Teil : Grundkompetenzen ( Punkte) Beispiel : ( Punkt) Die nebenstehende Graphik stellt ein eponentielles Wachstum der Form f() = a b (a, b R + ) dar. Bestimme aus dem Graphen die Werte der Konstanten a und b! a= 3 b= 5 / 3 0 9 8 7 6 5 4 3-4 -3 - - 0 3 4 MatheGrafi.de Beispiel : ( Punkt) Ordne den nebenstehenden Graphen die vier passenden Funktionsgleichungen zu! Beschrifte die Graphen richtig! f () = f () = - 3 f 3 () = f 4 () = f 5 () = + f 6 () = 3 + Beispiel 3 : ( Punkt) Kreuze nur die zutreffenden Eigenschaften für die folgenden Funktionen im richtigen Feld an! Eigenschaften f() = tan() f() = cos() f() = Monoton steigend für > 0 (im D) Auf ganz definiert Periodisch f() besitzt mindestens eine Nullstelle Beispiel 4 : ( Punkt) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! f() = sin() ist eine ungerade Funktion f() = cos() hat die Amplitude f() = cos() hat in [0; π] keine Nullstelle f() = cos( / ) schwingt schneller als f() = cos() tan(-) = - tan ()
Beispiel 5 : ( Punkt) Die Abbildung zeigt den zeitlichen Verlauf (t in s) der Spannung U (in V) während eines physikalischen Eperiments. Ermittle die absolute und die relative Änderung der Spannung während der ersten 0 Sekunden de Eperiments! Absolute Änderung: V Relative Änderung: 60 % Beispiel 6 : ( Punkt) Das radioaktive Radium-6 hat eine Halbwertszeit von 600 Jahren (d.h. in dieser Zeit ist die Konzentration auf die Hälfte des Anfangswertes gesunken). Ermittle die Basis a, wenn das t Element nach dem Zerfallsgesetz N( t) N a zerfällt! Es gilt: a 600 = /, daher a=0.9995668768 Beispiel 7 : ( Punkt) Ergänze die Tabelle: = 0 Konstante prozentuelle Zunahme bzw. Abnahme pro Einheit Wachstums (Abnahme-)faktor Anfangsbestand Funktionsgleichung 3%,3 4 f() = 4,3-3,8% 0,96 00 f()= 00 0,96 45%,45 3 f()=3,45 Beispiel 8 : ( Punkt) Gegeben sind Bedingungen für ein Winkelmaß α. Ordne den Bedingungen in der linken Tabelle ein passendes Winkelmaß α aus der rechten Tabelle zu! sin α <0 und cos α > 0 D A 70 sin α >0 und cos α=0 sin α=- und cos α=0 sin α>0 und cos α<0 E A F B 45 C 30 D 80 sin α =0,5 und cos α>0 C E 90 F 60 Beispiel 9 : ( Punkt) Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer Funktion f mit f( ) = a sin( b) + c. Ermittle a, b und c! a= b=4 c=
Beispiel 0 : ( Punkt) Skizziere zum vorgegebenen Graphen der Funktion f() = cos() den Graphen der Funktion g() = cos(0,5)! Beispiel : ( Punkt) Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in der Unbekannten über der Grundmenge : ² + 0 +q = 0 mit q. Gib an, für welche Werte q die Gleichung genau zwei verschiedene Lösungen besitzt! Es gilt für die Diskriminante D: D=5 q>0, d.h. q<5. Beispiel : ( Punkt) Gegeben sind Aussagen zu Zahlen. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an! Die Zahl liegt in, aber nicht in. Die Zahl liegt in. Die Zahl liegt in und in. Die Zahl liegt in. Die Zahl liegt nicht in. Hinweise: - Teil prüft das Wesentliche ausgewählter Themenbereiche. Die Aufgaben in Teil werden mit insgesamt Punkten bewertet, jede Teilaufgabe mit Punkt. Um eine positive Beurteilung zu erhalten, sind in jedem Fall zumindest / 3 der Punkte in diesem Bereich - das sind 8 Punkte - zu erreichen. - Teil folgt und wird getrennt von Teil bearbeitet.
Teil : Erweiterungsstoff ( Punkte) Die mit (*) gekennzeichneten Aufgaben a und 3a enthalten Kompensationspunkte für die Aufgaben des. Teils und können ergänzend zu Teil bearbeitet werden! Beispiel : (4 Punkte) Auf einer Südatlantikinsel wurde im Jahre 695 eine unbekannte Anzahl von Ziegen ausgesetzt. Im Jahre 705 zählte man 5 Ziegen, zwei Jahre später waren es schon 36 Ziegen. a)(*) Bestimme die jährliche Zuwachsrate in %! Es gilt für die Anzahl der Ziegen Z: Z t = Z 0 q t. D.h.: 36 = 5 q und daraus q= 6 / 5 =, b) Wieviele Ziegen waren im Jahre 695 ausgesetzt worden, wenn man eponentielles Wachstum annimmt? Es gilt: 5 = Z 0, 0 und daher: Z 0 =4,03, also 4 Ziegen. c) Wieviele Ziegen könnte man heute (06) auf der Insel erwarten, wenn sich das Wachstum nicht verlangsamt hat? Z 3 = 5, 3 =,05 0 6 Ziegen eine unvorstellbare Zahl! d) Berechne (näherungsweise), in welchem Zeitraum sich der Ziegenbestand verdoppelt! Man löst (näherungsweise) die Gleichung: =, t für die Variable t und erhält: t=ca. 3,8 Jahre e) Begründe, weshalb sich die Ziegenvermehrung mit einem linearen Wachstumsmodell kaum gut beschreiben lässt! Beispiel : (4 Punkte) Ergänze die folgende Tabelle! f() = 3 sin() f() = cos( / ) f() = sin( ) Frequenz / Symmetrie punktsymmetrisch achsensymmetrisch punktsymmetrisch Nullstellen in [0; π] N (0 0), N (π 0) N(π 0) N(0 0), N ( π / 0), N 3 (π 0) Lokale Etremstellen in [0; π] E ( π /, 3) Keine lokalen Etremstellen, E(0 ) und E (π 0) wären globale Etremstellen E( π / 4 ), E ( 3π / 4 -) Beispiel 3: (4 Punkte) Funktionen des Typs f ) = a b ( z +, z 0 können einen völlig unterschiedlichen Verlauf aufweisen. a)(*) Skizziere die Funktion f mit a=, z= -, b=! Es gilt: f() = / +, die Funktion sieht so aus:
b) Gib drei Eigenschaften von f an! Welche Rolle spielt das negative Vorzeichen von z? Eigenschaften: () achsensymmetrisch, () um nach oben verschoben, (3) Polstelle bei =0, (4) senkrechte Asymptote bei =0, (5) keine lokalen Etremwerte, (6) Gerade y= ist waagrechte Asymptote, c) Erkläre, welche Auswirkungen die Veränderung der Konstanten a bzw. b auf den Verlauf der Funktion f() hat! d) Kann f() punktsymmetrisch sein und durch den Koordinatenursprung gehen? Wenn ja, gib eine solche Funktionsgleichung an! Ja, für a beliebig, z=3 und b=0 erhält man die allgemeine Funktion f() = a 3, welche punktsymmetrisch ist und stets durch den Koordinatenursprung geht! Viel Erfolg!