Konzeptionelle Vorüberlegungen zu den Matheprofis 3

4 Konzeptionelle Vorüberlegungen zu den Matheprofis 3 Sybille Schütte: Die Schulung des Zahlenblicks als Grundlage für flexibles Rechnen In zahlreichen Initiativen zur Qualitätssteigerung des Mathematikunterrichts wird übereinstimmend die Entwicklung einer neuen Unterrichtskultur gefordert. In einem fördernden Lernklima wird geschicktes Rechnen als Teil einer mathematischen Grundbildung angestrebt. Dazu sind vor allem geeignete offene Aufgabenstellungen erforderlich, die mathematisch ergiebig und für selbstständiges Aufgabenlösen geeignet sind. Wenn man bei den Kindern flexibles, aufgabenadäquates Rechnen erreichen will, muss dies langfristig angelegt und kumulativ aufgebaut sein. Im Lehrwerk Die Matheprofis wird deshalb vom 1. Schuljahr an ein Programm mit Aufgaben und Übungsformaten auf verschiedenen Niveaus und mit verschiedenen mathematischen Schwerpunkten entwickelt, die ineinander greifend die Ausbildung mathematischen Denkens stützen. Ein langfristiges Programm ist kein Widerspruch zu situationsadäquaten und individuell abgestimmten Lernangeboten, da die Aufgabenstellungen jederzeit nach dem individuellen Können bearbeitet werden können. Übergeordnetes Prinzip ist die Schulung des Zahlenblicks und dies in zweifacher Hinsicht. Zum einen sollen die Aufgaben nicht sofort gerechnet, sondern auf ihre Struktur bzw. auf Beziehungen zu anderen Aufgaben hin betrachtet werden. Der Rechenprozess wird bewusst hinausgezögert, um solche strukturellen Betrachtungen zu ermöglichen. Zum anderen sollen die Kinder in den Rechenergebnissen Gemeinsamkeiten und systematische Veränderungen erkennen und begründen. Sie entwickeln dabei allmählich Haltungen und methodische Vorgehensweisen, die immer mehr anspruchsvolles mathematisches Arbeiten ermöglichen. Voraussetzung für den geschulten Zahlenblick ist zunächst ein solides Zahl- und Operationsverständnis, wozu im 1. und 2. Schuljahr die Grundlagen geschaffen wurden. 1. Das Zahlgefühl (auf einer konkret anschaulichen Ebene) entwickeln Wenn Ihre Kinder bereits seit dem 1. Schuljahr mit den Matheprofis gearbeitet haben, werden sie gute Voraussetzungen haben, die Anforderungen an ein flexibles Rechnen zu erfüllen. Im 1. Schuljahr war es vor allem das vielfältige Gruppieren und Umgruppieren von Materialien, zunächst konkret und dann in der Vorstellung. Dies geschah beispielsweise beim Schätzen und Überprüfen kleiner Mengen durch übersichtliches Anordnen (z.b. Wie viele Haselnüsse passen in deine Hand? ). Dieses wurde im 2. Schuljahr im Hunderterbereich fortgesetzt (Nüsse sammeln) und wird im 3. Schuljahr wieder aufgenommen mit dem Schätzen größerer Mengen Bohnen in Schätzgläsern, wobei die Bohnenmengen in den Schätzgläsern mithilfe eines Vergleichsglases mit angegebener Anzahl nur ungefähr bestimmt werden und die eigentliche Schulung der Größenvorstellung von Zahlen im Überblicken von geordneten Einern, Zehner- und Hunderterbündeln liegt. Abb. aus: Die Matheprofis 3, S. 14 2. Operationsverständnis Mit Aebli kann man Operationen als abstrakte Handlungen bezeichnen. Wir haben bereits im 1. Schuljahr Wert darauf gelegt, Handlungen und ihre symbolische Darstellung eng zu koppeln und Gleichungen oder Rechnungen als Kurzprotokolle von Handlungen zu interpretieren. Die Schachtelaufgaben haben sich hier als sehr erfolgreich