Reihe 42 S 1 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Wer wird Funktionsmeister? Funktionen als Leitidee spielerisch vermitteln Grit Viehweg und Thomas Gyöngyösi, Quedlinburg Klasse: 7/8 Inhalt: Dauer: Einführung in die Funktionenlehre; lineare und quadratische Funktionen 30 45 Min. pro Thema Ihr Plus: geeignet für Vertretungsstunden Integration in einem Stationenzirkel individuelle Erweiterung der Aufgabenvielfalt möglich Ein Ziel des modernen Mathematikunterrichts ist es, mathematische Kompetenzen zu erwerben. Um diese nachhaltig vermitteln und deren Bedeutung für die Erfassung und Gestaltung des Alltags verdeutlichen zu können, werden mathematische Inhalte verschiedener Themengebiete zu Leitideen zusammengefasst. Eine dieser Leitideen bildet in Anlehnung an die Bildungsstandards der funktionale Zusammenhang. Den meisten Schülern ist dieser funktionale Zusammenhang klar, wenn er auf ein konkretes Beispiel bezogen ist. Doch dass bestimmte Grundkonzepte in der inner- sowie außermathematischen Funktionenlehre immer gleichen Gesetzmäßigkeiten unterliegen und somit auf die gleiche Art gelöst werden können, haben die Lernenden meist noch nicht erkannt. Dieser Beitrag zeigt anhand dreier Themen (Einführung in die Funktionenlehre, lineare und quadratische Funktionen) innerhalb der Leitidee des funktionalen Zusammenhangs, wo in den Lösungsansätzen Analogien liegen.
Reihe 42 S 2 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Didaktisch-methodische Hinweise Einordnung in den Lehrplan Das Leitthema Funktionen taucht im Mathematikunterricht ab Klasse 7 kontinuierlich auf. Funktionale Ansätze werden erstmals im Themengebiet der Proportionalität behandelt. Auf diesen Konzepten bauen die Inhalte zu linearen und quadratischen Funktionen in den nachfolgenden Klassenstufen auf. Obwohl diese Gebiete auch die Grundlage für weitere Betrachtungen in der Sekundarstufe II bilden, liegt der Schwerpunkt der unterrichtlichen Behandlung des funktionalen Zusammenhangs in der Sekundarstufe I. So setzen Sie den Beitrag ein Eine tabellarische Übersicht über die Materialien inden Sie im Abschnitt Auf einen Blick. Vorschläge für die genaue Umsetzung der einzelnen Materialien sind unter dem Abschnitt Lösungen und Tipps zum Einsatz vermerkt. Material M 1 stellt die Spielregeln des Brettspiels kurz vor. Für die Durchführung und Umsetzung des Spiels in Gruppenarbeit benötigen Sie die Materialien M 2 bis M 6. Dabei stellt das farbige Spielfeld (M 2) die Grundlage für den Verlauf des Spiels sowie die Ablagelächen für die Start- und n (M 3 und M 4) dar. Als Erstes treten die Startkarten (M 3) in den Vordergrund. Diese Karten beinhalten einfache Aufgabenstellungen, um den Spieler zu motivieren und um seine Spieligur in das Spiel zu bringen. Die n (M 4) werden immer dann genutzt, wenn die Spieligur eines Spielers nach dem Würfeln auf ein Feld mit Ausrufezeichen (!) gelangt. Während des Spiels werden entsprechend den Spielregeln (M 1) die Aufgabenkarten (M 5) eingesetzt. Eine Kontrolle der Antworten zu den Aufgabenkarten erfolgt durch die Lösungsvorschläge der Lösungskarten (M 6). Die Auswahl der Aufgabenkarten (M 5) ist dabei variabel. Je nachdem, welches Ziel Sie mit dem Einsatz des Beitrages verfolgen, können Sie verschiedene Varianten durchführen: Spielvarianten Variante 1: Sie möchten nach der Erarbeitung der Stoffgebiete Proportionalität, lineare oder quadratische Funktionen in spielerischer Form das Vermittelte sichern oder in der nachfolgenden Stunde das entsprechende Thema erneut aufgreifen und üben. Dann empiehlt sich der isolierte Einsatz der Aufgabenkarten der jeweiligen Themengebiete. Sie entscheiden, an welcher Stelle Ihres Stundenablaufs der Einsatz am besten geeignet ist. Ob als wiederholender Stundeneinstieg, als Aulockerung zwischendurch oder als abrundender Abschluss am Ende der Stunde Ihre Schüler werden die spielerische Abwechslung motiviert und dankend annehmen. Variante 2: Auch als Einstieg in das neue Themengebiet der linearen bzw. quadratischen Funktionen können Sie die Aufgabenkarten einsetzen. Um beispielsweise in das Thema lineare Funktionen einsteigen zu können, bedarf es einer Wiederholung einzelner Aspekte des Themas der Proportionalität. Entsprechendes gilt für den Beginn des Stoffgebiets quadratische Funktionen und zu wiederholende Zusammenhänge zu den linearen Funktionen. Sie geben den Schülern die Möglichkeit der Reaktivierung ihres Vorwissens und erhalten gleichzeitig eine Rückmeldung für Ihren Unterricht, an welchen Stellen Probleme auftreten. Ähnlich wie in Variante 1 beschrieben, können Sie die Aufgabenkarten entsprechend der Thematik getrennt einsetzen. Variante 3: Neben dem isolierten Einsatz der themenbezogenen Aufgabenkarten, wie in den Varianten 1 und 2 beschrieben, sind die Karten auch kombinierbar. Als Sicherung der Inhalte zu linearen Funktionen nutzen Sie beispielsweise sowohl die Aufgabenkarten zur Proportionalität als auch die Karten mit den Aufgaben zum Thema lineare Funktionen.
Reihe 42 S 5 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Auf einen Blick Im Folgenden inden Sie eine Übersicht über die Materialien des Beitrages, eine kurze Erklärung sowie eine Checkliste über zusätzlich zur Verfügung zu stellende Hilfsmittel. Material Thema Checkliste M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 Wer wird Funktionsmeister? Die Spielregeln Die Spielregeln für das Brettspiel werden kurz vorgestellt. Wer wird Funktionsmeister? Das Spielfeld Abbildung des farbigen Spielfelds, das als Spielunterlage und Ablage für die Start- und n dient Startkarten Karten mit einfachen Aufgabenstellungen als erste Hürde, um am eigentlichen Spielverlauf teilnehmen zu können, sowie deren Lösungen n Karten, die den spielerischen Charakter unterstreichen und das Spiel spannender gestalten Aufgabenkarten Aufgaben 1 Sechser-Würfel, 2 4 Spieliguren M 6 zur Einführung in die Funktionenlehre zu linearen Funktionen zu quadratischen Funktionen Den Themengebieten entsprechend werden verschiedene Aufgaben auf diesen Karten gestellt, die es zu bearbeiten gilt. Lösungskarten Lösungsvorschläge für die Aufgaben des Materials M 5 Notizblock Dauer Je nach Klassenstufe, in der Sie das Spiel einsetzen, Anzahl der Spieler und Variante, in der Sie es durchführen lassen, sind für das Spiel je Themengebiet zwischen 30 bis 45 Minuten einzuplanen. Minimalplan Die Aufgabenkarten zu den drei Gebieten (Einführung in die Funktionenlehre, lineare und quadratische Funktionen) sind voneinander unabhängig. Wählen Sie bei Zeitnot einen der drei Themenkomplexe aus.
