Kapitel Zeit-Frequenz-Transformationen Heutzutage nutzen dem Stand der Technik entsprechende Übertragungssysteme umfangreiche und anspruchsvolle Signalverarbeitungsalgorithmen, um eine wettbewerbsfähige Funktionalität zu erreichen. Typische Bestandteile nachrichtentechnischer Signalverarbeitungssysteme sind Analyse und Diagnose, Codierung, Quantisierung und Kompression, Übertragung und Speicherung sowie Synthese und Rekonstruktion. Die direkte Verarbeitung des Signals als Funktion der Zeit ist dabei vielfach nicht die geeignete Grundlage zur Lösung dieser Aufgaben. Ein erster algorithmischer Schritt ist deshalb oft die Überführung in eine dem Problem angepaÿtere Signalbeschreibung. Das Signal wird transformiert. Eine zweckmäÿigere Darstellung kann betrachtet werden. Die relevanten Eigenschaften sind nun deutlicher erkennbar, so daÿ die erzeugte adäquate Signaldarstellung eine geeignetere Basis für die folgende Bearbeitung bietet. Ein klassischer Ansatz ist das zu verarbeitende Signal in ein dem Problem angepaÿten Funktionensystem zu entwickeln. Die Auswahl des Funktionensystems ermöglicht so eine Signalbeschreibung, die konform der spezischen Aufgabe ist. Dieses Prinzip liegt auch der schwerpunktmäÿig in dieser Arbeit diskutierten Wavelet-Transformation zugrunde. Dieses Kapitel gibt einen Überblick über lineare Spektraltransformationen und deren Eigenschaften, wobei von der in Nachrichtentechnik und Signalverarbeitung grundlegenden Fourier-Transformation ausgegangen wird. Nachgezeichnet wird dabei die Weiterentwicklung der Fourier-Transformation zu exibleren Signalzerlegungen in der Zeit-Frequenz-Ebene, die den mit technischem Fortschritt steigenden Ansprüchen in Signalverarbeitungs- und Übertragungssystemen besser genügen. Die skizzierte Entwicklung endet mit wünschenswerten Eigenschaften, welche Kurzzeit-Fourier-Transformation und auch quadratische Zeit- Frequenz-Verteilung (exemplarisch wird im Anhang A die Wigner-Verteilung diskutiert) und die mit ihnen verwandten Transformationsmethoden nicht aufweisen. Diese Dezite motivierten die Entstehung der kontinuierlichen Wavelet-Transformation in den achtziger Jahren dieses Jahrhunderts maÿgeblich. Zuvor werden einige Vereinbarungen und Denitionen getroen, die für die folgende Diskussion von grundlegender Bedeutung sind.

. Grundlegende Denitionen und Konventionen 5. Grundlegende Denitionen und Konventionen Ein grundsätzliches Ziel der in dieser Arbeit betrachteten Algorithmen und Verfahren ist die Anwendung auf meÿbare elektrische Signale. Ein wesentliches Merkmal realer Signale ist, daÿ sie eine endliche Energie aufweisen. Aus diesem Grund werden, sofern nicht anders vermerkt, alle analogen zu verarbeitenden Signale s(t) als Funktionen endlicher Energie E s mit dem Denitionsbereich der reellen Zahlen R angenommen. Wie in der Nachrichtentechnik üblich, werden die Signale und alle weiteren Funktionen einheitenlos bezüglich der normierten Zeit t als unabhängige Variable dargestellt. Ein solches sogenanntes Energiesignal s(t) ist über den gesamten Zeitbereich deniert und hat die Eigenschaft E s = Z js(t)j dt < : (.) Ein Energiesignal s(t) wird entsprechend der Lebesgue-Theorie [] durch die Mengenzugehörigkeit s(t) L (R) gekennzeichnet. Um umfangreiche Berechnungen und Vergleiche mit den Elementen der Menge L (R) durchführen zu können, ist die Verwendung eines Inneren Produktes sowie einer Metrik in der Gestalt einer Norm sinnvoll. Das Innere Produkt zweier Signale s (t);s (t) L (R) sei deniert als hs (t);s (t)i= Z s (t)s (t)dt; (.) wobei die komplexe Konjugation kennzeichnet. Für die L (R)-Norm eines Energiesignals s(t) soll gelten ks(t)k = p hs(t);s(t)i= p E s : (.) Mit den Denitionen (.) und (.) bildet die vollständige Menge L (R) einen Hilbert-Raum []. In einem Hilbert-Raum lassen sich die Beziehungen der Elemente, in diesem Fall der Energiesignale, mathematisch vorteilhaft beschreiben und berechnen. Darüber hinaus sind die Verhältnisse anschaulich geometrisch interpretierbar. So ist die Orthogonalität zweier Signale s (t);s (t) L (R) über das Innere Produkt deniert als hs (t);s (t)i= (.) und kann geometrisch als Rechtwinkligkeit aufgefaÿt werden. Der Norm kommt die geometrische Bedeutung einer Länge zu. Für die Betrachtungen in dieser Arbeit sind die zu verarbeitenden analogen Signale Elemente des beschriebenen Hilbert-Raums L (R) der Funktionen endlicher Energie.

