30 KAPITEL 2. ELEKTOSTATIK 2.5 Konensatoren un Felenergie Aus en echnungen für eine unenlich ausgeehnte Platte mit homogener Laungsichte, ie wir in en Abschnitten 2.2 un 2.4 vorgenommen haben, können wir für as elektrische Fel zwischen zwei planparallele Platten zwanglos folgern, ass: E = 1 ε 0 A ( Qlinks Mit er orgabe, ass Q links = Q rechts = Q folgt für E 2 Q ) rechts 2 E = 1 ε 0 A Q (2.26) Die Energie, ie benötigt wir, um eine Probelaung q Q von links nach rechts zu verschieben, beträgt somit: U = q E }{{}}{{} Kraft Weg = q, wobei = E = Potenzial ( ifferenz) zwischen beien Platten. Mit (2.26) (q) ε 0 A Q = (q) oer Q = ε 0 A (2.27) Laung un Potenzialifferenz sin proportional zueinaner. Der Proportionalitätsfaktor ist eine Eigenschaft es Objekts un wir Kapazität genannt. Je höher ie Kapazität ist, esto mehr Laung wir bei gegebener Spannung auf ie Platten gelaen. C = ε 0 A Kapazität eines Plattenkonensators Kapazitäten (von Konensatoren) spielen in Schaltkreisen aber auch bei er Energiespeicherung eine wichtige olle, insbesonere ann wenn (kurzfristig) hohe Leistungen gewünscht sin. [C] = [Q] [ ] = 1 C = [ε 0 ] [ A 1 = 1 F Fara ] = [ε 0 ] m
2.5. KONDENSATOEN UND FELDENEGIE 31 Angabe von Kapazitäten ist auch in Längeneinheiten möglich. Jeoch ist C = 1 cm keine Angabe in S.I. Einheiten, kann aber urch Multiplikation mit ɛ 0 leicht umgerechnet weren. Die Kapazität ist proportional zur Linearimension es Bauteils. Bei er Miniaturisierung eines Schaltkreises wächst also ie Energieichte quaratisch mit em Quarat er inversen Linearimension, was auch besonere Anforerungen an ie in iesen Schaltungen verweneten Materialien stellt. Die Kapazität kann nicht nur für zwei parallele Platten efiniert weren, sonern für allgemeine Paare von metallischen Objekten. Kapazität eines Koaxialkabel: Ein Koaxialkabel besteht aus zwei voneinaner isolierten Metallrähten, siehe Abbilung. a Im letzten Kapitel: replacements i E = für i < < a λ = Q l Q l λ 2 π ε 0 l ist ein Längensegment Gesamtlaung Gesamtlänge Die Energie, ie benötigt wir, um eine kleine Testlaung von = i nach = a zu verschieben, ist: U = q a i E() = q a λ 1 2 π ε 0 i }{{} ln a =ln i a ln i =ln a i (2.28)
32 KAPITEL 2. ELEKTOSTATIK U = q λ ln a 2 π ε 0 }{{ i} Potenzialunterschie mit λ = Q l l Q = 2 π ε 0 (2.29) ln a }{{ i } C (Koaxialkabel) Ein 100 m langes Kabel mit a = 2 m un i = 1 m hat ieselbe Kapazität wie ein gleich langes Kabel mit a = 20 nm un i = 10 nm, nämlich C/ɛ 0 = 200π ln 2 m. Kugelkonensator: Die Beschreibung eines Kugelkonensators un ie Berechnung seiner Kapazität ist en Übungen zu entnehmen. In elektrischen Schaltungen weren Konensatoren oft seriell oer parallel zu Wierstänen, Spulen aber auch zu aneren Konensatoren geschaltet. Man kann ann jeweils parallel oer seriell geschaltete Konensatoren vereinfacht mit er Angabe einer effektiven Kapazität beschreiben. Parallelschaltung von Kapazitäten: placements Q 1 Q Q 2 C 1 C 2 C Ersatzschaltbil Die Gleichstromquelle ( ) gibt ie Potenzialifferenz vor. An jeer Kapazität liegt ieselbe Spannung an. Q 1 = C 1 Q 2 = C 2 Q gesamt = Q 1 + Q 2 = (C 1 + C 2 ) (2.30)