Reihe 42 Verlauf Material S 1 LEK Glossar Lösungen M 1 Wer wird Funktionsmeister? Die Spielregeln Spielregeln Anzahl der Spieler: 2 4 Ihr braucht: Vorbereitung: Ziel des Spiels: Ablauf: 1 Sechser-Würfel, 2 4 Spieliguren, Spielplan, Spielkarten, Notizblock Legt die Spielkarten (Start- und n) verdeckt auf die entsprechenden Felder des Spielplans und die Aufgabenkarten neben das Spielfeld. Jeder Spieler stellt seine Spieligur auf das Startfeld. Würfelt nun aus, wer das Spiel beginnt. Dabei darf derjenige von euch anfangen, der die höchste Zahl würfelt. Gewinner ist, wer mit seiner Spieligur zuerst das Zielfeld erreicht. 1. Jeder Spieler muss zuerst seine Spieligur in das Spiel bringen, indem er eine Aufgabe auf einer Startkarte beantwortet. Diese Karte wird von einem Mitspieler vorgelesen und die Antwort kontrolliert. Ist sie richtig beantwortet, so zieht der Spieler um so viele Felder weiter, wie auf der Karte angegeben ist. Falls die Antwort falsch ist, bleibt der Spieler stehen und muss in der nächsten Runde erneut eine Startkarte beantworten. Der nächste Spieler ist an der Reihe, seine Spieligur in das Spiel zu bringen. 2. Beindet sich ein Spieler mit seiner Spieligur im Spiel, so werden alle weiteren Aufgaben gewürfelt. Die zu beantwortende Aufgabe hängt von der Augenzahl des Würfels und der Farbe des Feldes ab, auf dem die Spieligur steht. Beispiel: Eine Spieligur steht auf einem grünen Feld, und der Spieler würfelt die Augenzahl 5. Dann liest der links sitzende Mitspieler die fünfte Frage des grünen Aufgabenblocks laut vor. Wird die Aufgabe richtig beantwortet, so zieht der Spieler um so viele Felder weiter, wie auf der Karte angegeben ist. Ist die Antwort falsch, bleibt die Spieligur stehen, und der Spieler hat in der nächsten Runde die Chance, eine neue Aufgabe zu würfeln. Weitere Regeln: Gelangt ein Spieler mit seiner Spieligur auf ein Aktionsfeld (!), so muss er eine ziehen und deren Anweisung befolgen. Verwendete n werden unter den Kartenstapel gelegt. Tipps: Seid ihr euch nicht sicher, ob die Antwort eines Mitspielers richtig oder vollständig ist, dann könnt ihr die entsprechende Lösungskarte nutzen. Landet ein Spieler mit seiner Spieligur auf einem Feld, auf dem bereits eine andere Spieligur steht, so rückt die Figur des Mitspielers um ein Feld zurück.
Reihe 42 Verlauf Material S 2 LEK Glossar Lösungen M 3 Die Startkarten Startkarten Vorderseite Startkarte 1 Feld Nenne eine Deinition für den Begriff Funktion. Startkarte 1 Feld Gib den Fachbegriff für die x-achse eines Koordinatensystems an. A: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem Argument genau ein Funktionswert zugeordnet wird. Startkarte 1 Feld Gib den Fachbegriff für die y-achse eines Koordinatensystems an. A: Ordinatenachse Startkarte 2 Felder Der Graph einer Funktion schneidet die Abszissenachse im Punkt S( 4 0). Gib die Nullstelle dieser Funktion an. A: x N = 4 Startkarte 2 Felder Für einen Punkt P(x y) im Koordinatensystem heißt y auch... A: Abszissenachse Startkarte 1 Feld Ein Koordinatensystem lässt sich in vier... einteilen. A: Quadranten Startkarte 2 Felder Eine Funktion hat die Nullstelle x N = 2. Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen der Funktion mit der x-achse an. A: S x (2 0) A: Funktionswert Startkarte 3 Felder Gib die Fachbegriffe für die x- und y-achse eines Koordinatensystems an. Startkarte 2 Felder Für einen Punkt P(x y) im Koordinatensystem heißt x auch... A: Argument Startkarte 3 Felder Die Darstellung der Argumente und Funktionswerte in einer Tabelle heißt... A: Abszissenachse (x-achse) und Ordinatenachse (y-achse) Startkarte 3 Felder Entscheide: direkt oder indirekt proportional? Gewicht (in kg) Preis (in ) A: Wertetabelle Startkarte 3 Felder Entscheide: direkt oder indirekt proportional? Anzahl der Arbeiter Arbeitszeit A: direkt proportional Startkarte 4 Felder Nenne zwei Darstellungsformen für Funktionen. A: indirekt proportional (oder antiproportional) Startkarte 4 Felder Berechne für die Zuordnung y = f(x) = 2x 2 den Funktionswert für x = 0,25. A: z. B. Graph, Wertetabelle A: y = f( 0,25) = 0,125 = 1 8
