Kunst und Wissenschaft

Kunst und Wissenschaft HS 8 Visualisierung von Newton-Fraktalen Inhalt 1. Ist Schönheit Harmonie? Mathematik in Musik und Malerei 2. Warum heissen Fraktale Fraktale? oder: was ist hier zerbrochen? 3. Was sind Newton-Fraktale? Fraktale von denen Isaac Newton nichts ahnte 4. Resumé

2 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 1. Ist Schönheit Harmonie? von Athen Das Fresko verherrlicht im Sinne der Renaissance das antike Denken als Ursprung der europäischen Kultur, ihrer Philosophie und Wissenschaften

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 3 1. Ist Schönheit Harmonie? Schule von Athen Fraktale Variante links vorn : Pythagoras Ein Kernsatz der pythagoräischen Lehre lautete: Alles ist Zahl. Und das bedeutet, dass alles durch ganze Zahlen und ihre Proportionen ausgedrückt werden kann.

4 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb Musik "Harmonie" bedeutet im Griechischen ursprünglich "Klammer" (des Zimmermanns), "Verbindung", "Gefüge", dann "Ebenmaß" (richtiges Verhältnis), "Wohlklang" (musikalische Harmonie). Pythagoras fand beim Monochord: einfache Verhältnisse klingen gut. Harmonien unterschiedlicher Komplexität Oktave: f 1 :f 2 1:2 2s Beispiel 1 2 3

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 5 Ästhetik = Grundformen + die "richtigen" Proportionen?? Ist Schönheit messbar? Nicht nur Leonardo da Vinci oder Michelangelo, sondern viele bildende Künstler, Architekten und Komponisten nach ihnen stellten sich diese Frage und versuchten, zu ergründen, wie mathematische Prinzipien mit ästhetischen Idealen zusammenhängen. Unter den verschiedenen Proportionen gilt seit Euklid (300 v. Chr.) insbesondere der "Goldene Schnitt" als besonders ästhetisch: es ist die Teilung einer Strecke in zwei Abschnitte in der Weise, dass sich der kleinere Abschnitt zum größeren wie der größere zur gesamten Strecke verhält. 1 2 1 5 1.61803 angenähert

6 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 2. Fraktale Hinführende Frage Wie lang ist ist die Küste Britanniens? Weitere Beispiele Plötzlich sieht man ganz viele davon Mathematik Die Kochsche Schneeflocke

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 7 Wie lang ist ist die Küste Britanniens?

8 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb Wie lang ist ist die Küste Britanniens?

16 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb Was ist das gemeinsame Merkmal? Typische Strukturelemente - hier quasizufällige Einkerbungen der Küstenlinie - wiederholen sich in verschiedenen Größen Selbstähnlichkeit auf mehreren Größenordnungen -> und plötzlich sieht man ganz viele Beispiele...

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 17 Verzweigungen bei Flussläufen, Pflanzen oder Gefäßsystemen, aber auch bei Blitzen

18 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb Was fällt auf? Typische Strukturelemente wiederholen sich in verschiedenen Größen: Selbstähnlichkeit auf mehreren Größenordnungen Zufällige Verwerfungen bei Gebirgszügen Anwendung: Modellierung künstlicher Welten in Computeranimationen

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 19 Was fällt auf? Typische Strukturelemente wiederholen sich in verschiedenen Größen: Selbstähnlichkeit auf mehreren Größenordnungen Die spiralförmige Schale von Ammoniten

20 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb Mathematisches Modell: die Kochsche Schneeflocke (H. Koch, 1906) Generation 0 1 2 3 4 5 Nächste Generation: 1. Teile jede Kante in drei gleiche Teile 2. Ersetze das Mittelstück durch zwei Kanten, die mit dem entfernten Teil ein gleichseitiges Dreieck bilden Eigenschaften : Fläche bleibt endlich, aber Umfang Skaleninvarianz: wenn man hinein zoomt sieht es immer wieder gleich aus.