erwiesen. Mit ihrer Hilfe konnten die Kinder auf spielerische Weise die Rechenhandlungen gut nachvollziehen. Dies ist wichtig, da es Kindern zunächst schwer fällt, nicht nur das Ergebnis einer Handlung, sondern den ganzen Prozess mit Anfangszustand, Veränderung und Endzustand zu notieren. Haben sie jedoch die Rechnung als Darstellung eines konkreten Handlungsprozesses verstehen gelernt, fällt es ihnen später auch leichter ihre Rechenwege, die ja auch Prozessdarstellungen von Lösungswegen sind, zu notieren. Schon bei diesen Rechenoperationen verändern wir Zahlen. Beim geschickten Rechnen verändern wir nun die Zahlen einer gegebenen Operation in mathematisch zulässiger Weise so, dass das Rechnen mit ihnen einfacher wird. Wenn dies den Kindern deutlich wird, sind sie einen wesentlichen Schritt auf dem Weg zum flexiblen Rechnen vorangekommen. Abb. aus: Die Matheprofis 2, S. 33 Produktive Übungsformate wie Rechenmauern und Zahlensterne sollen dazu dienen, Verständnis für den Zusammenhang zwischen einer Rechenoperation und ihrer Umkehroperation (Addition und Subtraktion bei Rechenmauern,

5 Multiplikation und Division bei Zahlensternen) zu schaffen und diese Zusammenhänge für das Rechnen zu nutzen. Dies wird bereits im 1. und 2. Schuljahr geübt. Im 3. Schuljahr vergleichen wir Rechenmauern, indem wir die Auswirkungen von Veränderungen der Ausgangszahlen auf das gesamte Aufgabensystem betrachten (vgl. Die Matheprofis 3, S. 109 und auch Punkt 7). 4. Experimentieren und Erforschen Manche Kinder brauchen häufigere spielerische Übung im Umgang mit Zahlen und Zahlbeziehungen, bevor sie ihre Rechenstrategien verbessern können. Spielerisch ist hier gemeint nicht nur im Sinne des lustvollen Umgangs, sondern auch in dem des probeweise experimentellen Veränderns. Am Anfang steht das zufällige Probieren. Das sollte jedes Kind ohne Hemmschwelle und Leistungsangst tun können und wissen, dass es Fehler machen darf. Fehler gehören zur Phase des selbstständigen Lernens dazu, sie können sogar lernproduktiv sein, wenn man aus ihnen die richtigen Schlüsse zieht. Erst in der Phase der Leistungsprüfung sollten Fehler weitgehend überwunden sein. 3. Eigene Lösungswege entwickeln und andere nachvollziehen Es ist nicht von vornherein selbstverständlich für Kinder, dass man auf verschiedenen Wegen zur gleichen Lösung kommen kann. Erst wenn sie eine Idee von der inneren Stimmigkeit der Mathematik haben, wird die Vielfalt der Lösungswege plausibel. Es ist auch nicht selbstverständlich, sondern bedarf gezielter Bemühung und einer geeigneten Sprache, sich über das eigene Denken bewusst zu werden, sich beim Denken zuzuschauen. Ohne diese Übung und das gezielte Interesse der Lehrerin sagen die Kinder zunächst, sie hätten ganz normal gerechnet. Jedoch lernen sie hier schnell und geben dann auch bereitwillig Auskunft, da sie sich durch das Interesse an ihrem Denken ernst genommen fühlen. Die Matheprofis unterstützen die Kinder vom 1. Schuljahr an bei der Entwicklung eigener Lösungswege, indem sie Beispiellösungen aufzeigen, aber keine Musterlösungen vorgeben. Die Kinder werden immer wieder aufgefordert, eigene Lösungen zu finden bzw. ihre eigenen mit denen der Matheprofis und vor allem denen ihrer Mitschüler/innen zu vergleichen. Das Entwickeln von eigenen Lösungswegen und der Austausch darüber sind wichtige Phasen in einem Prozess, der