Bachelor BEE Statistik Übung: Blatt 1 Ostfalia - Hochschule für angewandte Wissenschaften Fakultät Versorgungstechnik Aufgabe (1.1): Gegeben sei die folgende Messreihe: Nr. ph-werte 1-10 6.4 6.3 6.7 6.5 6.2 6.1 6.9 6.5 6.7 6.3 11-20 6.5 6.7 6.6 6.3 6.5 6.7 6.4 6.5 6.8 6.6 Bestimmen Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten der Messreihe. Visualisieren Sie die Daten in einem Stabdiagramm. Bestimmen Sie die absoluten und relativen Summenhäufigkeiten der Messreihe. Visualisieren Sie die Daten in einem Stabdiagramm. Bestimmen Sie den Modalwert, den Quartilsabstand, die Spannbreite, den arithmetischen Mittelwert, die empirische Standardabweichung und Varianz der Messreihe. Visualisieren Sie die Daten in einem Stabdiagramm und tragen Sie die Kenngrößen in dem Diagramm ab. Stellen Sie die Daten ebenfalls in einem Kastendiagramm dar. Bilden Sie k Klassen der Messreihe und visualisieren Sie die Daten in einem Histogramm. Begründen Sie die Anzahl der Klassen und die Aufteilung. Aufgabe (1.2): Gegeben sei die folgende Messreihe: Nr. ph-werte 1-10 36.4 46.3 36.7 36.5 42.2 40.1 39.9 38.5 39.7 37.3 11-20 41.5 40.7 39.6 38.3 42.5 40.7 39.4 38.5 37.8 36.9 Bestimmen Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten der Messreihe. Bestimmen Sie die absoluten und relativen Summenhäufigkeiten der Messreihe. Bestimmen Sie den Modalwert, den Quartilsabstand, die Spannbreite, den arithmetischen Mittelwert, die empirische Standardabweichung und Varianz der Messreihe. Visualisieren Sie die Daten in einem Stabdiagramm und tragen Sie die Kenngrößen in dem Diagramm ab. Stellen Sie die Daten ebenfalls in einem Kastendiagramm dar.

Statistik, Ostfalia, Fakultät Versorgungstechnik 2 Aufgabe (1.3): Mit einem festgelegten Analyseverfahren wird die Konzentration eines Parameters bei einer vorgegebenen Probe mehrfach untersucht. Bestimmen Sie den Modalwert, den Quartilsabstand, die Spannbreite, den aritmethischen Mittelwert, die empirische Standardabweichung und Varianz der drei Messreihen. Könnte ein Ausreißer in den Messreihen vorliegen? Die Daten lauten: Messreihe Messwerte 1 5.24, 5.22, 5.35, 5.13, 5.29, 5.32, 5.31, 5.28, 5.35 2 5.24, 5.22, 5.35, 5.12, 5.29, 5.32, 5.31, 5.28, 5.35 3 5.24, 5.22, 5.35, 5.12, 5.19, 5.19, 5.29, 5.32, 5.31, 5.35 Visualisieren Sie die Daten. (Lösung: 1 ) Messreihe 1: 5.1300 5.2200 5.2400 5.2800 5.2900 5.3100 5.3200 5.3500 5.3500 arithmetischer Mittelwert:5.2767 Median:5.29 Modalwert:5.35 Spannbreite:0.22 Standardabweichung:0.070711 Varianz:0.005 0.25-Quantil: 5.24 0.75-Quantil: 5.32 Quartilabstand: 0.08 Messreihe 2: 5.1200 5.2200 5.2400 5.2800 5.2900 5.3100 5.3200 5.3500 5.3500 arithmetischer Mittelwert:5.2756 Median:5.29 Modalwert:5.35 Spannbreite:0.23 Standardabweichung:0.073333 Varianz:0.0053778 0.25-Quantil: 5.24 0.75-Quantil: 5.32 Quartilabstand: 0.08 Messreihe 3: 5.1200 5.1900 5.1900 5.2200 5.2400 5.2900 5.3100 5.3200 5.3500 5.3500 arithmetischer Mittelwert:5.258 Median:5.265 Modalwert:5.19, 5.35 Spannbreite:0.23 Standardabweichung:0.07786 Varianz:0.0060622 0.25-Quantil: 5.19 0.75-Quantil: 5.32 Quartilabstand: 0.13 1 Alle Lösungsangaben ohne Gewähr. Kleine Abweichungen zu den Tafelwerten sind möglich, da die meisten Aufgaben mit MatLab gelöst wurden.

