Thema5 Ansätze zur Bewertung von Zinsoptonen Michael Blüthmann Farid Najem Ina Kahle Patrik Gohse Josip Mamic Cristina Emil-Sattarov 1
Ansätze zur Bewertung von Zinsoptionen (ZO) A. Einführung in die Problematik 1. Arten von Zinsoptionen B. Modelle zur Bewertung von Zinsoptionen 1. Anforderungen an ein Bewertungsmodell. Klassifikation der Bewertungsmodelle (Farid Najem 0min) II. Rendelmann.Bartter-Modell 1. Grundidee. Darstellung des Modells anhand eines Beispiels 3. Kretik (Josip Mamic 0min) III. Hull-White-Modell 1990 1. Grundidee. Darstellung des Modells anhand eines Beispiels (Patrik Gohse 0min) IV. Hull-White-Modell 1990 1. Grundidee. Darstellung des Modells anhand eines Beispiels 3. Kritik (Cristina Emil-Sattarov 0min) C. Ausgewählte Modelle zur Bewertung von Zinsoptionen I. kl. Modelle zur Bewertung v. Option 1. Binomial modell. Black-Scholes-Modell 3. Black-Modell 4. Eignung kl. Modelle zur Bew. von ZO (Ina Kahle 0min) V. Heath-Jarrow.Morton 1. 1. Grundidee. Darstellung des Modells anhand eines Beispiels 3. Kritik (Michael Büthmann 0min)
A. Einführung und Problematik Das Modell von Diamond(1984) Annahme: ex post Informationsasymmetrie Überwachung ( Monitoring ) oder spez. Vertragskonstruktion hohe Monitoringkosten Existenz eines Intermediäre! Kapitalgeber 1 Anreizvertrag Monitoring Unternehmer 1 Kapitalgeber m Finanz- Intermediär Unternehmer n Diversifikation durch Investition in mehrere Projekte Bankbetriebslehre, Thomas Hartmann-Wendels, Andreas Pfingsten, Martin Weber S.131 3
A.1. Arten von Zinsoptionen (Def. Option, Caps, Floors, Caplet, Auszahlung aus Caplet) Zinsoptionen können auf verschiedene Produkte geschrieben werden, die in irgendeiner Weise mit Zinszahlungen verbunden sind. Beispiele: Anleihkurse Futures und Forwards Zinssätze Terminzinssätze 4
Option Eine Option ist ein Vertrag zwischen zwei Marktteilnehmern, dabei hat, der Käufer einer Zinsoption.. gegen Zahlung einer Optionsprämie das Recht, nicht jedoch die Verpflichtung, festverzinsliche Wertpapiere zu einem im voraus vereinbarten Kurs innerhalb der Optionslaufzeit (amerikanische Option) oder zu einem vereinbarten Fälligkeitstermin (europäische Option) zu kaufen (Call) oder zu verkaufen (Put). H. E. Büschgen, Das kleine Börsenlexikon, 1., erw. Aufl., Düsseldorf 1998, S. 986 f. 5
Option (1) Long Call = Kaufposition in ein Kaufoption Long Put = Kaufposition in ein Verkaufoption Short Call = Verkaufposition in ein Kaufoption Long Put = Verkaufposition in ein Kaufoption Optionen, Futures und andere Derivate, Hull, 4. Auflage S.1 Long Call Long Put Shot Call Short Put 6
Optionen 7
Option (1) Long Call: Short Call: C = max ( S E,0) C = -max ( S E,0) Long Put: P = max ( E-S, 0) Short Put: P = max ( E-S, 0) C = Wert der Kaufoption bei sofortiger Ausübung P = Wert der Verkaufsoption bei sofortiger Ausübung S = Marktpreis des Optionsgut E = Ausübungspreis des Optionsgut Peter Reißner, Zur analytischen Bewertung von Zinsoptionen 8
Zinsoptionen Caps und Floors Ein Cap ( engl. für Deckel, Kappe) ist die Vertragliche Zusicherung einer Zinsobergrenze (strike rate) bezogen auf einen vereinbarten nominellen Kapitalbetrag für einen vorher festgelegten Zeitraum. Übersteigt dabei der Referenzzinssätze zu den Zinsanpassungstermin die Strike rate, so zahlt der Cap-Verkäufer dem Käufer die Differenz zwischen Referenzzinssatz und Zinsobergrenze Ein Floor ist das Gegenstück zu einem Cap, also die vertragliche Vereinbarung einer Zinsuntergrenze, wodurch die verzinsliche Aktiva gegen mögliche Zinssenkungen abgesichert werden können. Der Verkäufer garantiert Ausgleichszahlungen, wenn der Referenzzinssatz die Strike rate unterschreitet. P. Reißner, Zur analytischen Bewertung von Zinsoptionen 9
Zinsoptionen Caps und Floors Caps als Absicherung gegen steigende Zinssätze bei Verschuldung zu variablen Zinssätzen Caps: Kann man als Portfolio von Zinsoptionen verstehen. Caplet: Name der einzelnen Zinsoptionen des Portfolios Caprate: Der Zinssatz, der nicht überschritten werden dem abgesichert wird. soll, zu Floors zur Absicherung gegen fallende Zinssätze bei Geldanlage zu variablen Zinssätzen Floors: Ebenfalls Portfolio von Optionen Floorlet: Einzelne Zinsoption aus dem Portfolio der Optionen Floorrate: Zinssatz, der nicht unterschritten werden soll 10
Caps als Portfolio aus Zinsoptionen Auszahlungen aus einem Caplet in der Periode tk+1: CAPtk+1 = L δk max(rk Rx, 0) Nominalbetrag: L δk = tk+1 tkfür alle tk ( Zinsanpassungstermine) mit k =1,,,n Caprate: Rx Zinssatz Rk Zahlenbeispiel: L= 10 Mio., δk = 0,5, Rx = 8%, Rk = 9% Caplet = 10.000.000 x 0,5 x max( 0,09 0,08, 0) = 5.000 11
Caps als Portfolio aus Anleiheoptionen CAPtk+1 = L δk 1 + Rk δk Max (Rk Rx,0) Durch einige umformungen ergibt sich folgende Formel: CAPtk+1 = max( L - L δk (1 Rx ) 1 + Rk δk ) Zinssätze fallen => Zinssätze steigen => Diskontanleihepreise steigen Diskontanleihepreise fallen 1
Anforderungen an Bewertungsmodelle für ZO Zinsoptionen im Vergleich zum Aktienoptionen Anleihen haben eine bekannte maximale Laufzeit und einen bestimmten Rückzahlungskurs. Bei Aktien steigt die Unsicherheit über die zukünftige Kursentwicklung mit zunehmendem Zeithorizont. Bei Anleihen steigt die Unsicherheit zuerst an und sinkt nach der Hälfte der Laufzeit kontinuierlich auf Null wegen des sicheren Rückzahlungskurses (so genanntes Pull-To-Par-Phänomen). 13
Pull-to-Par 14
Anforderungen an Bewertungsmodelle für ZO Anforderungen aus den spezifische Eigenschaften von Anleihen Annahmegemäß besteht kein Bonitätsrisiko, so dass Zinsänderungsrisiko das entscheidende Risiko darstellt. Der Anleihewert besitzt eine zeitabhängige Obergrenze, wenn negative Zinssätze ausgeschlossen werden. Diese Obergrenze wird während der Laufzeit nicht überschritten und entspricht dem Rück-zahlungskurs zuzüglich den noch ausstehenden Kuponzahlungen. 15
