Abschnitt: Integralrechnung

Abschnitt: Integralrechnung Zugfahrt Eine Gruppe von Mathematikern und eine Gruppe von Physikern fahren mit dem Zug zu einer Tagung. Jeder Physiker besitzt eine Fahrkarte, dagegen hat die Gruppe der Mathematiker nur eine einzige Karte. Plötzlich ruft einer der Mathematiker: Der Schaffner kommt!, worauf sich alle Mathematiker in eine der Toiletten zwängen. Der Schaffner kontrolliert die Physiker, sieht, dass das WC besetzt ist und klopft an die Tür: Die Fahrkarte bitte! Einer der Mathematiker schiebt die Fahrkarte unter der Tür durch und der Schaffner zieht zufrieden ab. Auf der Rückfahrt beschliessen die Physiker, denselben Trick anzuwenden und kaufen nur eine Karte für die ganze Gruppe. Sie sind sehr verwundert, als sie merken, dass die Mathematiker diesmal überhaupt keine Fahrkarte haben. Dann ruft einer der Physiker: Der Schaffner kommt! Sofort stürzen die Physiker in das eine WC, die Mathematiker machen sich etwas gemächlicher auf den Weg zu einem anderen WC. Bevor der letzte der Mathematiker die Toilette betritt, klopft er bei den Physikern an: Die Fahrkarte bitte! Und die Moral von der Geschichte: Man sollte keine Methoden anwenden, deren Sinn man nicht verstanden hat. 95

Kapitel 10 Grundlagen der Integralrechnung Nachdem ihr die Differenzialrechnung kennen gelernt habt, werden wir uns jetzt mit der Integralrechnung beschäftigen. Integrieren ist eigentlich nichts anderes als die Umkehrung der Differenzierung. Leider lässt sich das Integrieren nicht immer auf einfache Regeln zurückführen - wie das beim Differenzieren der Fall war. Wir werden aber in erster Linie Aufgaben behandeln, welche mit bekannten Regeln gelöst werden können. In der Praxis werden die Lösungen von Integrationsaufgaben oft mit dem Computer durch Näherungsverfahren gefunden. Integrale werden wir in erster Linie gebrauchen, um Flächen unterhalb von Funktionsgraphen zu berechnen. Eine weitere Anwendung ist die Berechnung von Volumeninhalten. Dazu werden wir aber erst im zweiten Teil des Skriptes kommen. 10.1 Stammfunktion Definition: Stammfunktion Eine Funktion F heisst Stammfunktion von f, falls F = f 96

Zu einer gegebenen Funktion f(x) wird also eine Funktion F(x) gesucht, welche genau f(x) ergibt, wenn sie einmal abgeleitet wird. Wie die folgenden Beispiele zeigen, kann die Stammfunktion oft durch Raten gefunden werden. Später werden wir für spezielle Arten von Funktionen auch noch Regeln kennenlernen. Beispiele f(x) = 3 = F(x) = f(x) = x = F(x) = f(x) = 5x = F(x) = f(x) = x 2 = F(x) = f(x) = 4x 3 = F(x) = f(x) = sin(x) = F(x) = Vielleicht habt ihr beim Lösen der obigen Beispiele folgenden Satz bereits selber herausgefunden: Satz Ist F eine Stammfunktion von f, so ist auch F(x)+c mit c R eine Stammfunktion von f. Beweis Wegen der Ableitungsregeln gilt: (F(x)+c) = Eine Stammfunktion ist also nie eindeutig bestimmt. Wir können beliebige Konstanten dazu addieren und bekommen so wieder andere Stammfunktionen. (Abgesehen von dieser Konstanten ist die Stammfunktion aber schon eindeutig.) 97