. Grundlegende Denitionen und Konventionen 6 In der Signalverarbeitung sind die durch s (t) s (t) = Z s ( )s (t, )d; (.5) Z s (t)?s (t)= s ( )s ( + t)d (.6) denierte Faltung und Korrelation zweier reeller Signale s (t);s (t) L (R) von grundlegender Bedeutung. Sie stehen untereinander und mit dem in der Funktionenanalysis bedeutenden Inneren Produkt in enger Beziehung. Für den Zusammenhang von Faltung und Korrelation gilt s (t)?s (t)=s (,t)s (t); (.7) s (t) s (t) =s (,t)?s (t): (.8) Das Innere Produkt und die Faltung sind durch s (t) s (t) =hs ();s (t,)i; (.9) hs (t);s (t)i= s ()s (,) j= (.) miteinander verknüpft. Der Verwandtschaft von Faltung und Innerem Produkt kommt in der Signalverarbeitung eine besondere Bedeutung zu. Signale werden hier bevorzugt transformiert, indem sie linear auf ein neues orthonormales Funktionensystem abgebildet werden. Die neuen Koordinaten, die Entwicklungs- oder Transformationskoezienten, die das Signal bezüglich des neuen Funktionensystems hat, werden durch die Inneren Produkte hs(t);f(t)i aller das Funktionensystem umfassenden Funktionen mit dem zu transformierenden Signal berechnet. Das Signal wird auf die neuen Koordinatenachsen projiziert. Da sich das Ausgangssignal eines Filters als Faltung von Eingangssignal und Impulsantwort ergibt, lassen sich die Entwicklungskoezienten über die Zusammenhänge (.9) und (.) am Ausgang einer Filterbank erzeugen. Die Impulsantworten der Filterkanäle bestimmen sich dann aus den reellwertigen Funktionen eines Funktionensystems durch zeitliche Spiegelung und Translation zur Gewährleistung der Kausalität. Komplexwertige Funktionen werden durch eine getrennte Filterbankrealisation von Real- und Imaginärteil berücksichtigt. Die Berechnung der Entwicklungskoezienten durch das Anwenden einer Filterbank ist die grundlegende Idee der diskreten Wavelet-Transformation [5,, ]. Erst diese Form der Implementation verhalf ihr zum Durchbruch und ermöglichte eine eziente und schnelle Durchführung der Transformation. Der Zusammenhang von Filterbänken und Wavelets wird ausführlich in Kapitel diskutiert.

. Die Fourier-Transformation 7. Die Fourier-Transformation Neben der Beschreibung eines Signals s(t) als Funktion der Zeit ndet die Beschreibung durch die Fourier-Transformierte ^s(!) = F fs(t)g(!) gerade in Signalverarbeitung und Nachrichtentechnik eine breite analytische und algorithmische Verwendung. Das Fourier- Spektrum beschreibt das Signal als gewichtete Summe komplexer Funktionen der Menge F = f F;! (t) =e j!t :! R ; (.) deren Lineare Hülle den Funktionenraum L (R) beinhaltet. Jedes Gewicht ^s() gibt dabei den Beitrag der Funktion f F; (t) =e jt mit der festen Frequenz zum Signal s(t) an und wird als Inneres Produkt durch hs(t);f F; (t)i = Z s(t)e,jt dt =^s() (.) berechnet. Die Abbildungsvorschriften der Fourier- und inversen Fourier-Transformation lauten demnach ^s(!) =Ffs(t)g(!)= Z s(t)e,j!t dt; (.) Z s(t) =F f^s(!)g(t)= ^s(!)e j!t d!: (.) Dieses Transformationspaar ordnet jedem Energiesignal s(t) L (R) genau ein Spektrum ^s(!) L (R) mit endlicher Energie zu und umgekehrt. Die Fourier-Transformation F bildet L (R) auf sich selbst ab und behält dabei die Norm bis auf einen konstanten Faktor bei. Dieser Zusammenhang wird durch die Parsevalsche Identität hs (t);s (t)i= h^s (!);^s (!)i (.5) für reellwertige Signale beschrieben. Nach Gleichung (.5) berechnet sich die Signalenergie im Frequenzbereich ebenfalls als Inneres Produkt und es gilt E s = h^s(!); ^s(!)i = Z j^s(!)j d! = k^s(!)k : (.6) Ein wesentlicher Grund für die weite Verbreitung der Fourier-Transformation ist der Bezug zur Faltung. Zusammenhänge und Prozesse aus Naturwissenschaft und Technik können in guter Näherung durch lineare und zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme) modelliert werden. LTI-Systeme reagieren auf ein Eingangssignal s(t) mit einem Ausgangssignal g(t) = s(t) h(t), das sich durch Faltung von Eingangssignal s(t) und Stoÿantwort h(t)

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen 8 des Systems ergibt. Jede Funktion f F;! (t) = e j!t hat die Eigenschaft, daÿ sie durch die Faltung mit einer beliebigen Stoÿantwort ihre Form nicht ändert, sondern lediglich mit einem systemabhängigen Amplitudenfaktor ^h(!) multipliziert wird. Die Elementarfunktionen der Fourier-Transformation sind demnach Eigenfunktionen dieser Faltungs-Abbildung. Sie erlauben die vorteilhafte Darstellung von LTI-Systemen durch ihre Übertragungsfunktion ^h(!) als Fourier-Transformierte der Stoÿantwort h(t) und die einfache Berechnung des Ausgangssignals durch eine Multiplikation im Frequenzbereich mit ^g(!) =^h(!)^s(!): (.7) Weiter ndet die Fourier-Transformation über die Verwandtschaft von Korrelation und Faltung eine umfangreiche Anwendung in der statistischen Signalverarbeitung. Ein bedeutendes Maÿ der statistischen Signalanalyse ist die Autokorrelation von Leistungssignalen, die aus der Impulsautokorrelation für Energiesignale R E ss ( ) unter bestimmten Voraussetzungen [, ] abgeleitet werden kann [5]. Für reelle Signale endlicher Energie ist diese nach Gleichung (.6) mit s (t) =s (t)=s(t)deniert als R E ss ( )=s()?s()= Z s(t)s(t + )dt: (.8) Somit errechnet sich das Energiedichtespektrum als Fourier-Transformierte der Autokorrelationsfunktion R E ss ( ) eines Signals s( ) durch F fr E ss ( )g(!) =Ffs(,)s()g(!)=^s (!)^s(!) =j^s(!)j : (.9) Die Fourier-Transformation und ihre diskrete Variante weisen darüber hinaus noch weitere vorteilhafte Eigenschaften auf [69]. Der primäre Grund für ihre weite Verwendung in der Nachrichten- und Systemtechnik ist aber die beschriebene Beziehung zur Faltung und Korrelation. System- und Signalbeschreibungen durch die Fourier-Transformation nach Gleichung (.) sind gerade in den Bereichen von groÿer Bedeutung, in denen die Modelleigenschaften Linearität und Zeitinvarianz oder Stationarität besonders berechtigt sind. In wichtigen Gebieten der Signalverarbeitung wie der Filtertheorie und der Übertragungstechnik ist die Fourier-Transformierte die vorrangige System- und Signalbeschreibung und gebräuchlicher als die Beschreibung im Zeitbereich. Filter, Systeme und Signale werden typischerweise durch ihre Frequenzcharakteristik beschrieben.. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen Die Forderungen nach zeitinvariantem Systemverhalten oder stationären Signaleigenschaften begrenzen den sinnvollen Einsatz der Fourier-Transformation in vielen Bereichen. Hängt das Verhalten eines Systems von der Zeit ab, oder ändern sich die statistischen Eigenschaften eines Signals, so ist die generelle Beschreibung durch eine Übertragungsfunktion oder ein Energiedichtespektrum zur umfaÿenden Beschreibung nicht korrekt. Ferner verfügt die Fourier-

