Linearkombinationen in der Physik Für die Überlagerung von Bewegungen gilt das Superpositionsprinzip. Es lautet: Führt ein Körper gleichzeitig mehrere Teilbewegungen aus, so überlagern sich diese Teilbewegungen unabhängig voneinander zu einer resultierenden Gesamtbewegung. Mathematisch gesprochen: die resultierende Gesamtbewegung wird als Linearkombination aller Teilbewegungen dargestellt. Untersuche diesen Fall am Beispiel des waagrechten Wurfs Ein Gegenstand wird mit einer Geschwindigkeit v 0 = m weg geschossen. Aufgrund der s Gravitation wird der Gegenstand mit der Beschleunigung g nach unten beschleunigt. Bestimme die Vektoren v 0, v F und v. Wie schnell ist der Gegenstand nach 3s, s und 10s?
Lösungen Linearkombinationen in der Physik resultierender Vektor v als Linearkombination von v 0 und v F : v=v 0 v F mit v F = 0 => v= 0 0 g t g t = mit g=10 m s 2 g t und v 0= 0 nach 3s: v 1 s = 30 nach s: v 3 s = 0 nach 10s: v s = 100 v 1 s =2900=92 m s v 3 s =2200=22 m s v s =210000=1002 m s
Linearkombinationen in der Geometrie Vektoren können als Summe von mehreren Vektoren und dessen Vielfachen dargestellt werden. Man bezeichnet diese Darstellung als Linearkombination. z.b. c als Linearkombination von a und b Drücke die Vektoren BC,BD und CD, die durch die dreiseitige Pyramide ABCD gegeben ist, als Linearkombination der Vektoren b, c und d aus. Im nebenstehenden Quader sind die Punkte M 1, M 2 und M 3 die Mittelpunkte der vorderen, rechten und hinteren Seitenfläche. a) Stelle die Vektoren AM 1, AM 2 und AM 3 als Linearkombination der Vektoren a, b und c dar. b) Der Quader soll nun durch ein Koordinatensystem beschrieben werden. Die Koordinatenachse x 1 sei parallel zu b, x2 parallel zu a und x 3 parallel zu c. Der Punkt A habe die Koordinaten (2 1 1), a sei 2, b sei 3 und c sei 4. Bestimme die Koordinaten von M 1, M 2 und M 3.
Lösungen Linearkombinationen in der Geometrie BC= bc, BD= b d, CD= c d AM 1 = 1 2 a 1 2 c AM 2 =a 1 2 b 1 2 c AM 3 = 1 2 a b 1 2 c Da das Koordinatensystem parallel zu den Vektoren a, b und c ist und x 1 parallel zu b, x2 parallel zu a und x 3 parallel zu c sind, können die Vektoren a, b und c, wie folgt in algebraischer Form beschrieben werden: a= 0 0 2 b=, 3 0 0 4 0 und c= 0 Die Punkte M 1, M 2 und M 3 können als Linearkombination des Ortsvektors x A und der Vektoren AM 1, AM 2 und AM 3 dargestellt werden. Also ist = 2 x M 1 =x A AM 1 1 1 0 2 2 3 1 = 2 = 2 1 1, 3, x M 2 =x A AM 2 1 2 = 3 2 = 2 1 3 2 3 x M 3 =x A AM 3 1 1 = 2 3
Gleichungen von Geraden im Raum Die Punkte einer Gerade im Raum werden allgemein durch einen Ortsvektor x beschrieben. Dieser wird als Summe eines Stützvektors p und dem Vielfachen eines Richtungsvektor u dargestellt: g :x=pk u Gib mindestens zwei verschiedene Geradengleichungen an, welche durch die Punkte A und B gehen. a) A(7-3 -), B(2 0 3) b) A(0 7 0), B(-7 0-7) Gegeben sind die Punkte A(9 0 0), B(0 4, 0) und C(0 0 4,). Begründe, dass die Punkte A,B und C nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Aufgabe 3: Überprüfe, ob der Punkt P auf der Geraden g liegt a) P(2 3-1), g :x= 7 0 4 t 3 b) P(2-1 -1), g :x= 1 0 1 1 3 t 3
Lösungen Gleichungen von Geraden im Raum a) zum Beispiel mit A als Geradenpunkt und Vektor AB als Richtungsvektor von g, dann ist g :x= 7 3 r 3 8 wenn B der Geradenpunkt ist und BA Richtungsvektor, dann wird g folgendermaßen dargestellt: g :x= 2 3 0 s 3 8 weitere Geradengleichungen für g sind möglich. b) zum Beispiel A mit A als Geradenpunkt und Vektor AB Richtungsvektor von g, dann ist g :x= 0 0 7 r 7 wenn B der Geradenpunkt ist und BA Richtungsvektor, dann wird g folgendermaßen dargestellt: g :x= 0 7 7 s 7 weitere Geradengleichungen für g sind möglich. 7 Wähle zum Beispiel eine Gerade g durch A und B und überprüfe, ob C auf einer Geraden liegt. Mit A als Geradenpunkt und Richtungsvektor AB hat die Gerade g die Form g :x= 9 0 0 9 r 4, 0 C kann nicht auf der Geraden g liegen, da alle Punkte auf g die Null als x 3 -Koordinate haben. Alternativ kann man auch durch Punktprobe feststellen, dass C nicht auf der Geraden g liegt.