Bemerkung: Graphische Begründung des Satzes Wir wissen, dass die Ableitung jeder Stammfunktion unserer Funktion f entsprechen muss. Wir wissen auch, dass die Ableitung die Steigung der Funktion angibt. Die Steigung der Stammfunktion(en) muss also überall genau den Werten von f entsprechen. Dadurch ist die Form der Stammfunktion eindeutig bestimmt. Über die Lage der Stammfunktion ist durch diese Definition aber gar nichts ausgesagt. Offensichtlich kann ein Funktionsgraph nach oben oder unten verschoben werden, ohne dass sich die Steigung des Graphen in einzelnen Punkten ändert. Da das dazu Addieren einer Konstante genau eine solche Verschiebung beschreibt, ist der obige Satz damit begründet. zur Auflockerung Zwei Mathematiker sitzen im Restaurant und unterhalten sich. Der eine stellt im Laufe des Gesprächs fest: Mathematik kann inzwischen jeder., doch dies glaubt sein Kollege nicht. Deshalb tut der Mathematiker so, als müsse er aufs Klo, geht aber stattdessen zur Kellnerin und sagt: Ich werde sie gleich etwas fragen. Dann antworten Sie einfach: 1/3x 3. Wieder am Tisch will der Mathematiker seinem Kollegen seine Behauptung beweisen und fragt die Kellnerin: Was ist das Integral von x 2? Darauf antwortet die Kellnerin :1/3x 3. Beim Gehen sagt sie aber noch zu sich selbst: Die Bevölkerung wird auch immer dümmer, denn die Konstante c Element R haben sie vergessen. 10.2 Unbestimmtes Integral Definition: Unbestimmtes Integral Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f heisst unbestimmtes Integral von f. Man schreibt: f(x) dx = F(x)+c gelesen: Integral über f von x dx. Dabei gilt: F (x) = f(x) und c R. Die einzelnen Teile dieses Ausdrucks heissen: f(x): Integrand x: Integrationsvariable c: Integrationskonstante dx: Differenzial des unbestimmten Integrals 98

Definition: Integrieren Integrieren bedeutet, zu einer Funktion f(x) die Stammfunktion F(x) zu bestimmen. Integrieren ist also eigentlich die Umkehrung von Ableiten. Aus diesem Grund sagt man umgangssprachlich manchmal auch statt Integrieren: Aufleiten. 10.3 Rechenregeln Für das unbestimmte Integral gelten die folgenden Rechenregeln, die ähnlich sind wie die Summen-, bzw. Faktorenregel und das Potenzgesetz aus der Differentialrechnung: 1. 2. 3. c f(x)dx = c f(x)dx, falls c eine Konstante ist. [f(x)±g(x)]dx = f(x)dx± g(x)dx. x n dx = 1 n+1 xn+1 +c mit n 1 (und zusätzlich x 0, falls n < 1 und x > 0, falls n Q mit geradem Nenner), c R. 99

Beispiele a) 3x 2 dx = b) 3x 2 +4x 3 dx = c) (2x 4)5x 3 dx = d) 3a 2 x 2 dx = e) 3a 2 x 2 da = f) 4xdx = g) (3x 4) 2 dx = h) 2 x 3 dx = 100

Aufgaben Von den folgenden Aufgaben aus dem Heft von Erhard Rhyn sind diejenigen, welche nicht in Klammern stehen obligatorische Hausaufgaben. Die anderen Aufgaben sind als Zusatzübungen für diejenigen gedacht, welche noch mehr üben wollen.: S. 41 Nr. 1d (a-c) S. 41 Nr. 5d (a-c, e, f) S. 41 Nr. 6f (a-e) S. 41 Nr. 7c (a, b) 101