zum problemadäquaten Handeln führt, jedoch sind sie nur ers te Schritte auf dem Wege dorthin.. Abb. aus: Die Matheprofis 2, S. 102 Zum Experimentieren und Erforschen gab es in den ersten beiden Schuljahren verschiedene Lernangebote, beispielsweise Paare bilden (S. 38) und Mit zwei Münzen (S. 53) im ersten Schuljahr und im zweiten Schuljahr Wer hat zuerst 100 Euro (S. 45), Kalenderrechnen (Arbeitsheft 2, S. 3) oder Das Geheimnis der vertauschten Ziffern (S. 113). Ebenso wie sich beim strategischen Spiel eine Geläufigkeit im Vorgehen einstellt und die Aufmerksamkeit für die inneren Zusammenhänge wächst, so führt das eigene Experimentieren ganz natürlich zum systematischeren Arbeiten. Im 3. Schuljahr können die Kinder auf einer Zielscheibe (oder mit Geldscheinen bzw. Wägstücken) Zusammensetzungen von Zahlen bis 1000 probieren und dabei auch der Frage nachgehen, welche Zahlen man nicht legen kann, wenn bestimmte Teile fehlen (vgl. S. 24, Matheprofis 3). Abb. aus: Die Matheprofis 3, S. 24 Die Bildung des kleinsten Unterschieds zwischen zwei zweistelligen Zahlen mit 4 Ziffernkarten ist schon recht anspruchsvoll. Aber sie kann wie viele andere Aufgaben probierend oder mit vorausschauendem Denken (Was passiert, wenn ich was wie verändere?) gelöst werden.

6 Die Rückschau auf das eigene Tun führt zur Analyse der Resultate: Was fällt dir auf? Hier ergeben sich weitere Möglichkeiten etwas zu entdecken. Dies werden zunächst äußerliche Dinge sein, bald aber auch mathematische Beziehungen, die von manchen Kindern sogar schon erklärt werden können (z.b. wiederkehrende Zahlbeziehungen). aufeinander folgende Zahlen vergleichen und ihren Unterschied mit dem von anderen benachbarten Zahlen vergleichen. So kann man Vermutungen über ihr Bildungsgesetz aufstellen und überprüfen. Abb. aus: Die Matheprofis 3, Arbeitsheft, S. 16 Alle Entdeckungen sind willkommen. Jede Entdeckung steigert das Kompetenzgefühl. Einige Kinder kommen nun von selbst zu einem systematischeren Probieren: Was folgt daraus, wenn ich bestimmte Zahlen verändere? Dies erfordert eine begleitende Beobachtung im Handeln. Damit wird der Blick immer mehr auf eine Metabetrachtung von Zahlen, Aufgaben und Aufgabenreihen gelenkt. Sie ist der Kern der Schulung des Zahlenblicks. Es geht darum, die Beziehungen zwischen verschiedenen Elementen zu sehen und zu nutzen. Hierzu gehören auch das Erkennen von Mustern, die Bestimmung des Aufgabentyps und die gezielte Nutzung von Zahlund Termbeziehungen für das Rechnen. 5. Muster erkennen und fortsetzen Die Beschäftigung mit Mustern (Regelmäßigkeiten einfacher oder komplexer Natur) ist ein Wesenszug der Mathematik. In der Arithmetik bzw. der Zahlentheorie sind dies vor allem Zahlenfolgen und -reihen und Zahlenanordnungen. In der Geometrie vielfältige Symmetrien, Parkettierungen, Ornamente etc. Die ästhetische Komponente ist hier noch augenfälliger. Abb. aus: Die Matheprofis 3, S. 26: Das Pascalsche Dreieck 6. Aufgabentypen erkennen Um ein Repertoire an Rechenstrategien flexibel und aufgabenadäquat einsetzen zu können, ist eine Metabetrachtung der Aufgaben selbst notwendig. Als Vehikel um Aufgabenarten zu bestimmen, haben wir für das Matheprofi-Projekt sinnfällige Anschauungsbilder entwickelt. Sortiermaschine Abb. aus: Die Matheprofis 3, S. 41 Ein Beispiel einer solchen Zahlenanordnung ist das Pascalsche Dreieck (3. Schuljahr). Der Aufbau kann von den Kindern selbst erkannt und entsprechend fortgesetzt werden, wenn sie zuvor einige Übung mit Rechenmauern hatten. Im Pascalschen Dreieck sind verschiedene Zahlenfolgen enthalten. Um das Bauprinzip einer Zahlenfolge zu erkennen, muss man immer wieder zwei Abb. aus: Die Matheprofis 2, Materialien S. 110 Mithilfe der Sortiermaschine konnten die Kinder im 2. Schuljahr die Aufgaben der halbschriftlichen Addition in der Weise selbst ordnen, wie sie die stoffdidaktische Stufung vorsieht, und bekamen so einen Blick für die Aufgabenschwierigkeiten. Die Sortiermaschine kann mehrfach mit immer neuen Aufgaben eingesetzt werden. Dabei hat es sich als günstig erwiesen, zunächst Aufgaben vorzugeben. Später können die Kinder dann selbst Aufgaben (Terme) erfinden und

7 einordnen. Dies ist noch etwas schwieriger für Kinder. Der Aufgabentyp muss bewusst konstruiert werden. Die Kontrolle kann wiederum gut in Partnerarbeit erfolgen. Weiterführend könnten fortgeschrittene Kinder selbst überlegen, wie eine Sortiermaschine zur halbschriftlichen Subtraktion aussehen könnte. Schwere und leichte Aufgabenkisten Im 3. Schuljahr wird wegen der Größe der Zahlen eine Sortiermaschine zur Ordnung von Aufgaben leicht unübersichtlich. Wir fordern die Kinder deshalb auf, die Aufgaben in verschiedene Kisten zu packen. Sie haben dadurch die Möglichkeit, selbst Aufgaben zu bilden und sie nach persönlichem Schwierigkeitsempfinden zu ordnen. Dies ist ein weiterer Zugang zu einer Metabetrachtung von Aufgaben und es schadet gar nichts, wenn die Zuordnungen unterschiedlich ausfallen, da dies vom individuellen Können abhängt. Wichtig dabei ist, dass die Kinder selbst einen Überblick darüber gewinnen, was sie schon können und was sie noch lernen bzw. üben müssen. Sodann kann man einen Vergleich thematisieren. Welche Aufgaben hast du in die leichte Kiste gepackt? Haben sie etwas gemeinsam? Warum sind sie leicht zu rechnen? 7. Zahl- und Aufgabenbeziehungen erkennen und zur Lösung nutzen Mit sinnfälligen Anschauungsbildern werden im 3. Schuljahr gemäß unserer Schwerpunktsetzung insbesondere Zahlbeziehungen angeboten, die speziell die Auswirkung von Veränderungen einer Zahl auf die übrigen Zahlen (Zahlenhaus und Zahlenwaage) thematisieren. Zahlenhäuser Abb. aus: Die Matheprofis 3, S. 34 Abb. aus: Die Matheprofis 3, S. 61: Rechenwege für die schwere Kiste Mit der Ergänzungskiste und der Trickkiste gehen wir noch einen Schritt weiter. Für geschicktes Rechnen ist eine Betrachtung der Größe von Zehnern und Einern allein nicht ausreichend. Wir können zum Beispiel auch nach der Nähe der Zahlen zueinander fragen. Liegen die Zahlen nahe beieinander, ist das Ergänzungsverfahren das günstigste. Und welche Aufgaben passen in die Trickkiste? Zum Beispiel diejenigen, die man durch gegensinniges (beim Addieren) oder gleichsinniges Verändern (beim Subtrahieren) geschickt vereinfachen kann. Zusätzliche Arbeitsaufträge wie: Erfinde Aufgaben mit minus 9 und vereinfache sie oder: Erfinde Aufgaben, die man durch Ergänzen leicht lösen kann vertiefen den Blick für bestimmte Aufgabentypen. Das Zahlenhaus ist ein bekanntes Aufgabenformat für Zerlegungen von Zahlen: Im Dach steht die Zahl, in den Stockwerken darunter zwei Zerlegungen, deren Summe die Dachzahl ergibt. Dieses Format wurde schon bei den ersten Zahlen im ersten