Reihe 42 Verlauf Material S 4 LEK Glossar Lösungen M 4 Die n n Vorderseite Heute ist dein Glückstag! Gehe 2 Felder vor. Schulausflug! Gehe 2 Felder vor. Du hast deine Mathehausaufgaben vergessen. Gehe 2 Felder zurück. Du hast eine schwierige Matheaufgabe gemeistert. Gehe 3 Felder vor. Du bist Gewinner bei der Matheolympiade. Gehe 3 Felder vor. Rechenfehler in einer Matheaufgabe! Gehe 3 Felder zurück. Du hast die x- und y-achse im Koordinatensystem vertauscht. Gehe 2 Felder zurück. Was für ein Pech! Gehe 3 Felder zurück. Du hast von deinem linken Nachbarn abgeschrieben. Beide Spieler gehen 3 Felder zurück. Du hast den Bus zur Schule verpasst. Nun musst du auf den nächsten warten. Eine Runde aussetzen. Du bist auf dem Weg zu einem Funktionsmeister. Du darfst noch einmal würfeln. Du hast deinen Taschenrechner auf deinem Schreibtisch liegen gelassen. Eine Runde aussetzen. Verschlafen! Du kommst zu spät zum Matheunterricht. Eine Runde aussetzen. Du hast deine Matheaufgaben fehlerfrei gelöst. Du darfst noch einmal würfeln.
Reihe 42 Verlauf Material S 6 LEK Glossar Lösungen M 5 Die Aufgabenkarten I Aufgabenkarte zur Einführung in die Funktionenlehre (blau) 1. Nenne mindestens drei Darstellungsformen für Funktionen. (3 Felder) 2. Berechne für die Zuordnung y = f(x) = 2x die Funktionswerte für die Argumente 1; 0 und 0,5. (3 Felder) 3. Gib ein Beispiel für eine indirekt proportionale Zuordnung an. (2 Felder) 4. Entscheide und begründe, ob eine direkt oder indirekt proportionale Zuordnung vorliegt: Entfernung eines Läufers vom Start Entfernung zum Ziel. (2 Felder) 5. Gib zwei verschiedene Gleichungen für Funktionen an, deren Graphen durch den Punkt P(3 2) verlaufen. (3 Felder) 6. Gib eine Funktionsgleichung an: Einer Zahl wird der Kehrwert der um 2 vergrößerten Zahl zugeordnet. (4 Felder) Aufgabenkarte zu linearen Funktionen (blau) 1. Gib den Wertebereich der Funktion y = f(x) = 3x 5 an. (1 Feld) 2. Der Graph der linearen Funktion y = f(x) = 3x wird um 2 Einheiten nach unten (in negative y-richtung) verschoben. Wie lautet die neue Funktionsgleichung? (2 Felder) 3. Erläutere den Einluss des Parameters b in der Funktionsgleichung y = f(x) = mx + b auf den Verlauf des Graphen der Funktion. (1 Feld) 4. Gib eine Gleichung für eine lineare Funktion an, die genau eine Nullstelle besitzt. (1 Feld) 5. Aus einem beschädigten Gefäß läuft Wasser heraus. Pro Sekunde sinkt die Füllhöhe des Gefäßes um 0,4 cm. Am Anfang der Messung war der Wasserstand 10 cm. Gib eine Funktionsgleichung zur Berechnung der Füllhöhe an. (4 Felder) 6. Gib die Nullstelle der Funktion y = f(x) = 3x 15 an. (2 Felder) Aufgabenkarte zu quadratischen Funktionen (blau) 1. Gib eine Gleichung für eine Parabel an, die den Wertebereich y r; y 1 hat. (1 Feld) 2. Gib zwei verschiedene Gleichungen für Parabeln an, die den Scheitelpunkt S(4 0) haben. (2 Felder) 3. Gib eine quadratische Funktion an, die die Nullstellen x 1 = 3 und x 2 = 2 hat. (4 Felder) 4. Nenne drei voneinander verschiedene quadratische Funktionen mit Scheitelpunkt S( 3 2). (3 Felder) 5. Erläutere den Einluss des Parameters e in der Funktionsgleichung y = f(x) = x 2 + e. (2 Felder) 6. Gib je eine Gleichung einer Parabel an, deren Scheitelpunkt in einem der vier Quadranten liegt. (4 Felder) E L Q
