Itegrlrechug Gegee sei eie Fuktio. 1 Itegrlrechug Gesucht ist die Fläche zwische der Kurve vo 0 is 1 ud der -Achse. 0 1 2 197 Wegeer Mth/5_Itegrl_k Mittwoch 04.04.2007 18:38:48
Itegrlrechug Wir eee 1 um i ud teile de Bereich zwische 0 ud i gleiche Teile. Hier sei =4. 0 1 2 3 4 3 Itegrlrechug Wir schätze u die Fläche durch Aufddiere der Fläche der de Stelle i geildete Rechtecke. 0 1 2 3 4 4
Itegrlrechug M k die Rechtecke uch vo der rechte Seite her fge. 0 1 2 3 4 5 Itegrlrechug We m jetzt vergrößert, wird ddurch die Schätzug der Fläche geuer. 0 2 4 6 8 6
Itegrlrechug Ud och esser: =16. 0 4 8 12 16 7 Itegrlrechug Ud och esser: =32. 0 8 16 24 32 8
Itegrlrechug Ud och esser: =64. Jetzt ist die Schätzug der Fläche scho ziemlich geu. Lässt m die Zhl der Aschitte gege lufe, so erhält m ls Grezwert die ekte Fläche. 0 16 32 48 64 9 Itegrlrechug Wir ereche u die Summe der eizele Rechtecke: -1 f( i Δ = i=0-1 f( i - 0 i=0 = - 0-1 f( i = - 0-1 f( 0 +i - 0 Die Fläche uterhl der Kurve ist u der Grezwert dieser Summe für. 10
Itegrlrechug Wir estimme de Grezwert für ei Beispiel: = F -1 Δ 0 i=0 f( i Δ - 0-1 f( 0 +i - 0-0 -1-0 = ( - 0 11 Itegrlrechug Nu estimme wir de Grezwert für ei deres Beispiel: = F -1 Δ 0 i=0 f( i Δ - 0-0 - 0-1 f( 0 +i - 0-1 ( 0 0 +i - ( 0 + - 0 ( - 0 0 + - 0 (-1 2 (( - 0 0 + ( - 0 2 2-0 - 0 (-1 2 - ( - 0 2 2-1 (i=0 0 + -1 0 i - i=0 12
Fortsetzug: = 2 ( 2-0 2 Itegrlrechug ( 0-2 0 + 1 2-2 0 + 1 2 2 - ( - 0 2 2 ( 1 2-1 2 2 2 0 - ( - 0 2 2 13 Itegrlrechug Bestimmtes ud uestimmtes Itegrl Sei F( eie differezierre Fuktio ud =F ( dere Aleitug. D heißt F( Stmmfuktio vo. D ei der Aleitug Kostte wegflle, lässt sich eie Stmmfuktio stets um eie elieige Kostte c verschiee. Diese wird uch Itegrtioskostte get. Die Schreiweise d = F( + c (mit F (= heißt uestimmtes Itegrl. Ds Smol stellt ei stilisiertes S dr ud stmmt vo Gottfried Wilhelm Leiiz (1646-1716. Die Formel d ezeichet ds estimmte Itegrl, lso die Fläche zwische de Stelle ud, der Fuktio ud der -Achse. ud werde uch Itegrtiosgreze get. d = F( + c 14 (mit F (=
Itegrlrechug Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug Sei eie Fuktio ud F( dere Stmmfuktio. D gilt für ds estimmte Itegrl d = F(-F( Dieser Stz wird Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug get. Nicht zu jeder Fuktio lässt sich eie Stmmfuktio gee! d = F(-F( 15 Itegrlrechug Itegrtiosregel Ist Produkt eier Kostte ud eier Fuktio g(, so gilt: d = g(d = g(d Ist eie Fuktio Summe oder Differez zweier Fuktioe g( ud h(, so gilt: d = (g(±h(d = g(d ± h(d Ist eie Fuktio Potez, so gilt: d = d = 1 +1 +1 + c 16 d = (g(±h(d g(d = 1 = = g(d g(d ± h(d +1 +1 + c
Itegrlrechug Itegrtiosregel Als Umkehrug der Produktregel der Differetilrechug lässt sich für zwei Fuktioe g( ud h( folgede Beziehug herleite: g( h( = g ( h(d + g( h (d Durch Umformug erhält m: g ( h(d = g( h( - g( h (d 17 g( h( g ( h(d = g ( h(d = g( h( - + g( h (d Itegrlrechug Itegrtiosregel Als Umkehrug der Ketteregel der Differetilrechug lässt sich für eie Fuktioe =f(g(t folgede Beziehug herleite: g( d = g( f(g(t g (tdt Diese Regel wird Itegrtio durch Sustitutio get. g( d = g( 18 f(g(t g (tdt