Anforderungen an Bewertungsmodelle für ZO Generelle Anforderungen an ein Bewertungsmodell (1) Entwicklung der Bewertungsmodelle 3 Anwendungsbereich 1 Modelle für kurzfristig orientiertes Handeln von OTCund börsengehandelten ZO (Black) Modelle für komplexer, möglicherweise längerlaufende Optionen 3 Management des gesamten Zinsrisikoposition eines Intermidiärs Nur Modelle : 1. Berücksichtigung der aktuell verfügbaren Markt-information. Konsitente Modellierung der Dynamik der Zinsstrukturkurve 16
Anforderungen an Bewertungsmodelle für ZO Generelle Anforderungen an ein Bewertungsmodell () Die geschätzten Anleihewerte sollten mit den am Markt beobachteten Anleihekursen übereinstimmen. Das Modell sollte negative Zinssätze vermeiden, da ansonsten eine negative Rendite zugelassen wird. Diese Anforderung impliziert gleichzeitig, dass die Kurse eine bestimmte Obergrenze nicht überschreiten. Das Pull-To-Par Phänomen sollte berücksichtigt werden, das heißt, dass in dem Modell nicht von einer konstanten Kursvolatilität ausgegangen werden darf. 17
Generelle Anforderungen an ein Bewertungsmodell (3) In dem Modell ist die sogenannte Mean-Reversion-Eigenschaft von Zinssätzen zu berücksichtigen. Unter Mean-Reversion versteht man diejenige Eigenschaft von Zinssätzen, die darin besteht, dass eine Zugkraft den Zins in die Richtung seines langfristigen Niveaus zwingt. Durch Einbeziehung dieser Eigenschaft in das Modell wird eine verhältnismäßig realistische Abbildung der Zinsentwicklung erzielt. 18
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Generelle Anforderungen an ein Bewertungsmodell (4) Einfache Handhabbarkeit und eine geringe Anzahl der zu schätzenden Parameter sprechen für ein Modell. Ein Modell mit einem stochastischen Prozeß des Zinssatzes, der einem Markov-Prozeß folgt, ist einfacherund weniger aufwendig zu handhaben als ein Modell, in dem kein Markov-Prozeß angenommen werden kann. Für den interessierenden zukünftigen Verlauf der Variable braucht nur der aktuelle Wert herangezogen werden, da alle notwendigen Informationen aus der Vergangenheit in eben diesem Wert enthalten sind. 0
Generelle Anforderungen an ein Bewertungsmodell (5) Bei der Bewertung von Aktienoptionen ist es sinnvoll zu unterstellen, dass die Aktienkursrendite und die alternativ erzielbare Rendite sich grundsätzlich unabhängig voneinander entwickeln. Bei der Bewertung von Zinsoptionen müssen Anleiherendite und die alternativ erzielbare Rendite insoweit miteinander verträglich sein, daß sie keinen negativen Terminzinssatz für die Zeitspanne vom Ende der Optionsfrist bis zur Fälligkeit der Anleihe zur Folge haben. 1
Klassifikation der Bewertungsmodelle Modelle mit partielle Informationen Black Faktormodelle Kursmodelle (Rendleman/Bartter) Modelle mit vollständige Information Inversionsmodelle (Hull/White) Evolutionsmodelle (Heath/Jarrow/Morton) Modellübersicht Bühler/Uhrig/Walter/Weber 1998 S. 51
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Gliederung 1.) Wertgrenzen von Optionen.) Binomialmodelle 3.) Black-Scholes-Modell 4.) Black-Modell 5.) Eignung klassischer Modelle zur Bewertung von Zinsoptionen Darstellung in Anlehnung an Jurgeit 3
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Annahmen Arbitragefreie Märkte Es werden Aktien, Anleihen, sowie europäische und amerikanische Optionen gehandelt Alle Geschäfte in Aktien und Anleihen sind sofort zu erfüllen Es werden keine Steuern, Transaktionskosten, Informationskosten und keine Kosten finanzieller Anspannung erhoben Finanztitel sind beliebig teilbar Es besteht freier Marktzugang für alle Teilnehmer 4
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Annahmen () Der Staat stellt keine Restriktionen für die Preisbildung Individuen handeln risikotolerant und nutzenmaximierend Leerverkäufe sind uneingeschränkt zulässig Kauf und Verkauf risikofreier Titel können in unbeschränktem Umfang erfolgen Der Anlagezinssatz ist positiv und konstant Es wird von nur einer Währung und Geldwertstabilität ausgegangen Keine Ausschüttungen an die Aktionäre 5
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Risikoneutrale Welt f und g seien Preise beliebiger Titel in einer Welt mit der Risikoprämie λ (λ 0) und φ sein deren Quotient (φ = f/g). Es läßt sich mit dem Lemma von Ito zeigen, dass die Volatilität von g (σ g )gleich der Risikoprämie in Bezug auf das Preisverhältnis φ ist. Wird g nun so gewählt, dass σ g gleich Null ist, so kann eine risikofreie Welt geschaffen werden. 6
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Annahmen (3) Duplikationsstrategie: Optionen können durch eine geeignete Kombination aus Aktienanteilen und Teilen risikoloser Anleihen abgebildet werden. Portefeuille aus (Kauf-) Optionen, Aktien und risikolosen Anlagen mit sicherem Entwert Null kann erstellt werden. Gegenwärtiger Wert dieses Portefeuilles muss auch Null betragen (Arbitragemöglichkeiten sind annahmegemäß ausgeschlossen). 7
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Wertebereich einer Kaufoption Der Optionswert kann nicht negativ werden Er liegt über dem jeweiligen Aktienkurs abzüglich des diskontierten Basispreises und übersteigt den aktuellen Aktienkurs nicht S t C t max (0 ; S t -Kr -τ ) nach Ablauf der Optionsfrist: C T = max {0 ; S T -K} 8
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Wertebereich einer Verkaufsoption Der Optionswert kann nicht negativ werden Er liegt über dem (diskontierten) Basispreis abzüglich des jeweiligen Aktienkurses und übersteigt den (diskontierten) Basispreis nicht. Kr -τ P t max (0 ; Kr -τ -S t ) Nach Ablauf der Optionsfrist: P T = max {0 ; K - S T } 9
