Aufgabe des Monats Januar 2012 Ein Unternehmen stellt Kaffeemaschinen her, für die es jeweils einen Preis von 100 Euro (p = 100) verlangt. Die damit verbundene Kostenfunktion ist gegeben durch: C = 5q 3 45q 2 + 220q + 100, wobei q die Menge an hergestellten Kaffeemaschinen bezeichnet. 1. Stellen Sie die Gewinnfunktion auf (Hinweis: Gewinn = Erlös Kosten). Wie hoch wäre der Gewinn, wenn das Unternehmen gar nichts produzieren würde (q = 0)? 2. Ermitteln Sie die Menge an Kaffeemaschinen, bei der der Gewinn maximal/minimal wird. Berechnen Sie den maximalen/minimalen Gewinn. 3. Erstellen Sie eine Grafik, die den Gewinn in Abhängigkeit von der abgesetzten Menge an Kaffeemaschinen zeigt (z.b. in Excel). Treffen Sie auch eine Aussage bezüglich der Konkavität/Konvexität der erhaltenen Kurve. 4. Interpretieren Sie die Abbildung. Was würden Sie dem Unternehmen raten?
Aufgabe des Monats Januar 2012 Musterlösung Aufgabenteil 1) Zunächst soll die Gewinnfunktion aufgestellt werden. In der Aufgabe wurde bereits darauf hingewiesen, dass die allgemeine Form einer Gewinnfunktion Gewinn = Erlös Kosten ist. Erlös ergibt sich aus verkaufter Menge mal den Preis und die Kosten sind durch die Kostenfunktion gegeben. Wir erhalten also Π(q) = p q C(q). Setzen wir nun für p = 100 und für C(q) unsere Kostenfunktion ein. Wir erhalten: Π(q) = 100 q 5q 3 + 45q 2 220q 100 Π(q) = 5q 3 + 45q 2 120q 100 Um zu erfahren wie hoch der Gewinn ist, wenn das Unternehmen gar nichts produziert, setzen wir in diese Gleichung q = 0 ein und berechnen den Gewinn Π(0): Π(0) = 5 0 3 + 45 0 2 120 0 100 = 100 Wenn das Unternehmen nichts produziert, wird es einen Verlust in Höhe von 100 Euro erleiden. Aufgabenteil 2) Die Vorgehensweise bei der Gewinnmaximierung ist dieselbe wie auch bei den allgemeinen Optimierungsaufgaben. Das bedeutet, wir schauen uns zunächst die notwendige Bedingung für ein Optimum an. Diese erhält man, indem man die erste Ableitung der Zielfunktion gleich Null setzt.
In unserer Aufgabe ist die Zielfunktion die Gewinnfunktion, und die notwendige Bedingung ergibt sich dann als: dπ(q) dq = 15q 2 + 90q 120 = 0 q 2 6q + 8 = 0 Diese quadratische Gleichung kann man nun, zum Beispiel, mit der p-q- Formel (x 1,2 = p/2 ± (p/2) 2 q) lösen: q 1,2 = 6 2 ± ( 6 ) 2 8 2 q 1 = 3 + 9 8 = 4 q 2 = 3 9 8 = 2 Somit liegen die möglichen Extremwerte bei q 1 = 4 und bei q 2 = 2. Um zu prüfen, um welchen Extremwert es sich handelt, betrachtet man die hinreichende Bedingung. Dafür bestimmt man die zweite Ableitung der Zielfunktion und überprüft, ob sie größer oder kleiner Null ist. Ein Maximum liegt vor, wenn die zweite Ableitung kleiner Null ist, ein Minimum, wenn sie größer als Null ist. Die zweite Ableitung unserer Gewinnfunktion lautet: d 2 Π(q) dq 2 = 30q + 90 Setzen wir nun die erhaltenen möglichen Extremwerte ein, ergibt sich folgendes: q 1 = 4 30(4) + 90 = 30 < 0 Maximum! q 2 = 2 30(2) + 90 = 30 > 0 Minimum! Somit haben wir bei q 1 = 4 den maximalen und bei q 2 = 2 den minimalen Gewinn. Die genaue Höhe des Gewinns erhält man, wenn man diese Werte
in die Gewinnfunktion einsetzt: Π(q) = 5q 3 + 45q 2 120q 100 Π(4) = 5 4 3 + 45 4 2 120 4 100 = 180 Π(2) = 5 2 3 + 45 2 2 120 2 100 = 200 Der maximale Gewinn liegt also bei -180 und der minimale bei -200. Das Unternehmen macht somit einen Verlust. Aufgabenteil 3) Um diese Zusammenhänge grafisch darzustellen, müssen wir den Gewinn in Abhängigkeit von der abgesetzten Menge abtragen. Den Gewinn für q = 0, q = 2 und q = 4 ist bereits berechnet. Um die Kurve genauer darzustellen, sollten noch einige weitere Werte berechnet werden. Konkavität/Konvexität beschreiben das Krümmungsverhalten der Kurve. Eine Kurve ist als konkav zu bezeichnen, wenn ihre zweite Ableitung über den
gesamten Verlauf kleiner Null ist und als konvex, wenn die zweite Ableitung über den gesamten Verlauf größer als Null ist. Das Krümmungsverhalten kann sich aber auch innerhalb einer Kurve ändern. Das geschieht im Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung gleich Null ist (die dritte Ableitung sollte ungleich Null sein). In unserem Fall ist ein Wendepunkt gegeben und wir können es ausrechnen, indem wir die 2. Ableitung gleich Null setzen: d 2 Π(q) dq 2 = 30q + 90 = 0 q w = 3 Die dritte Ableitung ist 30 und somit ungleich Null, wir können also hier von einem Wendepunkt sprechen. Der Wendepunkt liegt also bei 3, links davon bei q = 2 haben wir ein Minimum (2. Ableitung größer Null). Die Funktion links vom Wendepunkt ist also konvex. Rechts haben wir ein Maximum (bei q = 4), hier ist die zweite Ableitung kleiner Null und die Kurve in diesem Bereich entsprechend konkav. Zusammenfassend ergibt sich also folgendes Bild:
Aufgabenteil 4) Schauen wir uns nun die erste Abbildung genauer an. Man sieht, dass die Gewinnfunktion in Abhängigkeit von der Menge im negativen Bereich liegt. Das bedeutet, dass unabhängig von der verkauften Menge an Kaffeemaschinen das Unternehmen immer einen Verlust macht. Dabei erleidet es selbst beim maximalen Gewinn (-180) einen höheren Verlust als wenn es gar nichts produzieren würde (Π(0) = 100). Wir können also schlussfolgern, dass es für das Unternehmen besser wäre, seine Produktion unter diesen Bedingungen einzustellen. Sollte das Unternehmen aber an einem Fortführen des Geschäfts festhalten, müsste es seine Strategie überdenken. Es könnte, zum Beispiel, den Verkaufspreis erhöhen, obwohl es nicht sicher ist, dass das Unternehmen die Kaffeemaschinen zum höheren Preis auch absetzen könnte. Eine bessere Strategie wäre es, die Kostenfunktion so anzupassen, dass die Produktionskosten geringer werden. Ob (und wenn ja, dann wie weit) das für das Unternehmen möglich ist, müsste gesondert untersucht werden. Selbstverständlich gibt es auch noch andere Schritte, die unternommen werden könnten, auf diese soll hier aber nicht mehr weiter eingegangen werden.