Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS / Musterlösungen zu Aufgabenblatt Aufgabe 76: Bestimmen Sie mittels Gauß-Elimination die allgemeine Lösung der folgenden linearen Gleichungssysteme Ax b: a) A, b ; b) A 4, b ; 8 7 c) A, b ; d) A, b. 8 7 6 8 7 6 a) (A, b) 8 7 II - I: III - 4 I: III - II: Also: rang(a) rang(a, b) n LGS eindeutig lösbar. Rücksubstitution: x x x x x ( + x ) x x + x + x x ( x x ) x,x Probe (nicht verlangt): Ax b) (A, b) II + I: 8 7 6 6 + 9 4 + 4 4 + b 4 I III: 4 III + II: Also: rang(a) rang(a, b) n LGS eindeutig lösbar. Rücksubstitution: x x x + x x ( x ) x ( + ) x,x x + x x x x + x ( ) Probe (nicht verlangt): Ax 4 + + 6 6 + b
Lösung Gauß-Elimination LGS c): c) (A, b) II - I: 8 7 6 III - 4 I: III - II: Also: rang(a) rang(a, b) < n LGS mehrdeutig lösbar. Rücksubstitution: x x R (bel.) x x x ( + x ) x x + x + x x ( x x ) x,x ( 6 + 6 ) ( 6 4 ) ( ( ) ) Allg. x + }{{} x + } {{ } v x + v Probe (nicht verlangt): x x part (partikuläre Lösung) löst Ax b, v x hom ( homogene Lösung ) löst Av. Der Kern (Nullraum) von A ist die Gerade längs v, d.h. {v R}. Lösung Gauß-Elimination LGS d): d) (A, b) II - I: 8 7 6 III - 4 I: III - II: Also: rang(a) < rang(a, b) LGS unlösbar.
Aufgabe 77: Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax b mit 7 a) A, b ; b) A, b 7. y Wie lautet die allgemeine Lösung in a)? Bestimmen Sie y in b) so, dass das System lösbar wird. Wie lautet in diesem Fall die allg. Lösung? Für welche y hat das System keine Lösung? Lösung a): (A, b) 7 III - II: 7 Also: rang(a) rang(a, b) < n 4 LGS mehrdeutig lösbar. Rücksubstitution: x 4 R (bel.) x + x 4 x x + x + x 4 x x x 4 x + x + x + x 4 7 x (7 x x x 4 ) ( ) 7 ( ) ) ) ( 7 + 6 ( + + Allg. x + + }{{} x + } {{ } v Probe (nicht verlangt): x x part (partikuläre Lösung) löst Ax b, v x hom ( homogene Lösung ) löst Av. Lösung b): 7 (A, b) y IV - I: 7 y 7 III - II: IV - II: Also: rang(a), rang(a, b) 4 für y 9 und rang(a, b) 4 für y 9. LGS lösbar rang(a) rang(a, b) y 9. Für y 9: rang(a) n, und das LGS ist dann eindeutig lösbar. Rücksubstitution: x + v 7 y 9 x x x + x x x x + x + x 7 x ( 7 x x ) ( 7 ) Eindeutig bestimmte Lösung im Fall y 9 ist also x (,, ) (und für y 9 ist das LGS unlösbar).
Aufgabe 78: Die Matrix A R sei darstellbar als A U D U mit U, D. a) Verifizieren Sie, dass U eine orthogonale Matrix ist. b) Wie lautet U? c) Wie lautet D? d) Bestimmen Sie A aus U, D und U. a) Verifizieren, dass U eine orthogonale Matrix ist. Um zu zeigen, dass U eine orthogonale Matrix ist, ist U U I (oder U U I) zu verifizieren: U U 4 + 4 + 4 + 4 9 4 4 + + 4 + 4 9 I 9 9 + 4 + 4 + 4 4 9 (In Klausur: Es reicht die Verifikation für zwei Einträge.) b) Wie lautet U? Für orthogonale Matrizen U gilt: U U c) Wie lautet D? Die Inverse der Diagonalmatrix D ist die Diagonalmatrix mit den inversen Einträgen (Kehrwerten), d.h.: D. (denn diese Matrix mal D ist die Einheitsmatrix) 4
d) A aus U, D und U bestimmen. Die Inverse eines Produkts ist das Produkt der Inversen, allerdings in umgekehrter Reihenfolge: A ( U (DU ) ) ( DU ) U (U ) D U U D U Berechne dies als U (D U ): D U 4 4 6 6 A U ( D U ) 4 4 9 6 6 4 + 8 + 4 4 6 + 8 6 4 4 6 4 + + 4 + 9 + 8 6 4 + + 8 + 6 6 8 6 6 9 6 7 Multipliziere i-te Zeile von U mit i-tem Diagonalelem. v. D Anmerkung: Es käme das gleiche heraus, wenn man A als (UD )U statt als U(D U ) berechnet Assoziativgesetz Zusatz (nicht verlangt): Berechnung von A UDU (als U(DU )): 6 6 DU 9 9 A U ( DU ) 6 6 7 + 6 + 6 + 6 9 7 + + 4 6 + 4 7 7.. 7 7 6 + 6 6 + 4 + 6 + 4 Probe (ebenfalls nicht verlangt): 9 7 7 7. 6 7 8 7 9 4 8 + 4 4 4 4 4 + I. + 4 + 6 + 9