10.4 Die Substitutionsregel Die Substitutionsregel ermöglicht uns, verkettete Funktionen zu integrieren. Wir benutzen bei den folgenden Erklärungen die gleichen Bezeichnungen wie bei der Kettenregel der Differentialrechnung. 10.4.1 Anwendung der Substitutionsregel Die Substitutionsregel brauchen wir dann, wenn wir verkettete Funktionen haben. Um die Substitutionsregel am Beispiel von f(g(x))dx anzuwenden, gehen wir folgendermassen vor: 1. Wir ersetzen die innere Funktion g(x) durch u. 2. Wir haben jetzt ein neues Problem f(u)dx, welches jedoch nicht mehr die Unbekannte x enthält, sondern die Variable u. Das dx macht also keinen Sinn mehr. 3. Wir bilden die Ableitung du dx = u. Durch Umformen erhalten wir: dx = du u. Wir können also dx ersetzen durch 1 u du. Damit erhalten wir das neue Integral 1 u f(u)du. 4. Jetzt können wir ganz normal integrieren. 5. Nach dem Integrieren, ersetzen wir u wieder durch g(x) und erhalten so das unbestimmte Integral. Beispiele Berechne das unbetimmte Integral der folgenden Funktionen mit Hilfe der Substitutionsregel: a) sin(4x)dx = 102

b) sin(x)(cos(x)) 2 dx = c) e 2x+3 dx = d) 6x+3 x 2 +x dx = 103

Aufgaben Im Folgenden sind Aufgaben aus Rhyn aufgelistet, an welchen die Substitutionsregel geübt werden kann: S. 53 Nr. 1 a, c, e, f 104

Kapitel 11 Flächenberechnungen Die Bemühungen, den Flächeninhalt krummlinig begrenzter Figuren zu ermitteln, reichen mathematikgeschichtlich sehr weit zurück. Um 260 v.chr. gelang es Archimedes, Parabelsegmente zu berechnen. 11.1 Grundlagen für die Flächenberechnung 11.1.1 Beispiele Skizziere folgende Funktionen für 5 x 5: a) f(x) = 4 b) f(x) = x c) f(x) = x 2 Bestimme nun den Flächeninhalt derjenigen Flächen, welche sich zwischen den gezeichneten Graphen und der x-achse befinden. Welche Schwierigkeiten treten auf? 105

11.1.2 Bestimmtes Integral Für die Problemstellung aus den obigen Beispielen verwendet man das bestimmte Integral. Allgemein lautet die Problemstellung: Bei einer gegebenen Funktion f(x), der oberen Grenze b und der unteren Grenze a ist der Flächeninhalt des Vierecks zwischen dem Graphen der Funktion und der x-achse zu berechnen. Um dieses Problem zu lösen, gehen wir folgendermassen vor: Wir nähern die gesuchte Zahl für den Flächeninhalt durch eine Summe von Rechtecksflächen an. Dazu teilen wir den Abschnitt der x-achse in Intervalle [x i 1,x i ] für 1 i n. Der Abstand von x i 1 zu x i ist genau die Breite eines Rechtecks. Der Einfachheit halber sollen alle Rechtecke gleich breit sein. Wir nennen diese Breite x. Nun stellt sich die Frage, wie hoch wir unsere Rechtecke wählen sollen. Dazu haben wir zwei naheliegende Möglichkeiten: 106

Obersumme Wir wählen für die Höhe des Rechtecks f(x i ) den grössten Funktionswert (y-wert), den wir im Intervall [x i 1,x i ] haben. So entstehen die maximalen Rechtecke. Wenn wir nun die Flächeninhalte all dieser Rechtecke zusammenzählen, bekommen wir die sogenannte Obersumme O n := f(x 1 ) x+f(x 2 ) x+...+f(x n ) x. Untersumme Oder wir wählen für die Höhe des Rechtecks f(x i ) den kleinsten Funktionswert (y-wert), den wir im Intervall [x i 1,x i ] haben. So entstehen die minimalen Rechtecke. Wenn wir nun die Flächeninhalte all dieser Rechtecke zusammenzählen, bekommen wir die sogenannte Untersumme U n := f(x 1 ) x+f(x 1 ) x+f(x 2 ) x+...+f(x n ) x. Für unsere gesuchte Fläche F gilt: U n < F < O n. Wenn wir nun unsere Itervalle [x i 1,x i ] kleiner machen, das heisst, wenn wir x verkleinern, nähert sich sowohl die Obersumme, als auch die Untersumme unserer gesuchten Fläche F an. Damit kommen wir zur Definition des bestimmten Integrals: Definition: Bestimmtes Integral Falls die Rechtecksbreite x gegen Null strebt, ist der gemeinsame Grenzwert derunter-undobersummedasbestimmteintegralderfuntionf vonabisb: b a f(x)dx := lim n U n = lim n O n. Bemerkung Diese Integraldefinition stammt von Bernhard Riemann (1826-1866). Deshalb nennt man die Ober- und Untersummen auch Riemann-Summen und das so definierte Integral auch Riemann-Integral. 107