2.5. KONDENSATOEN UND FELDENEGIE 33 Parallelgeschaltete Kapazitäten aieren sich! siehe auch: C gesamt = ε 0 (A 1 + A 2 ) Die Flächen einer in zwei Teile geschnittenen Kapazität aieren sich. Serienschaltung von Kapazitäten: replacements Q 1 Q 2 Q C 1 C 2 C Ersatzschaltbil Die Summe er Spannungen muss en externen Spannung entsprechen! 1 = 1 C 1 Q 2 = 1 C 2 Q = Q = ( 1 + 1 ) Q C 1 C 2 ( 1 + 1 ) 1 (2.31) C 1 C 2 In Serienschaltung aieren sich ie inversen Kapazitäten. Siehe auch 1 C = 1 ε 0 A ( 1 + 2 ) = 1 + 1 }{{} C 1 C 2 =
34 KAPITEL 2. ELEKTOSTATIK 1 2 Auch komplizierte Serien- un Parallelschaltungen von Konensatoren lassen sich als effektive Kapazität arstellen, siehe Übungen. Bei ganz genauer Betrachtung muss man allerings ie Kapazität als eine Matrix ansehen. Dies zu vertiefen sprengt aber en ahmen er orlesung. Energie in einem Konensator Q links Q rechts Jee Partiallaung in er linken Platte fühlt as Potenzial er Laungen auf er rechten Platte. Die Gesamtenergie, ie in er Wechselwirkung zwischen en Laungen steckt, kann prinzipiell über Summation bzw. Integration berechnet weren. Alternativ: echte Platte erzeugt ein E-Fel: E = 1 Qrechts F = Q links E (2.32)
2.5. KONDENSATOEN UND FELDENEGIE 35 Nun verschiebe man ie linke Platte nach rechts bis sich ie beien Platten berühren. Damit ist ie Energie: U = 0 Q links ( 1) Qrechts r = 1 Qrechts + Q links = Q2 U = Q2 2 C (2.33) (2.34) oer wenn wir Q = C setzen: U = 1 2 C 2. (2.35) Das ist ie Energie, ie wir benötigen, um eine Kapazität zu laen. Diese Formel gilt auch für allgemeine Konensatoren. Interessanter Weise gibt es offensichtlich keine Selbstenergie einer Platte in ieser echnung. Alternative Sichtweise: Energie steckt im Fel er wechselwirkenen Laungen. Laungen selbst wechselwirken nicht, sonern sie erzeugen ein Fel, as Energie hat. Im Plattenkonensator: E = Q ε 0 A in (2.33) eingesetzt: Q = ε 0 A E U = (ε 0 A E) 2 2 ε 0 A = 1 2 ε 0 E 2 (A ) (2.36) Energie olumen = Energieichte = U A = 1 2 ε 0 E 2 (2.37) Diese Formel gilt allgemein - also auch außerhalb eines Plattenkonensator. Hintergrunwissen: Felenergie eines Protons Ein Proton ist prinzipiell ein Punktteilchen. Bei genauer Betrachtung stellt sich jeoch heraus, ass es einen zwar sehr kleinen, aber ennoch enlichen aius, = 0.877 fm hat. Man kann nun annehmen, ass ie Laungsichte ρ innerhalb ieses aius konstant ist un außerhalb
36 KAPITEL 2. ELEKTOSTATIK gleich null un ie Felenergie berechnen. E { ρ = 0 r > ρ 0 r < Q 4 π ε 0 2 Betrachte nur Felenergie außerhalb es Protons, wo er Betrag es elektrischen Feles gegeben ist urch: E = 1 4 π ε 0 r 2 olumen einer Kugelschale er Dicke : = 4} π{{ r} 2 r Oberfläche einer Kugel U = ε0 E 2 2 r> 1 1 = 8 π ε 0 r r = }{{ 2 } 1 r = 1 r 4 π r 2 ε0 2 e 2 (4 π ε 0 ) 2 r 4 e 2 8 π ε 0 Setzen wir Zahlenwerte ein, erhalten wir U = 0.82 Me. Mit Hilfe er Formel E = m c 2 (hier steht E für Energie), kann man er Energie eine Masse zuornen. Das Ergebnis ist m = 1, 46 0 30 kg. Dies ist nicht ie Masse eines Protons sonern ungefähr ie eines Elektrons (m e = 0, 91 0 30 kg.) bzw. ie seines Antiteilchen. Die ermutung steckt nun nahe, ass es einen tieferen Zusamenhang gibt zwischen Protonen un Elektronen. In er Tat kann man urch Zuführung von Energie em Proton ein Positron entlocken: p + ω n + e + + ν e Lese: Proton plus Energie kann übergehen in Neutron plus Positron plus ein Elektronneutrino.