4.4 Taylorentwicklung

4.4. TAYLORENTWICKLUNG 83 4.4 Taylorentwicklung. Definitionen f sei eine reellwertige m + -mal stetig differenzierbare Funktion der n Variablen x bis x n auf einem Gebiet M R n. Die Verbindungsgerade der Punkte a und a + h liege ganz in M. Dann gilt die Taylorformel Taylorformel f( a + h) = T m f( h) + R m f( h) = m k=0 ( ( h) k f ) ( ( a) + ( h) m+ f ) ( a + ϑ k! (m + )! h), ϑ ]0, [. Wie in Kapitel.0 heißt T m f (m-tes) Taylorpolynom (in den n Variablen h bis h n ) und R m f m-tes Restglied. Das Taylorpolynom enthält die Werte von f und den partiellen Ableitungen bis zur m-ten Ordnung am Entwicklungspunkt a, das Restglied die Werte der m + - sten partiellen Ableitungen an einer Zwischenstelle a + ϑ h, ϑ ]0, [. Dabei ist der Nabla-Operator = (,,..., x x (h, h,..., h n ). h ist das (Matrix-)Produkt dieser beiden Vektoren, also ( h) k = ( h + + ) k. h n x x n Taylorpolynom Restglied x n ) und h der Vektor Nabla- Beim Ausmultiplizieren dieses Ausdrucks kommt es wegen des Satzes von Schwarz auf die Reihenfolge der Ableitungsoperatoren nicht an. In konkreten Fällen verwendet man als Variablennamen statt x bis x n oft x, y usw. Andere übliche Schreibweise der Taylorformel: wenn man x = a + h setzt, ist h = x a und man hat Operator f( x) = m k=0 ( ( ( x a)) k f ) ( ( a) + ( ( x a)) m+ f ) ( a + ϑ( x a)) k! (m + )! Bei dieser Schreibweise muß man unbedingt beachten, daß der Nablaoperator in der Klammer nur auf f und nicht auf den Vektor x wirkt! Für den Entwicklungspunkt x = 0 lautet die Formel Achtung! f( x) = m k=0 ( ( x) k f ) ( ( 0) + ( x) m+ f ) (ϑ x) k! (m + )!

84 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N. Berechnung Fall n = Berechnung im Fall n = Hier verwenden wir die Variablen x und y. Es ist = ( x, y ) und h = (h, h ). Damit hat das Produkt h die Form h = x h + y h und die Potenz ( h) k läßt sich mit Hilfe der binomischen Formel auswerten: ( h) k f(x, y) = k j=0 Die Taylorformel hat also die Gestalt ( k j ) k x j y k j f(x, y)hj h k j. f(a + h, b + h ) = + (m + )! m k=0 m+ j=0 ( ) k k ( k k! j=0 j ( ) m + ( m+ ϑ liegt wie immer zwischen Null und Eins. j x j y f ) (a, b) h j h k j k j x j y f ) (a + ϑh m+ j, b + ϑh ) h j h m+ j Daraus ergibt sich folgendes praktische Verfahren, daß beispielhaft für den Fall m = (d.h. Taylorentwicklung bis zur zweiten Ordnung, das Restglied enthält die dritten Ableitungen) aufgeschrieben ist: Man schreibt alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m + in einem Schema auf, das wie das Pascalsche Dreieck aufgebaut ist.. Dreieck f 0. Zeile f x f y. Zeile f xx f xy f yy m-te Zeile, hier. Zeile f xxx f xxy f xyy f yyy m + -ste, hier 3. Zeile In der ersten bis zur m-ten Zeile werden die Werte der Funktion und Ableitungen an der Entwicklungsstelle (a, b) notiert in der letzten, also der m + -sten Zeile die Werte an einer Zwischenstelle (ã, b) mit ã = a + ϑh und b = b + ϑh :. Dreieck f(a, b) 0. Zeile f x (a, b) f y (a, b). Zeile f xx (a, b) f xy (a, b) f yy (a, b) m-te Zeile f xxx (ã, b) f xxy (ã, b) f xyy (ã, b) f yyy (ã, b) m + -ste Zeile