Aufgaben Folgende Aufgabe aus Rhyn ist zum Thema Ober- bzw. Untersumme: S. 25 Nr. 1 108

Rechenregeln Die Rechenregeln, welche wir für das unbestimmte Integral eingeführt haben, gelten alle auch für das bestimmte Integral. Zusätzlich gelten für das bestimmte Integral noch die folgenden Regeln: 1. 2. 3. b a a a c a f(x)dx = a b f(x)dx = 0 f(x)dx = b a f(x)dx f(x)dx + c b f(x)dx. 11.2 Der Hauptsatz der Integralrechnung Bei der Berechnung des Grenzwertes aus der Definition des bestimmten Integrals treten verschiedene Schwierigkeiten auf: Die Anzahl der Summanden nimmt mit der feineren Einteilung der Fläche zu, die Flächengrösse jedes einzlenen Rechtecks dagegen nimmt ab. Exisitert dieser Grenzwert? Wie lässt er sich berechnen? Der auf Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz zurückgehende Hauptsatz der Integralrechnung gibt eine verblüffend einfache Antwort auf diese schwierigen Fragen: Nicht nur existiert dieser Grenzwert für eine grosse Klasse von Funktionen (z. B. für alle stetigen Funktionen, aber noch allgemeiner), sondern es besteht eine einfache Beziehung zum unbestimmten, welche die Berechnung dieses Grenzwertes einfach macht. Hauptsatz der Integralrechnung Ist f eine im Intervall [a,b] stetige Funktion und F eine zu f gehörende Stammfunktion, so gilt: b a f(x)dx = F(b) F(a). 109

Herleitung des Hauptsatzes der Integralrechnung Sei F(x) eine Funktion, welche die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-achse von Null bis x berechnet. Damit gilt: A = F(x+ε) F(x) ε f(x) f(x) F(x+ε) F(x) ε Für ganz schmale Streifen erhalten wir sogar: f(x) = F(x+ε) F(x) ε. Dies entspricht genau dem Differenzialquotienten und wir haben gezeigt, dass F (x) = f(x) gilt. Da wir F als Flächenfunktion definiert haben ist damit der Fundamentalsatz hergeleitet: A b a = b a f(x)dx = F(b) F(a). 110

Beispiele a) 4 1 x 2 dx = b) 4 0 xdx = c) π 2 0 sin(x)dx = d) 1 0 (x 2 +5) 2 dx = e) 1 0 (2x 4) 5 dx = 111

Aufgaben Folgende Aufgaben aus Rhyn eignen sich als Übungsaufgaben zum Thema: s. 25 Nr. 3 S. 25 Nr. 4 S. 25 Nr. 5 S. 53 Nr. 4 b, d, f 112

