auf die beiden Basisvektoren der Ebene, also im r-s-achsenkreuz der Ebene. GA 3: Punkte auf der x 1 -Achse haben die Koordinaten S ( x 0 0) folgt damit: Gegeben ist eine Ebene E durch ihre Gleichung. Berechne die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. x1 3 1 4 x1 = 3+ r+ 4s (1) 0 = 0 + r 2 + s 1 2r s= 0 (2) 0 4 3 1 3r+ s = 4 (3) Schnitt mit der x 2 -Achse: S ( 0 x 0) : 2 2 0 3 1 4 r+ 4s = 3 (1) x2 = 0 + r 2 + s 1 x2 = 2r s (2) 0 4 3 1 3r+ s= 4 (3) Schnitt mit der x 3 -Achse: S ( 0 0 x ) : 3 3 0 3 1 4 r+ 4s = 3 (1) 0 = 0 + r 2 + s 1 2r s= 0 (2) x 4 3 1 x = 4 3r+ s (3) 3 3 1 1. Für die Ebene der GA2 (2) + (3) liefert r = 4. Aus (2) folgt dann s = 2r = 8. Und damit aus (1): x1 = 39. S1 ( 39 0 0) 3(1)+(3) liefert s = - 1. Aus (1) folgt dann r = 1. Und damit erhält man aus (2): x2 = 3. S 030 2 ( ) (1)+ 4(2) liefert r = 1/3. Aus (2) folgt 2 s = 2r =. Damit erhält man aus (3): 13 3 3 3 13 x =. S ( 0 0 ) 3 3

63021 Ebenen 1 7 GA 4: Gegeben ist eine Ebene E durch ihre Gleichung. Liegt ein gegebener Punkt P in der Ebene? Beispiel 1: 1 4 2 E: x= 3 + r 2 + s 1 2 1 1 und P( 12 0) Die rechte Lösung ist die elegantere, weil hier eine Aussage wie die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren über das Ergebnis entscheidet. Beispiel 2: 1. Lösung: Einsetzen des Ortsvektors von P in die Gleichung der Ebene E zur Bestimmung. seiner [ r s] - Koordinaten bzgl. u, v 1 1 4 2 4r 2s= 2 (1) 2 = 3 + r 2 + s 1 2r+ s= (2) 0 2 1 1 r s= 2 (3) (2) + (3) ergibt 3r = 3 also r = 1. Aus (2) folgt dann s = 2r = 3 Probe in (1): 4 6 = - 2 ergibt wahre Aussage. Also hat P die ebenen-internen Koordinaten P d.h. P liegt in E. [ 13] 1 4 2 E: x= 3 + r 2 + s 1 2 1 1 1. Lösung: Einsetzen des Ortsvektors von Q in die Gleichung der Ebene E zur Bestimmung. seiner [ r s] - Koordinaten bzgl. u, v 3 1 4 2 4r 2s= 2 (1) 1 = 3 + r 2 + s 1 2r+ s= 4 (2) 4 2 1 1 r s= 2 (3) 2. Lösung: P liegt genau dann in E, wenn die Vektoren u, v und AP komplanar sind: und Q314 ( ) 4 2 2 4 2 D= u v AP = 2 1 2 1 1 1 2 1 1 D = 8 10 + 4 + 2 + 20 8 = 0 Also sind diese Vektoren linear abhängig, d.h. P liegt in E. Diese Rechnung ist kürzer, liefert aber nicht r oder s. 2. Lösung: Untersuchung, ob u, v und AQ komplanar sind: 4 2 2 4 2 D= u v AQ = 2 1 4 2 1 1 1 2 1 1 D = 8 8 4 2+ 16+ 8 0 (2) + (3) ergibt 3r = 6 also r = 2. Aus (2) folgt dann s = 4 2r = 0 Probe in (1): 8 0 = 2 ist falsche Aussage. Q liegt also nicht in E. Also sind diese Vektoren linear unabhängig, d.h. Q liegt nicht in E. Der Pfeil AQ ragt aus der Ebene heraus. Jeder kann sich also seine Methode aussuchen.

63021 Ebenen 1 8 3. Geraden in einer Ebene Usw.