4.4. TAYLORENTWICKLUNG 85 Darunter (oder daneben, wenn der Platz reicht), schreibt man in einem Pascalschen Dreieck die Terme auf, die bei der Binomialentwicklung von (h + h ) k entstehen und daneben die Kehrwerte von k! 0. Zeile h h. Zeile h h h h m! = m-te Zeile h 3 3h h 3h h h 3 (m + )! = m + -ste Zeile 3. Dreieck 3 Jeder Term des zweiten Dreiecks (das die Werte an der Entwicklungs- bzw. Zwischenstelle enthält) wird mit dem entsprechenden Term des dritten Dreiecks (mit den Teilen von (h +h ) k ) und mit dem in der entsprechenden Zeile stehenden Kehrwert von k! multipliziert. Alle diese Werte werden addiert. In der Entwicklung bis zur zweiten Ordnung bedeutet das f(a + h, b + h ) 0. Zeile = f(a, b). Zeile + f x (a, b) h + f y (a, b) h. Zeile + f xx (a, b) h + f xy(a, b) h h + f yy h 3. Zeile + f xxx (a + ϑh, b + ϑh ) h 3 + f xxy(a + ϑh, b + ϑh ) 3h h + f xyy (a + ϑh, b + ϑh ) 3h h + f yyy(a + ϑh, b + ϑh ) h 3 Beispiel : Taylorentwicklung bis zur zweiten Ordnung von f(x, y) = x y am Punkt (a, b) = (, ). Alle Ableitungen bis zur dritten Ordnung: 0 0 0 y x y y y 3 x y x y 3 x y 4

8 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N In den Zeilen 0 bis des linken Dreiecks stehen die Werte für x = und y =. In der dritten (der letzten) Zeile stehen die Werte der dritten Ableitungen an der Stelle ã = +ϑh und b = +ϑh. Daneben stehen die Teile von (h +h ) k und die Kehrwerte der Fakultäten. h h 0 4 h h h h ã 0 0 h 3 3h h 3h h h 3 b3 b4 3 Damit sieht die gesuchte Taylorentwicklung so aus: + h + h = ( ) + ( h h ) + ( h h + 4 h ) + ( + ϑh ) 3h h 3 + ( + ϑh ) h 3 ( + ϑh ) 4 = + h h h h + h + R (h, h ) mit R (h, h ) = h h ( + ϑh ) ( + ϑh )h 3 3 ( + ϑh ) 4 allgemeiner Fall Allgemeiner Fall (drei und mehr Variable) Im allgemeinen geht man bei einer Taylorentwicklung bis zur m-ten Ordnung so vor: Der Ausdruck ( h) k = ( x n h n ) k wird für k = bis h + + x k = m ausmultipliziert. Wenn man auch das Restglied benötigt, muß man auch die m + -ste Potenz bilden. Die nötigen partiellen Ableitungen von f werden gebildet. 3 Das Taylorpolynom wird mit Hilfe der Ableitungswerte am Entwicklungspunkt a aufgebaut, das Restglied mit Werten an einer Zwischenstelle a + ϑ h.

4.4. TAYLORENTWICKLUNG 87 Beispiel : Zweites Taylorpolynom von f(x, y, z) = +yz im Nullpunkt. Benötigt wird ( x h + y h + z h ) 3 = x h + y h + z h 3 + x y h h + x z h h 3 + y z h h 3 Die ersten partielle Ableitungen sind f x = +yz, f y = z+yz und f z = y+yz. Es gibt zweite partielle Ableitungen: f xx = 4+yz, f yy = z +yz, f zz = y +yz f xy = z+yz, f xz = y+yz, f yz = ( + yz)+yz 3 Die Werte der Ableitungen am Entwicklungspunkt x = y = z = 0 sind f(0, 0, 0) = f x (0, 0, 0) =, f y (0, 0, 0) = f z (0, 0, 0) = 0 f xx (0, 0, 0) = 4, f yz (0, 0, 0) = f yy (0, 0, 0) = f zz (0, 0, 0) = f xy (0, 0, 0) = f xz (0, 0, 0) = 0 Damit hat das zweite Taylorpolynom die Form T f(h, h, h 3 ) = + h + 4h + h h 3 = + h + h + h h 3. Wenn man will, kann man jetzt auch h, h und h 3 durch x, y und z ersetzen: T f(x, y, z) = + x + x + yz. Vektorwertige Funktionen Die oben angegeben Formel dient der Taylorentwicklung reellwertiger Funktionen. Ist f eine R k -wertige Funktion, so geht man nach der Grundregel auf S. 50 vor. Wichtig: Bei der Bestimmung des Restglieds muß man in jeder Komponente eine eigene Zwischenstelle nehmen. ( ) Das erste Restglied R f(h, h ) bei der Taylorentwicklung von f f (x, y) = f (x, y) an der Stelle (a, b) = (0, 0) ist ( fxx (ϑ h, ϑ h )h + f xy (ϑ h, ϑ h )h h + f yy (ϑ h, ϑ h )h f xx (ϑ h, ϑ h )h + f xy (ϑ h, ϑ h )h h + f yy (ϑ h, ϑ h )h ) Vektorwertige Funktionen mit ϑ ]0, [ und ϑ ]0, [.

