Mathematik. Unterichtszusammenfassungen. Jahrgansstufen 12/13, Abitur erstellt von: Daniel Edler

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1 Unterichtszusammenfassungen Jahrgansstufen 12/13, Abitur 2010 Mathematik erstellt von: Daniel Edler Dieses Dokument wurde mit L A TEX am 12. April 2010 um 14:29 gesetzt

2 -II- Inhaltsverzeichnis 1 Themenpunkte Abitur Mathematik, Analysis Ableitungsregeln Funktionen und Geraden Funktionsscharen/gebrochen rationale Funktionen Ortslinien Exponentialfunktionen Integralrechnung Aufleitungsregeln Flächen und Volumen (grafische) Funktionsuntersuchung Themenpunkte Abitur Mathematik, Algebra Lagebeziehungen Ebenen Skalarprodukt und Einsatz in der Winkelberechnung Tipps Prozesse und Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix Entwicklungsverhalten Themenpunkte Abitur Mathematik, Stochastik Grundbegriffe Binominalverteilung Kombinatorik Hypergeometrische Verteilung Bedingte Wahrscheinlichkeit - Satz von Bayes Erwartungswert (Gewinnerwartung) Varianz Standardabweichung Normalverteilung Hypothesentest, Signifikanz Mögliche Fehler beim Testen Konfidenz-/, Vertrauensintervall, Schätzung mindestens ein Treffer Aufgabe

3 1 Themenpunkte Abitur Mathematik, Analysis 1.1 Ableitungsregeln Potenzregel: x n n x n 1 Faktorregel: c x n c n x n 1-1- Produktregel:u(x) v(x) u (x) v(x) + u(x) v (x) sin/cos Regel: cos(x) sin(x) Kettenregel: u(x) v(x) = u(v(x)) v (x) u (v(x)) Quotientenregel: u(x) u (x) v(x) u(x) v (x) v(x) v(x) Funktionen und Geraden Tangentengleichung Gleichung die einen Punkt einer Funktionion tangiert und dessen Steigung besitzt Normalengleichung Steht senkrecht zur Tangente eines Punktes (und schneidet auch diesen Punkt). Dabei wird der negative Kehrwert der Tangetensteigung genommen und der Schnittpunkt mit der y-achse neu berechnet Umkehrfunktion Ist die an der Geraden der Funktion g(x) = x gespiegelten Funktion. Zur Berechnung müssen die x und y Werte vertauscht und nach y umgestellt werden. Polynomfunktion Eine Polynomfunktion zum Beispiel des dritten Grades ist ax 3 + bx 2 + cx + d 1.3 Funktionsscharen/gebrochen rationale Funktionen Der Funktionsterm einer gebrochen rationalen Funktion ist eine Division aus zwei ganzrationalen Funktionen/Polynomen. Zu beachten sind: Nullstelle des Nennerpolynoms: hebbare Lücke Polstelle: nach einer Polynomdivision ist festzustellen, um welche Art es sich handelt. Faustregel: Ist die Ordnung der Polstelle gerade so ist es eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; ist die Ordnung der Polstelle ungerade so ist es eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel Asymptoten: Grenzwert ergibt eine Zahl (Grad p = Grad q) Grenzwert ergibt Null und nähert sich der x-achse an (Grad p < Grad q)

4 -2- Die Ganzrationalen Polynome nach einer Polynomdivision geben die Nährungskurve an (Grad p > Grad q). Grenzwerte gegen ± 1.4 Ortslinien Linie auf der zum Beispiel alle Hoch- oder Tiefpunkte liegen. Nach Berechnung eines Punktes in Abhängigkeit einer Variablen werden beide Terme wie in einem Parametersystem angesehen. Beispiel: Aus den Gleichungen x(t) = 3t und y(t) = 10 t 2 wird t eliminiert und es ergibt sich die Gleichung y(x) = 10 ( ) x Exponentialfunktionen Die Ableitung von e x bleibt e x. Die Ableitung von ln x ist 1 x Es gilt: e ln a = a 1.6 Integralrechnung Uneigentliche Integrale sind Integrale, dessen Grenzen im Intervall [, + ] liegen und somit unbeschränkt sind Aufleitungsregeln Hauptsatz: x n xn+1 n+1 NICHT VERGESSEN!!!: a 0 f(x)dx = F (a) F (0) F (a) Produktregel: u v = uv uv (u und v weise definieren und wählen) Flächen und Volumen Nicht über Nullstellen integrieren Bei der Rotation um die y-achse einfach die Umkehrfunktion um die x-achse rotieren lassen 1.7 (grafische) Funktionsuntersuchung Prüfen auf Symmetrie (Achsen-, Punktsymmetrie) Asymptoten bestimmen (auch senkrechte bei gebrochenrationalen Funktionen)