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Binomial-Modell: Annahmen (4) Alle Marktteilnehmer haben homogene Erwartungen hinsichtlich des zukünftigen Aktienkursverlaufs, der einem multiplikativen Binomialprozess mit den konstanten Parametern u und d folgt. Der Handel von Finanztiteln erfolgt zu diskreten und äquidistanten Zeitpunkten. 30
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Binomialbaum C t = { q C u + ( 1 q) C d } / r mit q = r d / u d und 1 q = u r / u d 31
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Herleitung Binomial-Bewertungsformel Duplikationsstrategie: 0 = C t S t h x t / r C t = S t h x t / r C u = u S t h t + rx t / r C d = d S t h t + rx t / r 3
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Mehrperiodiges Modell Eigene Quelle C t = S t B(g, n, q ) Kr -n B(g, n, q) mit q = (r d)/(u d) und q = qu / r 33
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Black-Scholes-Modell Annahmen: Alle Marktteilnehmer haben homogene Erwartungen hinsichtlich des zukünftigen Aktienkursverlaufs, der einem Itô-Prozess mit konstanter Standardabweichung der Aktienrendite pro Periode entspricht. Der Handel von Finanztiteln erfolgt kontinuierlich. Es gelten weiterhin die Annahmen von Folie 4-7 34
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Black-Scholes-Modell: Herleitung n C t = S t B (g, n, q ) Kr - (τ / n)n B (g, n, q) mit q = (r τ / n d)/(u d) und q = qu / r τ / n B( g, n, q) N (d ) und B(g, n, q ) N (d 1 ) C t = S t N(d 1 ) Kr -τ N(d ) d N(d mit für i = 1, St ln( Kr σ τ ) = τ 1 = + i ) di ( 1 σ 1 ) π τ x e und d = d 1 σ τ 35
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Beispielrechnung S t = 90 K = 80 r = 1,06 τ = 3 σ =0, 90 ln( ) 3 80 1,06 1 d1 = + 0, 3 = 0, 3 0,0086 d = 0,0086 0, = - 0,338 3 C t = 90 x N (0,0086) + 80 x 1,06 3 x N (-0,338) = 9,679 36
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Ableitung nach einzelnen Faktoren Einfluss von Aktienkursänderungen: C S t t = N ( d ) > 1 0 Einfluss der Standardabweichung: C t σ = S t τ N ' ( d ) 1 > 0 37
38 Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Ableitung nach einzelnen Faktoren () Einfluss des Basispreises: Einfluss der Restlaufzeit: 0 ) ( < = d N r K C t τ 0 ) ( ) (ln ) ( 1 ' > + = d N r Kr d N S C t t τ τ σ τ
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Black s Modell Unterschied zum Black-Scholes-Modell: Option wird auf Forward-Preis des Underlyings geschrieben Anwendungsbereich: Optionslaufzeit ist signifikant lang gegenüber der Bondlaufzeit 39
Klassische Modelle zur Bewertung von Optionen Eignung zur Bewertung von Zinsoptionen Aufgabe: Bewertung von Aktienoptionen Es werden keine Annahmen über den Zufallspfad des Zinssatzes gemacht Zinskurven ähneln den Kursverläufen von Aktienkursen ( sehr unrealistisch) Klassische Modelle sind die Grundlage der weiterentwickelten Modelle zur Bewertung von Zinsoptionen, sind selbst für deren Bewertung aber ungeeignet. 40
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Einleitung Stochastische Prozesse Ein-Faktor-Modelle Modellbeschreibung Zinsbaum berechnen Anleihepreise bestimmen Optionswerte ermitteln Kritik Mean Reversion Implizite Zinsstrukturkurve 41
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Stochastische Prozess Zeitablauf Diskret Kontinuierlich Variablen Diskret Kontinuierlich Markov-Eigenschaft Realisation des Prozesses ist in beliebigen Zeitpunkten s und t unabhängig Kein Gedächtnis Konsistent mit schwacher Informationseffizienz von Kapitalmärkten 4
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Beispiel für Zeitkontinuierliche Stochastische Prozesse Wertänderung Φ(0,1) wobei Φ(µ,σ) normalverteilt ist Summe von Normalverteilungen 43
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Wiener Prozess Eigenschaft 1: Die Veränderung z während einer kurzen Zeitperiode t ist z = ε t Mittelwert: z = 0 Varianz: z = t Standardabweichung : z = Eigenschaft : Die Werte z für zwei verschiedene kurzfristige Zeitintervalle sind unabhängig. z folgt einem Markov-Prozess t 44
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Wiener Prozess Übergang zur stetigen Verteilung t dt Quelle: Hull, S. 317 45
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Verallgemeinerung des Wiener Prozesses Allgemeiner Wiener Prozess: dx = a dt + b dz Driftrate: dx = a dt Variabilität: dx = b dz dx/dt = a x = + a t x 0 Driftrate von a je ZE Rauschen ist b mal so hoch wie bei einem Wiener Prozess 46
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Grafische Darstellung des allgemeinen Wiener Prozesses Quelle: Hull, S. 30 47
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Einordnung des Rendleman-Bartter-Modells Modelle mit partielle Informationen Faktormodelle Kursmodelle (Rendleman-Bartter) Modelle mit vollständige Information Inversionsmodelle (Hull/White) Quelle: Bühler/Uhrig/Walter/Weber 1998, S. 51 Evolutionsmodelle (Heath/Jarrow/Morton) 48
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Einordnung des Rendleman-Bartter-Modells () Ein-Faktor-Gleichgewichts Modelle: dr = m(r) dt + s(r) dz dz = ε t Vasicek Modell (1977) dr = a (b - r) dt + σ dz Rendleman/Bartter Modell (1980) dr = µr dt + σ r dz Cox, Ingersoll, and Ross Modell (1985) dr = a (b - r) dt + σ r dz 49
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Annahmen des Modells Wertpapiermarkt ist effizient Erwartungswerte für Wertpapiere mit gleichem Risiko sind identisch Risikoneutralität Der Erwartungswert der kurzfristigen Zinsentwicklung entspricht der erwarteten Drift Zinssatz verhält sich wie eine Aktie Driftrate ist konstant Zeitunabhängige und konstante Volatilität 50