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen 9 Transformation inhärent über eine globale Charakteristik, da sich ihre Elementarfunktionen über den vollständigen Zeitbereich erstrecken und somit keine zeitliche Lokalisierbarkeit aufweisen. Um das spektrale Verhalten eines Signals anhand der Fourier-Transformierten zu bewerten, ist folglich die Kenntnis des Signals in der gesamten Zeitdomäne notwendig. Dies beinhaltet auch zukünftige Signalinformationen. Weiter wirkt sich eine Veränderung des Signals in einem kleinen zeitlichen Intervall grundsätzlich auf das ganze Spektrum aus. Diese Umstände machen die Fourier-Transformation für Echtzeitanwendungen und die Verarbeitung nichtstationärer Signale unzweckmäÿig. Dennoch ist man auch in diesem Fall an einer Aussage über die spektrale Komposition des Signals interessiert. In der folgenden Abbildung. wird der Globalitätsnachteil der Fourier-Transformation deutlich. Die dargestellten Signale s (t) und s (t) mit s (t) = s (t) = 8 < : cos( t) + cos( t) + cos( t) + cos( t) für t [;T] für t 6 [;T]; 8 >< >: cos( t) für t [; T ) cos( t) für t [ T ; T ) cos( t) für t [ T ; T ) cos( t) für t [ T ;T] für t 6 [;T] (.) (.) sind für ein Intervall der Länge T = von null verschieden und beinhalten jeweils Cosinuskomponenten der Frequenzen = =; = =; = =; = =. In s (t) erstreckt sich jede Cosinusschwingung über das gesamte Intervall [;T].Ins (t)sind die Signalanteile sequentiell angeordnet. Beide Betragsspektren zeigen qualitativ ein ähnliches Verhalten. Eine Betrachtung des Spektrums führt in beiden Fällen zur Erkenntnis, daÿ das Signal im wesentlichen aus vier Frequenzkomponenten besteht. Die wichtigen transienten Informationen im Signal s (t) können nicht aus dem Betragsspektrum abgeleitet werden. Da transiente Phänomene durch eine im Verhältnis zum Observationsintervall kurze Zeitdauer gekennzeichnet sind, muÿ zu ihrer Auösung ein genügend kurzer Beobachtungszeitraum eingehalten werden. Das Signal kann dann für diese Zeitdauer als stationär angenommen werden. Als Konsequenz hieraus sollten die Elementarfunktionen, in die das zu observierende Signal entwickelt wird, anders als bei der Fourier-Transformation im wesentlichen auf ein zeitliches Intervall beschränkt sein. Allgemein wird eine Darstellungsform benötigt, die Zeitintervallen spektrale Informationen zuordnet und umgekehrt. Daher ist ein zusätzlicher Zeitparameter zur zeitabhängigen Darstellung des Spektrums sinnvoll. Durch die genannten Unzulänglichkeiten der Fourier-Transformation motiviert, schlug Gabor eine zeit- und frequenzabhängige Verbunddarstellung zur Signalbeschreibung vor []. In diesem Ansatz zur linearen Beschreibung nichtstationärer Signale ist historisch einer der wichtigsten Ursprünge für die spätere Entwicklung der Wavelet-Transformation zu sehen. Die Zeit-Frequenz-Verbunddarstellungen werden deshalb ausgehend von Gabors Ansatz

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen s(t),!, :5,:5 6 8 6 8 Zeit t,! Zeit t,! s(t),! 6 ^s (!)=k^s (!)k,! 5 5 ^s (!)=k^s (!)k,! 5 Frequenz!,! Frequenz!,! Abbildung.: Fourier-Transformation der Signale s (t) und s (t) mit gleichen Frequenzkomponenten = =; = =; = =; = =, die zeitliche unterschiedlich angeordnet sind. skizziert. Zuvor soll jedoch ein Überblick über Unschärferelation und Phasenraumdarstellung in der Zeit-Frequenz-Ebene gegeben werden, da diesen Begrien gerade in der linearen Verbunddarstellung von Signalen eine grundlegende Bedeutung zukommt... Unschärferelation und Phasenraumdarstellung in der Zeit- Frequenz-Ebene Die Fourier-Transformation hat die Eigenschaft, Signale endlicher Ausdehnung auf ein unendlich ausgedehntes Spektrum abzubilden. Begrenzten Spektren werden unendlich ausgedehnte Signale zugeordnet. Beschreibt man die Lokalisation eines Signals im Zeit- oder Frequenzbereich demnach durch Breite und Mittelpunkt von Intervallen, für die das Signal oder das Spektrum von null verschiedene Werte annimmt, so führt diese Eigenschaft dazu, daÿ eine solche Lokalisationsbeschreibung für die zeitliche und spektrale Darstellung eines