11.3 Flächenberechnungen 11.3.1 Flächen zwischen Graphen und der x-achse Oft wird die Frage gestellt, wie gross die Fläche ist, welche der Funktionsgraph mit der x-achse einschliesst. In solchen Fällen müssen die obere und die untere Grenze des bestimmten Integrals selber gefunden werden. Diese Grenzen sind dann genau die grösste und die kleinste Nullstelle der betrachteten Funktion f. Flächen unterhalb der x-achse Eine Schwierigkeit tritt auf, wenn eine Fläche unterhalb der x-achse betrachtet wird. Solche Flächen werden mit der oben beschriebenen Methode als negative Flächen berechnet. Das heisst, der Flächeninhalt, welchen wir in diesem Fall mit dem Hauptsatz der Integralrechnung bekommen, hat ein negatives Vorzeichen. Wenn der Graph unserer Funktion die x-achse nur zwei Mal schneidet, wenn wir also nur eine einzelne Fläche berechnen müssen, spielt das nicht so eine grosse Rolle. Falls wir ein negatives Vorzeichen bekommen, können wir dieses einfach wechseln. Wenn unser Graph die x-achse aber mehr als zwei Mal schneidet, müssen wir aufpassen. In diesem Fall müssen wir jede Teilfläche einzeln berechnen und dann die Flächeninhalte zusammenzählen. Sonst werden die negativen Flächen automatisch abgezogen und wir bekommen ein zu kleines Resultat. Beispiel 1 Berechne die Fläche, welche vom Graphen der Funktion f(x) = x 3 4x und der x-achse eingeschlossen wird. 113

114

Beispiel 2 Leite die Formel für die Flächenberechnung eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe der Integralrechnung her. 115

Aufgaben Von den folgenden Aufgaben aus dem Heft von Erhard Rhyn sind diejenigen, welche nicht in Klammern stehen obligatorische Hausaufgaben. Die anderen Aufgaben sind als Zusatzübungen für diejenigen gedacht, welche noch mehr üben wollen. Das Sternchen bedeutet, dass die Aufgabe anspruchsvoller sind. S. 25 Nr. 6 a, (b) S. 28 Nr. 33 (S. 42 Nr. 16) S. 26 Nr. 9 (S. 26 Nr. 8*) (S. 26 Nr. 13*) S. 54 Nr. 9a 116

11.3.2 Flächen zwischen zwei Graphen a) Berechne den Inhalt, der von f(x) = x und g(x) = x 2 4x+4 begrenzten Fläche. b) Berechne den Inhalt, der von r(x) = 1 2 x2 2 und s(x) = x 3 + 3.5 begrenzten Fläche. c) Schreibe ein Rezept auf, wie du bei der Flächenberechnung einer Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen vor gehst. 117

118

Aufgaben Von den folgenden Aufgaben aus dem Heft von Erhard Rhyn sind diejenigen, welche nicht in Klammern stehen obligatorische Hausaufgaben. Die anderen Aufgaben sind als Zusatzübungen für diejenigen gedacht, welche noch mehr üben wollen. Das Sternchen bedeutet, dass die Aufgabe anspruchsvoller sind. S. 26 Nr. 14 b, c (a, d) S. 28 Nr. 30 (S. 26 Nr. 15*) S. 53 Nr. 8b Gemischte Aufgaben Im Folgenden sind einige etwas komplexere Aufgaben aus dem Heft von Erhard Rhyn angegeben, welche mit dem bisher behandelten Stoff gelöst werden können: S. 43 Nr. 21 S. 26 Nr. 16 S. 27 Nr. 22 S. 53 Nr. 4 a, c, e S. 26 Nr. 12* (Bei dieser Aufgabe ist das Finden der Nullstellen schwierig. Diese können in den Musterlösungen nachgeschaut werden.) (S. 28 Nr. 35*) 119

Kapitel 12 Volumenberechnungen Wir werden Rotationskörper betrachten, die durch die Rotation von Funktionsgraphen um die x-achse entstehen. 12.1 Formel Herleitung Wir betrachten eine beliebige, stetige Funktion f(x) im Intervall [a, b] und lassen die Fläche unter dem zu f gehördenden Graphen um die x-achse rotieren. Dadurch entsteht ein Rotationskörper. Das Vorgehen zur Berechnung des Volumens dieses Körpers ist analog zur Flächeninhaltsberechnung: DasIntervall[a,b]wirdinngleichlangeTeilintervalle[x i 1,x i ],1 i nder Länge x zerlegt. Der Rotationskörper wird so in einzelne Scheiben zerlegt. Ähnlich wie wir bei der Flächenberechnung die Fläche in Rechtecke zerlegt haben, können wir nun den Körper in Scheiben von Zylinderform zerlegen. ImIntervall[x i 1,x i ]habendiesekreisscheibendanneinenradiusderlänge f(x k ) mit x k [x i 1,x i ]. Skizze: 120