5 2 Themenpunkte Abitur Mathematik, Algebra -3- Stichwörter: Stützvektor/Ortsvektor, Richtungsvektor, Spurpunkte 2.1 Lagebeziehungen Komplanar sind zwei Vektoren, wenn sie linear Abhängig sind - also der Eine ein vielfaches vom Anderen ist Komplanar sind drei Vektoren, wenn sie linear abhängig sind - es kann also der dritte Vektor als Linearkombination aus den anderen beiden ausgedrückt werden linear Unabhängig sind (drei) Vektoren, wenn für 0 = r a + s b + t c gilt r = s = t = 0 zwei Geraden können: parallel: 1. identisch ( x 1 = x 2 ergibt Lösungen) 2. nicht identisch ( x 1 = x 2 ergibt 0 Lösungen) schneiden windschief ( x 1 = x 2 ergibt 0 Lösungen) Bei der Bestimmung vom Abstand zweier Geraden muss beachtet werden, ob sie windschief oder parallel sind; eine Mögliche Methode dieser Bestimmung ist die Erstellung einer Funktion 2.2 Ebenen Bei der Normalenform gilt: 0 = ( x p ) n Bei der Umrechnung von der Normalenform in die Parameterform ist es nützlich (bzw. einfacher) die Spurpunkte zu nehmen, um Vektoren dadraus zu basteln 2.3 Skalarprodukt und Einsatz in der Winkelberechnung Das Skalarprodukt ist definiert durch: a b = a b cos ϕ Der Winkel ϕ zwischen zwei Geraden lässt sich berechnen über die Definition des Skalarprodukts: a b = a b cos ϕ ( a ) b ϕ = arccos a b

6 Tipps Normalenform zu Parameterform Spurpunkte als Basis der Richtungsvektoren in der Parameterform nutzen Abstand Punkt zu Ebene oder Geraden Einen Punkt auf der Ebene/Geraden erstellen, der mit dem anderen Punkt außerhalb in Verbindung steht 2.5 Prozesse und Matrizen y 1 y 2 y m. ( ) x1 x 2... x n a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n a m,1 a m,2 a m,n x wird als Eingangsvektor bezeichnet; y wird als Ausgangsvektor bezeichnet Eingangsvektor multipliziert mit einer Matrix ergibt einen Ausgangsvektor Als Zweistufiger Prozess wird die Multiplikation zweier Matrizen bezeichnet: ( ) a1,1 b A B = C = 1,1 + a 2,1 b 1,2 + a 1,3 b 3,1 a 1,2 b 1,1 + a 2,2 b 1,2 + a 3,2 b 1,3 a 1,1 b 2,1 + a 2,1 b 2,2 + a 2,3 b 3,2 a 1,2 b 2,1 + a 2,2 b 2,2 + a 3,2 b 2,3 Diese Multiplikation ist nicht kommutativ Austauschprozess: ist ein Prozess mit einer quadratischen Matrix und positiven Koeffizienten, bei der in allen Spalten die Koeffizientensumme gleich 1 ist Gleichgewichtsverteilung: Jeder Vektor ( g 0 ), der die Gleichung A g = g erfüllt, heißt Gleichgewichtsverteilung/stabile Verteilung des Prozesses Dabei ist die Grenzmatrix G definiert als A k = G mit k absorbierende Zustände sind Systemzustände, die nicht mehr verlassen werden können 2.6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix Die Grundidee ist, dass A x = λ x mit: x := Eigenvektor; λ := Eigenwert später ergibt das dann (A λe) x = 0 0 = A λe Entwicklungsverhalten Es soll das Entwicklunsverhalten eines Eingangsvektors und einer Matrix beschrieben werden:

7 -5- Eingangsvektor durch Eigenvektoren beschreiben und jedes Polynom mit den Eigenwerten mulitplizieren Eigenwerte mit einer Variablen (x) exponieren

8 3 Themenpunkte Abitur Mathematik, Stochastik 3.1 Grundbegriffe -6- Ergebnis Mögliche Ausgänge eines Zufallsexperiments Ereignis Teilmenge der Ergebnisse (wird mit Zufallsgröße beschrieben) Elementarereignis Ein Element der Ergebnismenge Laplace - Experiment Wahrscheinlichkeit ist für alle Ergebnisse gleich groß Bernoulli - Experiment Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse Stetigkeitskorrektur Möglichkeit eine Normalverteilung der Realität durch Rundung näher anzupassen; Es gibt keine Zuckertüte, die exakt 1kg wiegt Man unterscheidet zwischen diskreten Verteilungen, die sich auf eine endliche oder abzählbare Menge konzentrieren, und stetigen (kontinuierlichen) Verteilungen, die sich auf größere Bereiche erstrecken und bei denen einzelne Punkte die Wahrscheinlichkeit 0 haben. Beispiele für diskrete Verteilungen sind die Binomialverteilung und die Hypergeometrische Verteilung, die die Anzahl der Erfolge beim Ziehen aus einer Urne mit und ohne Zurücklegen beschreiben Binominalverteilung Bernolli - Kette der Länge n, die die Wahrscheinlichkeit angibt, k Treffer zu erzielen: ( ) n P (X = k) = p k (1 p) n k k Dabei gibt ( n k) an, wie viele Pfade es gibt, die die richtigen Elementarereignisse enthalten. Es gibt zum Beispiel verschiedene Möglichkeiten zwei Treffer T und eine Niete N darzustellen: Anzahl der Züge =: n = 3 Anzahl der Nieten =: k = 1 ( ) n = 3 k 3.3 Kombinatorik Man zieht k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln: Januar 2010 um 17:19

