Exponential- und Logarithmusfunktionen: Wachstum, Zerfall, Regression 1) Eva möchte sich ein Fahrrad kaufen Ihre Eltern wollen ihr einen Zuschuss geben Ihr Vater macht ihr folgendes Angebot: 5 Euro würde sie sofort bekommen Am nächsten Tag würde sie 7 Euro bekommen usw 14 Tage lang würde er den Betrag um 2 Euro erhöhen Ihre Mutter macht ihr ein anderes Angebot: Eva würde von ihr sofort 2 Cent bekommen, am folgenden Tag 4 Cent usw Der Betrag würde 14 Tage lang täglich verdoppelt Welches Angebot sollte sie wählen? a) Legen Sie für jedes Angebot eine Tabelle an b) Zeichnen Sie jeweils den Graphen für die Angebote (Regression) Um welche Art von Wachstum handelt es sich jeweils? c) Ermitteln Sie jeweils eine rekursive und explizite Formel für die Angebote 2) Das Wachstum einer Hefekultur wird durch die Funktion mit beschrieben Dabei ist die Zeitdauer des Wachstumsvorgangs (in ) und die Masse der Kultur (in ) Berechnen Sie, wann 7,2 bzw 10 erreicht sind 3) Die Masse einer radioaktiven Substanz wird ermittelt Man erhält folgende Tabelle: Tage 0 1 2 3 4 5 6 Masse [g] 75 71,6 68,4 65,3 62,3 59,5 56,8 a) Zeigen Sie, dass es sich um einen exponentiellen Zerfall handelt b) Ermitteln Sie das Zerfallsgesetz und die Halbwertszeit c) Nach welcher Zeit ist noch der ursprünglichen Masse vorhanden?
LÖSUNGEN Verwendung des Tabellenkalkulations- oder Statistik-Menüs Zu 1a) Das Tabellenkalkulations-Menü wird in diesem Fall dem Statistik-Menü vorgezogen, da es durch Eingabe von Formeln schneller und einfacher geht die Geldbeträge einzugeben Im Statistik-Menü ist die Bearbeitung der Aufgabe ähnlich Beide Angebote werden zum Vergleich auf einem Tabellenblatt dargestellt Wörter können über die abc-tastatur eingegeben werden In die Spalte A (bzw D) werden die 14 Tage eingetragen Dazu wird in die Zelle A2 (bzw in die Zelle D2) eine 1 eingetragen Um die weiteren Tage einzufügen wird in die Zelle A3 (bzw D3) die Formel: =A2+1 (bzw =D2+1) eingegeben, kopiert und in die Zellen darunter bis einschließlich A15 (bzw D15) eingefügt In die Zelle B2 werden dann die 5 Euro eingetragen, die Evas Vater ihr sofort geben würde Da Eva jeden Tag 2 Euro dazu bekommen würde, wird in die Zelle B3 die Formel: =B2+2 eingetragen Diese wird kopiert und in die Spalten darunter eingefügt In die Spalte E wird eingetragen, wie viel Geld Eva von ihrer Mutter bekommen würde In die Zelle E2 werden die 0,02 Euro eingegeben, die ihre Mutter ihr sofort geben würde Da sich der Betrag, den Eva von ihrer Mutter bekommen würde, täglich verdoppelt, wird in die Zelle E3 die Formel: =E2 2 eingetragen Sie wird kopiert und in die Spalten darunter eingefügt
Um zu berechnen, wie viel Geld Eva jeweils insgesamt von ihrem Vater bzw ihrer Mutter bekommen würde, werden nun die Beträge der Spalte B bzw der Spalte E zusammengerechnet Dazu wird in die Zelle B16 (bzw E16) geklickt und im Aktion-Menü das Untermenü Liste-berechnen geöffnet und der sum-befehl ausgewählt Dann wird eingegeben welche Zellenwerte addiert werden sollen Das wird folgendermaßen eingegeben: sum(b2:b15) bzw sum(e2:e15) Die Zellenwerte können auch ausgewählt werden, indem mit dem Stift über die entsprechenden Zellen der Spalten gefahren wird Wenn Eva das Angebot ihrer Mutter annehmen würde, dann würde sie in den 14 Tagen mehr Geld für ihr Fahrrad bekommen Zu 1b) Zum Zeichnen der Graphen werden die Werte in der Spalte B (bzw in der Spalte E) markiert, dann wird das Graph-Menü aufgerufen und Liniengrafik unterbrochen ausgewählt Im unteren Bereich erscheint dann die Grafik
Grafik zum Angebot ihres Vaters: Grafik zum Angebot ihrer Mutter: Nach dem Zeichnen der Grafiken kann eine Regression durchgeführt werden Dazu wird das CALC-Menü aufgerufen und der Befehl Regression ausgewählt Dann wird der gewünschte Regressionstyp ausgewählt Daraufhin wird ein Feld geöffnet, dass die Werte der jeweiligen Regression anzeigt Zudem wird eine Regressionskurve in das Grafikfeld gezeichnet, wenn es geöffnet ist Bei linearer Regression wird Folgendes angezeigt: Formel: Regressionskoeffizient (Anstieg) Konstantenterm der Regression ( -Achsenabschnitt) Korrelationskoeffizient Bestimmtheitsmaß Mittlerer quadratischer Fehler (Restvarianz bei der Streuungszerlegung)
