Aufgabe 1 (2 + 1 + 2 + 2 Punkte) Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. a) Wieviele Möglichkeiten hat der Trainer seine Mannschaft (elf Spieler) aus dem Kader zusammenzustellen? ( 23 11) = 1352078 b) Wieviele Möglichkeiten hat der Trainer grundsätzlich nach der Auswahl der elf Spieler diese auf die verschiedenen elf Positionen zu verteilen? 11! = 39916800 c) Tatsächlich ist der Gestaltungsspielraum des Trainers natürlich wesentlich eingeschränkter. Er hält sich an die Regel, Stürmer nur auf Sturmpositionen, Mittelfeldspieler nur auf Mittelfeldpositionen, Verteidiger nur auf Abwehrpositionen und Torhüter nur ins Tor zu stellen. Unter den ausgewählten 11 Spielern befinden sich zwei Stürmer, fünf Mittelfeldspieler, drei Verteidiger und ein Torwart. Wieviele Möglichkeiten hat der Trainer seine Spieler auf die Positionen zu verteilen? 2! 5! 3! 1! = 1440 d) Zur Halbzeit ist der Trainer mit der gezeigten Leistung seiner Mannschaft nicht zufrieden. Deshalb beschließt er zwei (noch zu bestimmende) Spieler auszuwechseln. Insgesamt stehen ihm vier Auswechselspieler zur Verfügung. Wieviele Möglichkeiten stehen ihm für seinen Auswechselplan zur Verfügung? 11 4 10 3 = 1320
Aufgabe 2 (2 + 2 + 2 + 2 Punkte) Aus einer Umfrage zur Nutzung von Beförderungsmitteln erhalten Sie folgende Informationen: 50% der Befragten nutzen private Fahrzeuge, 40% nutzen öffentliche Verkehrsmittel (Mehrfachnennungen möglich) und 20% nutzen weder private noch öffentliche Beförderungsmittel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig Befragter a) private oder öffentliche Verkehrsmittel nutzt? P (A) = 0.5, P (B) = 0.4, P ( A B) = 0.2 P (A B) = 1 P ( A B) = 1 0.2 = 0.8 b) private und öffentliche Verkehrsmittel nutzt? P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0.5 + 0.4 0.8 = 0.1 c) öffentliche, aber keine privaten Verkehrsmittel nutzt? P (B\A) = P (B) P (A B) = 0.4 0.1 = 0.3 d) der keine privaten Verkehrsmittel nutzt, öffentliche Verkehrsmittel nutzt? P (B Ā) = P (B Ā) P (B) = 0.3 0.5 = 0.8
Aufgabe 3 (5 + 4 Punkte) Gegeben sei folgende Funktion für a R: { 1 für 1 x 5 f(x) = ax 0 sonst. a) Zeigen Sie, dass f(x) für a = ln(5) eine Dichtefunktion ist und fertigen Sie eine Skizze dieser Dichtefunktion an. 1 = 5 1 dx = [ 1 1 ax a ln(x)]5 1 = 1 ln(5) a a = ln(5) b) Eine Zufallsvariable X hat die unter a) berechnete Dichtefunktion. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: 1) P (X = 2). P (X = 2) = 0 2) P (X > 7.5). P (X > 7.5) = 1 P (X 7.5) = 1 1 = 0 3) P (2 < X 4) P (2 < X 4) = 4 1 dx = [ 1 2 ln(5)x ln(5) ln(x)]4 2 = 1 (ln(4) ln(2)) = 0.43 ln(5)
Aufgabe 4 (3 + 3 + 2 Punkte) Die durchschnittliche Niederschlagsmenge pro Jahr N sei normalverteilt mit Erwartungswert µ = 1300[mm] und Varianz σ 2 = 62500[mm 2 ]. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Jahr mehr als 1500[mm] regnet? P (N > 1500) = 1 P (N 1500) = 1 P (Z 1500 1300 62500 ) = 1 Φ(0.8) = 1 0.7881 = 0.2119 b) Bestimmen Sie das 90%-Quantil der Verteilung der Niederschlagsmenge und interpretieren Sie dieses. 0.9 = P (X < x 0.9 ) = Φ( x 0.9 1300 62500 ) x 0.9 = Φ 1 (0.9) 62500 + 1300 = 1.28 250 + 1300 = 1620 x 0.9 = 1620 bedeutet, dass die Niederschlagsmenge mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% unter 1620[mm] liegt. c) Aufgrund der Klimaveränderung steigt die mittlere Niederschlagsmenge auf µ KV = 1400[mm]. Welchen Wert muss die Varianz σkv 2 annehmen, damit sich das in Teilaufgabe b) berechnete 90%-Quantil nicht ändert? 1620 = Φ 1 (0.9) σ 2 KV + 1400 σ 2 KV = ( 1620 1400 Φ 1 (0.9) )2 29500
