Analysis Seite Ableitungsregeln: (f±g) = f ± g (f g) = f g + fg ' f f'g fg' = 2 g g ' f' = 2 f f ' ( ) = g f () g'(f()) f '() ' ' f (y) = mit y = f() bzw. f () = f'() f' f( ) Integrationsregeln: b a c b b f()d = f()d ; f()d + f()d = f()d a b a c a f()d = f() + c (f() ± g())d = f()d ± g()d f '() g() d = f() g() f() g'() d f(g()) f '() d = f(u)du mit u = g() und du = g'()d Uneigentliche Integrale: b f()d = lim f()d f()d = lim f()d b c a a c c Einfache Grundintegrale: n n+ d= + c n ;c R n+ d ln() c ; e d e = + = + c ; ln()d = ln() + c = + = = e d e c ; 0 ; ln()d ln(u)du mit u
Analysis Seite 2 Logarithmusfuntion: ln() = ln(u)du ln(e) = Umehrfuntion ln() = e Logarithmengesetze: ln(a b) = ln(a) + ln(b) e e = e c d c+ d a ln( ) = ln(a) ln(b) e : e = e b c d c d ( ) d b c c d ln(a ) = b ln(a) e = e ln() Allgemeine Logarithmusfuntion : log c() = ln(c) f'() Spezielles Integral : d = ln f() + c f() Grenzwerte: n GRF() lim = 0 lim = 0 e e d.h. die e Funtion steigt stär er als jede Ganzrationale Funtion beliebigen Grades n lim e = 0 bzw. lim GRF() e = 0 Entsprechend für die Logarithmusfuntion: ln lim ln = 0 und lim = 0 0 d.h. die ln-funtion steigt langsamer als jede Ganzrationale Funtion beliebigen Grades
Analytische Geometrie Seite 3 Geraden im 3 R : g: = a+λu Ebenen im 3 R : E: = a+λ u+µ v ; λ, µ R Parameterform E: A + A + A + A = 0 ; A R Koordinatenform 2 2 3 3 4 i E : n ( a) = 0 Normalenform E : n ( a) = 0 mit n = und n a > 0 Hesse Normalenform 0 0 0 Abstand Punt Gerade : d = d d = n 0 ( p) Ist d< 0 dann liegt P bzl. E auf der gleichen Seite wie der Ursprung 0 Ist d > 0 dann liegt P bzl. E auf der entgegen gesetzten Seite wie derursprung 0 Salarprodut : 3 y = y bzw. y = y cos (,y) i= i i Vetorprodut : e e e y y y = = y y y y y y y y z 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 2 y = y sin,y) Determinanten: a b c a b d e f d e = (aei + bfg + cdh) (gec + hfa + idb) g h i g h
Analytische Geometrie Seite 4 Spatvolumen : Das Volumen des von den Vetoren,y,z aufgespannten Spats ist V = y z Spat ( ) Pyramidenvolumen: a) Vierecspyramide Vp = VSpat 3 b) Dreiecspyramide Vp = VSpat 6
Wahrscheinlicheitsrechnung / Statisti Seite 5 Urneneperiment In einer Urne sind n unterscheidbare Kugeln, z.b. nummeriert von bis n Permutationen Alle n Kugeln werden nacheinander ohne Zurüclegen gezogen. Die Reihenfolge wird notiert. -Permutationen-ohne (Variationen) der n Kugeln( n) werden nacheinander ohne Zurüclegen gezogen. Die Reihenfolge wird notiert. Anzahl der Möglicheiten n! n ( n ) ( n 2)... ( n + n! = ( n )! Realeperiment Wir haben n unterscheidbare Objete Es gibt n! verschiedene Anordnungen (Permutationen) mit n unterscheidbaren Objeten.. Wir bilden also n-tupel: ( ) Es werden der n Objete ausgewählt und diese dann in alle mögliche Reihenfolgen gebracht -Tupel: ( ) -Permutationen-mit (Variationen) der n Kugeln( n) werden nacheinander mit Zurüclegen gezogen. Die Reihenfolge wird notiert. -Teilmengen (Kombinationen) der n Kugeln( n) werden nacheinander ohne Zurüclegen gezogen. Die Reihenfolge n n Es werden der n Objete mit Zurüclegen ausgewählt und diese dann in alle mögliche Reihenfolgen gebracht -Tupel: ( ) Nacheinander werden Kugeln (ohne Zurüclegen) entnommen, es wird eine Reihenfolge gebildet. -Teilmengen: {,,..., } Binomialoeffizienten: n n! = 0! =! =! ( n )!