88 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N Analytische Funktionen Analytische Funktionen Analog zu Kapitel. heißt eine auf einem Gebiet G R n definierte Funktion f analytisch, wenn man sie um jeden Punkt von G in eine konvergente Potenzreihe in den Variablen x bis x n entwickeln kann. Eigenschaften: Alle Funktionen, die sich aus (eindimensionalen) analytischen Funktionen zusammensetzen, sind in ihrem Definitionsbereich analytisch. Analytische Funktionen lassen sich stets in Taylorreihen entwickeln. Die Taylorreihe konvergiert in einer Umgebung des Entwicklungspunkts gegen die Funktion. Das Taylorpolynom erhält man als den entsprechenden Abschnitt der Potenzreihe der Funktion. Bei der Ermittlung der Potenzreihen darf man Reihen ineinander einsetzen und miteinander multiplizieren. 3. Beispiele Beispiel 3: Taylorentwicklung von f(x, y) = y um (0, 0), Angabe des Restglieds. ex bis zur zweiten Ordnung Da auch das Restglied berechnet wird, müssen alle Ableitungen bis zur dritten Ordnung berechnet werden: y y y y ( y) ( y) ( y) 3 ( y) ( y) 3 ( y) 4 In Funktion, erster und zweiter Ableitung werden die Werte am Entwicklungspunkt (0, 0) aufgeschrieben, bei der dritten Ableitung die Werte an einer Stelle (ã, b) = (ϑx, ϑy) mit ϑ ]0, [. Daneben stehen die Binomialkoeffizienten und die Kehrwerte der Fakultäten. eã b / h h / h h h h / eã eã eã ( b) ( b) 3 ( b) h 3 4 3h h 3h h h 3 /

4.4. TAYLORENTWICKLUNG 89 3 Damit wird das Taylorpolynom und das Restglied aufgebaut: f(h, h ) = + (h + h ) + (h + h h + h ) (Taylorpolynom) + ( eã eã eã b h3 + 3 ( b) h h + 3 ( b) h h 3 + eã ) ( b) 4 h3 (Restglied) Jetzt kann man h und h durch x und y ersetzen: f(x, y) = + x + y + x + xy + y + eϑx ( ϑy x3 + ϑ ]0, [ 3 ( ϑy) x y + ( ϑy) 3 xy + ( ϑy) 4 y3) Wird die gesamte Taylorreihe von f gesucht, kann man so vorgehen: Da f sich aus analytischen Funktionen zusammensetzt und daher auch analytisch ist, ist die Taylorreihe mit der Potenzreihe identisch. Diese erhält man, wenn man die Potenzreihen der Faktoren miteinander multipliziert: y = ex y = n! xn n=0 y m = m=0 n,m=0 n! xn y m. Das zweite Taylorpolynom kann man aus dieser Darstellung erhalten, wenn man alle Glieder heraussucht, in denen n + m ist. Damit erhält man natürlich wieder dasselbe Polynom wie oben: T f(x, y) = }{{} n=m=0 + x + y }{{} n+m= + x + xy + y. } {{} n+m= Beispiel 4: Entwicklung von f(x, y) = (x + y) 3 um (a, b) = (, ) Alle Ableitungen von f bis zur dritten Ordnung: (x + y) 3 3(x + y) (x + y) (x + y) (x + y) 4(x + y) 4 48 Alle weiteren Ableitungen sind Null.

90 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N Jetzt werden die Werte am Entwicklungspunkt x =, y = aufgeschrieben. Daneben stehen die Binomialkoeffizienten und die Kehrwerte der Fakultäten. / 3 h h / 4 h h h h / 4 48 h 3 3h h 3h h h 3 / 3 Da alle höheren Ableitungen Null sind, sind auch die entsprechenden Restglieder Null und die Funktion stimmt mit dem Taylorpolynom überein: f( + h, + h ) = + 3h + h + 3h + h h + h + h 3 + h h + h h + 8h 3 Ersetzt man h durch x + und h durch y, so erhält man f( + h, + h ) = f(x, y) = (x + y) 3 (x + y) 3 = + 3(x + ) + (y ) + 3(x + ) + (x + )(y ) + (y ) + (x + ) 3 + (x + ) (y ) + (x + )(y ) + 8(y ) 3 Alternative: In (x+y) 3 ersetzt man x durch +h und y durch h. Dann multipliziert man die dritte Potenz aus und ersetzt h wieder durch x + und h durch y. Beispiel 5: Die Taylorreihe von sin(x + y) Da die Funktion analytisch ist, stimmen Taylor- und Potenzreihe überein. Die Potenzreihe erhält man durch Einsetzen von x + y in die Sinusreihe: sin(x + y) = n=0 ( ) n + Mit = m ( ) n (n + )! (x + y)n+ = (n + )! m!(n + m)! sin(x + y) = n n=0 m=0 n=0 erhält man ( ) n (n + )! n+ m=0 ( ) n m!(n + m)! xm y n+ m. ( ) n + x m y n+ m. m