Aufgabe 3: a) 4 t g :x= 7 0 3 2 Punktprobe: 3 1 7 4 = 0 3 Betrachten der Koordinaten liefert ein Gleichungssystem (GLS): x 1 : 2=7t t= 1 x 2 : 3= 3t t= 1 x 3 : 1=4t t= 1 Das GLS liefert für jede Koordinate den gleichen Wert für t, deshalb liegt der Punkt P auf der Geraden g. b) g :x= 1 1 1 3 0 t 3 ; P(2-1 -1) 2 Punktprobe: 1 1 = 0 1 1 3 t 3 Betrachten der Koordinaten liefert ein Gleichungssystem (GLS): x 1 : 2=1t t=1 x 2 : 1=3t t= 1 3 x 3 : 1=13t t= 2 3 Das Gleichungssystem liefert keinen einheitlichen Wert für t, daher kann P nicht auf g liegen. Ohne t explizit auszurechnen kann man argumentieren, dass 3t und 1+3t nicht beide -1 sein können, und daher P nicht auf g liegt.
Schneiden von Geraden im Raum Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann gibt es einen Punkt, der sowohl auf g als auch auf h liegt. Deshalb findet man diesen Punkt, wenn man die allgemeinen Ortsvektoren von g und h gleichsetzt. Zuvor ist es allerdings hilfreich sich zu vergewissern, ob die beiden Geraden nicht parallel zueinander sind. Dadurch kann man sich viel Arbeit sparen :-) Überprüfe, ob sich die Geraden g und h schneiden Überprüfe die Lage der Geraden g und h und bestimme gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes : g :x= 1 1 3 7 2 r 2 h:x= und 2 13 9 s 6 21 Aufgabe 3: Die Gerade g geht durch den Punkt A(3 8 0) und hat den Richtungsvektor 2 0. Die Gerade h geht durch den Punkt B(-2 3 1) und hat den Stützvektor 3 1 0. Überprüfe, ob sich die Geraden g und h schneiden, Berechne gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes
Schneiden von Geraden im Raum Lösungen Gerade g mit Geradenpunkt A und Richtungsvektor AB 2 g :x=x A rab also x=2 2 0r 2 2 Gerade h mit Geradenpunkt D und Richtungsvektor DC 1 h:x=x D rdc also x=0 1 3 2s 2 g h: 2 0 2 0 2 1 2 2 1 3 2 2 Betrachten der Koordinaten ergibt ein Gleichungssystem: x 1 : 2 2r=s x 2 : 22r=13s x 3 : 2r=2 2s ----------------------- I : 2 2r s=0. II : 22r 3s=0 I II III : 22r2s=0 I III --------------------------- I : 2 2r s=0 II ' : 30 4s=0 III ' : 00s=0 Gleichung II' ergibt für s= 3 4 eine wahre Aussage, da 3 4 s 4s=3 s= 3 4 Gleichung III' ergibt für s=0 eine wahre Aussage. Dies ist ein Widerspruch, da s laut Geradengleichung einen einheitlichen Wert haben muss. => Die beiden Geraden g und h schneiden sich nicht. Der Richtungsvektor von h ist ein Vielfaches des Richtungsvektors von g, da d.h. g und h sind zueinander parallel. 9 6 21 =3 3 2 7 Wegen 2 13 1 = 2 sind daher identisch. 1 3 7 2 2 liegt der Stützvektor der Geraden h auch auf g. Die beiden Geraden
Aufgabe 3: 0. x= 3 0 2 0, 8 r g : x=x A r 2 h: x= 3 0 3 1 s x B 1. x= 3 1 0 s 2 0 1 Wenn sich die beiden Geraden g und h schneiden würden, dann müsste die x 3 -Koordinate des Schnittpunktes 0 sein, da sämtliche Punkte auf g Null als x 3 -Koordinate haben. 3 0 Also muss s=0 sein. Als einzig möglicher Schnittpunkt von h kommt nur der Stützvektor 1 in Frage. Punktprobe mit g: 0 3 3 0 2 0 1 = 8 r Betrachten der Koordinaten liefert ein GLS: x 1 : 3=32r r=0 x 2 : 1=8r r= 7 x 3 : 0=0.. Das Gleichungssystem liefert keinen einheitlichen Wert für r, daher kann der Stützvektor nicht auf g liegen, d.h. die Geraden g und h schneiden sich nicht.