Wahrscheinlicheitsrechnung / Statisti Seite 6 Ereignisse: Jede Teilmenge der Ergebnismenge S heißt Ereignis E Wahrscheinlicheit von Ereignissen: Für Laplace-Eperimente (Eperimente, bei denen jedes mögliche Ergebnis die gleiche Wahrscheinlicheit besitzt) gilt E P(E) = S bezeichnet dabei die Anzahl der Elemente in der Menge X Erwartungswert einer Zufallsvariablen X : Varianz einer Zufallsvariablen X : Standardabweichung: µ= E(X) = P(X = ) i i i= 2 V(X) = ( i µ ) P(X = i) i= σ= V(X) Mehrstufige Zufallsversuche: Pfadregeln:.) Bei einem mehrstufigen ZF-Eperiment ist die Wahrscheinlicheit für ein Ergebnis gleich dem Produt der Wahrscheinlicheiten längs des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. 2.) Die Wahrscheinlicheit eines Ereignisses E ist gleich der Summe der Wahrscheinlicheiten aller Pfade, die zu einem Element dieses Ereignisses führen. Bei einem n-stufigen Bernoulli-Eperiment gilt für die Zufallsvariable X =Anzahl der Erfolge: n = = = 0 n n P(X ) p ( p) Erfolgswahrscheinlicheit p Misserfolgswahrscheinlicheit q=-p µ= E(X) = n p und σ= n p q
Wahrscheinlicheitsrechnung / Statisti Seite 7 Intervalle für Entscheidungsregeln: falls σ 3 90% Regel : P( µ,64 σ < X <µ+,64 σ) 90% 95% Regel : P( µ,96 σ < X <µ+,96 σ) 95% 99% Regel : P( µ 2,58σ < X <µ+ 2,58 σ) 99% Kumulierte Wahrscheinlicheiten: P(X ) = P(X = i) i= 0 P(X = ) = P(X ) P(X ( )) P(a X b) = P(X b) P(X (a )) P(X ) = P(X ( )) Speziell : P(X ) = P(X = 0)
Wahrscheinlicheitsrechnung / Statisti Seite 8 Binomialverteilungen umuliert n=00 p= 0, 0,2 0,3 0,35 0,4 0,5 <= 0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 2 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 3 0,008 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 4 0,024 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 5 0,058 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 6 0,7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 7 0,206 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 8 0,32 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 9 0,45 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0 0,583 0,006 0,000 0,000 0,000 0,000 0,703 0,03 0,000 0,000 0,000 0,000 2 0,802 0,025 0,000 0,000 0,000 0,000 3 0,876 0,047 0,000 0,000 0,000 0,000 4 0,927 0,080 0,000 0,000 0,000 0,000 5 0,960 0,29 0,000 0,000 0,000 0,000 6 0,979 0,92 0,00 0,000 0,000 0,000 7 0,990 0,27 0,002 0,000 0,000 0,000 8 0,995 0,362 0,005 0,000 0,000 0,000 9 0,998 0,460 0,009 0,000 0,000 0,000 20 0,999 0,559 0,06 0,00 0,000 0,000 2,000 0,654 0,029 0,002 0,000 0,000 22,000 0,739 0,048 0,003 0,000 0,000 23,000 0,8 0,076 0,007 0,000 0,000 24,000 0,869 0,4 0,02 0,00 0,000 25,000 0,93 0,63 0,02 0,00 0,000 26,000 0,944 0,224 0,035 0,002 0,000 27,000 0,966 0,296 0,056 0,005 0,000 28,000 0,980 0,377 0,085 0,008 0,000 29,000 0,989 0,462 0,24 0,05 0,000 30,000 0,994 0,549 0,73 0,025 0,000 3,000 0,997 0,633 0,233 0,040 0,000 32,000 0,998 0,7 0,303 0,062 0,000 33,000 0,999 0,779 0,380 0,09 0,000 34,000,000 0,837 0,462 0,30 0,00 35,000,000 0,884 0,546 0,79 0,002 36,000,000 0,920 0,627 0,239 0,003 37,000,000 0,947 0,702 0,307 0,006 38,000,000 0,966 0,770 0,382 0,00 39,000,000 0,979 0,828 0,462 0,08 40,000,000 0,988 0,875 0,543 0,028 4,000,000 0,993 0,92 0,623 0,044 42,000,000 0,996 0,94 0,697 0,067 43,000,000 0,998 0,96 0,763 0,097 44,000,000 0,999 0,975 0,82 0,36 45,000,000 0,999 0,985 0,869 0,84 46,000,000,000 0,99 0,907 0,242
47,000,000,000 0,995 0,936 0,309 48,000,000,000 0,997 0,958 0,382 49,000,000,000 0,999 0,973 0,460 50,000,000,000 0,999 0,983 0,540 5,000,000,000,000 0,990 0,68 52,000,000,000,000 0,994 0,69 53,000,000,000,000 0,997 0,758 54,000,000,000,000 0,998 0,86 55,000,000,000,000 0,999 0,864 56,000,000,000,000,000 0,903 57,000,000,000,000,000 0,933 58,000,000,000,000,000 0,956 59,000,000,000,000,000 0,972 60,000,000,000,000,000 0,982 6,000,000,000,000,000 0,990 62,000,000,000,000,000 0,994 63,000,000,000,000,000 0,997 64,000,000,000,000,000 0,998 65,000,000,000,000,000 0,999 66,000,000,000,000,000,000 67,000,000,000,000,000,000 68,000,000,000,000,000,000 69,000,000,000,000,000,000 70,000,000,000,000,000,000 7,000,000,000,000,000,000 72,000,000,000,000,000,000 73,000,000,000,000,000,000 74,000,000,000,000,000,000 75,000,000,000,000,000,000 76,000,000,000,000,000,000 77,000,000,000,000,000,000 78,000,000,000,000,000,000 79,000,000,000,000,000,000 80,000,000,000,000,000,000 8,000,000,000,000,000,000 82,000,000,000,000,000,000 83,000,000,000,000,000,000 84,000,000,000,000,000,000 85,000,000,000,000,000,000 86,000,000,000,000,000,000 87,000,000,000,000,000,000 88,000,000,000,000,000,000 89,000,000,000,000,000,000 90,000,000,000,000,000,000 9,000,000,000,000,000,000 92,000,000,000,000,000,000 93,000,000,000,000,000,000 94,000,000,000,000,000,000 95,000,000,000,000,000,000 96,000,000,000,000,000,000 97,000,000,000,000,000,000 98,000,000,000,000,000,000 99,000,000,000,000,000,000 00,000,000,000,000,000,000