Das Volumen eines Zylinders berechnet sich bekanntlich nach der folgenden Formel: Volumen = Radius 2 π Höhe. Unser k-te Zylinder hat also das Volumen: V Z = (f(x k )) 2 π x. Wenn wir nun alle Zylinderstücke addieren, erhalten wir für das Gesamtvolumen: V = n (f(x k )) 2 π x. k=1 Lassen wir nun x gegen Null gehen, erhalten wir unendlich viele Teilzylinder und damit verändert sich die Formel wie bei der Flächenberechnung: Definition: Volumen eines Rotationskörpers Es sei f eine über dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann besitzt der Körper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graphen der Funktion f über dem Intervall [a, b] um die x-achse entsteht, das Volumen: V = π b a (f(x)) 2 dx. 121

Beispiel a) Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = x 2 4x + 3 und der x-achse rotiert um die x-achse. Berechne das Volumen des Rotationskörpers: b) Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = x 3 4x und der x-achse rotiert um die x-achse. Berechne das Volumen des Rotationskörpers: 122

c) Die Funktion f(x) = r 2 x 2 beschreibt einen Halbkreis mit Radius r über der x-achse. Berechne das Kugelvolumen. 123

Aufgaben Im Folgenden sind einige Aufgaben aus Rhyn angegeben, welche sich als Übungsaufgaben zu diesem Thema eignen: S. 44 Nr. 25 a, b S. 43 Nr. 24 d S. 44 Nr. 33 (S. 45 Nr. 35: Achtung, im Gegensatz zu der Aufgabe aus Rhyn soll die Funktion um die x-achse rotiert werden - Lösungen zu dieser Aufgabenstellung sind in den Musterlösungen zu finden. 124

Kapitel 13 Uneigentliches Integral Das bestimmte Integral einer Funktion f über einem Intervall [a, b] kann nur gebildet werden, wenn: 1. Der Integrationsbereich (das Itegrationsintervall) [a, b] endlich und 2. der Integrand f(x) in diesem Intevall [a, b] beschränkt ist. Ist mindestens eine der beiden Voraussetzungen nicht erfüllt, gelangt man zum so genannten uneigentlichen Integral. Wir beschränken uns darauf, den ersten Fall genauer anzuschauen. 13.1 Uneigentliche Integrale mit unbeschränktem Integrationsintervall Ist das Integrationsintervall [a, b] nicht beschränkt, erhalten wir Integrale der Form: 1. f(x)dx a 2. 3. b f(x)dx f(x)dx 125

Definition: Uneigentliches Integral b Istf injedemintervall[a,b],b < stückweisestetigundexistiertdergrenzwert lim f(x) dx, so bezeichnet man diesen Grenzwert als uneigentliches b a Integral von f im Intervall [a, ]. Man schreibt: a b f(x)dx = lim f(x)dx. b a Analog geht man mit den anderen beiden Integralen vor. Diese Definition erklärt auch, wie man bei der Berechnung von uneigentlichen Integralen vorgeht. Zunächst berechnet man das Integral b a f(x)dxfüreinallgemeines,aber endliches b. Anschliessend bildet man den Grenzwert für b. Existiert dieser Grenzwert, so ist er der Wert des uneigentlichen Integrals. 13.2 Uneigentliche Integrale mit unbeschränktem Integranden Liegen im Integrationsintervall [a,b] Polstellen, an denen die Funktion f nicht definiert ist, so kann hier ebenfalls untersucht werden, ob sich das Integral einem Grenzwert nähert, wenn sich die Integrationsgrenzen der Polstelle nähern. Darauf möchte ich hier aber nicht mehr genauer eingehen. 126