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Zinsbaum berechnen Werte für µ und σ müssen vorgegeben werden Binomialbaum Ermittlung der Multiplikatoren u und d: u t = e σ σ t 1 d = e d = u Beispiel: u=1,14, d=0,8187 Man definiert i = Anzahl der Perioden t und j = Anzahl der Perioden t, in denen r steigt und erhält so: r ij = r u j d i j 51
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Zinsbaum [in %] r 3 3 = 6% 1,14 0, 8187 r 0 1 0 10 = 6% 1,14 0, 8187 Eigene Quelle 5
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Bestimmung der Anleihepreise Preis der Anleihe zum Rückzahlungszeitpunkt bekannt Preise werden aus Folgeperioden zurückgerechnet S i j rij t = e [ p Si+ +, 1, j+ 1 + (1 p) Si 1 j + Kupon] Rolling-Back-Through-The-Tree-Methode Eigene Quelle 53
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Bestimmung der Eintrittswahrscheinlichkeiten Annahme der risikoneutralen Welt Erwartungswert der kurzfristigen Zinsentwicklung muss der erwarteten Drift entsprechen Daraus folgt: e µ t = p u + (1 p) d p = µ e u t d d Beispiel: p = 0,1 1 e 0,8187 1,14 0,8187 = 0,7114 (1 p) = 0,886 54
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Anleihepreise [in ] 0,089509 1 S43 = e [0,7114 100 + 0,886 100] 0,06 1 S1 = e [0,7114 85,71+ 0,886 90,18] Eigene Quelle 55
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Ermittlung der Optionswerte In der Periode der Fälligkeit kann der Wert der Option wie folgt bestimmt werden: C ij = max[ S Ausübungspreis,0] ij Für die übrigen Knoten muss wieder die Rolling-Back- Through-The-Tree-Methode angewandt werden: C ij = e r ij t [ p Ci+, j+ 1 + (1 p) Ci+ 1, 1 j ] C ij = max[ S ij Ausübungspreis, e r ij t ( p C + (1 p) C i+ 1, j+ 1 i+ 1, j )] 56
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Optionswerte [in ] C 3 = max (85,71 80, 0) 0,0419 C10 = e [0,7114 6,59 + 0,886 10,65] Eigene Quelle 57
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Kritik Mean Reversion Zinssatz verhält sich nicht wie ein Aktienkurs Keine Berücksichtigung von Mean-Reversion Quelle: Hull, S. 566 58
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Kritik - Zinsstrukturkurven Zinsstrukturkurve beschreibt die Abhängigkeit der Rendite festverzinslicher Wertpapiere von der Restlaufzeit der Anleihe zu einem bestimmten Stichtag. Eigene Quelle 59
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Bestimmung Erwartungswerte des kurzfristigen Zinssatzes p3 = 0,5061 0,886 + 0,4106 0,7114 Eigene Quelle 60
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Bestimmung der impliziten Zinskurve Erwartungswerte des kurzfristigen Zinssatzes: t 0 1 3 4 E(r) 6,0000% 6,6311% 7,386% 8,0995% 8,9514% Eigene Quelle Gegenüberstellung der Zinsstrukturkurven: t 1 3 4 5 R(R-B) 6,0000% 6,3077% 6,6311% 6,9711% 7,386% R(Markt) 6,00% 6,50% 7,00% 7,5% 7,50% Eigene Quelle 61
Rendleman-Bartter-Modell (1980) Vergleich mit der gegebenen Zinsstrukturkurve Zinsstrukturkurve ist ein Input in diesem Modell Wird modellendogen bestimmt Eigene Quelle 6
Hull-White-Modell 1990 Gliederung Modellannahmen Darstellung des Modells Numerische Darstellung Analytische Darstellung Kritische Würdigung 63
Hull-White-Modell 1990 Modell Arbitragefreies Modell, bei dem die aktuelle Zinsstruktur ein Input ist Drift ist eine Funktion der Zeit, d.h. sie ändert sich in jeder Periode Modellfunktion: dr = a[ b r] dt + σdz a, b und σ sind Konstanten r strebt gegen ein konstantes Durchschnittsniveau b mit der konstanten Driftrate a in jedem Zeitpunkt t zurück. 64
Hull-White-Modell 1990 Beispiel Reversionsgeschwindigkeit a = 0,1 Reversionsniveau b = 0, Varianz σ = 0,014 Kurzfristiger Zinssatz r = 6% Periodenlänge t = 1 Nennwert 100, Laufzeit T = 5 Jahre Optionslaufzeit 3 Jahre, Ausübungspreis 80 65
Hull-White-Modell 1990 Trinomialbaum Numerische Berechnung Zeitdiskrete Entwicklung des kurzfristigen Zinssatzes r wird mit einem Trinomialbaum dargestellt. Verästelungsmöglichkeiten in einem Trinomialbaum: j+1 j+ j j j j j+1 j-1 j-1 j j j- a) k = j b) k = j-1 c) k = j+1 Eigene Quelle 66
Hull-White-Modell 1990 Trinomialbaum () In jedem Knoten verzweigen sich drei Pfeile nach obigen Verästelungsmuster. Standard ist Verzweigung a) Bei zu niedrigem bzw. zu hohem Zins verglichen zu seinem langfristigen Durchschnittsniveau wird das Muster b) bzw. c) verwendet Dieser Ansatz ermöglicht die Berücksichtigung der Mean Reversion 67
Hull-White-Modell 1990 Zinsbaum Berechnung Der Zinssatz an einem Knoten wird mit folgender Formel berechnet: r j = r 0 + j r Wobei j, je nach Verästelungsmuster, nur ganzzahlige Werte von - bis + annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeiten kennzeichnen wir als: p u für den oberen Pfeil p m für den mittleren Pfeil p d für den unteren Pfeil 68
Hull-White-Modell 1990 Zinssatzveränderung Nach Hull und White wird die optimale Zinssatzveränderung r mit folgender Formel berechnet: r = σ 3 t In unserem Beispiel beträgt r: r = 0,014 3 1 = 0,04 69
Hull-White-Modell 1990 Driftniveau Um die zukünftigen Zinssätze r ij berechnen zu können müssen wir wissen in welcher Verästelung wir uns befinden. Dazu muss erst die Driftrate berechnet werden: µ i, j = [ a( b r ) t] ij Für unser Beispiel ergibt sich: µ,1 = 0,1(0, 0,0843)1 = 0,0116 70
Hull-White-Modell 1990 Verästelungsprozess Liegt die Driftrate µ zwischen: ( r/ und +r/) liegt die Verästelung a) vor. (+r/ und +3r/) liegt die Verästelung b) vor. (3r/ und -r/) liegt die Verästelung c) vor. Für unser Beispiel ergibt sich: (-0,01 ; +0,01) für a) (+0,01 ; +0,036) für b) (-0,036 ; -0,01) für c) 71