9 -7- mit Zurücklegen Beachtung der Reihenfolge {a, b} {b, a} Ohne Beachtung der Reihenfolge {a, b} = {b, a} n k (n + k 1)! k! (n 1)! ( ) n + k 1 = k ohne Zurücklegen n (n 1)... (n k + 1) k (k 1)... 1 ( ) n! n = (n k)! = k! k n! (n k)! k! ( ) n = k 3.4 Hypergeometrische Verteilung Von 45 Kugeln werden 10 Kugeln gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 gelbe von insgesamt 20 gelben dabei sind: ( 20 ) ( 4 25 ) ( M )( N M ) 6 4 n 4 ( 45 ) = ( N 10 n) 3.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit - Satz von Bayes Wenn es eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist, gilt: P (A B) = P (A) P A (B) mit P (A) 0 (1) P (A) = P B (A) (2) P (B) = P A (B) (3) Tipp: Sachverhalt in einer Vierfeldtabelle aufzeichnen Satz von Bayes: Man erhält die a posteriori Wahrscheinlichkeit einer Alternative P B (A), in dem man Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Pfades P (B) P (A) durch die totale Wahrscheinlichkeit des beobachteten Indizes teilt P (B) P (A) + P (B) P (A) 3.6 Erwartungswert (Gewinnerwartung) Der Erwartungswert E(X) = µ ist der zu erwartende Durchschnittswert und ist die Summe aus allen Produkten aus allen Ereignissen und deren Wahrscheinlichpublished under cc-by-nc-sa by Daniel Edler

10 -8- keit. Rechenregeln: E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) (4) E(kX) = ke(x) (5) E(X Y ) = E(X) E(Y ) (6) Bei einer binominalvertelten Zufallsgröße gilt: µ = n p 3.7 Varianz Die Varianz V (X) = σ 2 beschreibt die Streuung um einen Wert. Sie ist die Summe aus den Produkten von der quadratischen Abweichung vom Erwartungswert und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit 3.8 Standardabweichung Die Wurzel aus der Varianz ergibt die Standardabweichung σ = σ 2 = V (X) 3.9 Normalverteilung Die Normalverteilung ist eine Annäherung an die Wirklichkeit der Bionominalverteilung. Es gilt: ϕ µ,σ (x) = 1 σ 1 2π e 1 2 «x µ 2 σ Ist es bionominalverteilt gilt zusätzlich: µ = np σ = np(1 p) Diese Normalverteilung ist nährungsweise eine Binominalverteilung 3.10 Hypothesentest, Signifikanz Nach einem Experiment wird eine Hypothese der Wahrscheinlichkeit p 0 (bezüglich der Ergebnisse) aufgestellt. Befindet es sich im selbst gewählten Signifikanzniveau (α; 1 α ist das Intervall, in dem X befinden muss) um den echten Wert so ist diese These bestätigt: µ c σ X µ + c σ np 0 c np 0 (1 p 0 ) X np 0 + c np 0 (1 p 0 ) Es wird eine These aufgestellt, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis p = 70% beträgt. Nach einer Stichprobe von n = 100 beträgt der Treffer k = 65 ( p 0 = k = n 65 = 65%. Die Frage ist, ob der Wert p innerhalb eines Tolleranzbereichs(-intervalls) 100 um p 0 liegt und somit die These bestätigt werden kann.

11 Mögliche Fehler beim Testen falsch/ablehnen (Behauptung) wahr/zustimmen (Behauptung) wahr (Wirklichkeit) Fehler 1.Art falsch (Wirklichkeit) Fehler 2. Art 3.11 Konfidenz-/, Vertrauensintervall, Schätzung Beim Konfidenzintervall hat man das Problem, dass man im Gegensatz zum Testen keinerlei Angaben hat. Es gilt für ein Experiment o.ä. einen guten Schätzwert p im Vertrauensintervall zu erhalten. Für das Konfidenzintervall für p zum Konfidenzniveau β gilt: h c h (1 h) n p h + c h (1 h) n mit: h = k n = Treffer (in der Stichprobe) Anzahl Durchgänge/Befragten (in der Stichprobe) insgesamt Für steigendes n wächst die Genauigkeit das Intervall wird enger mindestens ein Treffer Aufgabe Bei diesem Aufgabentyp ist gefragt, ab dem wie vielten Versuch n man mit einer Treffwahrscheinlichkeit(-sicherheit) p treffen muss, damit mindestens einen Treffer mit zum Beispiel 90% iger Wahrscheinlichkeit trifft. Sei X die Anzahl der Treffer: P (X 1) = 0, 9 Mindestens ein Treffer bedeutet man kann n Treffer haben. Das heißt, dass es nicht 0 Treffer geben darf: 1 P (X = 0) = 0, 9 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es kein Treffer ist: 1 (1 p) n = 0, 9