Statistik, Ostfalia, Fakultät Versorgungstechnik 3 Aufgabe (1.4): Nehmen Sie einem Würfel und werfen Sie n = 20 mal. Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert, die empirische Standardabweichung und die relativen Häufigkeiten. Visualisieren Sie die Daten. Nehmen Sie nun zwei Würfel und werfen Sie n = 20 mal. Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert, die empirische Standardabweichung und die relativen Häufigkeiten. Visualisieren Sie die Daten. Was stellen Sie fest? Aufgabe (1.5): Programmieren Sie in MatLab für eine Messreihe bestehend aus n Werten folgende Kenngrößen: a) arithmetische Mittelwert. b) Median. c) die Spannbreite. d) oberes und unteres Quantil. e) Quartilsabstand. f) empirische Standardabweichung. g) empirische Varianz. (Hinweis: mean, median, std, var) Aufgabe (1.6): Für den idealen Würfel gilt, jede Augenzahl hat die gleiche diskrete Wahrscheinlichkeit von p = 1/6. Berechnen Sie für den Würfel den Erwartungswert und die Standardabweichung. Aufgabe (1.7): Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Standardnormalverteilung an, und zeichnen Sie die Funktion auf dem Intervall [-4,4]. Geben Sie einen beliebigen Bereich an, für den Sie einen Flächenwert von 0.7 erhalten. Aufgabe (1.8): Es sei die Zufallsvariable X standardnormalverteilt. Bestimmen Sie a) P( 1 X 1) b) P( 2 X 2) c) P( 3 X 3) d) P( 4 X 4) e) P(0 X 1.42) f) P( 0.73 X 0) g) P( 1.37 X 2.01) h) P(0.65 X 1.26) i) P(X 1.13) (Lösung: a) 0.6827 b) 0.9545 c) 0.9973 d) 0.9999 e) 0.4222 f) 0.2673 g) 0.8924 h) 0.1540 i) 0.1292) Aufgabe (1.9): Die Lufttemperatur T im Juni sei normalverteilt mit Mittelwert 20 C und Standardabweichung 3 C. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lufttemperatur zwischen 21 C und 26 C liegt? Fertigen Sie eine Skizze an. (Lösung: 0.3467)

Statistik, Ostfalia, Fakultät Versorgungstechnik 4 Aufgabe (1.10): Die Lufttemperatur T im Juni sei normalverteilt mit Mittelwert 21.5 C und Standardabweichung 3.2 C. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lufttemperatur zwischen 20.1 C und 23.6 C liegt? (Lösung: 0.4133) Aufgabe (1.11): Die Lufttemperatur T im Juni sei normalverteilt mit Mittelwert 20 C und Standardabweichung 3 C. a) Welcher Anteil der Lufttemperaturen ist kleiner als 18 C? b) Welcher Anteil der Lufttemperaturen ist größer als 22 C? c) Welcher Anteil der Lufttemperaturen liegt zwischen 16 C und 23 C? d) Welche Lufttemperatur liegt vor, wenn darunter 30% aller Temperaturen liegen? e) Zwischen welchen zwei Lufttemperaturwerten liegen 85% aller Temperaturen? (symmetrisch um den Mittelwert verteilt) (Lösung: a) 25.25% b) 25.25% c) 75.01% d) 18.43 C e) [15.68 C,24.32 C]) Aufgabe (1.12): Die Lufttemperatur T im August sei normalverteilt mit Mittelwert 27 C und Standardabweichung 2.4 C. a) Welcher Anteil der Lufttemperaturen ist kleiner als 18 C? b) Welcher Anteil der Lufttemperaturen ist größer als 30 C? c) Welcher Anteil der Lufttemperaturen