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 21 Die Kochsche Schneeflocke ist ein Fraktal! Genauer: ihr Rand ist ein Fraktal. Warum? Er ist etwas mehr als eine Linie (Dimension 1), uns etwas weniger als eine Fläche (Dimension 2). Seine Dimension ist nicht ganzzahlig, sondern gebrochen. Felix Hausdorf erfand einen verallgemeinerten Dimensionsbegriff. Danach hat die Kochsche Schneeflocke die Dimension d log4 log3 1.26186 ungefähr Konstruktionsprinzip der Fraktale: 1. Mache einige verkleinerte Kopien 2. Füge sie dem Objekt hinzu 3. Wiederhole diesen Schritt immer wieder Rekursion

22 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb Gibt es noch andere Fraktale? Ja, zum Beispiel die berühmten Apfelmännchen von Benoît Mandelbrot (1980). Das Besondere: sie entstehen nicht durch eine unendliche Serie verkleinerter Kopien, sondern aus Zahlenreihen.

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 23 3. Was sind Newton-Fraktale? Das Newton Verfahren Manche Gleichungen kann man nur näherungsweise lösen Die komplexen Zahlen Mehr als Vektoren... Die Nullstellen der Funktion z 3-1 Es gibt drei. Das Newton Verfahren findet aber nur eine. Aber welche?

24 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb Wozu dient das Newton-Verfahren Beispiel: Suche den Schnittpunkt der Kurven y 1 = x und y 2 = cosx Die Gleichung x = cosx läßt sich nicht nach x auflösen. Es geht nur numerisch! x0 x. FindRootCosxx 0, x, 1 0.739085 Plotx, Cosx, x, Π, 2 Π, Epilog PointSize0.02, Pointx0, x0 6 4 2 2 2 4 6 2

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 25 So funktioniert das Newton-Verfahren Ein Näherungsschritt besteht darin, die Funktion f durch ihre Tangente zu ersetzen und deren Nullstelle zu nehmen. Startpunkt Anzahl Schritte 0 2.19000000 2.19 1 1 2.19

26 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb Das Verfahren funktioniert auch für komplexe Funktionen fx x 3 1; Nullstellen: 1, 1 2 3 2, 1 2 3 2 Bereich 2 1 2 1 1 2 1 2

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 27 Das Ganze in der Übersicht 1. Die Nullstellen als Farben codiert (Farbschema dark rainbow)

28 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb... Ausschnitt wählen

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 29 hineinzoomen...

30 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb... neuen Ausschnitt wählen

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 31 noch weiter hineinzoomen...

32 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb Übrigens... es funktioniert auch in umgekehrter Richtung Skaleninvarianz

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 33 Visualisierung der Iterationszahl Farbschema : SouthwestColors

34 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb Visualisierung der Iterationszahl Farbschema : Hue skaliert

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 35 gleichzeitige Visualisierung von Nullstelle und Iterationszahl Die Iteratonszahl ist als Helligkeitswert umgesetzt

36 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb Jetzt wo das Prinzip klar ist... etwas komplexere Funktionen Slideshow und hier einige der Mitwirkenden:

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 37 f(x) = x 5-1 Fünf Nullstellen, 5-zählige Symmetrie.

38 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb f(x) = Log(x 36 ) 36 Nullstellen, 36-zählige Symmetrie.

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 39 f(x) = x 8 6557 x 4 26 244 2 Nullstellen: {9, 9j, 1j}

40 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb f(x) = sin(log(2 cos(x))) Unendlich viele Nullstellen auf einem Gitter, auf zwei Arten periodisch und zahlreiche andere Symmetrien.

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 41 f(x) = sin(x 3 +3 x ) Wenig erkennbare Symmetrien, viele Datenlöcher. Mathematica findet keine analytische Lösung für die Nullstellen. Wo liegen sie?

42 Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb f(x) = sin(x 3 +3 x ) In gelb: die gefundenen Nullstellen. Es gibt unendlich viele.

Visualisierung von Newton-Fraktalen.nb 43 4. Resumé Inhalt 1. Ist Schönheit Harmonie? Bei Bildern kann es Symmetrie sein, oder auch ein anderes Ordnungspinzip. 2. Warum heissen Fraktale Fraktale? die Dimension ist gebrochen. Merkmale: Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz. 3. Was sind Newton-Fraktale? Was Isaac Newton nicht ahnte: die Abhängigkeit der Lösung vom Startpunkt seines Näherungsverfahrens liefert ein Fraktal. und außerdem haben Sie, ganz nebenbei, etwas über wissenschaftliche Visualisierung erfahren. Danke für Ihre Aufmerksamkeit