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen Signals nie gemeinsam getroen werden kann. Für einige wichtige Funktionen, wie z. B. die Gauÿ-Funktion, erhält man in keiner der beiden Domänen eine verwertbare Aussage. Ein sinnvolles quantitatives Lokalisationsmaÿ sollte die energetische Konzentration so bewerten, daÿ für in der Zeit-Frequenz-Ebene lokalisierbare Signale eektive Ausdehnung und eektive Bandbreite gleichzeitig deniert sind. Eine weitere Eigenschaft der Fourier-Transformation ist, daÿ eine um den Faktor C gestauchte Funktion entsprechend F fs(ct)g(!) = (=jcj)^s(!=c) auf ein um die Konstante C gestrecktes Spektrum abgebildet wird. Die Denition der Lokalisationsmaÿe sollte diese Eigenschaft ebenfalls widerspiegeln, so daÿ das Produkt aus eektiver Ausdehnung und eektiver Bandbreite invariant zu Dehnung, Verschiebung, Modulation und Signalmultiplikation mit einer Konstanten ein Charakteristikum der Signalform darstellt. Die Denitionen der eektiven Ausdehnung t;s = p R und der eektiven Bandbreite!;s = p (t, t ;s ) js(t)j dt ks(t)k R = (!,! ;s ) j^s(!)j d! k^s(!)k = mit t ;s = mit! ;s = R R tjs(t)j dt ks(t)k (.)!j^s(!)j d! k^s(!)k (.) des Signals s(t) als Standardabweichungen der normierten Funktionsverläufe js(t)j =ks(t)k und j^s(!)j =k^s(!)k mit den Mittelwerten t ;s und! ;s haben sich als Lokalisationsmaÿe für Funktionen mit einer Tiefpaÿcharakterisik und analytische Bandpaÿfunktionen etabliert [9, ]. Allgemein werden t ;s und! ;s als Mittelpunkte der eektiven Ausdehnung und eektiven Bandbreite bezeichnet. Dabei setzt ein endliches t;s ein im Mittel stärker als jtj,= für jtj!fallendes Signal s(t) voraus. Ein endliches!;s verlangt einen glatten Signalverlauf, so daÿ auch die Ableitung des Signals s(t) ein Energiesignal s (t) L (R) ist [9]. Da reellwertige Signale ein symmetrisches Energiedichtespektrum j^s(!)j = j^s(,!)j aufweisen, ist die Denition des Mittelpunktes und daher auch der eektiven Bandbreite nach Gleichung (.) für reellwertige Bandpaÿsignale ungeeignet. Unabhängig von der spektralen Verteilung gilt! ;s =,da!j^s(!)j immer eine ungerade Funktion ist. Im Kontext der Wavelet-Transformation sind aber gerade reelle Elementarfunktionen mit einer Bandpaÿcharakteristik von besonderer Bedeutung. Für solche Funktionen soll daher eine alternative Denition des Mittelpunktes der eektiven Bandbreite gelten. Durch die Abbildung eines Signals s(t) auf das zugehörige analytische Signal s + (t) mit s + (t) = Z ^s(!)e j!t d! und ^s + (!) = 8 >< >: für!< ^s(!) für! = ^s(!) für!> (.)

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen Tabelle.: Zeit-Bandbreite-Produkte für komplexwertige Gauÿsche Elementarfunktionen und Wavelets als reellwertige Bandpaÿsignale. Zeit-Frequenz-Atom t;s!;s t;s +!;s Gauÿsche Elementarfunktionen Daubechies D-Wavelets 8:7 Daubechies D-Wavelets 6: Daubechies D5-Wavelets 5:7 Symmlet S-Wavelets :9 Symmlet S-Wavelets :7 Symmlet S5-Wavelets :65 Coiet C-Wavelets :7 Coiet C8-Wavelets :58 beschränkt man das Spektrum auf den positiven Frequenzbereich! bevor der Mittelpunkt der eektiven Bandbreite für reelle Bandpaÿsignale! + ;s und die eektive Bandbreite eines reellen Bandpaÿsignals + nach!;s +!;s = p R = (!,! + ;s ) j^s + (!)j d! k^s + (!)k mit! + ;s = R!j^s + (!)j d! (.5) k^s + (!)k berechnet werden. Die Heisenbergsche Unschärferelation der Signalverarbeitung sagt aus, daÿ das Ausdehnungs-Bandbreite-Produkt t;s!;s nach unten streng begrenzt ist, so daÿ eektive Ausdehnung und eektive Bandbreite nicht gleichzeitig beliebig reduzierbar sind. Als Konsequenz impliziert die durch Stauchung erlangte Genauigkeit in der einen Domäne eine gewisse durch die Signalform vorgegebene Unschärfe in der anderen Domäne. Gabor leitete in Analogie zur Quantenmechanik den quantitativen Zusammenhang t;s!;s (.6) in [] her und zeigte, daÿ nur die Familie der komplexen Exponentialfunktionen mit Gauÿscher Hüllkurve e,t = die Unschärferelation (.6) minimiert. Der Streuungsparameter R > beschreibt dabei die Signaldehnung. Die Tabelle. gibt einen Überblick über zeitliche und spektrale Lokalisationseigenschaften einiger in dieser Arbeit behandelter Funktionen anhand der hier denierten Lokalisationsmaÿe. Auf die Bedeutung der Bezeichnungen der Wavelet-Familien wird im Kapitel eingegangen. Um zu einer optimal lokalisierbaren Signaldarstellung zu gelangen, wählte Gabor ein aus translatierten und modulierten Gauÿ-Funktionen bestehendes Funktionensystem zur Signalbeschreibung. Signalrepräsentationen auf der Grundlage dieses Funktionensystems werden