Reihe 42 Verlauf Material S 9 LEK Glossar Lösungen M 5 Die Aufgabenkarten IV Aufgabenkarte zur Einführung in die Funktionenlehre (gelb) 1. Untersuche, ob zwischen Parkgebühr Parkdauer eine Zuordnung vorliegt. Begründe. (2 Felder) 2. Berechne für die Zuordnung y = f(x) = 2x + 4 die Funktionswerte für die Argumente 3; 0 und 1. (3 Felder) 3. Nenne zwei Eigenschaften einer indirekt proportionalen Zuordnung. (2 Felder) 4. Gib jeweils zwei Beispiele für eine direkt proportionale und indirekt proportionale Zuordnung an. (3 Felder) 5. Innerhalb von 35 Sekunden ließen in eine Badewanne 21 Liter Wasser. Nach welcher Zeit ist die Wanne mit 168 Liter Wasser gefüllt? (3 Felder) 6. 2 Bagger heben eine Baugrube in 10 Stunden aus. Wie lange brauchen 4 Bagger für diese Arbeit? (4 Felder) Aufgabenkarte zu linearen Funktionen (gelb) 1. Gib zwei voneinander verschiedene Gleichungen für lineare Funktionen an, die monoton steigend sind. (2 Felder) 2. Erläutere den Einluss des Parameters m in der Funktionsgleichung y = f(x) = mx + b auf den Verlauf der Geraden. (1 Feld) 3. Welche Nullstelle hat die Funktion y = f(x) = 0,5x 4? (2 Felder) 4. Gib zwei Gleichungen für lineare Funktionen an, die echt parallel zueinander verlaufen. (2 Felder) 5. Die Höhe einer brennenden Kerze in Abhängigkeit von der Zeit lässt sich beschreiben durch die Gleichung h(t) = 0,4t + 15. Nach 4 Stunden hat die Kerze eine Höhe von 13,4 cm. Gib die Höhe der Kerze zu Beginn an. (3 Felder) 6. Gib die Koordinaten der Schnittpunkte der linearen Funktion y = f(x) = 5x + 3 mit den Koordinatenachsen an. (2 Felder) Aufgabenkarte zu quadratischen Funktionen (gelb) 1. Welchen Wertebereich hat die Funktion y = f(x) = (x 1) 2 + 5? (1 Feld) 2. Eine Normalparabel wird um 3 Einheiten nach links (in negative x-richtung) und um 2 Einheiten nach unten (in negative y-richtung) verschoben. Wie lautet eine mögliche Funktionsgleichung? (2 Felder) E L Q 3. Erläutere den Einluss des Parameters d in der Funktionsgleichung y = f(x) = (x d) 2 auf den Verlauf der Parabel. (2 Felder) 4. In welchem Intervall ist die Funktion y = f(x) = x 2 3 monoton steigend? (1 Feld) 5. Gib eine Funktionsgleichung für eine quadratische Funktion an, die genau eine Nullstelle besitzt. (2 Felder) 6. Gib zwei verschiedene Gleichungen für Parabeln an, die für x < 2 monoton steigend sind. (3 Felder)
Reihe 42 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen S 1 M 6 Die Lösungskarten I Einführung in die Funktionenlehre (blau) 1. Wortvorschrift, Funktionsgleichung, Graph, Wertetabelle 2. Die Funktionswerte sind die y-werte. Zum Berechnen dieser Funktionswerte setzt du die gegebenen Zahlen für x ein: y = f( 1) = 2 ( 1) = 2; y = f(0) = 2 0 = 0; y = f(0,5) = 2 0,5 = 1. 3. z. B. Brenndauer einer Kerze Höhe der Kerze 4. Diese Zuordnung ist indirekt proportional, wenn du davon ausgehst, dass der Läufer gleichmäßig schnell ist. 5. z. B. y = f(x) = 2x 4 (weil 2 = 2 3 4); y = f(x) = x 1 (weil 2 = 3 1) 1 6. y = f(x) = x+ 2 Einführung in die Funktionenlehre (rot) 1. zur Kontrolle: Bei einer Funktion schneidet jede zur y-achse parallele Gerade den Graphen dieser Funktion nur genau einmal. Liegt keine eindeutige Abbildung vor, gibt es mehr als einen Schnittpunkt. keine Funktion 2. z. B. Funktionsgleichung: A(s) = s 2 ; weitere Darstellungsformen: Wertetabelle, Graph im Koordinatensystem zu 2. 3. z. B. Anzahl der eingesetzten Maschinen Dauer zum Bearbeiten von Werkstücken 4. Es liegt eine indirekt proportionale Zuordnung vor. Begründung: Mit größer werdender Schnittbreite des Rasenmähers nimmt die Dauer zum Mähen ab. 5. y = f(x) = (x 2) 2 6. Die Funktionswerte sind die y-werte. Zum Berechnen dieser Funktionswerte setzt du die gegebenen Zahlen für x ein: y = f( 1) = ( 1 1) 2 = 4; y = f(3) = (3 1) 2 = 4; y = f(0) = (0 1) 2 = 1.
