Lösungscoach Oberflächenberechnung bei Prisma und Pyramide Aufgabe Ein Schokoladenhersteller bekommt zwei Vorschläge für eine neue Verpackung: 5,9 cm 3 cm 2 cm 3 cm 3 cm Das linke Modell ist ein gerades Prisma mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche, dessen kürzere Seiten 2 cm bzw. 3 cm lang sind, die längste Seite ist etwa 3,6 cm lang. Das rechte Modell ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche, wobei die rot gestrichelten Linien alle etwa 6,1 cm lang sind. Beide Varianten haben dasselbe Volumen und der Hersteller möchte den Vorschlag annehmen, der am wenigsten Verpackungsmaterial verbraucht. Welche der beiden Verpackungen sollte demnach gewählt werden? Lösungscoach Man braucht umso mehr Verpackungsmaterial, je größer die Oberfläche der Verpackung ausfällt. Bei dieser Aufgabe sollen die Oberflächen zweier einfacher Körper verglichen werden, nämlich einem Prisma und einer Pyramide. In beiden Fällen besteht die Oberfläche aus einfachen Vielecken, für die Flächenformeln als bekannt vorausgesetzt werden, nämlich Dreiecke und Rechtecke. Man muss also zuerst die einzelnen Teilflächen ausrechnen und für jeden Körper zusammenzählen, dann kann man vergleichen und sehen, welcher Körper die kleinere Oberfläche hat. Touchdown Mathe Seite 1 sponsored by
Schritt 1: Teilflächen einzeln ausrechnen Prisma Es handelt sich beim linken Entwurf um ein Dreiecksprisma mit drei rechteckigen Seitenflächen vorne, rechts und hinten. Die Vorderseite ist ein Rechteck mit Seitenlängen 3 cm und 5,9 cm, ihr Flächeninhalt beträgt also A Vorderseite = 3 cm 5,9 cm = 17,7 cm 2. Die rechte Seite ist ein Rechteck mit Seitenlängen 2 cm und 5,9 cm, ihr Flächeninhalt beträgt also A rechts = 2 cm 5,9 cm = 11,8 cm 2. Touchdown Mathe Seite 2 sponsored by
Die Rückseite ist ein Rechteck mit Seitenlängen ca. 3,6 cm und 5,9 cm, ihr Flächeninhalt beträgt also A Rückseite 3,6 cm 5,9 cm = 21,24 cm 2. Schließlich kommen noch Grund- und Deckfläche dazu, das sind rechtwinklige Dreiecke, deren kürzere Seiten 2 cm bzw. 3 cm lang sind. Nach der Flächenformel für rechtwinklige Dreiecke haben sie jeweils die Fläche A Grundfläche = 1 2 2 cm 3 cm = 3 cm2. Touchdown Mathe Seite 3 sponsored by
Pyramide Es handelt sich beim rechten Entwurf um eine gerade Pyramide mit vier dreieckigen Seitenflächen vorne, rechts und hinten und links, sowie einer quadratischen Grundfläche. Die quadratische Grundfläche hat die Seitenlänge 3 cm, also beträgt die Fläche A Quadrat = 3 cm 3 cm = 9 cm 2. Die vier Seitenflächen sind alle gleich groß 1. Ihre Fläche muss mit der Flächenformel für allgemeine Dreiecke berechnet werden. Dazu brauchen wir die Länge einer Seite und die Länge der zugehörigen Höhe. Als Grundseite nehmen wir die untere horizontale Seite, sodass die zugehörige Höhe die rot gestrichelte Linie mit etwa 6,1 cm Länge ist. Der Flächeninhalt einer Seitenfläche ist somit A Seitenfläche 1 2 3 cm 6,1 cm = 9,15 cm2. 1 Sie haben dieselben Seitenlängen und dieselben Innenwinkel und damit auch denselben Flächeninhalt. Solche Dreiecke heißen kongruent. Touchdown Mathe Seite 4 sponsored by
Schritt 2: Teilflächen zusammenzählen Die Oberfläche des Prismas besteht aus Grundfläche, Deckfläche, Vorderseite, Rückseite und rechte Seite, wobei Grund- und Deckfläche gleich groß sind. Die Gesamtfläche des Prismas beträgt also nach Schritt 1 A Prisma = 2 A Grundfläche + A Vorderseite + A rechts + A Rückseite 2 3 cm 2 + 17,7 cm 2 + 11,8 cm 2 + 21,24 cm 2 = 56,74 cm 2 Die Oberfläche der Pyramide besteht aus der Grundfläche und vier gleich großen dreieckigen Seitenflächen. Die Gesamtfläche ist somit A Pyramide = A Quadrat + 4 A Seitenfläche 9 cm 2 + 4 9,15 cm 2 = 45,6 cm 2 Lösung: Die pyramidenformige Verpackung hat eine kleinere Oberfläche als das Prisma, also sollte diese bevorzugt werden, um den Materialverbrauch möglichst gering zu halten. Touchdown Mathe Seite 5 sponsored by