Aufgabe 79: Eine Volkswirtschaft wird im Rahmen einer Input-Output-Analyse in drei Sektoren unterteilt, die jeweils ein Gut produzieren. Die Leontief-Matrix (Direktbedarsmatrix) wird angegeben als:.4.. A.......4 a) Beschreiben Sie, was der Eintrag a i,j in dieser Matrix angibt, in folgender Form: a i,j gibt an, wieviel Einheiten von... zur Produktion von... benötigt werden. Was bedeutet es, dass hier a, ist? a i,j gibt an, wieviel Einheiten von Gut i zur Produktion einer Einheit von Gut j benötigt werden. a, bedeutet also, dass die Produktion von Gut nicht (direkt) auf Sektor angewiesen ist. b) Bestimmen Sie per Gauß-Elimination die Leontief-Inverse C (I A)..6.. (I A, I)..7....6 6 I III : 7 6 II I : III + 6 I : III + II : I/(-) : II/ : III/ : I + 6 III : II +.8 III : I II : 6 8 6 6 6 8 4 6.8.. 6...4.8.6....8.6..4.8.6... Also (I A).8.6..4.8.6.... 6
c) Welche Produktion x (x, x, x ) muss man ansetzen, um die Nachfrage y (,, ) zu befriedigen? x (I A) y.8.6..4.8.6... 8 + + 6 4 + 6 + 8 + + 6 6 8 8 d) Um wieviel Einheiten muss die Produktion von Gut effektiv erhöht werden, wenn die Nachfrage nach Gut um eine Einheit steigt? Wieviel davon entsteht aus dem direkten Bedarf, den Sektor zur Produktion einer Einheit bzgl. Sektor hat? Erhöhung der Nachfrage nach Gut um eine Einheit: y (,, ) x (I A) y (.,.6,.). Also: Produktion von Gut muss um c,. Einheiten erhöht werden. (Dies ist die effektive Erhöhung, zu vergleichen mit dem direkten Bedarf, a,..) Von den. Einheiten, die Sektor zusätzlich produzieren muss, entsteht nichts aus dem direkten Bedarf von Sektor, da er (hier) keinen solchen hat. Die. Einheiten mehr für Gut (aus der Leontief-Inversen) entstehen hier komplett aus den indirekten Rückwirkungen einer erhöhten Nachfrage nach Gut. Aufgabe 8: Zeigen Sie durch vollständige Induktion die folgende Formel für die Potenzen der Matrix A : n : A n a n n a n n n mit a n : a n n + a n n (n ). Hinweis: Es gilt: a n + n a n+. Verwenden Sie dies beim Induktionsschritt. n : Für n gilt und A n A I a n n a n n n a n n + a n Also gilt die Aussage für n. a a (a ) a + a 7
n n + : Es sei ein beliebiges, aber festes n N gegeben. Es gelte a n n a n IV : A n n n a n n + a n Zu zeigen ist, dass dann zz : A n+ a n+ n + a n+ (n + ) n + a n+ n + + a n+ Beweis dazu: A n+ }{{} A n A a (IV) n n a n n n a n n + a n (a n+na n+ ) ( a n ) n + ( a n ) + n + a n + n + a n n + n + + n + + n a n n + a n + n + ( + a n ) + n + ( + a n ) (a n + n) + n + (a n a n ) a n + n (n + ) + (n n) + n (a n + n) n + + (a n a n ) + (a n + n) a n+ n + a n+ (n + ) n + (n + ) n + + a n+ q.e.d. Beweis des Hinweises: a n + n n(n ) + n n ( (n ) + ) n ( n + ) n(n + ) a n+ Anmerkung: Es gilt: a n n j j. 8
Aufgabe 8: Es seien u, v R n zwei Vektoren und A R n n die Matrix A I uv. Wir setzen : u v. a) Zeigen Sie: A ist invertierbar mit A I + uv (falls ). Distributivgesetz: ( I uv )( I + uv ) I (I + uv ) uv (I + uv ) Assoziativgesetz: I + uv uv uv uv uv uv u ( v u ) v. Da v u u v ein Skalar ist, lässt sich das schreiben als u ( v u ) v ( v u ) ( u v ) (u v) (u v ), Also entsteht oben: ( )( I uv I + uv ) I + ( (u v) ) uv I + u v uv I + uv I b) Zeigen Sie: Die Lösung des LGS Ax b ist x b + v b v u u. x A b ( I + uv ) b b + (uv ) b b + u (v b) b + (v b) u Man kann natürlich auch verifzieren, dass wirklich Ax b. c) Zeigen Sie durch vollständige Induktion m N : A m I m uv ( ). Wie ändert sich diese Formel für? m : Für m gilt A m A I und I m uv I uv I. Also gilt die Aussage für m. m m + : Sei m N bel., fest. Die Aussage gelte für dieses m (IV). Zu zeigen ist, dass dann Beweis dazu: A m+ A m A (IV) zz : A m+ I m+ uv ( I m uv ) ( I uv ) I m uv uv + ( m uv ) ( uv ) I ( m Für konvergiert m sich die Formel ändert zu + m v u ) uv v u I ( m + ( m ) ) uv I ( m + m) uv I ( ) m + m m+ uv I ( ) m+ uv A m I m uv q.e.d. gegen m (Beweis mit L Hôspital). Vermutung ist daher, dass für (d.h. u v, d.h. u v) Das kann man ebenfalls mit vollst. Induktion beweisen. 9