Schuljahr eingesetzt. Bei größeren Zahlen wachsen die Möglichkeiten der Zerlegung sehr schnell und der Blick für ihre Beziehungen wird noch interessanter. So kann man über Zahlenhäuser zu Termgleichungen kommen, ohne dass die Kinder hier besondere Schwierigkeiten entwickeln. Im Gegenteil. Die Gleichwertigkeit der Zahlenpaare in den Etagen (bei additiver Verknüpfung) leuchtet unmittelbar ein, sie ist ja Konstruktionsprinzip. Im dritten Schuljahr machen wir aus einfachen Aufgaben schwierige, noch bevor die Rechenverfahren im Einzelnen behandelt worden sind. Das stärkt das Kompetenzgefühl und die Lust an der Mathematik. Dass 300 + 300 = 600 ist, ist für die meisten Kinder sehr leicht. Dass man daraus über einige einfache Veränderungen im Zahlenhaus 226 + 374 = 600 machen kann, ist überraschend. Das gegensinnige Verändern ist hier Konstruktionsprinzip, seine Übertragung auf geschickte Rechenverfahren damit gut vorbereitet. Man kann nämlich auch umgekehrt vorgehen und aus schwierigen Aufgaben einfache machen. Dies ist auch die Leitidee bei den Zahlenwaagen (s. u.). Wir ermöglichen hierdurch nicht nur frühe Kompetenzerfahrungen in diesem Bereich, sondern bereiten

8 die geschickte Rechenstrategie des Vereinfachens durch gleich- bzw. gegensinniges Verändern vor. Zahlenwaagen Zur Verdeutlichung des gleichsinnigen Veränderns führen wir als Vorstellungsbild im 3. Schuljahr Felix Minus-Aufgaben-Vereinfachungsmaschine ein. Wie die Maschine funktioniert sie verändert Minusaufgaben nach dem Prinzip des gleichsinnigen Veränderns können die Kinder selbst entdecken. Wir wissen aus Erfahrung, dass Kinder wesentlich lieber mit glatten Zahlen rechnen. Eine Strategie, die ihnen genau dies ermöglicht, wird deshalb von vielen Kindern gerne angenommen. Sie lernen, Zahlbeziehungen zu nutzen, sei es für die Rechnung selbst oder für ihre Kontrolle. Abb. aus: Die Matheprofis 3, Arbeitsheft, S. 20 Auch die Zahlenwaage ist ein sinnfälliges Anschauungsbild für Aufgabenbeziehungen in Form von Termgleichungen. Mit diesem Format wird das Ausgleichen der Summanden innerhalb der Terme besonders sinnfällig. Ohne den Wert des Terms zu verändern, kann man beispielsweise den ersten Summanden um 10 erhöhen, wenn man gleichzeitig den zweiten Summanden um 10 vermindert (z.b. 290 + 55 = 300 + 45). Mithilfe dieses gegensinnigen Veränderns kann man viele Rechenaufgaben vereinfachen und so leichter zum Ergebnis kommen. Auch Termungleichungen können mit dem Waagemodell anschaulich und für Kinder gut verständlich dargestellt werden. Das Waagemodell bereitet das Operieren mit Gleichungen und Ungleichungen anschaulich vor. Wenn beispielsweise das Gleiche auf beiden Seiten der Waage ergänzt wird, verändert sich das Verhältnis nicht. Zum Ausgleich eines Ungleichgewichts kann man von einer Seite etwas wegnehmen oder zu der anderen etwas hinzufügen. Aufgaben-Verwandtschaften Abb. aus: Die Matheprofis 3, S. 60 Nach diesen vielfältigen Übungen sind die Kinder gut gerüstet, um Rechenverfahren und Rechenstrategien aufgabenadäquat zu verwenden. Bevor sie rechnen, können sie folgende Fragen beantworten: Kann ich die Aufgabe sofort (im Kopf und ohne Zwischenschritte) rechnen? Wie kann ich die Aufgabe vereinfachen? Welcher Rechenweg ist günstig? Die Kinder lernen in diesem Prozess nicht nur, geschickt zu rechnen, sondern sie lernen auch, mathematisch zu denken.