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen daher allgemein als Gabor-Transformation bezeichnet. Sie soll im folgenden Abschnitt.. näher betrachtet werden. Die Denitionen (.) und (.) oder (.5) erlauben eine aussagekräftige Darstellung der Elementarfunktionen einer Transformation in der Zeit-Frequenz-Ebene. Die in dieser Arbeit diskutierten Funktionensysteme der Gabor-, Kurz-Zeit-Fourier- und Wavelet-Transformation zeichnen sich dadurch aus, daÿ ihre Elementarfunktionen ein endliches Ausdehnungs- Bandbreite-Produkt haben. Damit können sie als Rechtecke mit den entsprechenden Kantenlängen t;s und!;s und der Lage des Mittelpunktes (t ;s ;! ;s ) in der Zeit-Frequenz- Ebene veranschaulicht werden. Anhand der Gröÿenverhältnisse und der Lage der Rechtecke werden Eigenschaften der Transformation oensichtlich. Haben die Rechtecke eine geringe Fläche nahe der Heisenbergschen Unschärfegrenze, so verfügt die Transformation über eine nahezu optimale Zeit-Frequenz-Auösung. Rechtecke mit geringer Seitenlänge t;s korrespondieren mit Funktionen guter Zeitauösung, Rechtecke mit geringer Seitenlänge!;s mit Funktionen guter Frequenzauösung. Überlappen die Rechtecke in der Zeit-Frequenz- Ebene zu einem groÿen Teil, so sind die Transformationskoezienten redundanzbehaftet und das Funktionensystem überbestimmt. Wird die gesamte Fläche nicht vollständig mit Rechtecken abgedeckt, so führt die korrespondierende Transformation zu einer Unterabtastung des Signals. Im Kontext der linearen Entwicklung eines Signals in zeitlich-spektral lokalisierbare Funktionen hat sich eine Beschreibung aus der Chemie etabliert. Es werden die Elementarfunktionen als Zeit-Frequenz-Atome bezeichnet, die, entsprechend der Entwicklungskoezienten kombiniert, ein als Zeit-Frequenz-Molekül interpretiertes Signal s(t) erzeugen. Im Unterschied zur Chemie ndet ein solches Signal allerdings, analog zur Entwicklung in unterschiedlichen Funktionensystemen, Repräsentationen in verschiedenen Zeit-Frequenz-Molekülen, die jeweils aus unterschiedlichen Mengen von Zeit-Frequenz-Atomen zusammengesetzt werden. Weiterhin ist nicht jedes beliebige Signal grundsätzlich als eine gewichtete Summe von Zeit- Frequenz-Atomen und damit als Zeit-Frequenz-Molekül beschreibbar. In der Abbildung. sind verschiedene Zeit-Frequenz-Atome im Zeit- und Frequenzbereich und als Rechtecke in der Zeit-Frequenz-Ebene dargestellt. Hier werden die Verhältnisse von eektiver Ausdehnung und eektiver Bandbreite zum zeitlichen und spektralen Signalverlauf deutlich. Aus der Darstellung der Elementarfunktionen einer Transformation als Rechtecke in der Zeit-Frequenz-Ebene kann ein mit Zeit-Frequenz- oder Zeit-Skalierungs-Transformationen assoziiertes Zerlegungsschema der Zeit-Frequenz-Ebene abgeleitet werden. In diesem sogenannten Phasenraumdiagramm wird die Zeit-Frequenz-Ebene in ein idealisiertes Rechteckraster unterteilt. Mit jedem Rechteck korrespondiert eine Elementarfunktion f k;l (t) des zugrunde liegenden Funktionensystems, wobei k; l Z Elemente der zugehörigen Indizierungsmenge sind. Die Mittelpunkte der Rechtecke werden an einem Indizierungsraster ausgerichtet, so daÿ jedem Phasenraumrechteck ein Zeitindex k und ein Frequenz- oder Skalierungsindex l als Koordinaten zugeordnet sind. Das Indizierungsraster beschreibt somit das Zeit-Frequenz-Verhalten der Transformation in idealisierter Form. Da die Rechtecke in

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen s(t);s(t);s(t),! s(t);s(t);s(t),! s(t);s(t);s(t),! Frequenz!,! Frequenz!,! Frequenz!,! Gabor Zeit-Frequenz-Atome 6 8 j^s (!)j ; j^s (!)j ; j^s (!)j,! :,: 5 Zeit t,! Daubechies (D) Zeit-Frequenz-Atome 5 6 : j^s (!)j ; j^s (!)j ; j^s (!)j,!,:,: 5 Zeit t,! Symmlet (S6) Zeit-Frequenz-Atome 5 6 j^s (!)j ; j^s (!)j ; j^s (!)j,! :,: 5 Zeit t,! Abbildung.: Verschiedene Gaborsche Elementarfunktionen, D-Wavelets und S6-Symmlet-Wavelet-Pakete im Zeit- und Frequenzbereich sowie als Rechtecke mit den Seitenlängen t;s und +!;s in der Zeit-Frequenz-Ebene.