Hull-White-Modell 1990 Verästelungsprozess () Die Driftrate µ,1 in unserem Beispiel liegt zwischen (-0,01 < 0,0116 < 0,01 ), deshalb gilt für diesen Knoten die Verästelung a). Berechnung der Zinssätze je nach Verästelungsmethode mit r j = r 0 + j r für unser Beispiel ergibt sich: r 3, = 0,084 + 1*0,04 = 0,1084 7
Hull-White-Modell 1990 Wahrscheinlichkeiten Berechnung Um die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Knoten zu berechnen müssen folgende Annahmen erfüllt sein: p j,k-1(k-1) r + p j,kk r+ p j,k+1(k+1) r = E(r) p j,k-1(k-1) r + p j,kk r + p j,k+1(k+1) r =σ t + E(r) p j,k-1 + p j,k + p j,k+1 = 1 73
74 Hull-White-Modell 1990 Wahrscheinlichkeiten Berechnung () Die Wahrscheinlichkeiten können mit folgenden Formeln berechnet werden: mit: r r r t p u + + = η η σ 1 r r t p m = η σ r r r t p d + = η η σ r k j t j i + = ) ( µ, η
Hull-White-Modell 1990 Wahrscheinlichkeiten Berechnung (3) Für Knoten (,1) ergeben sich folgende Rechnungen: η = 0,0116*1+ (1 1)0,04 = 0,0116 p u = 0,014 *1 * 0,04 + 0,0116 *0,04 + 0,0116 *0,04 = 0,519 p m = 0,014 *1 0,04 0,0116 0,04 1 = 0,438 p d = 0,014 *1 *0,04 + 0,0116 *0,04 0,0116 *0,04 = 0,04 75
Hull-White-Modell 1990 Wahrscheinlichkeitsbaum Eigene Quelle 76
Hull-White-Modell 1990 Berechnung der Anleihepreise Bei Fälligkeit ist der Wert der Anleihe gleich der Höhe der Rückzahlung. In unserem Bsp.: Fälligkeit T = 5, Wert 100 Analog zum Rendleman-Bartter Modell werden mit der Rolling-Back-Through-the-Tree-Methode ausgehend von der obigen sichern Auszahlung die Preise der Anleihe in den zurückliegenden Perioden mit folgender Formel berechnet: 77
Hull-White-Modell 1990 Berechnung der Anleihepreise () S [ p S + p S + p S ] rij t i, j = e k + 1 i+ 1, k + 1 k i+ 1, k k 1 i+ 1, k 1 d.h. die Anleihepreise in T-1 werden durch Gewichtung der Werte in t mit ihren jeweils zugehörigen Wahrscheinlichkeiten in t-1mit dem erwarteten Zinssatz r ij diskontiert. Beispiel für S,1 : [ + 0,4388*83,59 + 0,04*87,468] 75, 137 0,84 S(,1) = e *1 0,519*79,768 = 78
Hull-White-Modell 1990 Anleihenbaum Eigene Quelle 79
Hull-White-Modell 1990 Berechnung der Optionswerte Berechnung der Optionspreise analog zu Rendleman- Bartter, mit dem Unterschied wie bei der Anleihenberechnung, dass hier mit drei Werten gewichtet wird. [ ] r t S K; e ( p C + p C + p C ) ij Cij = max ij j, j 1 i+ 1, j-1 j, j i+ 1, j j, j+ 1 i+ 1, j+ 1 Beispiel für C (,1) : 0,084*1 [ 80; e ( 0,519*0 + 0,438*3,59 + 0,04*7,468) ] 1, 711 C(,1) = max 75,137 = 80
Hull-White-Modell 1990 Optionsbaum Eigene Quelle 81
8 Hull-White-Modell 1990 Analytische Berechnung Analytische Berechnung der Anleihenwerte: ), ( * ), ( ), ( T B t r ij T e At T P t = a e T t B t T a ) ( 1 ), ( = + = a T B t a b a t T T B t e T A t 4 ), ( ) / )( ), ( ( ), ( σ σ
Hull-White-Modell 1990 Berechnung Rechnung für Knoten (,1): B (,5 ) = 1 0 e 0,1,1 ( 5 ) =,5918 (,5918 5+ )(0,1 *0, 0,014 A(,5) = e 0,1 / ) 0,014 *,5918 4*0,1 = 0,93 P(,5) = 100 * 0,93 * e 0,084*,5918 = 74,14 83
Hull-White-Modell 1990 Anleihenbaum-analytische Berechnung Eigene Quelle 84
Hull-White-Modell 1990 Optionsbaum Optionswerte werden analog zur numerischen Berechnung ermittelt: Eigene Quelle 85
Hull-White-Modell 1990 Analytische Berechnung mit bekannter Zinsstrukturkurve P(3,5) = 100*0,9635* e 0,07*1,817 = 84,868 C( 3) = max(0;84,868 80) = 4,868 C(0) = 4,868* e 0,07*3 = 3,946 86
Hull-White-Modell 1990 Implizite Zinsstrukturkurve Die implizite Zinsstrukturkurve wird ermittelt indem wir die Wahrscheinlichkeiten an den einzelnen Knoten bestimmen und anschließend das geometrische Mittel der Erwartungswerte des kurzfristigen Zinssatzes ermitteln. 87
Hull-White-Modell 1990 Berechnung der implizite Zinsstrukturkurve Beispiel für die Wahrscheinlichkeit am Knoten (,1): Knoten(,1) = (0,4579*0,4388) + (0,4966*0,4880) + (0,0455*0,0574) = 0,4458 Beispiel für den Erwartungswert des Zinssatzes für Periode : E( r) = (0,6* 0,1085) + (0,4458 * 0,0845) + (0,769 * 0,06) + (0,0179 * 0,03575) = 0,083 Berechnung der impliziten Zinsstrukturkurve: R t = n ( E( r ) + 1) *( R ) t t 1 + 1 n 1 ( ) 0,07 + 1 0, 0765 R1 = (0,083 + 1)* = 1 88
Hull-White-Modell 1990 Berechnung der implizite Zinsstrukturkurve () Eigene Quelle 89
Hull-White-Modell 1990 Kritik Durch Einführung eines zweiten zeitabhängig formulierten Parameters ist die gleichzeitige Anpassung des Modells an die aktuelle Zinsstruktur und an eine vorgegebene Volatilitätsstruktur möglich Berücksichtigt Mean Reversion, da Drift nicht konstant Berücksichtigt Pull-to-Par Negative Zinsen möglich 90
Hull-White-Modell 1990 Kritik () Einbeziehung der am Markt beobachteten Werte als Startwerte und damit endogene Ermittlung der impliziten Zinsstrukturkurve. Trotzdem stimmt die implizite nicht mit der beobachtbaren Zinsstrukturkurve über den ganzen Zeitverlauf überein. 91
Hull-White-Modell 1993 Gliederung Modell Analytische Berechnung Numerische Berechnung Kritik 9
Hull-White-Modell 1993 Modell Hull-White (1990) dr = a(b-r)dt +σ dz Hull-White (1993) dr = (θ (t) - ar)dt + σ dz 93
Hull-White-Modell 1993 Modell Hull-White (1990) dr = a(b-r)dt +σ dz Hull-White (1993) dr = (θ (t) - ar)dt + σ dz dr = a(θ (t)/a - r)dt + σ dz 94
Hull-White-Modell 1993 Modell Hull-White (1990) dr = a(b-r)dt +σ dz Hull-White (1993) dr = (θ (t) - ar)dt + σ dz dr = a(θ (t)/a -r)dt+ σ dz 95
Hull-White-Modell 1993 Modell Hull-White (1990) dr = a(b-r)dt +σ dz konstantes Durchschnittsniveau Hull-White (1993) dr = (θ (t) - ar)dt + σ dz dr = a(θ (t)/a -r)dt+ σ dz zeitabhängiges Durchschnittsniveau 96
Hull-White-Modell 1993 Modell Weitere Variablen: 1. R(t) = der Zinssatz im t für die Periode t dr = (θ (t) - ar)dt + σ dz. R*(t) dr* = -ar*dt + σ dz 97