liegt zwischen 20 C und 30 C? d) Welche Lufttemperatur liegt vor, wenn darunter 30% aller Temperaturen liegen? e) Zwischen welchen zwei Lufttemperaturwerten liegen 75% aller Temperaturen? (symmetrisch um den Mittelwert verteilt) (Lösung: a) 0.01% b) 10.56% c) 89.26% d) 25.74 C e) [24.24 C,29.76 C]) Aufgabe (1.13): Das Gewicht von 800 Schülern sei normalverteilt mit Erwartungswert 66 kg und Standardabweichung 5 kg. Bestimmen Sie die Anzahl von Schülern mit einem Gewicht a) zwischen 65 und 70 kg. b) über 72 kg. c) unter 62 kg. (Lösung: a) 294 b) 92 c) 169 ) Aufgabe (1.14): Das Gewicht von 750 Schülern sei normalverteilt mit Erwartungswert 70 kg und Standardabweichung 7 kg. Bestimmen Sie die Anzahl von Schülern mit einem Gewicht a) zwischen 65 und 75 kg. b) über 72 kg. c) unter 60 kg. (Lösung: a) 197 b) 291 c) 57 )

Statistik, Ostfalia, Fakultät Versorgungstechnik 5 Aufgabe (1.15): Bei Bestimmungen von Phenol in einem Abwasser werden normalverteilte Werte mit einem Mittelwert von µ=0.7 µg/l und einer Standardabweichung von σ=0.05 µg/l gefunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung eine Phenolkonzentration im Bereich von 0.71 bis 0.75 µg/l anzutreffen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung eine Phenolkonzentration über 0.8 µg/l anzutreffen? Erstellen Sie eine Skizze. (Lösung: a) 0.2621 b) 0.0228) Aufgabe (1.16): Bei Bestimmungen von Phenol in einem Abwasser werden normalverteilte Werte mit einem Mittelwert von µ=0.74 µg/l und einer Standardabweichung von σ=0.08 µg/l gefunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung eine Phenolkonzentration im Bereich von 0.72 bis 0.75 µg/l anzutreffen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung eine Phenolkonzentration über 0.8 µg/l anzutreffen? Erstellen Sie eine Skizze. (Lösung: a) 0.1484 b) 0.2266) Aufgabe (1.17): Für eine technische Messgröße X sei ein Sollwert von 152 mit Toleranzen ±5 vorgegeben. (Schreibweise N(µ,σ 2 )-verteilte Zufallsvariable) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt ein Messwert außerhalb der Toleranzen, falls X eine N(152,4)-verteilte Zufallsvariable ist? b) Wie ändert sich das Resultat, falls nur Toleranzen ±1 zugelassen sind? c) Wie groß muss die Toleranz gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit 50% beträgt? (Lösung: a) 0.0124 b) 0.6171 c) ± 1.3490 ) Aufgabe (1.18): Eine Apparatur füllt X 1 Gramm eines pulverförmigen Medikaments in X 2 Gramm schwere Röhrchen. Die Zufallsvariablen X 1 und X 2 seien stochastisch unabhängig und näherungsweise N(50,1)- bzw. N(20,0.5)-verteilt. (Schreibweise N(µ,σ 2 )-verteilte Zufallsvariable) a) Wie ist die Zufallsvariable X = X 1 +X 2 näherungsweise verteilt? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das Gewicht X eines gefüllten Röhrchens zwischen 68 g und 72 g? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein gefülltes Röhrchen leichter als 68 g? (Lösung: a) N(70,1.5), b) 0.8975, c) 0.0512)