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen 5 der Phasenraumdarstellung aneinander anschlieÿen, sind ihre Ausmaÿe bestimmt durch das Indizierungsschema des zugehörigen Funktionensystems und nicht, wie bei der Darstellung einer Elementarfunktion in der Zeit-Frequenz-Ebene, durch die eektive Ausdehnung und eektive Bandbreite. In dieser Vernachlässigung besteht die Idealisierung der Phasenraumzerlegung der Zeit-Frequenz-Ebene bezüglich einer Transformation. Wird ein Signal s(t) in ein Funktionensystem von lokalisierbaren Funktionen entwickelt, so ist das zeitliche und spektrale Signalverhalten anhand der graphisch im Phasenraumdiagramm dargestellten Transformationskoezienten leicht erkennbar, indem den Rechtecken den Zahlenwerten der Entwicklungskoezienten entsprechende Farbwerte oder Höhenkoordinaten zugeordnet werden. Das Phasenraumdiagramm bietet eine vorteilhaft interpretierbare Signaldarstellung, insbesondere von transienten und nichtstationären Phänomenen. Signalmerkmale sind in erster Linie an den Gröÿenverhältnissen der Entwicklungskoezienten erkennbar und können dann direkt zeitlich und spektral zugeordnet werden. Ferner spiegeln sich in dieser idealisierten Darstellung auch Eigenschaften des Funktionensystems und damit der angewendeten Transformation selbst wieder. Die folgende Abbildung. zeigt beispielhaft die Zerlegung eines aus zwei Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz und einem impulsartigen Anteil bestehenden Signals in vier Phasenraumdiagramme. Entwicklungskoezienten mit hohem Betrag werden dabei durch dunklere Schattierungen gekennzeichnet. Erkennbar ist, daÿ der zeitlich lokalisierte Impuls durch die Fourier-Transformation nicht aufgelöst werden kann, und daÿ anhand der Dirac- Abtastung keine Frequenzzuordnung möglich ist. Eine geringe Verbesserung leistet die Entwicklung in Gaborsche Elementarfunktionen. Die Wavelet-Transformation ermöglicht dagegen prinzipiell eine bessere gemeinsame Erkennung von Impuls- und Sinusanteil. Die Verbesserung von Transformationseigenschaften hinsichtlich einer Energiekonzentration in wenige Entwicklungskoezienten durch die signaladaptive Gestaltung des Funktionensystems und damit des Phasenraums ist Bestandteil vieler Veröentlichungen der letzten Jahre [8]... Die Gabor-Transformation Die ursprüngliche Idee Gabors war die Signalsynthese durch elementare Funktionen mit einem minimalen Zeit-Bandbreite-Produkt. Das Signal wird so durch eine gewichtete Summe von modulierten und translatierten Gauÿ-Funktionen, den sogenannten Informationsquanten oder Gaborschen Elementarfunktionen, beschrieben. Diese weisen bezüglich der in (..) denierten Unschärferelation eine zeitliche und frequentielle Lokalisierbarkeit in einem optimalen Sinne auf. Diese Form der Signalrepräsentation wird als Gabor-Reihenentwicklung bezeichnet, auf die später noch eingegangen wird. Die Gabor-Transformation soll hier allerdings ausgehend von ihren Analyseeigenschaften betrachtet werden. Um einem Spektrum eine lokale Bedeutung zu geben, müssen die Elementarfunktionen des

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen 6 Frequenzparameter l,! Frequenzparameter l,! Skalierungsparameter l,! zwei Sinusschwingungen mit überlagertem Impuls s(t),!, Zeit t,! Dirac-Phasenraumdiagramm 5 6 Zeitparameter k,! 5 6 Fourier-Phasenraumdiagramm 6 5 5 Gabor-Phasenraumdiagramm Zeitparameter k,! Wavelet-Phasenraumdiagramm 6 5 Zeitparameter k l=6,! Abbildung.: Verschiedene Phasenraumdarstellungen eines Signals, das aus zwei Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz und einem impulsartigen Anteil besteht.

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen 7 der Transformation zugrunde liegenden Funktionensystems eine endliche eektive Ausdehnung aufweisen. Ausgehend von den Fourier-Basisfunktionen kann dies erreicht werden, indem man sie mit zeitlich lokalisierten und translatierten Fensterfunktionen w(t, b) multipliziert, wobei b R die Verschiebung der um t =zentrierten Funktion w(t) angibt. Das Analysefenster muÿ dabei lediglich die energetische Normierungsbedingung Z jw(t)j dt = (.7) erfüllen. Eine geeignete Fensterfunktion sollte nicht nur die Eigenschaft der zeitlichen Lokalisierbarkeit haben, sondern gleichzeitig auch die spektralen Komponenten detailliert auösen können. Wie in Abschnitt.. dargelegt, erfüllen gauÿ-impulsartige Analysefenster mit w gau; (t, b) = p! = e,(t,b) = ; R > ; b R (.8) diese Anforderungen optimal. Der Parameter deniert die Ausdehnung der Gauÿ-Funktion und damit die Breite des Zeitbereiches, dessen lokales Spektrum berechnet wird. Der Parameter b bestimmt die Zeitabhängigkeit des Spektrums durch die zeitliche Position dieses Intervalls. Die Gabor-Transformation G ist somit für R > und s(t) L (R) deniert als G fs(t)g(b;!) =hs(t);f G;b;!(t)i = Z s(t)w gau; (t, b)e,j!t dt: (.9) Die Abbildungsvorschrift G nach Gleichung (.9) transformiert s(t) durch die Innere- Produkt-Bildung mit den Elementarfunktionen des Funktionensystems G = f G;b;!(t) =w gau; (t, b)e j!t : b;! R (.) und ordnet damit jedem Energiesignal ein komplexwertiges Spektrum über der Zeit-Frequenz-Ebene zu. Der Streuungsparameter beeinuÿt das Analyseverhalten der Transformation G nachhaltig. Er sollte grundsätzlich so gewählt werden, daÿ die eektive Ausdehnung der Fensterfunktion in der Gröÿenordnung der kleinsten aufzulösenden transienten Signalanteile liegt. Für die eektive Ausdehnung der Funktionen aus G in Abhängigkeit von gilt nach Gleichung (.) t;wgau; = p : (.) Damit ist die eektive Bandbreite durch!;wgau; = p (.)