Hull-White-Modell 1993 Analytische Berechnung P(t,T) = A(t,T)exp(-r(t)B(t,T)) ( 1 exp( a( T t) )) a B ( t, T ) = / ln A( t, T ) P(0, T ) ln P(0, t) 1 = ln B( t, T ) σ at P(0, t) t 4a ( exp( at ) exp( at) ) ( exp( ) 1) 3 => 100P(3,5) = 100*0,9749*exp(-0,07*1,817) = 85,8745 => C(3) = 85,8745-80 = 5,8745 => C(0) = 5,8745*exp(-0,07*3) = 4,7618 98
Hull-White-Modell 1993 Numerische Berechnung Schritte: 1. Zinsbaum für R*. Zinsbaum für R 99
Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum 1. 1 3 4 5 t 100
Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum R* R 1. R 0 - R - R 1 3 4 5 t 101
R* R Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum R = σ 3 t 1. R 0 - R - R 1 3 4 5 t 10
R* R Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum R = σ 3 t 1. R R = 0,014* 3 0 - R - R 1 3 4 5 t 103
R* R R 0 Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum R = σ 3 t R = 0,014* 3 R =,4% 1. - R - R 1 3 4 5 t 104
Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum R* R (,) 1. R 0 - R - R 1 3 4 5 105 t
Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum R* R (,) 1. R 0 - R (3,-1) - R 1 3 4 5 t 106
Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum R* R (,) (3,) (4,) (5,) 1. R (1,1) (,1) (3,1) (4,1) (5,1) 0 (0,0) (1,0) (,0) (3,0) (4,0) (5,0) - R (1,-1) (,-1) (3,-1) (4,-1) (5,-1) - R (,-) (3,-) (4,-) (5,-) 1 3 4 5 t 107
Hull-White-Modell 1993 Verzweigung R* R (,) (3,) (4,) (5,) 1. R (1,1) (,1) (3,1) (4,1) (5,1) 0 (0,0) (1,0) (,0) (3,0) (4,0) (5,0) - R (1,-1) (,-1) (3,-1) (4,-1) (5,-1) - R (,-) (3,-) (4,-) (5,-) 1 3 4 5 t 108
Hull-White-Modell 1993 Verzweigung R* R (,) (3,) (4,) (5,) 1. R (1,1) (,1) (3,1) (4,1) (5,1) 0 (0,0) (1,0) (,0) (3,0) (4,0) (5,0) - R (1,-1) (,-1) (3,-1) (4,-1) (5,-1) - R (,-) (3,-) (4,-) (5,-) 1 3 4 5 t 109
Hull-White-Modell 1993 Verzweigung R* R (,) (3,) (4,) (5,) 1. R (1,1) (,1) (3,1) (4,1) j max ist der kleinste (5,1) ganze Zahl größer 0 (0,0) (1,0) (,0) (3,0) (4,0) (5,0) als 0,184/(a t) - R (1,-1) (,-1) (3,-1) (4,-1) (5,-1) - R (,-) (3,-) (4,-) (5,-) 1 3 4 5 t 110
Hull-White-Modell 1993 Verzweigung R* R (,) (3,) (4,) (5,) 1. R (1,1) (,1) (3,1) (4,1) j (5,1) max = 0 (0,0) (1,0) (,0) (3,0) (4,0) (5,0) - R (1,-1) (,-1) (3,-1) (4,-1) (5,-1) - R (,-) (3,-) (4,-) (5,-) 1 3 4 5 t 111
Hull-White-Modell 1993 Verzweigung R* R (,) (3,) (4,) (5,) 1. R (1,1) (,1) (3,1) (4,1) j max = (5,1) 0 (0,0) (1,0) (,0) (3,0) (4,0) (5,0) - R - R (1,-1) (,-1) (,-) (3,-1) (3,-) (4,-1) (4,-) (5,-1) j min = - (5,-) 1 3 4 5 t 11
Hull-White-Modell 1993 Verzweigung (,) (3,) (4,) (5,) 1. (1,1) (,1) (3,1) (4,1) (5,1) (0,0) (1,0) (,0) (3,0) (4,0) (5,0) (1,-1) (,-1) (3,-1) (4,-1) (5,-1) (,-) (3,-) (4,-) (5,-) 113
Hull-White-Modell 1993 Wahrscheinlichkeiten Berechnung (,) (3,) (4,) (5,) 1. (1,1) (,1) dr* = -adr*dt + σ dz (3,1) (4,1) (5,1) (0,0) (1,0) (1,-1) (,0) (,-1) E [ R *] Var p o (3,0) (4,0) (5,0) (3,-1) [ ] [ (4,-1) ] R * = E R * ( E[ R *(5,-1) ]) + p u = ar * t + p m = 1 = σ t (,-) (3,-) (4,-) (5,-) 114
Hull-White-Modell 1993 Wahrscheinlichkeiten Berechnung (,) (3,) (4,) (5,) 1. (1,1) (,1) dr* = -adr*dt + σ dz (3,1) (4,1) (5,1) (0,0) (1,0) (1,-1) (,0) (,-1) E [ R *] Var p o (3,0) (4,0) (5,0) (3,-1) [ ] [ (4,-1) ] R * = E R * ( E[ R *(5,-1) ]) + p u = ar * t + p m = 1 = σ t (,-) (3,-) (4,-) E[ R*] = p o R+ p m *0 + p u (- R) = p o R-p u R (5,-) 115
116 (0,0) (5,) (5,1) (5,0) (5,-) (5,-1) (4,-) (4,-1) (4,0) (4,1) (4,) (3,) (3,1) (3,0) (3,-1) (3,-) (,-) (,-1) (,0) (,1) (,) (1,-1) (1,0) (1,1) 1. Hull-White-Modell 1993 Wahrscheinlichkeiten Berechnung ( ) = + + = + = 1 m u o u o u o p p p t t R aj R p R p t R aj R p R p σ + + = = + = 6 1 3 6 1 t aj t j a p t j a p t aj t j a p u m o
117 + + = = + = 6 1 3 6 1 t aj t j a p t j a p t aj t j a p u m o + + = = + + = 3 6 7 3 1 6 1 t aj t j a p t aj t j a p t aj t j a p u m o + = + = + = 6 1 3 1 3 6 7 t aj t j a p t aj t j a p t aj t j a p u m o 1. Hull-White-Modell 1993 Wahrscheinlichkeiten Berechnung
Hull-White-Modell 1993 Wahrscheinlichkeiten Berechnung 1. (,) (3,) (4,) (5,) p o a0,8867 p m a0,066 p u a0,0867 (1,1) (,1) (3,1) (4,1) (5,1) p o a0,117 p m a0,6566 p u a0,17 (0,0) (1,0) (,0) (3,0) (4,0) (5,0) p o a0,1667 p m a0,6666 p u a0,1667 (1,-1) (,-1) (3,-1) (4,-1) (5,-1) p o a0,17 p m a0,6566 p u a0,117 (,-) (3,-) (4,-) (5,-) p o a0,0867 p m a0,066 p u a0,8867 118
Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum Zinsbaum für R* => Zinsbaum für R. (,) (3,) (4,) (5,) p o a0,8867 p m a0,066 p u a0,0867 (1,1) (,1) (3,1) (4,1) (5,1) p o a0,117 p m a0,6566 p u a0,17 (0,0) (1,0) (,0) (3,0) (4,0) (5,0) p o a0,1667 p m a0,6666 p u a0,1667 (1,-1) (,-1) (3,-1) (4,-1) (5,-1) p o a0,17 p m a0,6566 p u a0,117 (,-) (3,-) (4,-) (5,-) p o a0,0867 p m a0,066 p u a0,8867 119
Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum R(1)=6,5% (1,1) (,) (,1) (3,) (4,) (5,) Wir bestimmen R(1,1), R(1,0) und R(1,-1) (3,1) (4,1) (5,1).. R(0)=6% (0,0) p o a0,1667 p m a0,6666 p u a0,1667 (1,0) (1,-1) (,0) (3,0) (4,0) (5,0) Q(i,j) = der Wert im t=0 einer Nullkuponanleihe mit dem Nennwert 1, die im Knoten (i,j) fällig ist. (,-1) (3,-1) (4,-1) (5,-1) (,-) Q(1,1) = 0,1667*exp(-0,06) = 0,157 Q(1,0) = 0,666*exp(-0,06) = 0,678 (3,-) (4,-) (5,-) Q(1,-1) = 0,1667*exp(-0,06) = 0,157 10
Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum R(1)=6,5% (,) (3,) (4,) α (i) = die Differenz zw. R und R*im t=i (5,) p o a0,8867 p m a0,066. p u a0,0867 (1,1) (,1) (3,1) => R(1,j) = α (1) + R*(1,j) (4,1) (5,1) p o a0,117 p m a0,6566 p u a0,17 R(0,0)=6% (0,0) p o a0,1667 p m a0,6666 p u a0,1667 (1,0) (1,-1) (,0) (,-1) (3,0) (4,0) R(1,1) Q(,j) = Q(1,1)exp(-α (3,-1) (1)-R*(1,1)) (4,-1) + Q(1,0)exp(-α (1)-R*(1,0)) (5,0) (5,-1) R(1,0) p o a0,1667 p m a0,6666 p u a0,1667 p o a0,17 p m a0,6566 p u a0,117 (,-) + Q(1,-1)exp(-α (1)-R*(1,-1)) (3,-) (4,-) (5,-) p o a0,0867 p m a0,066 p u a0,8867 R(1,-1) 11
Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum R(1)=6,5% (,) Wert am Markt (3,) Q(,j) = exp(-r(1)) (4,) (5,). p o a0,8867 p m a0,066 p u a0,0867 R(0,0)=6% (0,0) p o a0,1667 p m a0,6666 p u a0,1667 (1,1) (1,0) (1,-1) (,1) (,0) (,-1) (3,1) (3,0) = (4,1) (4,0) Q(,j) = Q(1,1)exp(-α (3,-1) (1)-R*(1,1)) (4,-1) + Q(1,0)exp(-α (1)-R*(1,0)) (5,1) (5,0) (5,-1) p o a0,117 p m a0,6566 p u a0,17 p o a0,1667 p m a0,6666 p u a0,1667 p o a0,17 p m a0,6566 p u a0,117 (,-) + Q(1,-1)exp(-α (1)-R*(1,-1)) (3,-) (4,-) (5,-) p o a0,0867 p m a0,066 p u a0,8867 Wert im Zinsbaum 1
Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum R(1)=6,5% (,) Wert am Markt (3,) Q(,j) = exp(-r(1)) (4,) (5,). p o a0,8867 p m a0,066 p u a0,0867 R(0,0)=6% (0,0) p o a0,1667 p m a0,6666 p u a0,1667 (1,1) (1,0) (1,-1) (,1) (,0) (,-1) (3,1) (4,1) (5,1) (3,0) = => α (1) = 0,0701 (4,0) Q(,j) = Q(1,1)exp(-α (3,-1) (1)-R*(1,1)) (4,-1) + Q(1,0)exp(-α (1)-R*(1,0)) (5,0) (5,-1) p o a0,117 p m a0,6566 p u a0,17 p o a0,1667 p m a0,6666 p u a0,1667 p o a0,17 p m a0,6566 p u a0,117 (,-) + Q(1,-1)exp(-α (1)-R*(1,-1)) (3,-) (4,-) (5,-) p o a0,0867 p m a0,066 p u a0,8867 Wert im Zinsbaum 13
Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum R(1)=6,5% (,) (3,) (4,) (5,). p o a0,8867 p m a0,066 p u a0,0867 R(0,0)=6% (0,0) p o a0,1667 p m a0,6666 p u a0,1667 (1,1) (1,0) (1,-1) (,1) (,0) (,-1) (3,1) (4,1) (5,1) (3,0) (3,-1) (4,0) R(1,1) = 0,0701 + 0,04 = 0,0943 (4,-1) R(1,0) = 0,0701 + 0 = 0,0701 (5,0) (5,-1) p o a0,117 p m a0,6566 p u a0,17 => α (1) = 0,0701 => p o a0,1667 p m a0,6666 p u a0,1667 p o a0,17 p m a0,6566 p u a0,117 (,-) R(1,-1) = 0,0701-0,04 = 0,0458 (3,-) (4,-) (5,-) p o a0,0867 p m a0,066 p u a0,8867 14
Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum (,) (3,) (4,) (5,) 0,1885 0,19 0,13466 0,88667 68,509 77,188 87,40 100 0,0667 0,3783 0 0,08667. (1,1) (,1) (3,1) (4,1) (5,1) 0,09435 0,1046 0,10497 0,11041 0,1167 67,06 73,16 80,87 89,547 100 0,65667 1,75599 1,41531 0,87 0,167 (0,0) (1,0) (,0) (3,0) (4,0) (5,0) 0,06 0,0701 0,08035 0,0807 0,08616 0,16667 68,79 7,894 78,131 84,639 91,745 100 0,66667 3,9797 4,11003 4,308 4,639 0,16667 (1,-1) (,-1) (3,-1) (4,-1) (5,-1) 0,04585 0,05611 0,05647 0,06191 0,167 79,34 83,438 88,69 93,997 100 0,65667 7,15591 7,8071 8,69 0,1167 (,-) (3,-) (4,-) (5,-) 0,03186 0,03 0,03766 0,08667 89,104 9,808 96,304 100 0,0667 11,617 1,808 0,88667 15
R(i,j) S(i,j) C(i,j) Hull-White-Modell 1993 Trinomialbaum (,) (3,) (4,) (5,) 0,1885 0,19 0,13466 0,88667 68,509 77,188 87,40 100 0,0667 0,3783 0 0,08667 (i,j). (1,1) (,1) (3,1) (4,1) (5,1) 0,09435 0,1046 0,10497 0,11041 0,1167 67,06 73,16 80,87 89,547 100 0,65667 1,75599 1,41531 0,87 0,167 (0,0) (1,0) (,0) (3,0) (4,0) (5,0) 0,06 0,0701 0,08035 0,0807 0,08616 0,16667 68,79 7,894 78,131 84,639 91,745 100 0,66667 3,9797 4,11003 4,308 4,639 0,16667 (1,-1) (,-1) (3,-1) (4,-1) (5,-1) 0,04585 0,05611 0,05647 0,06191 0,167 79,34 83,438 88,69 93,997 100 0,65667 7,15591 7,8071 8,69 0,1167 (,-) (3,-) (4,-) (5,-) 0,03186 0,03 0,03766 0,08667 89,104 9,808 96,304 100 0,0667 11,617 1,808 0,88667 16
Hull-White-Modell 1993 Kritik + die implizite Zinsstrukturkurve stimmt mit der Zinsstrukturkurve am Markt per Definition überein + Mean Reversion + konsistentes Verfahren zur Bildung von Trinomialbäumen dr = (θ (t) - af(r))dt + σ dz f(r) = r oder f(r) = ln(r) + analytisch handhabbar - negative Zinssätze möglich - analytisch nicht handhabbar + nur positive Zinssätze - Schätzung der Volatilität und der Driftrate 17
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell Gliederung HJM Grundidee Spezifikation Bewertung Zusammenfassung Bewertung der Modelle Bühler Studie Bedeutung für den Jahresabschluss 18
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell Einordnung Modelle mit partieller Information Faktormodelle Rendleman/Bartter Kursmodelle Modelle mit vollständiger Information Inversionsmodelle Hull/White Evolutionsmodelle Heath/Jarrow/Morton Modellübersicht 19
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell Inversions- vs. Evolutionsmodell Inversionsmodelle: Modellierung der/des bestimmenden Faktoren/s durch Differentialgleichung; durch Lösen unter Nebenbedingungen einer ähnlichen Differentialgleichung erhält man z.b. aktuelle Zinsstrukturkurve oder Werte von Zinsinstrumenten Evolutionsmodelle: Modellierung der aktuellen Zinsstrukturkurve; Ableitung der Werte der Zinsinstrumente aus dieser 130
131 Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell Grundidee Modellierung der Zinsstrukturkurve durch Modellierung der stetigen Terminzinssätze (1) Modellierung von Nullkuponanleihen () Äquivalenz beider Ansätze (3) mit dz T t P T t v dt T t P t r T t dp )), (,, ( ), ( ) ( ), ( + = dz T P P T dt T P P T T t df T P T P ] ) ( ) [( ] ) ( ) [( ), ( + + + = ξ ξ ξ ξ ξ + = i i dz i f T t dt T t T t df ),, ( ),, ( ), ( σ α ), ( ),, ( ),, ( T t P P T t v P T t = ξ
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell Folgerungen aus den Formeln Aus df σ + i( t, T, f ) σ i( t, s, f ) ds] ( t, T) = [ σ ( t, T, i T t i i f ) dz i folgt, dass es sich um eine Klasse von Modellen handelt. Die Wahl der Volatilitätsfunktion bestimmt das konkrete Modell. Bsp. Ein-Faktor σ ( t, T, f ) = σ Absolut (Ho/Lee) σ ( t, T, f ) = σ σ ( t, T, f ) = σf f Wurzel Proportional 13
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell Konsequenz der Nicht-Markov-Eigenschaft r ( t) = f ( t, t) Aus folgt durch Umformungen, dass nicht unabhängig von seiner Vergangenheit ist, sprich nicht die Markov-Eigenschaft besitzt. Folge: Nicht-rekombinierende Bäume bei der Implementation, Grenze der Rechenleistung von Computern (heutzutage) schnell erreicht r(t) 133