Reihe 42 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen S 5 Lösungen und W Tipps zum Einsatz M 1 und M 2 Wer wird Funktionsmeister? Die Anzahl der Mitspieler ist nicht notwendigerweise auf vier Spieler begrenzt. Je nach Klassensituation können auch bis zu sechs Schüler an einem Spiel teilnehmen. Berücksichtigen Sie bei Ihrer Planung, dass bei einer kleineren Anzahl von Mitspielern die Aktivität des Einzelnen erhöht wird. Die Spielregeln können in unterschiedlichen Varianten angeboten werden. Entweder enthält jedes Team eine eigene Anleitung, oder Sie visualisieren die Spielregeln mithilfe einer Folie. Setzen Sie die erste Variante ein, wenn die Klasse bereits Erfahrung mit dem Spiel hat oder Sie die Selbstständigkeit und Eigenverantwortung Ihrer Schüler stärken möchten. Die zweite Variante ist zu empfehlen, wenn Sie das Spiel erstmalig in Ihrer Klasse einsetzen und die Spielregeln in der Klasse besprechen wollen, um Verständnisschwierigkeiten zu klären. Kopieren Sie das Material M 1 dann einfach auf eine Folie. Kopieren Sie das Spielfeld auf etwas stärkeres Papier. Für den dauerhaften Einsatz des Spiels in Ihrem Mathematikunterricht oder in Vertretungsstunden ist es sinnvoll, die Spielregeln und das Spielfeld zu laminieren. M 3 M 5 Start-, Aktions- und Aufgabenkarten Für den dauerhaften Einsatz des Spiels ist es auch hier zu empfehlen, die Spielkarten zu laminieren. Die Vorderseite der Aktions-, Start- und Aufgabenkarten kopieren Sie auf die Rückseite der entsprechenden Bögen. So erstellen Sie auf einfache Art und Weise recht attraktive Spielkarten. Verwenden Sie die vier verschiedenen Farben (blau, grün, rot und gelb) für die Aufgabenkarten, damit man die Karten gut auseinanderhalten kann. Nehmen Sie wieder etwas festeres Papier. M 6 Lösungskarten Die Lösungskarten sind thematisch sortiert und enthalten die Farbkodierung der entsprechenden Aufgabenkarten. Entscheiden Sie je nach Klassensituation selbst, ob Sie die Lösungskarten einsetzen möchten. Werden die Lösungskarten nicht eingesetzt, so entscheidet der Aufgabensteller oder die Spielgruppe über die Richtigkeit der Antwort. Selbst wenn Sie die Lösungskarten einsetzen, können Sie immer noch festlegen, ob Sie nur ein Set für die gesamte Klasse zur Verfügung stellen oder je ein Set für jede einzelne Gruppe. Weisen Sie Ihre Schüler darauf hin, dass es sich auf den Lösungskarten meist nur um Beispielantworten handelt, da die Antworten nicht immer eindeutig und abschließend sind. Sie dienen dem Schüler als Orientierungshilfe. Über die richtige Antwort entscheidet zum Schluss der Steller der Aufgabe oder die gesamte Gruppe.