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen 8 festgelegt. Wendet man die Parsevalsche Identität für die Berechnung der Transformationskoezienten an, so gilt nach Gleichung (.5) hs(t);f G;B;(t)i = h^s(!); ^f G;B;(!)i mit (.) ^f G;B;(!) =Fff G;B;(t)g (!) (.) Demnach kann die in den Entwicklungskoezienten enthaltene Information, welche durch die Untersuchung des Signals s(t) um den Zeitpunkt t = B unter Verwendung der Funktion f G;B;(t) gewonnen wird, alternativ auch dem Spektrum ^s(!) entnommen werden. Eine Observation des Spektrums ^s(!) in der Umgebung der Frequenz! = mit der Spektralfunktion (=) ^f G;B;(!) liefert dieselbe Information. Folglich extrahiert ein Gauÿsches Zeit-Frequenz-Atom f G;B;(t) aus einem zu observierenden Signal s(t) ein Informationsquantum G fs(t)g(b; ) mit der Lage B, in der Zeit-Frequenz-Ebene. p ;B+ p, p ;+ p (.5) Die Abbildung. veranschaulicht die kombinierte Zeit-Frequenz-Analyseeigenschaft der Gabor-Transformation. Dargestellt sind vier Transformationen nach Gleichung (.9) des Signals s (t) aus der Gleichung (.) als jeweils dem Betragsquadrat entsprechende Grauwertverteilungen. Der Parameter ist dabei so gewählt, daÿ die eektive Ausdehnung der Elementarfunktionen t;wgau; die Werte T=; T=8; T=6 und T= mit T = annimmt. Hieraus resultierten nach Gleichung (.) = 5; = 78; =88:5; =:5. Durch einen Vergleich mit der Abbildung. ist deutlich erkennbar, daÿ eine Analyse nichtstationärer Signale mit Gaborschen Elementarfunktionen die beschriebenen nachteiligen Globalisierungseigenschaften der Fourier-Transformation verbessern. Oensichtlich wird an diesem Beispiel auch, daÿ eine Zunahme der zeitlichen Auösung zwangsläug eine Unschärfe des Spektrums zur Folge hat und umgekehrt. Für die analysierende Verarbeitung nichtstationärer Signale stellt die Gabor-Transformation einen leistungsfähigen Vorverarbeitungsschritt für Klassizierungs- und Mustererkennungsprobleme dar [9]. Signalverarbeitungsalgorithmen aus anderen Bereichen beinhalten allerdings nicht nur die Analyse, sondern, nach einer Bearbeitung des Signals im Bildbereich der Transformation auch wieder die Signalsynthese. Ausgehend von der inversen Fourier- Transformation nach Gleichung (.) kann das mit dem Analysefenster w gau; (t, b) multiplizierte Signal s(t) durch Z s(t)w gau; (t, b) =F fg fs(t)g(b;!)g(t) = G fs(t)g(b;!)e j!t d! (.6)

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen 9 jg fs(t)g(b;!)j für = 5 jg fs(t)g(b;!)j für = 78 Frequenz!,! Frequenz!,! 5 5 75 Zeit b,! 5 5 75 Zeit b,! jg fs(t)g(b;!)j für =88:5 jg fs(t)g(b;!)j für =:5 Frequenz!,! Frequenz!,! 5 5 75 Zeit b,! 5 5 75 Zeit b,! Abbildung.: Gabor-Transformation des nichtstationären Signals s (t) aus Gleichung (.) für die Streuparameter = 5; = 78; =88:5; =:5. rekonstruiert werden. Das Signal s(t) selbst erhält man durch die Multiplikation der Gleichung (.6) mit einem dualen Synthesefenster ~w gau; (t,b), welches lediglich die Bedingung Z w gau; (t)~w gau; (t)dt = (.7) erfüllen muÿ, und einer anschlieÿenden Integration über den Zeitparameter b. Daw gau; (t) selbst der Bedingung (.7) genügt, kann ~w gau; (t) = w gau; (t) gewählt werden. Aus der Analyse eines Signals s(t) L (R) mit Gaborschen Elementarfunktionen f G;b;!(t) des Funktionensystems G ist dieses Signal demnach durch die inverse Gabor-Transformation G mit s(t) =G fg fs(t)g(b;!)g(t) = Z Z G fs(t)g(b;!)w gau; (t, b)e j!t dbd! (.8)

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen wieder synthetisierbar. Ein Nachteil des Transformationspaares G ; G ist allerdings die hohe Redundanz der Darstellung im Bildbereich. Die Entwicklungskoezienten hängen stark voneinander ab und sind damit teilweise überüssig. Gerade nachrichtentechnische Anwendungen wie Quellcodierung und Kompression haben eine möglichst reduzierte, aber wenig fehlerbehaftete Signalbeschreibung zum Ziel. Es stellt sich die Frage, ob und unter welchen Bedingungen das Funktionensystem G auf eine verminderte Anzahl von Elementarfunktionen verringert werden kann, so daÿ die korrespondierenden Transformationskoezienten trotzdem eine vollständige Signaldarstellung und -rekonstruktion ermöglichen. Die Gaborsche Reihenentwicklung beinhaltet eine Signalsynthese durch um kt verschobene und mit l modulierte Gauÿ-Funktionen als Elementarfunktionen mit minimalem Zeit- Bandbreite-Produkt. Wird die Abtastbedingung T (.9) eingehalten, so kann ein Signal s(t) L (R) mit mindestens schwacher Konvergenz [] für den Fall T = bei geeigneter Wahl des Streuparameters durch eine gewichtete Summe von Gaborschen Elementarfunktionen f G;T; ;k;l(t) der Menge durch G ;T; = f G;T; ;k;l(t) =w gau; (t, kt )e jlt : k; l Z (.) s(t) = X X k= l= g k;l w gau; (t, kt )e jlt (.) rekonstruiert werden []. Die komplexwertigen Gewichte g k;l werden dabei als Gabor-Koezienten bezeichnet. Anhand des die Elementarfunktionendichte in der Zeit-Frequenz-Ebene beschreibenden Produkts T ist eine Aussage über Redundanz und Vollständigkeit des korrespondierenden Funktionensystem G ;T; möglich. Die Abtastbedingung (.9) ist notwendige Voraussetzung für die Vollständigkeit eines Gabor-Funktionensystems. Ist T <, so sind die Elementarfunktionen linear abhängig und damit redundanzbehaftet. Ein Signal läÿt sich dann, bei geeigneter Wahl des Fensterparameters, durch verschiedene Linearkombinationen der Elementarfunktionen beschreiben. Für T > ndet eine Unterabtastung statt, so daÿ nicht jedes Signal s(t) L (R) synthetisiert werden kann. Einen Grenzfall stellt die von Gabor in [] gewählte kritische Abtastung T =mit T = t;wgau; dar. Das zugehörige Funktionensystem spannt zwar den gesamten Funktionenraum L (R) auf, und jedes Signal ndet eine eindeutige Beschreibung durch genau eine Menge von Gabor-Koezienten, jedoch ist die quadratische Summe dieser Entwicklungskoezienten nicht für alle s(t) L (R) begrenzt []. Dieser Umstand führt zu einer numerischen Instabilität bei der Signalrekonstruktion, so daÿ die Reihenentwicklung aus Gleichung (.) nicht für die L (R)-Norm, sondern lediglich im Sinne einer Distribution konvergiert []. Abbildung.5 zeigt jeweils drei Gaborsche Cosinus- und Sinuselementarfunktionen für die Zeitindizes k = ; ; pro Frequenzindex l = ; ; bei kritischer Abtastung mit