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell bushy tree Nicht-rekombinierender Binomialbaum 134
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell Lösungsmöglichkeit Abstellen auf Monte-Carlo-Simulation Vorgehen: Schätzen des Zinsprozesses Generierung von Pfadstichproben mit Hilfe des Zinsprozesses Ableitung der Derivatpreise aus den Pfaden 135
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell Folgerungen aus den Formeln Aus df σ + i( t, T, f ) σ i( t, s, f ) ds] ( t, T) = [ σ ( t, T, i T t i i f ) dz i folgt, dass es sich um eine Klasse von Modellen handelt. Die Wahl der Volatilitätsfunktion bestimmt das konkrete Modell. Bsp. Ein-Faktor σ ( t, T, f ) = σ Absolut (Ho/Lee) σ ( t, T, f ) = σ σ ( t, T, f ) = σf f Wurzel Proportional 136
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell Analytische Lösung bei der Ho/Lee-Spezifikation Durch Lösen der Differentialgleichung unter Nebenbedingungen folgt für eine Kaufoption: C T = LP( 0, s) N( h) KP(0, T) N( h σ P ) h = 1 LP(0, s) σ P ln + σ s T σ P(0, T ) K T P = σ ( ) P Diese Formel entspricht im Wesentlichen der Black- Formel. 137
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell Beurteilung der Spezifikation Vorteil: Analytische Lösung möglich Einfache Anwendung Nachteil: Keine Mean-Reverting-Eigenschaft Volatilität der Prozesse konstant; im Wesentlichen entspricht dies Black 138
Heath-Jarrow-Morton (HJM) Modell Beurteilung des HJM-Ansatzes Vorteile: Wahlmöglichkeit der Spezifizierung Leichte Erweiterbarkeit auf Mehrfaktoransätze Konsistent mit der am Markt beobachtbaren Zinsstrukturkurve Nachteile: Probleme bei der Bestimmung des Zinsprozesses Nicht-rekombinierende Baumdiagramme ( bushy trees ) und damit verbundene Rechenprobleme Anwendungsprobleme der Monte-Carlo-Methode bei amerikanischen Optionen und sog. exotischen Optionen 139
Zusammenfassung Modellübersicht Modell Voraussetzungen Modellierter Faktor* Gleichung Black Effizienter Markt, Gleichgewichtsmodell Kurzfristiger Zinssatz dr = µ rdt + σrdz Rendelman/B artter Effizienter Markt, Gleichgewichtsmodell Kurzfristiger Zinssatz dr = µ rdt + σrdz Hull/White I Effizienter Markt, Arbitragelosigkeit-Modell Kurzfristiger Zinssatz dr = a [ b r] dt + σdz Hull/White II Effizienter Markt, Arbitragelosigkeit-Modell Kurzfristiger Zinssatz, Spread zum langfristigen Zinssatz dr = (θ (t) - ar)dt + σ dz Heath/Jarrow/ Morton Effizienter Markt, Arbitragelosigkeit-Modell Terminzinssätze * Die Faktoren werden risikopräferenzfrei modelliert df ( t, T) = α( t, T, ) dt+ σ ( t, T, f ) dz i i i 140
Zusammenfassung Rechenergebnisse Modell analytisch numerisch Black 9,86 -------------------- Rendleman/Bartter -------------------- 3,86 Hull/White I 3,94,04 Hull/White II 4,76 3,98 HJM (Ho/Lee) Entspricht Black -------------------- Anmerkung: Numerische Methoden werden gewöhnlich nur dann benutzt, wenn analytische nicht zur Verfügung stehen. 141
Zusammenfassung Vorteile vs. Nachteile Modell Vorteile Nachteile Black Analytische Lösung, Einfache Handhabbarkeit Konstante Volatilität, Keine Mean-Reverting- Eigenschaft, Zinsstrukturkurve ist endogen Rendleman/Bartter Umsetzung der Binomialbäume Einfache Handhabbarkeit Konstante Volatilität, Zinsverlauf gleicht Verlauf einer Aktie, Keine Mean-Reverting-Eigenschaft, Zinsstrukturkurve ist endogen Hull/White I Mean-Reverting-Eigenschaft Negative Zinssätze, Zinsstrukturkurve ist endogen Hull/White II Bessere Übereinstimmung mit Marktzinssätzen als Hull/White I Negative Zinssätze, Zinsstrukturkurve ist endogen Heath/Jarrow/Morton (Ho/Lee) Konsistenz zur Marktsituation, Erweiterbarkeit auf mehrere Faktoren bushy trees, Komplexe Bestimmung des Zinsprozesses 14
Zusammenfassung Vergleich der impliziten Zinsstrukturen Implizite Zinsstrukturkurven Anmerkung: HJM-Modelle stimmen per Konstruktion mit der realen Zinsstrukturkurve überein. 143
Zusammenfassung Generelle Probleme Inversionsmodelle modellieren die Zinsstrukturkurve endogen, Nachkalibrieren nötig Qualität der Evolutionsmodelle hängt von Wahl der Volatilitätsfunktion ab, Spezifikation oft schwierig Gleichgewichts- oder Nicht-Arbitrageannahme für Markt gerechtfertigt? Welcher Zinssatz soll modelliert werden? 144
Zusammenfassung Empirische Untersuchung Nach: U. Bühler/M. Uhrig/U. Walter/T. Weber, Erfahrungen bei dem Einsatz von Modellen zur Bewertung von Zinsoptionen eine empirische Studie, in: Credit Risk und Value-at-Risk Alternativen. 1998, S. 155-198. Es gibt 3 Hauptprobleme: Bestimmung der aktuellen Zinsstrukturkurve Modellierung des Übergangsverhaltens Bewertung der Option mit numerischen Methoden Bei all diesen entstehen Probleme durch Schätzungen u.ä. 145
Zusammenfassung Ergebnis der Bühler-Studie Untersuchung von 7 HJM-Spezifikationen und 3 Inversionsmethoden Ranking: Modell- Klasse Modell Schätzung Anpassung Bewertung Emp. Qualität Evolutionsm odelle 1-Faktor-HJM -Faktor-HJM 4 5 1 1 4 5 3 5 Inversionsm odelle Short-Rate Long-Rate und Spread 1 5 3 1 3 4 1 Short-Rate und Volatility 3 4 Ranking der Modelle 146
Zusammenfassung Einbettung in den Gesamtkontext IAS 3/39 fordert Bewertung von Finanztitel zum Marktpreis oder beizulegendem Zeitwert Anerkannte Verfahren sind u.a. Optionsbewertungsmethoden Sicherung des Vermögens/ Zinsrisikomanagement mit Hilfe von Optionen 147
Zusammenfassung Bedeutung für den JAB Der durch IAS geforderte Zeitwert fällt unterschiedlich aus. Durch Wahl des Modells kann Über- bzw. Unterbewertung bewusst genutzt werden. Bessere Informationsversorgung von (zukünftigen) Anlegern bleibt fraglich. Ebenfalls offen bleibt, ob die Absicherungsinstrumente bei einer Maximalbelastung nicht auch versagen. 148