Beispiele zu unbeschränkten Integrationsintervallen Berechne: 1 a) dx = x 3 2 b) 1 1 dx = x 2 c) 1 1 x dx = 127

13.2.1 Beispiel zur Begründung Intuitiv ist es nicht klar, warum es sinnvoll ist, dass die Lösung bei den oben gelösten Aufgaben eine beschränkte Fläche ergeben. Das folgende Beispiel soll helfen, Klarheit zu schaffen: Skizziere die Funktion f(x) = 1 2 x und Berechne die Obersumme mit Intervallbreite 1 von 0 bis. Damit kann leicht gezeigt werden, dass bei diesem Beispiel sogar die erhaltene Obersumme den Wert 2 nie erreichen wird. 128

Aufgaben Im Folgenden sind einige Aufgaben aus Rhyn angegeben, welche sich als Übungsaufgaben zu diesem Thema eignen: S. 45 Nr. 40 a-d S. 45 Nr. 41 a, b S. 45 Nr. 42 a, b 129

Kapitel 14 Die Sinus-, Cosinus-, Logarithmus- und Exponentialfunktion 14.1 Sinus und Cosinus Skizziere in die folgenden Zeichnungen jeweils die Ableitung der Funktionen. 130

Du erkennst nun sofort, dass Folgendes gelten muss: 1. f(x) = sin(x) f (x) = cos(x) 2. f(x) = cos(x) f (x) = sin(x) 3. f(x) = sin(x) f (x) = cos(x) 4. f(x) = cos(x) f (x) = sin(x) cos(x)dx = sin(x)+c sin(x)dx = cos(x)+c cos(x)dx = sin(x)+c sin(x)dx = cos(x)+c 14.2 Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion hat neben den Anwendungen, welche ihr in der fünften Klasse kennen gelernt habt, noch eine weitere interessante Eigenschaft: Die Ableitung der Exponentialfunktion ist auch wieder die Exponentialfunktion. Satz: Ableitung und Integral der Exponentialfunktion Für die Funktion f(x) = e x gilt: f (x) = e x und e x dx = e x +c. 131

14.3 Logarithmus Wie wir bereits in der fünften Klasse gelernt haben, ist der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt also: ln(e x ) = x. Mit diesem Wissen können wir nun die Ableitung der Logarithmusfunktion herleiten: Die Kettenregel liefert: 1 = (x) = (ln(e x )) = ln (e x ) e x. Mit y := e x, y R + erhalten wir damit: 1 = ln (y) y ln (y) = 1 y. Damit kommen wir zu folgendem Satz: Satz: Ableitung und Integral der Logarithmusfunktion Für die natürliche Logarithmusfunktion f mit f(x) = ln(x) gilt: f (x) = 1, x x R+ und 1 dx = ln(x)+c. x 132

Beispiele a) Berechne die Fläche, welche die Funktion f(x) = sin(x) im Intervall [0, 2π] mit der x-achse einschliesst. b) Berechne den Flächeninhalt der Fläche zwischen der Funktion f(x) = e x und der x-achse im Intervall [,1]. c) Berechne das Integral 5 2 1 dx. x 133

Aufgaben Geeignete Übungsaufgaben zu diesem Thema sind: S. 41 Nr. 4 a-d S. 42 Nr. 14 a S. 51 Nr. 39 a-c S. 51 Nr. 40 a-c (S. 41 Nr. 8*) Gemischte Aufgaben Im Folgenden sind Aufgaben zu allen bereits behandelten Themen aus dem Heft von Erhard Rhyn angegeben: S. 44 Nr. 25 c S. 43 Nr. 24 a-c S. 53 Nr. 1 b, d s. 53 Nr. 8a S. 54 Nr. 9b, c S. 54 Nr. 16 134