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen ReffG;T;;k;l(t)g =;;; l =,! k ImffG;T;;k;l(t)g =;;; l =,! k ReffG;T;;k;l(t)g =;;; l =,! k ImffG;T;;k;l(t)g =;;; l =,! k ReffG;T;;k;l(t)g =;;; l =,! k ImffG;T;;k;l(t)g =;;; l =,! k Gaborsche Cosinuselementarfunktionen Gaborsche Sinuselementarfunktionen.5 -.5.5 -.5 Zeit t,! Zeit t,!.5 -.5.5 -.5 Zeit t,! Zeit t,!.5 -.5.5 -.5 Zeit t,! Zeit t,! Abbildung.5: Gaborsche Cosinus- und Sinuselementarfunktionen bei kritischer Abtastung T =mit T =; = p ;=für die Zeitindizes k =;;und die Frequenzindizes l =;;. T = t;wgau; = ) = p und =. In der Abbildung.6 sind die zwei von Gabor in [] vorgeschlagenen Phasenraumdarstellungen der Signalsynthese durch das Funktionensystem G ;T; bei kritischer Abtastung T = illustriert. Gabor bezeichnete diese Zerlegung der Zeit-Frequenz-Ebene aufgrund der optimalen Lokalisierbarkeit der Elementarfunktionen als Informationsdiagramm. Das rechte Diagramm beschreibt den Beitrag jeder Elementarfunktion f G;T; ;k;l(t) durch ein mit dem komplexen Gabor-Koezienten g k;l gewichtetes Einheitsrechteck. Alternativ zeigt das linke Diagramm den Synthesebeitrag von

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen l =! p p Refg,; g Refg ; g p p g ; g ; Imfg,; g Imfg ; g Refg,; g Refg ; g g ; g ; Imfg,; g Imfg ; g k = t T Abbildung.6: Die zwei alternativen Darstellungsmöglichkeiten einer Signalsynthese durch Gaborsche Elementarfunktionen bei kritischer Abtastung T = im Phasenraum. Cosinus- und Sinuselementarfunktion nach Real- und Imaginärteil Refg k;l g; Imfg k;l g des Gabor-Koezienten getrennt. Für diese Darstellung haben die korrespondierenden Rechtecke die minimale Fläche in der Zeit-Frequenz-Ebene. Ist die Vollständigkeit des Funktionensystems G ;T; gegeben, so lassen sich die Gabor- Koezienten g k;l durch eine Analyse des Signals s(t) mit den zu f G;T; ;k;l(t) biorthogonalen bzw. dualen Funktionen f ~ G;T; ;k;l(t) = ~w gau; (t, kt )e jlt durch Z g k;l = hs(t); f ~ G;T; ;k;l(t)i = s(t)~w gau; (t, kt )e,jlt dt (.) berechnen [6]. Die duale Fensterfunktion ~w gau; (t) muÿ dabei die Biorthogonalitätsbedingung hw gau; (t, kt )e jlt ; ~w gau; (t, k T )e jl t i = (k, k )(l, l ) für alle k; k ;l;l Z (.) mit dem Kronecker-Symbol erfüllen. (n) = 8 < : für n = für n 6= ;nz; (.)

. Lineare zeitlich-spektrale Signaldarstellungen ~wgau;(t),! :5 :5,:5 :5 Analysefenster Synthesefenster,,,, Zeit t,! Zeit t,! Abbildung.7: Die zueinander biorthogonalen Analyse- und Synthesefenster ~w gau; (t), w gau; (t) der Gaborschen Reihenentwicklung für =und T =. wgau;(t),! : :9 :8 :7 :6 :5 : : : : Das Synthesefunktionensystem G ;T; und das dazu biorthogonale Analysefunktionensystem f f ~ G;T; ;k;l(t) = ~w gau; (t, kt )e jlt : k; l Zg weisen eine identische Struktur auf. Zwei zueinander biorthogonale Elementarfunktionen f G;T; ;k;l(t) und ~ f G;T; ;k;l(t) unterscheiden sich lediglich durch Synthesefenster w gau; (t) und Analysefenster ~w gau; (t). Vergleicht man Synthese- und Analysetransformationspaar (.), (.) und die Abhängigkeitsbedingung (.) der Gabor-Reihenentwicklung mit den korrespondierenden Gleichungen (.9), (.8) und (.7) der Gabor-Transformation, so stellt man fest, daÿ die Diskretisierung der Translations- und Modulationsparameter Einschränkungen bezüglich der Wahl der Fensterfunktionen zur Folge hat. Die einzuhaltende Biorthogonalitätsbedingung hat, da G ;T; nicht orthogonal und gleichzeitig vollständig sein kann, ein kompliziertes, für den Fall der kritischen Abtastung nicht lokalisiertes Analysefenster zur Folge, dessen analytische Herleitung in [] beschrieben ist. Es ist ~w gau; (t) =() C, e t = X n> t T, () n e,(n+=) (.5) mit C =:8576. Abbildung.7 zeigt das Analysefenster ~w gau; (t) und das Synthesefenster w gau; (t) für =und T =... Die Kurzzeit-Fourier-Transformation Der vorangegangene Abschnitt hat gezeigt, daÿ die Optimalität des Gabor-Funktionensystems mit einigen Nachteilen erkauft wird. So führt die Gaborsche Reihenentwicklung bei kritischer Abtastung zu numerischen Instabilitäten und die Diskretisierung von Translationsund Modulationsparametern hat eine nachteilige Biorthogonalfunktion zur Folge. Weiter ist der Gauÿ-Impuls w gau; (t) für alle t R von null verschieden und damit nur näherungsweise