d) Bestimmen Sie A, A und A im Fall u (,, ), v (,, ). A I uv I (,, ) u v ( + ) A I + uv I + uv + A I + uv + 99 Aufgabe 8: Es seien u, v R n zwei Vektoren und B R n n die Matrix B uv. Wir setzen µ : u v. a) Zeigen Sie: Es gilt rang(b) (falls u, v ). Kann B regulär sein? Der Rang von B ist die Dimension des von den Spalten von B aufgespannten Raumes. Aber in den Spalten von B steht ein Vielfaches des immmer gleichen Vektors u (in der ersten Spalte v u, in der zweiten v u usw.) Daher spannen die Spalten von B nur einen eindimensionalen Raum auf, den vom Vektor u aufgespannten Raum. Da rang(b) < n, kann die Matrix B nicht regulär sein (es sei denn n ), b) Zeigen Sie, dass für alle m N gilt: B m µ m uv. Es ist B m (uv ) (uv )... (uv ) }{{} m-mal u (v u) (v u)... (v u) v }{{} (m )-mal u (v u) m v (v u) m uv µ m B c) Zeigen Sie durch vollständige Induktion m N : Wie ändert sich diese Formel für µ? m j Bj I + µm µ uv (µ ).
m : Für m gilt m j Bj B I und I µm µ uv I µ uv I. Also gilt die Aussage für m. m m + : Sei m N bel., fest. Die Aussage gelte für dieses m (IV). Zu zeigen ist, dass dann Beweis dazu: m+ B j j zz : m+ j m B j + B m+ j B j µm+ µ uv (IV) ( I + µm uv ) + µ m uv µ I + ( µ m + µm) uv µ I + ( µ m +µ m µ m+ µ ) uv I + ( ) µ m+ uv µ q.e.d. Für µ konvergiert µm µ sich die Formel ändert zu gegen m (Beweis mit L Hôspital). Vermutung ist daher, dass m+ j B j I + m uv für µ (d.h. u v ) Das lässt sich ebenfalls mit vollst. Induktion beweisen. d) Bestimmen Sie B, B und j Bj im Fall u (,, ), v (,, ). B uv (,, ) µ u v ( + ) B µ 99 uv ( ) 99 j B j I + µ µ uv + + ( schon fast Null(matrix) ) j B j
Aufgabe 8: Die Matrix A R n n sei darstellbar als A U B mit einer orthogonalen Matrix U R n n und einer regulären Matrix Matrix B R n n. a) Zeigen Sie: A B U. A (UB) B U B U da die Inverse der orthogonalen Matrix U die Transponierte U ist. b) Zeigen Sie: A A B B und (A A) B (B ). A A (UB) (UB) (B U ) (UB) B (U U) B B B, da für eine orthogonale Matrix U gilt: U U I. Mit dieser Formel für A A folgt: c) Es sei nun speziell: U (A A) (B B) B (B ) B (B ), B () Wie verifiziert man, dass U tatsächlich eine orthogonale Matrix ist? Indem man U U I (oder UU I) überprüft. Hier: U U 4 4.. 4.......... I () Bestimmen Sie B. Mit Gaußeliminationen in (B, I) (II II + I, III III + II, IV IV + III) erhält man: B () Bestimmen Sie A aus B und U. Nach a) ist: A B U 4
Anmerkung: Hier ist A UB Die Probe (A A? I) bestätigt, dass obige Matrix wirklich die Inverse von A ist. (4) Bestimmen Sie (A A) aus B. Nach b) ist: (A A) B (B ) Anmerkung: Die Matrix A A ergibt sich hier als: A A 4 4 Die Probe bestätigt, dass obige Matrix wirklich die Inverse von A A ist. 4 8 4 4 8 4 4 8 4 4 4 d) Die Matrix U aus Aufgabenteil c) hat neben der Orthogonalität noch eine weitere auffällige Eigenschaft. Welche ist gemeint? U ist auch symmetrisch. Zeigen Sie, dass jede orthogonale Matrix, die zusätzlich diese Eigenschaft hat, involutorisch (zu sich selbst invers) ist. Wenn U orthogonal ist, gilt U U. Wenn U außerdem symmetrisch ist, gilt U U. Also gilt für die hier vorliegende Matrix: U U (d.h. U ist zu sich selbst invers), oder U I (d.h. U ist involutorisch).