Aufgabe 5 (2 + 2 + 1 + 3 Punkte) 30% der Bevölkerung verfüge als Schulabschluss über die (Fach-)Hochschulreife. In dieser Bevölkerungsgruppe betrage die Wahrscheinlichkeit arbeitslos zu sein 5%. Die Wahrscheinlichkeit arbeitslos zu sein in der Bevölkerungsgruppe ohne (Fach-)Hochschulreife betrage 10%. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit arbeitslos zu sein in der Bevölkerung? P (A) = P (A H) P (H) + P (A H) P ( H) = 0.05 0.3 + 0.1 0.7 = 0.085 b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Person der Bevölkerung über (Fach-)Hochschulreife verfügt und nicht arbeitslos ist? P (Ā H) = 1 P (A H) = 1 0.05 = 0.95 P (H Ā) = P (Ā H) P (H) = 0.95 0.3 = 0.285 c) Ist die Art des Schulabschlusses unabhängig davon, ob jemand arbeitslos ist oder nicht? (Begründung, keine Rechnung!) Nein, da P (A H) P (A H). d) Von einer bestimmten Person wissen Sie, dass sie arbeitslos ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie über die (Fach-)Hochschulreife verfügt? P (H A) = P (A H) P (A) = P (A H) P (H) P (A) = 0.05 0.3 0.085 = 0.1765
Aufgabe 6 (2 + 2 + 3 + 3 + 5 Punkte) Sei X eine mit Parametern n = 8 und p = 0.3 binomialverteilte Zufallsvariable. a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. E(X) = np = 0.3 8 = 2.4 var(x) = np(1 p) = 8 0.3 0.7 = 1.68 b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 4 annimmt. P (X = 4) = ( 8 4) 0.34 0.7 8 4 = 0.1361 c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X Werte größer als 3 aber höchstens 5 annimmt. P (3 < X 5) = P (X = 4) + P (X = 5) = 0.1361 + 0.0467 = 0.1828 d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X Werte größer oder gleich 1 annimmt. P (X 1) = 1 P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 0.0576 = 0.9424 e) Sei nun n = 100 und weiterhin p = 0.3. Berechnen Sie P (25 X 35). Approximation durch Normalverteilung: Approximationsregel erfüllt: np(1 p) = 21 > 9 P (25 X 35) = P (X 35) P (X 24) = P (Z 35 30+0.5 21 Φ(1.2) Φ( 1.2) = 2Φ(1.2) 1 = 2 0.885 1 = 0.77 ) P (Z 24 30+0.5 21 ) =
Aufgabe 7 (2 + 2 + 3 Punkte) Bezeichne X die Wartezeit an einer Supermarktkasse. Die erwartete Wartezeit beträgt E(X) = 5[min]. Bekanntlich lassen sich Wartezeiten mit der Exponentialverteilung modellieren. 1. Mit welchem Parametern ist X verteilt? Wie groß ist die Varianz von X? X ist exponentialverteilt mit Parameter λ = 1 5. 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit höchstens 4 Minuten zu warten? P (X 4) = 1 e 1 5 4 = 0.55 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 2 und 7 Minuten zu warten? P (2 X 7) = P (X 7) P (X 2) = 0.42
Aufgabe 8 (6 + 2 Punkte) Für eine (diskrete) Zufallsvariable X sei folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben: 0.2 für x {2, 3} f(x) = P (X = x) = 0.3 für x {5, 6} 0 sonst. a) Berechnen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F (x) = P (X x). 0 x < 2 0.2 2 x < 3 F (x) = 0.4 3 x < 5 0.7 5 x6 1 x 6. b) Welche Werte haben f(4) und F (4)? f(4) = 0 F (4) = 0.4