Lineare Regression für das Angebot des Vaters: es handelt sich um lineares Wachstum, da der mittlere Fehler gleich Null ist und die Linien übereinander liegen: Bei der allgemeineren exponentiellen Regression wird Folgendes angezeigt: Formel: Regressionskoeffizient ( -Achsenabschnitt) Regressionsbasis (Basis des exponentiellen Terms, positive Größe) Korrelationskoeffizient (der quasilinearen Regression) Bestimmtheitsmaß (der quasilinearen Regression) Mittlerer quadratischer Fehler (Restvarianz bei der Streuungszerlegung) Allgemeinere exponentielle Regression für das Angebot des Vaters: es handelt sich nicht um exponentielles Wachstum, da der mittlere Fehler etwas größer als Null ist und die Linien nicht gut übereinander liegen Daher handelt es sich um lineares Wachstum (so)
Lineare Regression für das Angebot des Vaters: es handelt sich nicht um lineares Wachstum, da der mittlere Fehler stark von Null abweicht und die Linien nicht gut übereinander liegen: Allgemeinere exponentielle Regression für das Angebot des Vaters: es handelt sich um exponentielles Wachstum, da der mittlere Fehler fast Null ist, der Korrelationskoeffizient 1 ist, besteht ein sehr guter funktionaler Zusammenhang (die Linien liegen gut übereinander) Bei der exponentiellen Regression wird Folgendes angezeigt: Formel: Regressionskoeffizient ( -Achsenabschnitt) Regressionskoeffizient Korrelationskoeffizient (der quasilinearen Regression) Bestimmtheitsmaß (der quasilinearen Regression) Mittlerer quadratischer Fehler (Restvarianz bei der Streuungszerlegung)
Exponentielle Regression für das Angebot des Vaters: es handelt sich um exponentielles Wachstum, da der mittlere Fehler fast Null ist und die Linien gut übereinander liegen Zu 1c) Verwendung des Zahlenfolgen-Menüs Die rekursive Formel für das Angebot des Vaters für eingeben Mithilfe des Menüs kann eingegeben werden Für wird der Startwert, in diesem Fall 5, eingegeben Zur Umrechnung der rekursiven in die explizite Form das Berechnungsfeld durch Tippen auf die Taste in der Symbolleiste öffnen Dann wird das Calc-Menü geöffnet und der rsolve-befehl ausgewählt Dann gibt man die rekursive Form und den Startwert ein: Die explizite Form für das Angebot des Vaters ist:
Die Berechnung der expliziten Form des Angebots ihrer Mutter erfolgt in gleicher Weise und ergibt: Zu 2) Verwendung des Main-Menüs a b Um zu berechnen, wann 7,2 bzw 10 erreicht sind, muss die Gleichung bzw gelöst werden Mithilfe des solve-befehls oder durch Termumformungen Die zweite Gleichung kann in gleicher Weise gelöst werden a
Zu 3) Verwendung des Tabellenkalkulations-Menüs 1 Möglichkeit: Die Werte in das Tabellenkalkulationsprogramm übertragen Dann den Quotienten von zwei aufeinanderfolgenden Funktionswerten berechnen Da die Quotienten konstant sind, kann von exponentiellem Wachstum ausgegangen werden 2 Möglichkeit: Mithilfe der Regression kann geprüft werden, ob es sich um exponentiellen Zerfall handelt: Daraus ist ersichtlich, dass es sich um exponentiellen Zerfall handelt Zu 3b) 1 Möglichkeit: Das Zerfallsgesetz kann aus der vorstehenden exponentiellen Regression abgelesen werden:
2 Möglichkeit: Um den Zerfallsfaktor zu berechnen wird der Mittelwert der Quotienten von je zwei aufeinanderfolgenden Funktionswerten berechnet, indem der mean-befehl aus dem Calc-Menü verwendet und der Bereich der zu betrachtenden Zellen eingegeben wird: mean(c2:c6) Dadurch ergibt sich das Zerfallsgesetz: Für die Halbwertszeit gilt: Mithilfe des solve-befehls oder durch Termumformungen kann berechnet werden Die Halbwertszeit beträgt etwa 15 Minuten Zu 3c) Mithilfe des solve-befehls oder durch Termumformungen kann auch diese Aufgabe gelöst werden Nach ca 100 Minuten ist noch 1% der ursprünglichen Substanz vorhanden